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必修一期末复习
知识点一、基础集合
1.已知集合M＝{(x，y)|x＋y＝3}，N＝{(x，y)|x－y＝5}，那么集合M∩N为 （ D ）
A.x＝4，y＝－1 B.(4，－1) C.{4，－1} D.{(4，－1)}
2.满足{x|x2－3x＋2＝0}M{x∈N|0<x<6}的集合M的个数为 ( C )
A.2 B.4 C.6 D.8
3.若不等式mx2＋mnx＋n>0的解集为{x|1<x<2}，则m＋n的值为 ( D )
A. B. C.－ D.－
4．若P＝{x|x＜1}，Q＝{x|x＞－1}，则
(　　)．
A．P⊆Q B．Q⊆P
C．∁RP⊆Q D．Q⊆∁RP
答案　C
5．已知U＝{y|y＝log2x，x＞1}，P＝，则∁UP＝
(　　)．
A. B.
C．(0，＋∞) D．(－∞，0)∪
解析　∵U＝{y|y＝log2x，x＞1}＝{y|y＞0}，
P＝＝，
∴∁UP＝＝.
答案　A
6．设P，Q是两个非空集合，定义集合间的一种运算“⊙”：P⊙Q＝{x|x∈P∪Q，且x∉P∩Q}．如果P＝{y|y＝}，Q＝{y|y＝4x，x＞0}，则P⊙Q＝
(　　)．
A．[0,1]∪(4，＋∞) B．[0,1]∪(2，＋∞)
C．[1,4] D．(4，＋∞)
解析　P＝[0,2]，Q＝(1，＋∞)，
∴P∪Q＝[0，＋∞)，P∩Q＝(1,2]，
因此P⊙Q＝[0,1]∪(2，＋∞)．
答案　B

知识点二、集合（解答题）
1.设全集U＝{不超过5的正整数}，A＝{x|x2－5x＋q＝0}，B＝{x|x2＋px＋12＝0}，
(CUA)∪B＝{1，3，4，5}，求p、q和集合A、B.

2．已知集合A＝{x|2－a≤x≤2＋a}，B＝{x|x≤1或x≥4}．
(1)当a＝3时，求A∩B；
(2)若A∩B＝∅，求实数a的取值范围．
解　(1)当a＝3时，A＝{x|－1≤x≤5}，B＝{x|x≤1或x≥4}，∴A∩B＝{x|－1≤x≤1或4≤x≤5}．
(2)(ⅰ)若A＝∅，此时2－a＞2＋a，
∴a＜0，满足A∩B＝∅.
(ⅱ)当a≥0时，A＝{x|2－a≤x≤2＋a}≠∅，
∵A∩B＝∅，∴∴0≤a＜1.
综上可知，实数a的取值范围是a＜1.
知识点、对数和指数的运算/求值/比较大小
1．2log6＋3log6＝
(　　)．
A．0 B．1 C．6 D．log6
答案　B
2．(2013·淄博高一检测)已知函数f(x)＝那么f的值为
(　　)．
A．27 B. C．－27 D．－
解析　∵f(x)＝
∴f＝log2＝log22－3＝－3.
因此f＝f(－3)＝3－3＝.
答案　B
3．(2013·郑州高一检测)设2a＝5b＝m，且＋＝2，则m等于________．
解析　由2a＝5b＝m，得a＝log2m，b＝log5m，
∴＋＝logm2＋logm5＝logm10.
∵＋＝2，∴logm10＝2.∴m2＝10，即m＝.
答案　
4．已知x2＋y2＝1，x＞0，y＞0，且loga(1＋x)＝m，loga＝n，则logay等于
(　　)．
A．m＋n B．m－n
C.(m＋n) D.(m－n)
解析　由m－n＝loga(1＋x)－loga＝loga(1－x2)＝logay2＝2logay，∴logay＝(m－n)．
答案　D

5、计算：(1)＋log ；
(2)(2)0.5＋0.1－2＋－3π0＋.
解　(1)原式＝＋log()－1
＝－1＝0.
(2)原式＝－3＋
＝＋100＋－3＋＝100.
(3) －＋÷×；
(4)2(lg)2＋lg·lg5＋.
解　(1)
＝－＋25××＝－＋2＝.
(2)原式＝(lg 2)2＋lg 2(1－lg 2)＋
＝(lg 2)2＋lg 2－(lg 2)2＋1－lg 2＝1.
6、设2a=5b=m,且+=2,则m等于(　 　)
(A) (B)10 (C)20 (D)100
解析:∵2a=5b=m>0,
∴a=log2m,b=log5m.
∵+=2,
∴+=2,
∴logm2+logm5=logm10=2,
∴m2=10.
又m>0,
∴m=.
故选A.

知识点、函数值比较大小
1．(2013·沈阳高一检测)三个数70.3,0.37，ln 0.3的大小关系是
(　　)．
A．70.3＞0.37＞ln 0.3 B．70.3＞ln 0.3＞0.37
C．0.37＞70.3＞ln 0.3 D．ln 0.3＞70.3＞0.37
解析　70.3＞70＝1,0＜0.37＜0.30＝1，ln 0.3＜ln 1＝0.
故70.3＞0.37＞ln 0.3.
答案　A
2．已知f(x)是定义在R上的偶函数，且在(0，＋∞)上是增函数，设a＝f(－)，b＝f，c＝f，则a，b，c的大小关系是
(　　)．
A．a<c<b B．b<a<c
C．b<c<a D．c<b<a
解析　a＝f(－)＝f()，b＝f(log3)＝f(log32)，
c＝f.∵0<log32<1,1<<，∴>>log32.∵f(x)在(0，＋∞)上是增函数，∴a>c>b.
答案　C
3．已知a＝212，b＝－0.5，c＝2log52，则a，b，c的大小关系为
(　　)．
A．c<b<a B．c<a<b
C．b<a<c D．b<c<a
解析　∵a＝212，b＝－0.5＝，
且y＝2x在(－∞，＋∞)上是增函数，∴a>b>20＝1.
又c＝2log52＝log54<1，因此a>b>c.
答案　A

知识点、幂函数/反函数
1．已知幂函数f(x)满足f＝9，则f(x)的图象所分布的象限是
(　　)．
A．第一、二象限 B．第一、三象限
C．第一、四象限 D．只在第一象限
解析　设f(x)＝xn，则n＝9，n＝－2.
∴f(x)＝x－2，因此f(x)的图象在第一、第二象限．
答案　A
2．若f(x)＝logax(a>0且a≠1)，f(x)的反函数为g(x)，且g(2)<1，则f(x)的大致图象是
(　　)．

解析　g(x)＝ax(a>0且a≠1)，∴g(2)＝a2<1，∴0<a<1，
故f(x)＝logax是减函数，且图象过定点(1,0)，选B.
答案　B
3．已知幂函数f(x)＝，若f(a＋1)<f(10－2a)，则a的取值范围是________．
解析　f(x)＝在(0，＋∞)上是减函数，
又f(a＋1)<f(10－2a)，∴
解之得3<a<5.
答案　(3,5)
知识点、函数的图像
1．函数f(x)＝的图象如图所示，则a＋b＋c＝________.
解析　由图象可求得直线的方程为y＝2x＋2.又函数y＝logc(x＋)的图象过点(0,2)，将其坐标代入可得c＝，所以a＋b＋c＝2＋2＋＝.
答案　
2．某研究小组在一项实验中获得一组关于y，t之间的数据，将其整理得到如图所示的散点图，下列函数中，最能近似刻画y与t之间关系的是
(　　)．

A．y＝2t B．y＝2t2
C．y＝t3 D．y＝log2t
解析　由散点图观察知，函数增长的速度先快后慢，代入点(2,1)，(4,2)，(8,3)验证可知，y与t之间关系为y＝log2t，选D.
答案　D
3．函数y＝x2与函数y＝|lg x|图象的交点个数为
(　　)．
A．0 B．1
C．2 D．3
解析　在同一平面直角坐标系中分别作出y＝x2和y＝|lg x|的图象，如图，可得交点个数为1.

答案　B
4．若实数x，y满足|x|－ln＝0，则y关于x的函数的图象大致是
(　　)．

解析　把|x|－ln＝0变形得y＝|x|，
即y＝应选B.
答案　B

知识点、函数的定义域
1、函数f(x)＝＋的定义域是
(　　)．
A．[－1，＋∞) B．(－∞，0)∪(0，＋∞)
C．[－1,0)∪(0，＋∞) D．R
答案　C
2．函数f(x)＝ (x－1)＋的定义域为________．
解析　由题意得即1<x≤2，从而函数的定义域为(1,2]．
答案　(1,2]

知识点四、函数的最大小值
1、已知函数f(x)＝log2x－logx+5，x∈［2，4］，求f(x)的最大值及最小值.

2．函数y＝ax在[0,1]上的最大值与最小值的和为3，则函数y＝3ax－1在[0,1]的最大值是
(　　)．
A．6 B．1
C．5 D.
解析　由题意a0＋a1＝a＋1＝3，∴a＝2，
故函数y＝6x－1在[0,1]上的最大值为6×1－1＝5.
答案　C

知识点五、函数的值域
1．二次函数y＝x2－4x＋3在区间(1,4]上的值域是
(　　)．
A．[－1，＋∞) B．(0,3]
C．[－1,3] D．(－1,3]
解析　∵y＝(x－2)2－1，∴函数y＝x2－4x＋3在(1,2]上递减，在(2,4]上递增．∴当x＝2时，ymin＝－1.
又当x＝1时，y＝1－4＋3＝0，
当x＝4时，y＝42－16＋3＝3，
∴该函数在(1,4]上的值域为[－1,3]．
答案　C
2、已知函数f(x)是定义在R上的偶函数，当x≥0时， f(x)＝x.

(1)画出函数f(x)的图象；
(2)根据图象写出f(x)的单调区间，并写出函数的值域．
解　(1)先作出当x≥0时， f(x)＝x的图象，利用偶函数的图象关于y轴对称，再作出f(x)，x∈(－∞，0)时的图象，如图．
(2)函数f(x)的单调递增区间为(－∞，0)，单调递减区间为[0，＋∞)，值域为(0,1]．

知识点六、函数的单调性
1、已知函数f(x)＝
(1)在给定的直角坐标系内画出f(x)的图象；
(2)写出f(x)的单调递增区间与减区间．
解　(1)函数f(x)的图象如下图

(2)当x∈[－1,2]时，f(x)＝3－x2，
知f(x)在[－1,0]上递增；在[0,2]上递减，
又f(x)＝x－3在(2,5]上是增函数，
因此函数f(x)的增区间是[－1,0]和(2,5]；减区间是[0,2]．
2．下列函数在其定义域内既是奇函数，又是增函数的是
(　　)．
A．y＝ B．y＝3x
C．y＝lg|x| D．y＝
解析　用排除法．A，B是非奇非偶函数，C是偶函数，y＝是奇函数且为增函数．
答案　D
3．给定函数：① (x＋1)，③y＝|x－1|，④y＝2x＋1，其中在区间(0,1)上单调递减的函数的序号是
(　　)．
A．①② B．②③ C．③④ D．①④
解析　①函数y＝在(0，＋∞)上为增函数；②y＝x＋1)在(－1，＋∞)上为减函数，故在(0,1)上也为减函数；③y＝|x－1|在(0,1)上为减函数；④y＝2x＋1在(－∞，＋∞)上为增函数，故选B.
答案　B
4、已知函数f(x)＝－xα且f(4)＝－.
(1)求α的值；
(2)判断f(x)在(0，＋∞)上的单调性，并给予证明．
解　(1)∵f(4)＝－，∴－4α＝－，α＝1.
(2)f(x)＝－x在(0，＋∞)上是减函数．
证明如下：
设任意x1，x2∈(0，＋∞)，且x1<x2.
f(x1)－f(x2)＝－
＝(x2－x1).
∵0<x1<x2，∴x2－x1>0，＋1>0.
∴f(x1)－f(x2)>0，f(x1)>f(x2)，
故f(x)＝－x在(0，＋∞)上是减函数．

知识点七、函数的奇偶性
1．下面四个结论：
①偶函数的图象一定与y轴相交；
②奇函数的图象一定通过原点，
③偶函数的图象关于y轴对称；
④既是奇函数又是偶函数的函数是f(x)＝0.
其中正确命题的个数为(　　)．
A．1 B．2 C．3 D．4
解析　偶函数的图象关于y轴对称，但不一定与y轴相交，如y＝，故①错，③对；奇函数的图象不一定通过原点，如y＝，故②错；既奇又偶的函数除了f(x)＝0，还可以是f(x)＝0，x∈[－1,1]，④错．
答案　A
2．(2013·兰州高一检测)已知定义在R上的偶函数f(x)，当x＞0时，f(x)＝－x3＋1，则f(－2)·f(3)的值为________．
解析　∵x＞0，f(x)＝－x3＋1，
∴f(3)＝－33＋1＝－26，
f(－2)＝f(2)＝－23＋1＝－7.
∴f(－2)·f(3)＝(－26)×(－7)＝182.
答案　182
3．若f(x)＝(m－1)x2＋6mx＋2是偶函数，则f(0)，f(1)，f(－2)从小到大的顺序是________．
解析　因为f(x)是偶函数，
所以f(－x)＝f(x)恒成立，
即(m－1)x2－6mx＋2＝(m－1)x2＋6mx＋2恒成立．
所以m＝0，即f(x)＝－x2＋2.
因为f(x)的图象开口向下，对称轴为y轴，
所以f(2)<f(1)<f(0)，
即f(－2)<f(1)<f(0)．
答案　f(－2)<f(1)<f(0)
4．已知f(x)是奇函数，当x≥0时，f(x)＝ex－1(其中e为自然对数的底数)，则f＝
(　　)．
A．－1 B．1 C．3 D．－3
解析　∵ln<0，且f(x)是奇函数∴f＝－f＝－f(ln 2)＝1－eln 2＝1－2＝－1.
答案　A
5、已知函数f(x)＝loga(其中a＞0且a≠1)．
(1)求函数f(x)的定义域；
(2)判断函数f(x)的奇偶性并给出证明；
(3)若x∈时，函数f(x)的值域是[0,1]，求实数a的值．
解　(1)由条件知＞0，解得－1＜x＜1，
∴函数f(x)的定义域为(－1,1)；
(2)由(1)知函数f(x)的定义域关于原点对称．
f(－x)＝loga＝loga－1＝＋＝loga＝－f(x)，
因此f(x)是奇函数．
(3)f(x)＝loga＝loga
＝loga＝loga，
记g(x)＝1－，
则g(x)＝－1－在上单调递增，
因此当a＞1时，f(x)在上单调递增，
由f＝1，得a＝3；
当0＜a＜1时，f(x)在上单调递减，
由f(0)＝1得出矛盾，a∈∅；综上可知a＝3.

6． (2013·嘉兴高一检测)已知函数f(x)＝2x＋2ax＋b，且f(1)＝、f(2)＝.
(1)求a，b的值；
(2)判断f(x)的奇偶性并证明；
(3)先判断并证明函数f(x)在[0，＋∞)上的单调性．
解　(1)⇒⇒
(2)f(x)＝2x＋2－x，
f(x)的定义域为R，
f(－x)＝2－x＋2x＝f(x)，
所以f(x)为偶函数．
(3)函数f(x)在[0，＋∞)上是增函数，证明如下：
任取x1＜x2，且x1，x2∈[0，＋∞)，
f(x1)－f(x2)＝(2x1＋2－x1)－(2x2＋2－x2)

因为x1＜x2且x1，x2∈[0，＋∞)，
所以－＜0,2x1＋x2＞1，
所以f(x1)－f(x2)＜0，
所以f(x)在[0，＋∞)上为增函数．

知识点八、函数的应用
1．若关于x的方程x2＋mx＋1＝0有两个不相等的实数根，则实数m的取值范围是
(　　)．
　 A．(－1,1) B．(－∞，－2)∪(2，＋∞)
C．(－2,2) D．(－∞，－1)∪(1，＋∞)
答案　B
2．已知下列四个函数图象，其中能用“二分法”求出函数零点的是
(　　)．

答案　A
3．(2013·福州高一检测)已知f(x)＝2x2－2x，则在下列区间中，方程f(x)＝0一定有实数解的是
(　　)．
A．(－3，－2) B．(－1,0)
C．(2,3) D．(4,5)
解析　∵f(－1)＝2－＞0，f(0)＝0－1＜0，
∴在(－1,0)内方程f(x)＝0一定有实数解．
答案　B
4．若函数y＝ax－x－a有两个零点，则a的取值范围是
(　　)．
A．(1，＋∞) B．(0,1) C．(0，＋∞) D．∅
解析　令f(x)＝ax，g(x)＝x＋a，作出它们的图象如图所示：
当a＞1时，f(x)与g(x)的图象有两个交点，即函数y＝ax－x－a有两个零点．
答案　A
5．下列给出的四个函数f(x)的图象中能使函数y＝f(x)－1没有零点的是
(　　)．

解析　把y＝f(x)的图象向下平移一个单位后，只有C图中的图象满足y＝f(x)－1与x轴无交点．
答案　C
6．二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c(x∈R)的部分对应值如下表
x
－3
－2
－1
0
1
2
3
4
y
6
m
－4
－6
－6
－4
n
6
不求a，b，c的值，可以判断方程ax2＋bx＋c＝0的两个根所在的区间是(　　)．
A．(－3，－1)和(2,4) B．(－3，－1)和(－1,1)
C．(－1,1)和(1,2) D．(－∞，－3)和(4，＋∞)
解析　由于f(－3)＝6＞0，f(－1)＝－4＜0，f(2)＝－4＜0，f(4)＝6＞0，则f(－3)·f(－1)＜0，f(2)·f(4)＜0.故方程的两根分别在区间(－3，－1)和(2,4)内．
答案　A
7．下列函数：
①y＝x2－1；②y＝x2＋x＋1；③y＝lg(x＋2 013)；④y＝2x－1；⑤y＝lgx＋1；⑥y＝.
其中，有零点的所有函数的序号为________．
解析　令y＝0，则方程x2－1＝0，lg(x＋2 013)＝0,2x－1＝0，lgx＋1＝0的根分别为±1，－2 012,0，.而方程x2＋x＋1＝0，＝0都没有实数根，
所以函数①③④⑤有零点，②⑥没有零点．
答案　①③④⑤
10．已知函数f(x)图象是连续的，有如下表格：
x
－2
－1.5
－1
－0.5
0
0.5
1
1.5
2
f(x)
－3.51
1.02
2.37
1.56
－0.38
1.23
2.77
3.45
4.89
判断函数在哪几个区间上一定有零点．
解　因为函数的图象是连续不断的，
由对应值表可知f(－2)·f(－1.5)＜0，f(－0.5)·f(0)＜0，f(0)·f(0.5)＜0.所以函数f(x)在区间(－2，－1.5)，(－0.5,0)以及(0，0.5)内一定有零点．
11、设函数f(x)＝ax2＋(b－8)x－a－ab的两个零点分别是－3和2；
(1)求f(x)；
(2)当函数f(x)的定义域是[0,1]时，求函数f(x)的值域．
解　(1)∵f(x)的两个零点是－3和2，
∴函数图象过点(－3,0)，(2,0)，
∴有9a－3(b－8)－a－ab＝0， ①
4a＋2(b－8)－a－ab＝0. ②
①－②得b＝a＋8. ③
③代入②得4a＋2a－a－a(a＋8)＝0，即a2＋3a＝0.
∵a≠0，a＝－3，∴b＝a＋8＝5.∴f(x)＝－3x2－3x＋18.
(2)由(1)得f(x)＝－3x2－3x＋18＝－32＋＋18，图象的对称轴方程是
x＝－，又0≤x≤1，
∴f(x)min＝f(1)＝12，f(x)max＝f(0)＝18.
∴函数f(x)的值域是[12,18]．
12、定义在R上的偶函数y＝f(x)在(－∞，0]上递增，函数f(x)的一个零点为－，求满足f(x)≥0的x的取值集合．
解　∵－是函数的一个零点，∴f＝0.
∵y＝f(x)是偶函数且在(－∞，0]上递增，∴当x≤0，即x≥1时，x≥－，解得x≤2，即1≤x≤2.
由对称性可知，当x＞0时，≤x＜1.
综上所述，x的取值范围是.
13、已知函数f(x)＝loga(x＋2)－1(a＞0，且a≠1)，g(x)＝

(1)若函数y＝f(x)的图象恒过定点A，求点A的坐标；
(2)若函数F(x)＝f(x)－g(x)的图象过点，试证明函数F(x)在x∈(1,2)上有唯一零点．
解　(1)由y＝logax的图象恒过(1,0)，
∴函数y＝f(x)的图象恒过点A(－1，－1)．
(2)F(x)＝loga(x＋2)－－1的图象过点(2，)，

∴loga4－－1＝，∴a＝2.
从而F(x)＝log2(x＋2)－－1，
又y＝log2(x＋2)与y＝－－1在(－2，＋∞)上都是增函数，
∴F(x)在(－2，＋∞)上是增函数，则F(x)在(1,2)上也是增函数．
又F(2)＝－1＋2－＝＞0，F(1)＝log23－2＜0，
故函数y＝F(x)在(1,2)上有唯一零点．