高中竞赛之重要不等式.doc

高中竞赛之重要不等式
1．柯西不等式（给了两列数，或一列数，有平方和和平方）
定理1 对任意实数组恒有不等式“积和方不大于方和积”，即

等式当且仅当 时成立。本不等式称为柯西不等式。

证不等式最基本的方法是作差比较法，柯西不等式的证明也可首选此法。
　　证明1

　　 左=　∴右-左=

当且仅当 时，等式成立。

柯西不等式的两个推论：
　　ⅰ．设 同号（ ），则

　　当且仅当 时取等号。
　　ⅱ．若 ，且 ，则

（分母作和）

由柯西不等式可以证下面的不等式。3次可以推广为4、5等n次。

证明:对和
分别用柯西不等式,可得到两个不等式,将这两个不等式相乘,再用一次柯西不等式即可证明原不等式.
柯西不等式的推广：闵可夫斯基不等式
设 ， ，…， ； ， ，…， 是两组正数，且 ，则
　　 （ ）
　　 （ ）
　　当且仅当 时等号成立。
　　闵可夫斯基不等式是用某种长度度量下的三角形不等式，当 时得平面上的三角形不等式：

　　 右图给出了对上式的一个直观理解。
　　若记 ， ，则上式为

特例：

多个根式可转化为一个根式。
赫尔德不等式
　　已知 （ ）是 个正实数， ，则

上式中若令 ， ， ，则此赫尔德不等式即为柯西不等式。
2〔排序不等式，排序原理〕（给的是两列数且为对称的）
设，，则有
．
即“反序和”“乱序和”“同序和”．其中．当且仅当或时等号成立．
〔切比雪夫不等式〕
实数，满足，（，，…，）．则
．
当且仅当或时等号成立．
下面给出一个 时的契比雪夫不等式的直观理解。
　　 如图，矩形OPAQ中， ， ，显然阴影部分的矩形的面积之和不小于空白部分的矩形的面积之和，（这可沿图中线段MN向上翻折比较即知）。于是有
　　 ，也即

3 琴生不等式
〔凸函数定义〕
1．设是定义在闭区间上的函数，若对任意，和任意，有
成立，则称是上的凸函数（也称下凸函数或凹函数）．
2．设是定义在上的函数，若对任意，且和任意，有
成立，则称是上的严格凸函数．
3．设是定义在上的函数，若对任意，和任意，有
成立，则称是上的上凸函数．
凸函数的定义表明了，上(下)凸函数的两个自变量的算术平均值处的函数值不小(大)于其函数值的算术平均值．从图象上看，表明联结上(下)凸函数图形上任何两点的弦的中点恒位于图形的对应点之下(上)．见图1．
　　 图1
注意到在定义中，凸函数的条件是对区间内的任意两点x1和x2都成立，不难看出，这实际上就保证了函数在整个区间的凸性．即上凸函数图象上的任一段弧都在所对应的弦的上方；下凸函数图象上的任一段弧都在所对应的弦的下方．并且由此形成的弓形是凸的区域．正因为这种函数的图象具有这种特点，所以我们才把它形象地名之曰：凸函数．
　　在初等数学里，关于函数的凸性，可根据图象来判断．例如，读者不难根据图象可以得出：
　　幂函数y=xa．当a＞1或a＜0时，是(0，∞)上的下凸函数；当0＜a＜1时，是(0，∞)上的上凸函数．
　　指数函数y=ax(a＞0，a≠1)．是(-∞，∞)上的下凸函数．
　　对数函数y=logcx(a≠1)．当a ＞1时，是(0，∞) 上的上凸函数；当0＜a＜1时，是(0，∞)上的下凸函数．
　　三角函数y=sinx是[0，π]上的上凸函数，是[π，2π]上的下凸函

　　上述函数的凸性；也可以根据定义用初等方法来证明．学过微分学的读者还可以根据函数的二阶导数的符号来判断函数的凸性．即，若函数f(x)对在定义域(a，b)内的所有x恒有＜0，则f(x)是(a，b)上的上凸函数；如果恒有＞0， 则f(x)是(a， b)上的下凸函数．

〔琴生〔Jensen）不等式〕（变量做和）
若是区间上的凸函数，则对任意，，…，有
．
当且仅当时等号成立．当为上凸函数时，不等式反向．
〔琴生〔Jensen）不等式推论，即加权琴生不等式〕
若是区间上的凸函数，则对任意，，…，和对任意满足的正数，，…，，有
．当且仅当时等号成立．
　若令qi=pi／(p1＋…＋pn)，其中p1，…，pn是任意正数．则琴生不等式(2)变成：

　　在(2)或(3)式中，f(x)取不同的凸函数，便得不同的不等式．
　　例1 令f(x)=xk，x≥0，k＞1，则f(x)是R+上的凸函数，因此有

　　例2 令f(x)=lgx，x＞0，则f(x)是R+上的凹函数，故有

　　取反对数，得

　　此即加权平均不等式．

1．设全是正数，且（，，…，），且，．求证：
（1）；
（2）．
证明：不妨设，于是
，．由切比雪夫不等式得
．（*）
又由均值不等式知．又，所以
，而，代入（*）后整理可得（1）成立．
另一方面
，．由切比雪夫不等式得
．（**）
由均值不等式：
，故．
又，代入（**）整理后可得（2）成立．
2．有十人各拿一只水桶去打水，如果水龙头灌满第个人的水桶需要分钟，且这些（，，…，）各不相等，试问：
（1）只有一只水龙头供水时，应如何安排这十个人打水的次序，使他们花费的总时间最少？这个最少的总时间是多少？
（2）若有两个相同的水龙头供水时，应如何安排这十个人的次序，使他们花费的总时间最少？这个最少的总时间是多少？
解：（1）设安某次序打水时水龙头灌满第个人的水桶需要分钟，则第一人花费的时间为分钟，第二人花费的时间为分钟，……，第十人花费的时间为分钟．总的花费时间为
．
其中，序列，，…，是，，…，的一个排列．由题设各各不相同，不妨设，则由排序原理知
．
即安任意一个次序打水花费的总时间不小于安如下顺序打水的时间：先安打水所需时间从小到大依次排队，然后逐个打水．即此时花费时间最省，总花费的时间为（）分钟．
（2）如果有两个水龙头，设总时间最少时有个人在第一个水龙头打水，设依次所需时间为，，…，；有个人在第二个水龙头打水，依次所需时间设为，，…，．显然必有一个水龙头的打水人数不少于人，不妨设为第一个水龙头，也不可能有一个水龙头没人去打水，则．由（1）知：
，．
总花费的时间为：
．
其中，．
首先我们来证明．若不然，我们让在第一个水龙头打水的第一人到第二个水龙头的第一位去，则总花费的时间变为：
．
．
即当时，我们让第一水龙头的第一人到第二水龙头去后，总时间减少．故在时，总时间可能取得最小值．
由于，故两个水龙头人一样多．总用时为：
．
由于
，．
不妨设．下证．否则我们交换用时为，的两人的位置后，总用时变为
，
．
即经交换后总时间变少．故．也即．
类似地我们可以证明：（，，，），．从而最省时的打水顺序为：
水龙头一：，，，，；水龙头二：，，，，．
其中：．
3．在中，求证下列各不等式：
（1）；
（2），其中且．
证明：（1）考查正弦函数，在为上凸函数，故
．
即．
（2）考查函数，在上是凸函数．
6．设，，证明：．
证明：考查函数（），其二阶导数，故其为凸函数．所以
，
即
．
7．对正数，，…，，
若或，则
；
若，则
．
证明：考查函数（）．其二阶导数．
当或时，，故函数（）为凸函数；
当时，，故函数（）为上凸函数．
以下由琴生不等式立得．
8．已知正实数（，，…，）满足．
求证：．
证明：考查函数，．因，故该函数为凸函数．
而（，，…，），所以
．（）
去掉对数符号立得．
4．设，实数，都不为零，且．则
（1）若，同号，则；
（2）若，异号，则．
证明：当，同号时，两者都是正数，由不等式单调性得，，由切比雪夫不等式得（1）成立；
当，异号时，假设，，由不等式单调性得，，由切比雪夫不等式得（2）成立；
5．设、、为某一三角形三边长，求证：
．
证明：不妨设，易证．由排序原理得

．
6．设，．求证：
．
其中，，…，是，，…，的任意一个排列．
证明：要证，只要证
．只要证
．
由题设及排序原理上式显然成立．
7．在中求证：
（1）；
（2）；
证明：（1）考查函数，其在上为凸函数；
（2）考查函数，在上是凸函数．证明如下：
即证．

．证毕．
8．设，，，…，．那么
（1）；
（2）．
证明：（1）考查函数，其在上为凸函数．
（2）考查函数，其在上为凸函数．证明如下：
令，，则

．
将上述不等式两端取自然对数，得
，
即
．
故函数在上为凸函数．
由琴生不等式
．
故
．
4．平均值不等式
设，对于，则

其中等号当且仅当时成立。
以下为阅读材料
5．贝努利不等式
　　（1）设 ，且同号，则

　　（2）设 ，则
　　（ⅰ）当 时，有 ；
　　（ⅱ）当 或 时，有 ，上两式当且仅当 时等号成立。
　　不等式（1）的一个重要特例是
　　 （ ）
6．艾尔多斯—莫迪尔不等式
　　设P为 内部或边界上一点，P到三边距离分别为PD，PE，PF，则
　　 ，
　　当且仅当 为正三角形，且P为三角形中心时上式取等号。
　　这是用于几何问题的证明和求最大（小）值时的一个重要不等式。
7．幂平均不等式
8．权方和不等式
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