北京市通州区2020-2021学年八年级上学期期末数学试题.docx

北京市通州区 2020-2021 学年八年级上学期期末数学试题
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．下列手机屏幕解锁图案中，为轴对称图形的是（
）
22
7
2．下列实数①
；②
；③
；④1.01001000100001×××××× ，其中是无理数的是
2.15
4
（
）
A．①
B．②
C．③
D．④
)
3．若代数式
A．x<1
x
-1 在实数范围内有意义，则x 的取值范围是(
B．x≤1
C．x>1
D．x≥1
4．在元旦联欢会中，抽奖游戏的规则如下：选手蒙眼在一张如图所示的正方形黑白格
子纸（九个小正方形面积相等）上描一个点，若所描的点落在黑色区域，获得笔记本一
个；若落在白色区域，获得钢笔一支．则选手获得笔记本的概率为（
）
1
9
4
9
1
2
5
9
A．
B．
C．
D．
5．一只不透明的袋子中装有 4 个黑球、2 个白球，每个球除颜色外都相同，从中任意
摸出 3 个球，下列事件为必然事件的是（ ）
A．至少有 1 个球是黑球
B．至少有 1 个球是白球
C．至少有 2 个球是黑球
D．至少有 2 个球是白球
6．如图，已知DABC，下面甲、乙、丙、丁四个三角形中，与DABC全等的是（
）
A．甲
B．乙
C．丙
D．丁
7．关于 x 的分式方程 m = −1的解是负数，则 m 的取值范围是
+
x 1

A．m＞﹣1
C．m≥﹣1
B．m＞﹣1 且 m≠0
D．m≥﹣1 且 m≠0
= 4，点D 为OC
8．如图，ÐAOB = 30° ，点 为射线OB 上一点，且OC
C
的中点．若
+ PD
点 为射线OA上一点，则 PC
P
的最小值为（
）
A． 2
B．
C．2 3
D．4
3
二、填空题
9．请写出一个比 2 大且比 4 小的无理数：________.
a +1
10．若分式
11．计算：
的值等于0 ，则a 的值为________．
a
m
m +1
+
=______．
2m +1 1+ 2m
1
´ 27=
12．计算：
_________.
3
a2
a + 2 + b - 4 = 0
13．若实数 a、b 满足
，则 = _______.
b
14．在一个不透明的口袋中装有 4 个红球和若干个白球，它们除颜色外其他完全相同，
通过多次摸球试验后发现，摸到红球的频率稳定在 25%附近，则口袋中白球可能有_____
个.
15．如图，在Rt△ABC
，
ÐB = 90° AB = 6，
BC
= 8 ．
AD
中，
平分ÐBAC
交
边
BC
于点 D ，则 BD
= ________．
，
=10 ÐA = ÐB = 45°，
16．如图， AB
AC = BD = 3 2 ．点 E ， F 为线段 AB 上两
= 4；② AF = BE
点．现存在以下条件：①
CE DF
=
；③ÐCEB = ÐDFA
；④
CE = DF = 5．请在以上条件中选择一个条件，使得△ACE
一定和 BDF 全等，则这
．．
个条件可以为________．（请写出所有正确的答案）

三、解答题
17．如图，在 ABC 中，ÐC = 90°
，Ð = 30° ，请你按照下面要求完成尺规作图．
B
①以点 A为圆心， AC 长为半径画弧，交 AB 于点 M ，
1
②再分别以 ， M 为圆心，大于 CM 的长为半径画弧，两弧交于点 ，
C
P
2
③连接 AP 并延长交 BC 于点 D ．
请你判断以下结论：
① AD 是 ABC 的一条角平分线；②连接CM， ACM 是等边三角形；③
S
△DAC
: S
=1: 4 ；
△ABC
④点 D 在线段 AB 的垂直平分线上；⑤ÐADB =150° ．其中正确的结论有________（只
需要写序号）．
1
2
1
3
18．计算：4
+ 3
- 8 ．
= AC Ð = 70°
， B
19．如图，在 ABC 中 ，AB
，点 D 在 BC 的延长线上，且CD = AC，
ÐD
求
的度数．
a
2
- 2a +1 æ 1
ö
÷
ø
= 2时，求代数式
的值．
20．当 a
¸
ç
-1
a
2
è a
1
4 = 1．
4
21．解方程：
2
22．已知△ACD≌△ABE ，且
交
AD 于点 F ，交CD 于点 ，AE 交 DC 于点G ．求
H
BE
证： △ACG≌△ABF
．
23．列方程解应用题
5
小华和小明两位同学同时为学校元旦联欢会制作彩旗．已知小华每小时比小明多做 面
彩旗，小华做60面彩旗与小明做50 面彩旗所用时间相等．问小华、小明每小时各做多
少面彩旗？

Rt△ABC 中，ÐB = 90°
Rt△ABC
24．如图，在
．点 D 为 BC 边上一点，线段 AD 将
= 6，求 ABC
分为两个周长相等的三角形．若CD = 2 ， BD
的面积．
8
2
2
25．我们知道，假分数可以化为带分数．例如： = 2 + = 2 ．在分式中，对于只含
3
3
3
有一个字母的分式，当分子的次数大于或等于分母的次数时，我们称之为“假分式”，
x -1
x2
当分子的次数小于分母的次数时，我们称之为“真分式”．例如：
，
这样的
x +1 x -
1
3
2x
分式就是假分式；
，
这样的分式就是真分式．类似的，假分式也可以化为
x
+1 x2 +1
带分式（即整式与真分式和的形式）．
x -1 x -1+1-1 (x +1)- 2 x +1
2
2
例如：①
=
=
=
-
=1-
；
x +1
x +1
x +1
x +1 x +1
x +1
x
2
x
2
-1+1 (x +1)(x -1)+1
1
②
=
=
= +1+
．
x
x -1
x -1
x -1
x -1
a -1
a + 2
（1）将分式
化为带分式；
2a -1
a +1
（2）若分式
a
的值为整数，求 的整数值；
2a -1
2
（3）在代数式 =
a
中，若 ， 均为整数，请写出 所有可能的取值．
a
b
b
a +1
Rt△ABC
AB = AC ÐCAB = 90°
，
26．如图，在
中，
．点 D 是射线 BA 上一点，点 E
是线段 AB 上一点，且点 D 与点 E 关于直线
对称，连接CD ，过点 E 作直线
AC
EF ^ CD ，垂足为点 ，交CB 的延长线于点G ．
F
（1）根据题意完成作图；
（2）请你写出ÐCDA
与Ð 之间的数量关系，并进行证明；
G
（3）写出线段GB ， AD 之间的数量关系，并进行证明．

参考答案
1．C
【解析】
【分析】
根据轴对称图形的定义“是指平面内，一个图形沿着一条直线折叠，直线两旁的部分能够完
全重合的图形”逐项判断即可.
【详解】
A、不是轴对称图形，此项不符题意
B、不是轴对称图形，此项不符题意
C、是轴对称图形，此项符合题意
D、不是轴对称图形，此项不符题意
故选：C.
【点睛】
本题考查了轴对称图形的定义，这是常考点，熟记定义是解题关键.
2．D
【分析】
根据无理数的定义“无限不循环小数，不能写作两整数之比”求解即可.
【详解】
22
7
22
7
=3.142857
①
，小数点后142857 是无限循环的，因此
是有理数；② 4=2 ，2
是整数；③2.15 是有限小数；④1.01001000100001
无限不循环小数，是无理数
故选：D.
【点睛】
本题考查了无理数的定义，熟记定义是解题关键.
3．D
【解析】
【分析】
根据二次根式有意义的条件列出关于x 的不等式，求出x的取值范围即可.
【详解】
由题意得，x－1≥0，解得x≥1.故选D.
【点睛】

本题主要考查二次根式有意义的条件，要使二次根式有意义，其被开方数应为非负数.
4．D
【分析】
先列出选手蒙眼描一个点的所有可能的结果，再找出所描点落在黑色区域的结果，然后利用
概率公式计算即可.
【详解】
由题意，选手蒙眼描一个点的所有可能的结果有9 种，它们每一种结果的可能性相等
其中，所描点落在黑色区域的结果有 5 种
5
则所描点落在黑色区域的概率为
9
5
即选手获得笔记本的概率为
9
故选：D.
【点睛】
本题考查了简单事件的概率计算，依据题意列出事件的所有可能的结果是解题关键.
5．A
【解析】
试题分析：一只不透明的袋子中装有4 个黑球、2 个白球，每个球除颜色外都相同，从中任
意摸出 3 个球，至少有 1 个球是黑球是必然事件；至少有 1 个球是白球、至少有 2 个球是黑
球和至少有 2 个球是白球都是随机事件．故选 A．
考点：随机事件．
6．B
【分析】
根据全等三角形的判定定理作出正确的选择即可．
【详解】
解：A、△ABC 和甲所示三角形根据 SA 无法判定它们全等，故本选项错误；
B、△ABC 和乙所示三角形根据 SAS 可判定它们全等，故本选项正确；
C、△ABC 和丙所示三角形根据 SA 无法判定它们全等，故本选项错误；
D、△ABC 和丁所示三角形根据 AA 无法判定它们全等，故本选项错误；
故选：B．
【点睛】

本题考查三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、
AAS、HL．注意：AAA、SSA 不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有
边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角．
7．B
【详解】
解：方程两边同乘（x+1），得 m=﹣x﹣1 解得 x=﹣1﹣m，
∵x＜0，且 x+1≠0，∴﹣1﹣m＜0，且﹣1﹣m+1≠0．
解得 m＞﹣1，且 m≠0．
故选 B．
8．C
【分析】
+ PD
先利用两点之间线段最短确定使得PC
和勾股定理求解即可.
【详解】
最小时点 P 的位置，再利用垂直平分线的性质
如图，作点 D 关于 OA 的对称点 ，连接CD ，交 OA 于点 Q
D
'
'
由对称性得，OA 是
'的垂直平分线
DD
则
PD PD'
=
，即 PD + PC = PD + PC
'
由两点之间线段最短得，当点 P 与点 Q 重合时， PD + PC 最小，最小值为CD
'
'
连接OD
'
= OD ,ÐAOD = ÐAOB = 30°
由对称性得，OD
'
'
\ÐDOD = ÐAOD + ÐAOB = 60°
'
'
\DDOD 是等边三角形
'
\DD = OD = OD ,ÐOD D = ÐDOD = ÐODD = 60°
'
'
'
'
'
点 为OC 的中点
D
\ DD = OD = DC
'
\ÐDCD = ÐCD D
'
'

又 ÐDCD + ÐCD D = ÐODD = 60°
'
'
'
\ÐCD D = ÐDCD = 30°
'
'
\ÐOD C = ÐOD D + ÐCD D = 60° + 30° = 90°
'
'
'
1
= OC = 2,CD = OC -OD = 2 3
则在 RtDOCD 中，OD
'
'
2
'2
'
2
+ PC 的最小值为2 3
即 PD
故选：C.
【点睛】
本题考查了点的对称性、两点之间线段最短公理、等边三角形的判定与性质、直角三角形的
+ PC
性质，利用对称性和两点之间线段最短公理确认使得PD
关键.
最小时，点 P 的位置是解题
π
9． （
5
7
或 ）
【分析】
利用完全平方数和算术平方根对无理数的大小进行估算，然后找出无理数即可
【详解】
4 < x < 16
，所以 x 的取值在
4~16
5
之间都可，故可填
设无理数为 x ，
【点睛】
本题考查估算无理数的大小，能够判断出中间数的取值范围是解题关键
-1
10．
【分析】
a +1
令
= 0，求解关于 a 的分式方程即可.
a
【详解】
a +1
= 0
由题意得，
a

去分母得，
a
(a +1) = 0
= -1
解得
或
a
= 0
a
¹ 0
因分式的分母不能为零，则a
经检验，a
故答案为：
【点睛】
= -1是原分式方程的解
-1.
本题考查了分式方程的解法，掌握解法是解题关键，需注意的是，分式方程求出解后要代入
原分式方程进行检验.
11．1.
【分析】
利用同分母分式加法法则进行计算，分母不变，分子相加.
【详解】
m + m +1 2m +1
=
=1.
解：原式=
2m +1
2m +1
【点睛】
本题考查同分母分式的加法，掌握法则正确计算是本题的解题关键．
12．3
【分析】
1
3
1
3
´ 27=
´27
，从而求解.
【详解】
1
3
´27
解：原式=
= 9 =3．
故答案为 3．
【点睛】
本题考查二次根式的乘法，掌握计算法则正确计算是本题的解题关键．
错因分析 较容易题.失分原因是化简二次根式出错.
13．1
【分析】

a2
根据绝对值和算术平方根的非负性质，列方程组求解，最后代入 即可.
b
【详解】
ìa + 2 = 0
a + 2 + b - 4 = 0，得 í
∵
，
îb - 4 = 0
ìa = -2
即： í
îb = 4
( )
-2
a
2
2
∴ =
=1.
b
4
14．12.
【解析】
【分析】
由摸到红球的频率稳定在 25%附近得出口袋中得到红色球的概率，进而求出白球个数即可．
【详解】
设白球个数为：x 个，
∵摸到红色球的频率稳定在 25%左右，
∴口袋中得到红色球的概率为 25%，
4
1
∴ = ，
4
解得：x=12，
故白球的个数为 12 个．
故答案为：12．
【点睛】
此题主要考查了利用频率估计概率，根据大量反复试验下频率稳定值即概率得出是解题关键．
15．3
【分析】
^ AC
如图（见解析），过点 D 作 DE
于点 E，先根据三角形全等的判定定理与性质得出
AB = AE, BD = DE ，然后在 RtDCDE中，利用勾股定理求解即可.
【详解】
^ AC
Ð
= 90°
于点 E，则 AED
如图，过点 D 作 DE

AD 平分ÐBAC
1
\ÐBAD = ÐEAD = ÐBAC
2
ìÐBAD = ÐEAD
ï
ÐB = ÐAED = 90°
AD = AD
DBAD DEAD
和 中，
í
在
ï
î
\DBAD @ DEAD(AAS)
\ AE = AB = 6, DE = BD
RtDABC，
6 +8 =10
2 2
在
=
AB2 BC2
+
=
AC
设
BD x
=
= x,CE = AC - AE =10 - 6 = 4,CD = BC - BD = 8 - x
则 DE
在 RtDCDE
中，
2
DE CE
2
2
+ 4 = (8- )
，即 x
+
=
CD
2
2
x 2
= 3，即 BD
= 3
解得 x
故答案为：3.
【点睛】
本题考查了三角形全等的判定定理与性质、勾股定理，通过作辅助线，构造两个全等的三角
形是解题关键.
16．②③④
【分析】
根据三角形全等的判定定理逐个判断即可.
【详解】
^ AB
DN ^ AB
，过点 D 作
①如图 1，过点 C 作CM
AC = BD = 3 2, ÐA = ÐB = 45°
\CM = AM = DN = BN = 3
CE = DF = 4

= 7, NF = DF - DN = 7
由勾股定理得：
=
-CM
ME
CE
2
2
2
2
\ AE = AM - ME = 3- 7, BF = BN + NF = 3+ 7
¹
，即 AE BF
DACE
此时，
和 DBDF
不全等
= BE
② AF
\ AF + EF = BE + EF
AE = BF
，即
ÐA = ÐB = 45°, AC = BD = 3 2
又
DACE @ DBDF
则由 SAS 定理可得，
ìÐCEB = ÐDFA
ï
ÐCEB = ÐC + ÐA
ÐDFA = ÐD + ÐB
í
③
ï
î
\ÐC +ÐA = ÐD +ÐB
ÐA = ÐB
又
\ÐC = ÐD
AC = BD = 3 2
则由 ASA定理可得，DACE @ DBDF
④由（1）知，当
CE DF
=
= 5时，
=
-CM
= 4,NF = DF - DN = 4
ME
CE
2
2
2
2
ì > , DF > BD
CE CA
此时， í
îME > AM, NF > BN
则点 E 在点 M 的右侧，点 F 在点 N 的左侧
+ BN + ME = AM + BN + NF = AB =10
又 AM
则点 E 与点 N 重合，点 F 与点 M 重合，如图 2 所示
= BF = 3+ 4 = 7
因此必有 AE
由
定理可得，DACE @ DBDF
SSS
故答案为：②③④.

【点睛】
本题考查了三角形全等的判定定理，熟记各判定定理是解题关键.
17．画图见解析；①②④.
【分析】
先按照步骤，进行尺规作图；然后根据角平分线定义、等边三角形判定定理、面积公式、垂
直平分线的性质、外角定义逐个判断即可.
【详解】
按照已给的步骤，尺规作图结果如图 1 所示：
如图，连接 PC、PM、CM、DM
= AM , PC = PM
（1）由圆的半径定义可知， AC
= AP
又 AP
\DACP @ DAMP(SSS)
\ÐCAP = ÐMAP
则
平分ÐBAC ，故①正确；
AD
（2）在DABC
Ð
= 90°,Ð = 30°
中， ACB
B
\ÐBAC =180°-Ð ACB-ÐB =180°- 90°- 30° = 60°
= AM
又 AC
\DACM
是等边三角形，故②正确；
1
ÐCAP = ÐMAP = ÐBAC = 30°
（3）由（1）、（2）可得，
2
= 2CD
则在 RtDACD
中， AD

ÐB = 30°
\ÐB = ÐMAP = ÐMAD = 30°
\BD= AD
\BC = BD+CD = AD+CD = 2CD+CD = 3CD
1
1
1
\S
\S
= AC ×CD,S
= AC × BC = AC ×3CD
2
2
2
DDAC
DABC
: S
=1: 3，故③不正确；
DDAC
DABC
（4）由（3）已证， BD
= AD
则点 D 在线段 的垂直平分线上，故④正确；
AB
（5）由（3）已证，ÐCAP = 30°，即ÐCAD = 30°
则 ÐADB = ÐCAD + ÐACB = 30° + 90° =120° ，故⑤不正确
综上，正确的结论有①②④.
【点睛】
本题考查了三角形全等的判定定理与性质、角平分线的定义、等边三角形的判定定理、垂直
平分线的性质等知识点，读懂题意，利用尺规作出图形是解题关键.
18． 3 ．
【分析】
先化简二次根式，再做二次根式的加减法即可.
【详解】
2
3
原式 = 4´
+ 3´
- 2 2
2
3
= 2 2 + 3 - 2 2
= 3 .
【点睛】
本题考查了二次根式的加减法法则，利用二次根式的性质进行化简是解题关键.

19．ÐD = 35°
．
【分析】
先利用等边对等角可得Ð = Ð
D
= 70°,ÐDAC = Ð ，再利用外角的定义求解即可.
B
ACB
【详解】
DABC
=
中， AB AC
在
\ÐACB = ÐB = 70°
DADC
AC = DC
在
中，
\ÐDAC = ÐD
DADC
DADC
的外角
在
中，ÐACB
为
\ÐDAC + ÐD = ÐACB = 70°
1
\ÐD = ÐACB = 35° .
2
【点睛】
本题考查了外角的定义、等腰三角形的性质：等边对等角，掌握理解等腰三角形的性质是解
题关键.
1
-
20．
2
【分析】
先通分去括号，再做分式的除法，最后将a 的值代入即可.
【详解】
(a -1) 1- a
2
原式 =
¸
a
2
a
(a -1)2
a
=
=
´
´
a
2
1- a
(a -1)2
a
a
2
-(a -1)
a -1
= -
a
a -1
2 -1
1
= - .
2
将 a
= 2代入得，原式= -
= -
a
2
【点睛】
本题考查了分式的减法、除法法则，熟记运算法则是解题关键.
21．．
【解析】

试题分析：去分母，把分式方程化为整式方程．注意要验根．
试题解析：去分母，得 + 2 − 4 = 2 − 4，移项、整理得 2 − − 2 = 0，经检验： = 2是
1
增根，舍去； = −1是原方程的根，所以，原方程的根是 = −1．
2
考点：解分式方程．
22．见解析.
【分析】
= AB,ÐC = ÐB,ÐDAC = ÐEAB
先利用全等三角形的性质可得 AC
，再利用三角形全等
的判定定理即可得证.
【详解】
DACD @ DABE
\ AC = AB,ÐC = ÐB,ÐDAC = ÐEAB
\ÐDAC - ÐDAE = ÐEAB - ÐDAE
\ ÐEAC = ÐDAB ，即ÐGAC = ÐFAB
ìÐ = Ð
C
B
ï
DACG
=
DABF
íAC AB
在
和
中，
ï
ÐGAC = ÐFAB
î
\DACG @ DABF(ASA)
【点睛】
本题考查了三角形全等的判定定理与性质，熟记判定定理与性质是解题关键.
23．小华每小时做30 面彩旗，小明每小时做25面彩旗．
【分析】
(x + 5)
x
设小明每小时做 面彩旗，从而可得小华每小时做
面彩旗，再根据“小华做60 面彩
旗与小明做50 面彩旗所用时间相等”建立方程求解即可.
【详解】
(x + 5)
x
设小明每小时做 面彩旗，则小华每小时做
面彩旗
60
50
由题意得
=
x + 5 x
60x = 50(x + 5)
10x = 250

x = 25
经检验， x
= 25为原方程的解
则 + 5 = 25+ 5 = 30
x
答：小华每小时做30 面彩旗，小明每小时做25面彩旗.
【点睛】
本题考查了分式方程的实际应用，依据题意正确列出方程是解题关键.
24．S=24.
【分析】
= x
D D D
，根据 ACD和 ADB的周长求出 AC 的长，然后在 Rt ABC中，利用勾股定
设 AB
理列出等式求解即可.
【详解】
DACD D
根据题意可知，
与 ADB的周长相等
\ AC + CD + AD = AD + BD + AB
\ AC + CD = BD + AB
= x
设 AB
CD = 2, BD = 6
\ AC + 2 = 6 + x,BC = CD + BD = 8
\AC = 4+ x
在 RtDABC
中， AB + BC = AC
2
2
2
\ x + 8 = (x + 4)
2 ，即 + 64 =16 + + 8
x2 x2
2
2
x
\x = 6，即 AB = 6
1
1
\S
= AB× BC = ´6´8 = 24
2
2
DABC
故
DABC的面积为 24.
【点睛】
本题考查了勾股定理，依据题意求出
的长是解题关键.
AB
3
-2
-4；（3） a = 0
= -2
或 a ．
25．（1）1-
；（2）a 的可能整数值为0 ， ， ，
2
a + 2
【分析】
（1）根据假分式、真分式的定义，参考例题化简即可；

2a -1
a +1
（2）先将分式
化为带分式，再根据整数的性质求解即可；
2a2-1
（3）先将代数式 =
化为带分式，再根据整数的性质求解即可.
a +1
b
【详解】
a -1 a -1+ 2 - 2 (a + 2) - 3
3
（1）
=
=
=1-
；
a + 2
a + 2
a + 2
a + 2
2a -1 2(a +1)- 3
3
（2）
=
=
2 -
a +1
2a -1
a +1
a +1
3
当
为整数时，
也为整数
a +1
+1
a
则整数a
+1为3的因数，即a +1可取得的整数值为 ，
±1 ±3
0 -
故 的可能整数值为 ， ， ，
2
-4；
a
2
2a -1 2(a -1) +1 2(a +1)(a -1) +1
1
2
2
（3） =
=
=
= 2(a -1)+
b
a +1
a +1
a +1
a +1
1
当 a ， 均为整数时，必有
为整数
b
a +1
+1
则整数a
为1 的因数，即 +1= ±1
a
= 0
= -2
.
故 a
或 a
【点睛】
本题考查了新定义下的分式化简，理解新定义，分式的化简方法及整数的性质是解题关键.
26．（1）如图见解析；（2）ÐCDA - ÐG = 45° ．证明见解析；（3）GB = 2AD ．证明见解
析.
【分析】
（1）根据对称性可知 DA
= AE
，由此可画出点 E；再利用三角板画
EF
^ CD
，并延长 FE、
CB，两者的交点即为点 G；
（2）先利用直角三角形的性质求出ÐCBA= 45°
，再根据外角定义和直角三角形两锐角互
余的性质即可得出答案；
^ AB
（3）如图（见解析），连接CE，过点 作GH
G
，垂足为点 ，再利用对称性和直
H
角三角形两锐角互余的性质得出ÐDCA = ÐFED = ÐHEG ，再利用三角形全等的判定定理与
RtDBHG
性质可得
【详解】
AD HG
=
，然后在
中，得出GB
=
2HG ，从而可得出答案.
（1）对称性可知 DA
= AE
，由此可画出点 E；再利用三角板画
EF
^ CD
，并延长 FE、
CB，两者的交点即为点 G，作图结果如下所示：

（2）ÐCDA - Ð = 45° ，证明过程如下：
G
= AC,ÐCAB = 90°
∵在
RtDABC中， AB
\ÐCBA = 45°
ÐCBA DBEG
为
又
的外角
\ÐG + ÐBEG = ÐCBA = 45°①
RtDDEF
在
中，ÐCDA + ÐFED = 90°②
ÐBEG = ÐFED
②-①
由
得ÐCDA- Ð = 45°；
G
（3）GB = 2AD ，证明过程如下：
^ AB
如图，连接CE，过点 作GH
G
，垂足为点
H
∵点 与点 关于直线
D E
对称
AC
\CD = CE, DA = AE
设 ÐDCA = ÐECA = a
RtDABC中，ÐACB 45
= ° ，则Ð
= ÐACB + ÐDCA = 45° + a
在
在
GCF
RtDCFG
ÐCGF = 90° - ÐGCF = 90° - (45° +a) = 45° -a
中，
又 ÐECB = ÐACB - ÐECA = 45° -a
\ÐCGF = ÐECB
\EG = CE = CD
ÐHEG = ÐFED,ÐFED + ÐADC = 90°,ÐDCA + ÐADC = 90°
\ÐDCA = ÐFED = ÐHEG

ìÐ
DAC
= ÐGHE
= 90°
ï
DCDA D
ÐDCA = ÐGEH
在
与 EGH 中， í
ï
CD = EG
î
\DCDA @ DEGH(AAS)
\ AD = HG
RtDBHG
中， GBH = ÐABC = 45°
Ð
又∵在
\GB = 2HG
\GB = 2AD
.
【点睛】
本题考查了点的对称性、直角三角形的性质、等腰三角形的性质、三角形全等的判定定理与
性质等知识点，通过作辅助线，构造两个全等三角形是解题关键.

（2）ÐCDA - Ð = 45° ，证明过程如下：
G
= AC,ÐCAB = 90°
∵在
RtDABC中， AB
\ÐCBA = 45°
ÐCBA DBEG
为
又
的外角
\ÐG + ÐBEG = ÐCBA = 45°①
RtDDEF
在
中，ÐCDA + ÐFED = 90°②
ÐBEG = ÐFED
②-①
由
得ÐCDA- Ð = 45°；
G
（3）GB = 2AD ，证明过程如下：
^ AB
如图，连接CE，过点 作GH
G
，垂足为点
H
∵点 与点 关于直线
D E
对称
AC
\CD = CE, DA = AE
设 ÐDCA = ÐECA = a
RtDABC中，ÐACB 45
= ° ，则Ð
= ÐACB + ÐDCA = 45° + a
在
在
GCF
RtDCFG
ÐCGF = 90° - ÐGCF = 90° - (45° +a) = 45° -a
中，
又 ÐECB = ÐACB - ÐECA = 45° -a
\ÐCGF = ÐECB
\EG = CE = CD
ÐHEG = ÐFED,ÐFED + ÐADC = 90°,ÐDCA + ÐADC = 90°
\ÐDCA = ÐFED = ÐHEG

ìÐ
DAC
= ÐGHE
= 90°
ï
DCDA D
ÐDCA = ÐGEH
在
与 EGH 中， í
ï
CD = EG
î
\DCDA @ DEGH(AAS)
\ AD = HG
RtDBHG
中， GBH = ÐABC = 45°
Ð
又∵在
\GB = 2HG
\GB = 2AD
.
【点睛】
本题考查了点的对称性、直角三角形的性质、等腰三角形的性质、三角形全等的判定定理与
性质等知识点，通过作辅助线，构造两个全等三角形是解题关键.