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数学物理方程与特殊函数邓 志 亮Email:电子科技大学 数学科学学院邓志亮(电子科技大学)Partial Differential Equations1/258目录1.Introduction2.Chapter 22.1 Wave equation2.2 Heat conduction equation2.3 The steady state equation2.4 Equation reduction and classification2.5 The theory for second-order linear PDE3.Method of separation of variables3.1 Free vibration of the bounded string3.2 Heat conduction on finite pole3.3 The boundary value problem of Laplace equation on adisk in R23.4 The method to solve nonhomogeneous equation3.5 boundary conditions4.Traveling wave4.1 d Alembert formula for wave equation with dimension 14.2 The vibration problem for semi-unbounded string5.Integral transform5.1 Fourier transform5.2 Fourier transform5.3 The application of Fourier transform6.Green function6.1 The boundary value problems for Laplace equation andPoisson equation6.2 Green formula and harmonic function6.3 Green function邓志亮(电子科技大学)Partial Differential Equations2/2581.Introduction2.Chapter 23.Method of separation of variables4.Traveling wave5.Integral transform6.Green function邓志亮(电子科技大学)Partial Differential Equations3/258绪论第一章绪论参考文献1.梁昆淼，数学物理方法，人民教育出版社，19982.沈施，数学物理方法，同济大学出版社，20023.姚瑞正，梁家宝，数学物理方法，武汉大学出版社，19924.谢鸿证，杨枫林，数学物理方程，科学出版社，2001邓志亮(电子科技大学)Partial Differential Equations3/258绪论参考文献5.南京工学院数学教研组，数学物理方程与特殊函数，人民教育出版社，19836.孙振绮，数学物理方程，机械工业出版社，20047.胡嗣柱，倪光炯，数学物理方法，复旦大学出版社，19898.姜尚礼，陈亚浙，数学物理方程讲义，高等教育出版社，1996邓志亮(电子科技大学)Partial Differential Equations4/258绪论参考文献9.F.W.拜伦，R.W.富勒，物理中的数学方法，科学出版社，198210.陈恕行，洪家兴，偏微分方程近代方法，复旦大学出版社，198911.王元明，管平，线性偏微分方程引论，东南大学出版社，2002邓志亮(电子科技大学)Partial Differential Equations5/258绪论8 课程的背景8 课程的基本要求8 常微分方程8 积分方程8 积分公式8 常用算子邓志亮(电子科技大学)Partial Differential Equations6/258绪论5 物理、力学、电磁学、自动化工程、生物工程等领域中,需要研究某物理量和其它物理量之间的变化关系。这种关系在数学上称为函数关系。5 例如,在弹道设计中求导弹飞行过程中某时刻的飞行路程()、飞行高度()、速度()。5 物理学中的定律，往往只给出这些函数和它们的各阶导数与自变量的关系。邓志亮(电子科技大学)Partial Differential Equations7/258绪论5 物理、力学、电磁学、自动化工程、生物工程等领域中,需要研究某物理量和其它物理量之间的变化关系。这种关系在数学上称为函数关系。5 例如,在弹道设计中求导弹飞行过程中某时刻的飞行路程()、飞行高度()、速度()。5 物理学中的定律，往往只给出这些函数和它们的各阶导数与自变量的关系。邓志亮(电子科技大学)Partial Differential Equations7/258绪论5 物理、力学、电磁学、自动化工程、生物工程等领域中,需要研究某物理量和其它物理量之间的变化关系。这种关系在数学上称为函数关系。5 例如,在弹道设计中求导弹飞行过程中某时刻的飞行路程()、飞行高度()、速度()。5 物理学中的定律，往往只给出这些函数和它们的各阶导数与自变量的关系。邓志亮(电子科技大学)Partial Differential Equations7/258绪论5 物理、力学、电磁学、自动化工程、生物工程等领域中,需要研究某物理量和其它物理量之间的变化关系。这种关系在数学上称为函数关系。5 例如,在弹道设计中求导弹飞行过程中某时刻的飞行路程()、飞行高度()、速度()。5 物理学中的定律，往往只给出这些函数和它们的各阶导数与自变量的关系。邓志亮(电子科技大学)Partial Differential Equations7/258绪论牛顿第二定律:=物体加速度;合外力;物体质量Hooke定律:=弹簧的弹力;弹簧的弹性系数;弹簧的伸长Fourier热传导定律:=热量;温度;热导率5 如果微分方程中涉及单因素(一个自变量）,这种方程称为常微分方程(ODE)；如果微分方程涉及多因素(多个自变量),这时方程中出现的导数是偏导数,相应的方程称为偏微分方程(PDE)。邓志亮(电子科技大学)Partial Differential Equations8/258绪论牛顿第二定律:=物体加速度;合外力;物体质量Hooke定律:=弹簧的弹力;弹簧的弹性系数;弹簧的伸长Fourier热传导定律:=热量;温度;热导率5 如果微分方程中涉及单因素(一个自变量）,这种方程称为常微分方程(ODE)；如果微分方程涉及多因素(多个自变量),这时方程中出现的导数是偏导数,相应的方程称为偏微分方程(PDE)。邓志亮(电子科技大学)Partial Differential Equations8/258绪论牛顿第二定律:=物体加速度;合外力;物体质量Hooke定律:=弹簧的弹力;弹簧的弹性系数;弹簧的伸长Fourier热传导定律:=热量;温度;热导率5 如果微分方程中涉及单因素(一个自变量）,这种方程称为常微分方程(ODE)；如果微分方程涉及多因素(多个自变量),这时方程中出现的导数是偏导数,相应的方程称为偏微分方程(PDE)。邓志亮(电子科技大学)Partial Differential Equations8/258绪论牛顿第二定律:=物体加速度;合外力;物体质量Hooke定律:=弹簧的弹力;弹簧的弹性系数;弹簧的伸长Fourier热传导定律:=热量;温度;热导率5 如果微分方程中涉及单因素(一个自变量）,这种方程称为常微分方程(ODE)；如果微分方程涉及多因素(多个自变量),这时方程中出现的导数是偏导数,相应的方程称为偏微分方程(PDE)。邓志亮(电子科技大学)Partial Differential Equations8/258绪论例如:22+sin=0,(单摆:=()邓志亮(电子科技大学)Partial Differential Equations9/258绪论22=222,(弦振动:=(,)邓志亮(电子科技大学)Partial Differential Equations10/258绪论邓志亮(电子科技大学)Partial Differential Equations11/258绪论对于阶常微分方程的解，通解中带有个任意常数，例如一阶常微分方程=()=0()+对PDE(Partial Differential Equations)2=(,)解可表示为(,)=00(,)+()+()邓志亮(电子科技大学)Partial Differential Equations12/258绪论对于阶常微分方程的解，通解中带有个任意常数，例如一阶常微分方程=()=0()+对PDE(Partial Differential Equations)2=(,)解可表示为(,)=00(,)+()+()邓志亮(电子科技大学)Partial Differential Equations12/258绪论对于阶常微分方程的解，通解中带有个任意常数，例如一阶常微分方程=()=0()+对PDE(Partial Differential Equations)2=(,)解可表示为(,)=00(,)+()+()邓志亮(电子科技大学)Partial Differential Equations12/258绪论对于阶常微分方程的解，通解中带有个任意常数，例如一阶常微分方程=()=0()+对PDE(Partial Differential Equations)2=(,)解可表示为(,)=00(,)+()+()邓志亮(电子科技大学)Partial Differential Equations12/258绪论由于多数偏微分方程是从物理问题中导出的,所以称为数学物理方程。我们主要讨论的物理过程分为三类：振动与波=2Vibrate and wave输运过程=2Transport稳定过程+=0Steady state邓志亮(电子科技大学)Partial Differential Equations13/258绪论由于多数偏微分方程是从物理问题中导出的,所以称为数学物理方程。我们主要讨论的物理过程分为三类：振动与波=2Vibrate and wave输运过程=2Transport稳定过程+=0Steady state邓志亮(电子科技大学)Partial Differential Equations13/258绪论由于多数偏微分方程是从物理问题中导出的,所以称为数学物理方程。我们主要讨论的物理过程分为三类：振动与波=2Vibrate and wave输运过程=2Transport稳定过程+=0Steady state邓志亮(电子科技大学)Partial Differential Equations13/258绪论由于多数偏微分方程是从物理问题中导出的,所以称为数学物理方程。我们主要讨论的物理过程分为三类：振动与波=2Vibrate and wave输运过程=2Transport稳定过程+=0Steady state邓志亮(电子科技大学)Partial Differential Equations13/258绪论由于多数偏微分方程是从物理问题中导出的,所以称为数学物理方程。我们主要讨论的物理过程分为三类：振动与波=2Vibrate and wave输运过程=2Transport稳定过程+=0Steady state邓志亮(电子科技大学)Partial Differential Equations13/258绪论课程基本要求?理解数学物理方程中出现的基本概念?掌握基本理论和基本方法?了解数理方程的来源与有关概念的物理解释?通过习题对定解问题解法进行必要的训练?掌握二阶偏微分方程几种主要的求解方法邓志亮(电子科技大学)Partial Differential Equations14/258绪论常微分方程(ODE)1.可分离变量的一阶微分方程()=()()=()2.齐次方程基本形式为=()(:=)3.一阶线性微分方程基本形式为邓志亮(电子科技大学)Partial Differential Equations15/258绪论+()=()()4.贝努里(Bernoulli)方程+()=()(=0,1)(=1)5.可降阶的二阶微分方程=(,)()=)=(,)()=)邓志亮(电子科技大学)Partial Differential Equations16/258绪论6.线性微分方程()+1()(1)+2()(2)+1()+()=()()+1()(1)+2()(2)+1()+()=0常系数线性齐次微分方程的特征方程为+11+22+1+=0则阶常系数线性齐次微分方程的通解分为如下几种情况：特征方程有个不同的实根1,2,则=1邓志亮(电子科技大学)Partial Differential Equations17/258绪论特征方程有个不同的实根1,2,其重数分别为1,2,=1=,则=1()0+()1+()11)特征方程有个不同的复根1,2,(=+),其重数分别为1,2,=1=,则=1()0+()1+()11)sin+=1()0+()1+()11)cos邓志亮(电子科技大学)Partial Differential Equations18/258绪论7.二阶常系数非齐次线性微分方程的特解+=()0=()0,其中是与同次的多项式,而按0不是相应特征方程的根、是特征方程的单根或是特征方程的重根依次取为0,1,2.邓志亮(电子科技大学)Partial Differential Equations19/258绪论8.欧拉（Euler）方程()+11(1)+1+=()解法是引入自变量=,方程变为=0(1)(+1)=()其中为微分算子符号=.此时方程变为常系数非齐次线性微分方程.邓志亮(电子科技大学)Partial Differential Equations20/258绪论9.贝塞尔（Bessel）方程2+(2 2)=0,(阶Bessel方程)它一个的特解为阶第一类Bessel函数()=0(1)!(+)!(2)+2邓志亮(电子科技大学)Partial Differential Equations21/258绪论邓志亮(电子科技大学)Partial Differential Equations22/258绪论10.勒让德（Legendre）方程(1 2)2+(+1)=0,1,111.Sturm-Liouville方程()()+()()()=0,邓志亮(电子科技大学)Partial Differential Equations23/258绪论?格林(Green)公式(,)+(,)=(,)(,)?斯托克斯(Stokes)公式(,)+(,)+(,)=邓志亮(电子科技大学)Partial Differential Equations24/258绪论?高斯(Gauss)公式(,)+(,)+(,)=+邓志亮(电子科技大学)Partial Differential Equations25/258绪论()=()O=,M=22+22+22 =O=O =O O2=O O=M O()=O+O邓志亮(电子科技大学)Partial Differential Equations26/258绪论有了这些算子记号,Green,Gauss和Stokes公式可以有更简单的表达式：The well-known divergence theorem in R =(1.1)若在(1.1)中取 =O,则O=O ,i.e.,(1.2)M =O =(1.3)邓志亮(电子科技大学)Partial Differential Equations27/258绪论若在(1.1)中取 =O,则得Green第一等式 M +O O=(1.4)在(1.4)中交换,并将所得式与原式相减即得Green第二等式(M M)=()(1.5)Stokes公式 =(O )(1.6)邓志亮(电子科技大学)Partial Differential Equations28/258绪论1.函数()=+01,0.主要性质：1(+1)=(),()(1 )=sin(),(2)=22112()(+12)2(1)=1,(+1)=!,(12)=3()=,0,Z邓志亮(电子科技大学)Partial Differential Equations29/258绪论2.Beta函数(,)=101(1 )1,0,0.主要性质：1(,)=(,)2(,)=()()(+)邓志亮(电子科技大学)Partial Differential Equations30/258绪论3.误差函数误差函数：erf()=202余误差函数：erfc()=1 erf()=22主要性质：erf()=2=0(1)2+1!(2+1)邓志亮(电子科技大学)Partial Differential Equations31/258绪论(a)邓志亮(电子科技大学)Partial Differential Equations32/258绪论(b)邓志亮(电子科技大学)Partial Differential Equations33/258绪论(c)邓志亮(电子科技大学)Partial Differential Equations34/258绪论(d)邓志亮(电子科技大学)Partial Differential Equations35/2581.Introduction2.Chapter 22.1 Wave equation2.2 Heat conduction equation2.3 The steady state equation2.4 Equation reduction and classification2.5 The theory for second-order linear PDE3.Method of separation of variables4.Traveling wave邓志亮(电子科技大学)Partial Differential Equations35/2585.Integral transform6.Green function邓志亮(电子科技大学)Partial Differential Equations36/258定解问题与偏微分方程理论第二章偏微分方程定解问题S1 波动方程及定解条件1.动量守恒与弦振动方程弦振动方程是在18世纪由d Alembert 等人首先给予系统研究的。它是双曲型偏微分方程的典型代表。下面从物理问题导出弦振动方程。物理模型：给定一根两端固定的拉紧的均匀柔软弦，长为，在外力作用下在平衡位置附近作微小横振动，求弦上各点的运动规律。邓志亮(电子科技大学)Partial Differential Equations36/258定解问题与偏微分方程理论第二章偏微分方程定解问题S1 波动方程及定解条件1.动量守恒与弦振动方程弦振动方程是在18世纪由d Alembert 等人首先给予系统研究的。它是双曲型偏微分方程的典型代表。下面从物理问题导出弦振动方程。物理模型：给定一根两端固定的拉紧的均匀柔软弦，长为，在外力作用下在平衡位置附近作微小横振动，求弦上各点的运动规律。邓志亮(电子科技大学)Partial Differential Equations36/258定解问题与偏微分方程理论基本假设：弦是均匀的，直径相对于长度可以忽略，从而可将其看作一根线密度为的细线；弦在某一平面内作微小振动，即弦的位置始终在一直线段附近，而弦上各点均在同一平面内垂直于该直线的方向上作微小振动；弦是柔软的，形变时不抵抗弯曲，弦上各质点的张力方向与弦的切线方向一致，而弦的伸长形变与张力满足Hooke 定律。邓志亮(电子科技大学)Partial Differential Equations37/258定解问题与偏微分方程理论基本假设：弦是均匀的，直径相对于长度可以忽略，从而可将其看作一根线密度为的细线；弦在某一平面内作微小振动，即弦的位置始终在一直线段附近，而弦上各点均在同一平面内垂直于该直线的方向上作微小振动；弦是柔软的，形变时不抵抗弯曲，弦上各质点的张力方向与弦的切线方向一致，而弦的伸长形变与张力满足Hooke 定律。邓志亮(电子科技大学)Partial Differential Equations37/258定解问题与偏微分方程理论基本假设：弦是均匀的，直径相对于长度可以忽略，从而可将其看作一根线密度为的细线；弦在某一平面内作微小振动，即弦的位置始终在一直线段附近，而弦上各点均在同一平面内垂直于该直线的方向上作微小振动；弦是柔软的，形变时不抵抗弯曲，弦上各质点的张力方向与弦的切线方向一致，而弦的伸长形变与张力满足Hooke 定律。邓志亮(电子科技大学)Partial Differential Equations37/258定解问题与偏微分方程理论基本假设：弦是均匀的，直径相对于长度可以忽略，从而可将其看作一根线密度为的细线；弦在某一平面内作微小振动，即弦的位置始终在一直线段附近，而弦上各点均在同一平面内垂直于该直线的方向上作微小振动；弦是柔软的，形变时不抵抗弯曲，弦上各质点的张力方向与弦的切线方向一致，而弦的伸长形变与张力满足Hooke 定律。邓志亮(电子科技大学)Partial Differential Equations37/258定解问题与偏微分方程理论在上述假设下导出波动方程。先讨论不受外力作用时弦振动的情况。Newton 第二定律知：=从而在每段时间内作用在物体上的冲量=该物体的动量变化。邓志亮(电子科技大学)Partial Differential Equations38/258定解问题与偏微分方程理论在上述假设下导出波动方程。先讨论不受外力作用时弦振动的情况。Newton 第二定律知：=从而在每段时间内作用在物体上的冲量=该物体的动量变化。邓志亮(电子科技大学)Partial Differential Equations38/258定解问题与偏微分方程理论考察片段,+，用(,)表示点处时刻垂直于轴方向的位移。当固定时，(,)表示弦在时刻所处的位置。片段,+的弧长为=+1+()2,(2.1)()2 1可以忽略不计，于是+=.(2.2)这样可以认为弦在振动过程中并未伸长，因此由Hooke定律知，弦上每一点所受张力在运动过程中保持不变，即张力与时间无关。邓志亮(电子科技大学)Partial Differential Equations39/258定解问题与偏微分方程理论假定在处的张力为T()，它表示在点处弦左边部分对右边部分的张力与右边部分对左边部分的张力大小均为()。由基本假设知，T()的方向总是沿着弦在处的切线方向。于是在弦段,+两端所受的张力分别为()cos,()sin(2.3)及(+)cos,(+)sin.(2.4)由于弦只在垂直方向作振动，水平方向合力为零，即(+)cos ()cos=0.(2.5)邓志亮(电子科技大学)Partial Differential Equations40/258定解问题与偏微分方程理论由于弦只在平衡位置作微小振动，所以cos=11+(,)2 1,cos=11+(+,)2 1,于是(2.5)变为(+)()=0.(2.6)故(+)=()=，即是常数。邓志亮(电子科技大学)Partial Differential Equations41/258定解问题与偏微分方程理论另外由基本假设知sin tan=(,),sin tan=(+,),所以张力在垂直于轴方向的合力为 sin sin (+,)(,),(2.7)从而在时间段(,+)中该合力产生的冲量为+(+,)(,).(2.8)邓志亮(电子科技大学)Partial Differential Equations42/258定解问题与偏微分方程理论另一方面，在时刻弦段(,+)的动量为+(,),(2.9)在时刻+该弦段的动量为+(,+),(2.10)所以从时刻到时刻+动量的增加量为+(,+)(,).(2.11)邓志亮(电子科技大学)Partial Differential Equations43/258定解问题与偏微分方程理论在时间段(,+)内的冲量等于动量的增加，故+(+,)(,)=+(,+)(,)(2.12)从而+2(,)2 2(,)2=0.(2.13)由,的任意性，(2.13)中的被积函数必须为零，从而2(,)2 2(,)2=0.(2.14)邓志亮(电子科技大学)Partial Differential Equations44/258定解问题与偏微分方程理论记:=2，即得不受外力作用时弦振动所满足的方程2(,)2 22(,)2=0.(2.15)当存在外力作用时，若在点处外力线密度为(,)，其方向垂直于轴，则小弦段(,+)上所受外力为+(,),(2.16)它在时间段(,+)中所产生的冲量为+(,).(2.17)于是在方程(2.12)的左侧应添上该项即得邓志亮(电子科技大学)Partial Differential Equations45/258定解问题与偏微分方程理论+2(,)2 2(,)2+(,)=0.(2.18)由,的任意性知2(,)2 2(,)2=(,)(2.19)或2(,)2 22(,)2=(,),(2.20)其中(,)=(,)表示单位质量在处所受的外力。邓志亮(电子科技大学)Partial Differential Equations46/258定解问题与偏微分方程理论?弦振动方程只含有两个自变量,，它描述的是弦的振动或波动现象，因而又称为一维波动方程。类似地可导出二维波动方程（例如薄膜振动）和三维波动方程（例如电磁波、声波的传播），它们的形式分别为2(,)2=2(2(,)2+2(,)2)+(,),2(,)2=2(2(,)2+2(,)2+2(,)2)+(,).邓志亮(电子科技大学)Partial Differential Equations47/258定解问题与偏微分方程理论一根弦线的特定振动状态还依赖于初始时刻弦线的状态和通过弦线两端所受到的外界影响。因此为了确定一个具体的弦振动，除了列出方程以外还要写出它适合的初始条件和边界条件。初始条件 即必须给出弦上各点在初始时刻=0的位移和速度。(,0)=(),(0 );(,0)=(),(0 ).(2.21)其中(),()为已知函数。邓志亮(电子科技大学)Partial Differential Equations48/258定解问题与偏微分方程理论一根弦线的特定振动状态还依赖于初始时刻弦线的状态和通过弦线两端所受到的外界影响。因此为了确定一个具体的弦振动，除了列出方程以外还要写出它适合的初始条件和边界条件。初始条件 即必须给出弦上各点在初始时刻=0的位移和速度。(,0)=(),(0 );(,0)=(),(0 ).(2.21)其中(),()为已知函数。邓志亮(电子科技大学)Partial Differential Equations48/258定解问题与偏微分方程理论边界条件1.已知端点的位移变化，即(0,)=1(),(,)=2(),(0),(2.22)特别当1()=2()=0时，称弦线具有固定端。2.已知弦线端点所受的垂直于弦线的外力作用，即|=0=1(),|=2(),(0).(2.23)特别当1()=2()=0时，称为弦线具有自由端。邓志亮(电子科技大学)Partial Differential Equations49/258定解问题与偏微分方程理论边界条件1.已知端点的位移变化，即(0,)=1(),(,)=2(),(0),(2.22)特别当1()=2()=0时，称弦线具有固定端。2.已知弦线端点所受的垂直于弦线的外力作用，即|=0=1(),|=2(),(0).(2.23)特别当1()=2()=0时，称为弦线具有自由端。邓志亮(电子科技大学)Partial Differential Equations49/258定解问题与偏微分方程理论3.已知端点的位移与所受外力的一个线性组合|=0+1(0,)=1(),|=+2(,)=2(),(0),(2.24)(0,=1,2)，特别当1()=2()=0时，表示弦两端固定在弹性支架上，(=1,2)表示支承的弹性系数。事实上，以左端点为例，弦对弹性支承的力为|=0，而弹性支承的伸长为(0,)，由Hooke定律知|=0=1(0,)。通常将初始条件和边界条件统称为定解条件。一个偏微分方程连同它相应的定解条件组成一个定解问题。邓志亮(电子科技大学)Partial Differential Equations50/258定解问题与偏微分方程理论在区域0 ,0上由方程(2.20)、初始条件(2.21)以及边界条件(2.22)-(2.24)中任意一个组成的定解问题称为弦振动方程的混合问题。如果弦上某段，在所考虑的时间内，弦线的端点的影响可以忽略不计，则可认为弦长是无穷的，这样可以不考虑边界条件。我们将在区域 ,0 上，由方程(2.20)和初始条件(2.21)组成的定解问题称为弦振动方程的初值问题（或Cauchy问题)。邓志亮(电子科技大学)Partial Differential Equations51/258定解问题与偏微分方程理论Example 2.1长为两段固定的弦,将它的中点拉开距离,然后任其作自由振动,试建立它的初始条件.解:=0时各点的位移由图中折线确定,因此|=0=2,0 0,双曲型=0,抛物型 0,两族实特征曲线M=0,一族实特征曲线M 0,特征曲线1(,)=1,2(,)=2,取变换=1(,)=2(,)于是 11=22=0,从而=12 12(1+2+)(2.46)取变换=+=+=1(2.47)邓志亮(电子科技大学)Partial Differential Equations80/258定解问题与偏微分方程理论2.=0,从而11与22同号,且12=1122,于是特征方程化为=1211=2211,其积分曲线为(,)=,取=(,),可得 11=12=0,若取变换=(,),=(,),其中(,)是与(,)线性无关的任意函数,于是方程转化为=1 22(+1)(2.48)邓志亮(电子科技大学)Partial Differential Equations81/258定解问题与偏微分方程理论3.|=0,|=(,)的解,其中是空间变量,是参数.邓志亮(电子科技大学)Partial Differential Equations93/258定解问题与偏微分方程理论则非齐次方程Cauchy问题22=+(,),R3,|=0=0,|=0=0的解为=0(,;).(2.50)证：|=0=0显然.邓志亮(电子科技大学)Partial Differential Equations94/258定解问题与偏微分方程理论=0(,;)+(,;)|=0(,;)|=0=0.22=02(,;)2+(,;)|=0(,;)+(,)=0(,;)+(,)=+(,)邓志亮(电子科技大学)Partial Differential Equations95/258定解问题与偏微分方程理论2.设是齐次方程Cauchy问题=,R3,|=(,)的解,其中是空间变量,是参数.则=+(,),R3,0|=0=0的解为=0(,;).邓志亮(电子科技大学)Partial Differential Equations96/2581.Introduction2.Chapter 23.Method of separation of variables3.1 Free vibration of the bounded string3.2 Heat conduction on finite pole3.3 The boundary value problem of Laplace equation on adisk in R23.4 The method to solve nonhomogeneous equation3.5 boundary conditions4.Traveling wave邓志亮(电子科技大学)Partial Differential Equations96/2585.Integral transform6.Green function邓志亮(电子科技大学)Partial Differential Equations97/258分离变量法第三章分离变量法本章讨论偏微分方程定解问题的一个经典解法分离变量法.从高等数学中知,在求解多元函数的微分及重积分时总是将其转化为单元函数的相应问题求解,与此类似,求解偏微分方程的定解问题也要设法把它们转化为常微分方程问题,分离变量法就是常用的手段.邓志亮(电子科技大学)Partial Differential Equations97/258分离变量法为了说明分离变量法,选取两端固定的弦的自由振动问题为例.由上一章知,两端固定的弦的自由振动归结为求解如下定解问题.22=222,0 0(3.1)|=0=0,|=0,0(3.2)|=0=(),|=0=(),0 .(3.3)邓志亮(电子科技大学)Partial Differential Equations98/258分离变量法该定解问题的特点：偏微分方程是线性齐次的,边界条件也是齐次的.求解这类问题可以用叠加原理.在ODE中,求解线性齐次常微分方程时,是先求出足够多的特解,构成通解,再利用叠加原理作这些特解的线性组合使其满足初始条件.这启发我们寻求定解问题(3.1)、(3.2)、(3.3),先寻求齐次方程(3.1)满足边界条件(3.2)足够多的具有简单形式的特解,再利用它们的线性组合使其满足初始条件(3.3).邓志亮(电子科技大学)Partial Differential Equations99/258分离变量法这种思想还可以从物理模型中得到启示,从物理学知道乐器发出的声音可以分解成各种不同频率的单音,每种单音振动时形成正弦曲线,其振幅依赖于时间,即每个单音可表示为(,)=()sin的形式,这种形式的特点是：(,)中的变量与被分离出来.由此我们试求方程(3.1)变量分离形式的非零解(,)=()()于是有22=()(),22=()(),邓志亮(电子科技大学)Partial Differential Equations100/258分离变量法将其代入方程(3.1)得到()()=2()()或()()=()2().该式左端是的函数,右端是的函数,一般情况下二者不可能相等,除非它们均为常数.令此常数为邓志亮(电子科技大学)Partial Differential Equations101/258分离变量法则有()()=()2()=,于是得到两个常微分方程：()+2()=0,(3.4)()+()=0.(3.5)邓志亮(电子科技大学)Partial Differential Equations102/258分离变量法再利用边界条件(3.2),知(0)()=0,()()=0.但()0,因为如果()0,则(,)0,这种解称为平凡解,显然不是所要的解.于是(0)=()=0(3.6)因此即要求如下ODE边值问题()+()=0,(0)=()=0.邓志亮(电子科技大学)Partial Differential Equations103/258分离变量法求解上述ODE边值问题的同时还要确定待定常数,称之为常微分方程(3.5)在(3.6)下的特征值问题,使问题(3.5)、(3.6)有非零解的称为该问题的特征值,相应的非零解()称为它的特征函数.下面对分三种情况讨论.邓志亮(电子科技大学)Partial Differential Equations104/258分离变量法1设 0,并令=2,为非零实数.此时方程的通解为()=cos+sin,由(3.6)知=0,sin=0.邓志亮(电子科技大学)Partial Differential Equations106/258分离变量法由于不能等于零,所以sin=0,即=(=1,2,3,),从而=222,(3.7)于是就得到特征值问题(3.5)、(3.6)的一系列特征值及相应的特征函数：=222,(=1,2,3,),()=sin,(=1,2,3,).(3.8)邓志亮(电子科技大