资源描述
课堂教学设计表
课题
二面角求解之法向量法
教学目标
1、知识与技能目标
（1）、知道用法向量求解的步骤
（2）、学会用法向量法求解二面角的大小
2、情感、态度和价值观
通过微课的学习后，对二面角求解的知识感兴趣，并且主动去寻找其他二面角求解的方法。
重点与难点
教学重点：
运用法向量进行二面角求解的步骤
教学难点：
（1）建立坐标系并找到相应的坐标
（2）求两个面的法向量
课堂教学过程结构设计
教学过程
教师活动
画面
时间
片头
第1张PPT
(显示课题，科目，适用年级，成员名字)
导入
老师：小A，你知道怎样求二面角的大小吗？
小A：很简单啊，就用量角器量就行啦！
老师：不对不对，下面我来教你，怎样用利用法向量来求二面角的大小。
手机录制模拟人物小A和教师对话
30s
如图，我们该如何度量二面角α-l-β的大小
第二张PPT
1min
设计的一般步骤第一步——发现与明确问题
首先，请你思考一下，是否可以将二面角的平面角，转化为向量的夹角？
答案是肯定的。
求直线与平面所成的角，可以转换成直线的方向向量与平面法向量的夹角。二面角也可以看成是两个面法向量的夹角。
既然已经知道了这样的转换，就可以得出二面角的大小了。
第三张PPT
5min
设计的一般步骤第二步——制定设计方案
现在就来看一下具体是怎么求出来的，我们先看这个图形。首先要分别做出两个面的法向量，并使两个法向量交于一点O，由图可知
θ+β=π
α+β=π
从这里我们也可以看出二面角的大小和平面角与法向量的夹角存在相等或者互补的情况。我们在具体的计算中再来判断到底是直接取法向量的夹角还是夹角的补角。
我们知道向量的余弦值是用下面这个公式来进行计算的
可是在计算出余弦值时会出现正负两种情况，这时我们就要结合我们的肉眼来判断二面角是锐角还是钝角，这里有几种情况：
1， 如图一，二面角为锐角，求出的cosθ为正，那该二面角就为arccosθ
2， 如图一，二面角为锐角，求出的cosθ为负，那该二面角就为π-arccosθ
3， 如图二，二面角为钝角，求出的cosθ为正，那该二面角就为π-arccosθ
4， 如图二，二面角为钝角，求出的cosθ为负，那该二面角就为arccosθ
8min
设计的一般步骤第三步——制作模型或原型
下面老师结合例题来讲解一下怎么运用向量法来求解二面角，我们先来读一下题，在底面是直角梯形的四棱锥S-ABCD，AD平行BC∠ABG=90°，SA⊥面ABCD，SA=，AB=BC=1，AD=，求侧面SCD和SBA所成的二面角的大小。
（例题题目）
10min
设计的一般步骤第四步——测试、评估和优化
对于空间几何来说，我们求二面角的第一步就是建立直角坐标系。因为坐标系x，y，z轴是两两垂直的，所以我们在建立坐标系时也一定要考虑到这个问题。我这里的这个例题比较简单，直接就可以以A为原点，AD为x轴，AB为y轴，AS为z轴。则S的的坐标为(0,0, )根据这个方法同样可以得到A,B,C,D（注意停顿）点的坐标。根据向量的表示法可以得出=(0,0, ),同样可以得出的坐标。由于平面SBA位于x-z平面上，所以易知平面SBA的法向量=（1，0，0），我们设平面SCD的一个法向量=（x,y,z），
由于是法向量， 肯定是垂直于平面SCD的。那么下面这个关系式就一定成立
=0
=0
代入坐标可以得到
x-z=0
2x+2y-z=0
这里解方程的时候，我们可以先自己设定一个参数的值，以此来推出最终的解。经过观察方程我们设z=2，则解出x=2,y=-1,那么
=（2，-1，2）
我们将数据代入公式
得到cosθ=
观察图形我们可以看出平面SCD和平面SBA所成的平面角为锐角，我们求出的cosθ也为正，结合老师前面所总结的那四条知识，当二面角为锐角，求出的cosθ为正时，二面角就为arccosθ
所以在这个题中我们所求出的arccos就是我们要求的二面角的大小。
（例题解题步骤）
10min
设计的一般步骤第五步——产品的使用和维护
老师来总结一下利用法向量求二面角的具体步骤：
1建立直角坐标系。
2.找出平面的法向量，进行向量运算求出法向量的夹角
3.通过图形特征或已知要求，确定二面角是锐角或钝角。得出问题的结果
1建立直角坐标系。
2.找出平面的法向量，进行向量运算求出法向量的夹角
3.通过图形特征或已知要求，确定二面角是锐角或钝角。得出问题的结果
1min
课堂总结
教师画面解说
5min
在你完成练习题之后，请扫下面的二维码查看答案
题目显示
二维码显示
教学反思、总结
本微课重在讲解利用法向量求解二面角的方法，简短但精炼，讲解了有关法向量求解的相关知识，采用知识点讲解和例题结合讲解的方法，使得学生可以更好的利用法向量来求解二面角，而且该微课布置了课后习题，可以让学生巩固知识。在习题的讲解过程中只讲了重点的步骤，有些地方还需要学生自己去计算，这也可以培养学生自主学习的意识。但是也有不足，在讲解观察二面角是锐角还是钝角时略显简化，学生理解起来可能有点困难。
返回学习流程
返回学习流程
《二面角讲解之法向量法》微课脚本设计
系列名称
微课名称
二面角讲解之法向量法
知识点描述
本微课包括用法向量求解二面角的一般步骤，例题演示求解过程
知识点来源
学科：高中数学 年级：高二、高三 教材：人教版
基础知识
知道如何求解平面的法向量
教学类型
讲授型 问答型 演示型 自主学习型
适用对象
高中二、三年级学生
设计思路
本微课视频采用情景导入的方法，让学生大致了解微课讲解的内容，然后设计用法向量求解的思路，之后由一道例题来验证该求解思路，并在讲解之后，留下一道变式练习题，练习题答案由二维码的形式呈现，让学生可以热炒热卖，以便更好理解。
教学过程
内 容
解说词
画面
时间
一、 片头
片头
第1张PPT
(显示课题，科目，适用年级，成员名字)
5秒
二、正文讲解
（3分钟以内）
1.导入
老师：小A，你知道怎样求二面角的大小吗？
小A：很简单啊，就用量角器量就行啦！
老师：不对不对，下面我来教你，怎样用利用法向量来求二面角的大小。
手机录制模拟人物小A和教师对话
15秒以内
2.
如图，我们该如何度量二面角α-l-β的大小
第二张PPT
1分 40秒
3
首先，请你思考一下，是否可以将二面角的平面角，转化为向量的夹角？
答案是肯定的。
求直线与平面所成的角，可以转换成直线的方向向量与平面法向量的夹角。二面角也可以看成是两个面法向量的夹角。
既然已经知道了这样的转换，就可以得出二面角的大小了。
第三张PPT
4
现在就来看一下具体是怎么求出来的，我们先看这个图形。首先要分别做出两个面的法向量，并使两个法向量交于一点O，由图可知
θ+β=π
α+β=π
从这里我们也可以看出二面角的大小和平面角与法向量的夹角存在相等或者互补的情况。我们在具体的计算中再来判断到底是直接取法向量的夹角还是夹角的补角。
我们知道向量的余弦值是用下面这个公式来进行计算的
可是在计算出余弦值时会出现正负两种情况，这时我们就要结合我们的肉眼来判断二面角是锐角还是钝角，这里有几种情况：
5， 如图一，二面角为锐角，求出的cosθ为正，那该二面角就为arccosθ
6， 如图一，二面角为锐角，求出的cosθ为负，那该二面角就为π-arccosθ
7， 如图二，二面角为钝角，求出的cosθ为正，那该二面角就为π-arccosθ
8， 如图二，二面角为钝角，求出的cosθ为负，那该二面角就为arccosθ
40 秒
5
下面老师结合例题来讲解一下怎么运用向量法来求解二面角，我们先来读一下题，在底面是直角梯形的四棱锥S-ABCD，AD平行BC∠ABG=90°，SA⊥面ABCD，SA=，AB=BC=1，AD=，求侧面SCD和SBA所成的二面角的大小。
（例题题目）
6
对于空间几何来说，我们求二面角的第一步就是建立直角坐标系。因为坐标系x，y，z轴是两两垂直的，所以我们在建立坐标系时也一定要考虑到这个问题。我这里的这个例题比较简单，直接就可以以A为原点，AD为x轴，AB为y轴，AS为z轴。则S的的坐标为(0,0, )根据这个方法同样可以得到A,B,C,D（注意停顿）点的坐标。根据向量的表示法可以得出=(0,0, ),同样可以得出的坐标。由于平面SBA位于x-z平面上，所以易知平面SBA的法向量=（1，0，0），我们设平面SCD的一个法向量=（x,y,z），
由于是法向量， 肯定是垂直于平面SCD的。那么下面这个关系式就一定成立
=0
=0
代入坐标可以得到
x-z=0
2x+2y-z=0
这里解方程的时候，我们可以先自己设定一个参数的值，以此来推出最终的解。经过观察方程我们设z=2，则解出x=2,y=-1,那么
=（2，-1，2）
我们将数据代入公式
得到cosθ=
观察图形我们可以看出平面SCD和平面SBA所成的平面角为锐角，我们求出的cosθ也为正，结合老师前面所总结的那四条知识，当二面角为锐角，求出的cosθ为正时，二面角就为arccosθ
所以在这个题中我们所求出的arccos就是我们要求的二面角的大小。
（例题解题步骤）
总结
老师来总结一下利用法向量求二面角的具体步骤：
1建立直角坐标系。
2.找出平面的法向量，进行向量运算求出法向量的夹角
3.通过图形特征或已知要求，确定二面角是锐角或钝角。得出问题的结果
1建立直角坐标系。
2.找出平面的法向量，进行向量运算求出法向量的夹角
3.通过图形特征或已知要求，确定二面角是锐角或钝角。得出问题的结果
三、 结尾
结语
这就是这节课的主要内容，你学会了吗？下面做一道题目来检验和巩固你所学的知识吧
教师画面解说
10秒
练习题
在你完成练习题之后，请扫下面的二维码查看答案
题目显示
二维码显示
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