椭圆及其标准方程教案设计.doc

椭圆的标准方程（第1课时）
李堡中学 陆 琳
教学目标
知识与技能：1、理解椭圆的定义 明确焦点、焦距的概念。
2、熟练掌握椭圆的标准方程，会根据所给的条件画出椭圆的草图并确定椭圆的标准方程
过程与方法：能由椭圆定义推导椭圆的方程
情感态度与价值观：启发学生能够发现问题和提出问题，善于独立思考，学会分析问题和创造地解决问题；培养学生抽象概括能力和逻辑思维能力
教学重点：椭圆及其标准方程
教学难点：椭圆标准方程的其推导——比较复杂的根式的化简
教学方法：小组讨论、学生探究
课时安排：1课时
【教学探究过程】
一、创设问题情景、引出概念
 1．观看图片，总结这些图片中都包含了同一个图形，是什么？
2.一个椭圆形的模板的设计。
通过以上两个问题引导学生复习椭圆的定义及其注意点。 即：
 平面内与两个定点F1，F2的距离之和等于常数（大于F1F2）的点的轨迹叫作椭圆，这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做椭圆的焦距
 引导学生找定义的关键处：
（ 1）任意一点到两个定点的距离的和等于常数；
 （2）两个定点
（3）常数大于F1F2．
（说明：实验中可以挖掘出椭圆定义的内涵，使得学生对椭圆的定义留下深刻印象．）
二、椭圆标准方程的推导
 由老师带学生回忆圆的方程的建立过程，归纳求曲线方程的一般步骤：建系设点列出方程化简方程．建系一般应遵循简单、优化的原则．
 （说明：温故而知新，类比圆的方程的建立过程，归纳出求曲线方程的一般步骤，为下一步学习做好铺垫．）
探究一：  怎样建立坐标系，才能使求出的椭圆方程最为简单？
（说明：正确选取坐标系是建立曲线方程的关键之一，结合建立坐标系的一般原则── 利用曲线的几何特征，特别是对称性，可以使曲线方程简单化．可以从“对称美”、“简洁美”等角度作一定的点拨，最后让学生选择合理的坐标系．）
 经学生讨论易得如下方案：

1．建系．取过焦点的直线为轴，线段的垂直平分线为轴，建立坐标系．

2．设点．设为椭圆上的任意一点，椭圆的焦距是（）.则．又设M与距离之和等于()．
 3．列式．依据椭圆的定义，有：又
， ，，
所以
教师启发：这个方程形式复杂，应该化简．化简的目的是去掉根式，可两边平方．但这里有两个根式，如何平方更简捷？
 学生小组讨论，然后学生代表展示小组讨论的结果
（说明：在解决解析几何问题中，熟练运用代数变形技巧是十分重要的，学生常因运算能力不强而功亏一篑．在此应抓住机会加强运算技能的训练．）
4.得出椭圆的标准方程 
（）
此即为椭圆的标准方程．它所表示椭圆的焦点在轴上，焦点是，中心在坐标原点的椭圆方程．

探究三：如果椭圆的焦点F1，F2在y轴上，线段F1F2的垂直平分线为x轴，a，b，c意义同上，椭圆的方程形式又如何？
 学生讨论、交流，合情猜想可得，焦点变成,只要将方程中的调换，即可得（），它所表示的是焦点在轴上的椭圆标准方程．（也可以通过旋转的方法去判断）要求学生课后推导验证．
（说明：发挥学生的直觉思维，类比得到焦点在轴上的椭圆的标准方程．）
 引导学生注意理解以下几点：
 ① 在椭圆的两种标准方程中，都有的要求；
 ② 在椭圆的两种标准方程中，由于，所以可以根据分母的大小来判定焦点在哪一个坐标轴上；
③ 椭圆的三个参数之间的关系是，其中大小不确定．
 三、 简单应用
1、 口答：下列方程哪些表示椭圆？若是，则判断焦点在那个坐标轴，并指明，写出焦点坐标。
（1） （2） （3）
（4） （5）
2、已知椭圆的方程为：，请填空
（1）a=____，b=______，c=_____，焦点坐标为：_______，焦距等于______;
(2)若C为椭圆上一点，分别为椭圆的左、右焦点，并且，
。
变题：若椭圆的方程为，试口答完成（1）.
探究：若方程为表示焦点在轴上的椭圆，求的取值范围；若方程表示椭圆呢？

四、例题讲解
例1．写出适合下列条件的椭圆的标准方程：
（1），，焦点在轴上；
（2），，焦点在坐标轴上；
（3）焦点为，，并且经过点．
（先让学生分析解题思路．强调从定义、标准方程等基础知识出发考虑问题的重要性．）
（说明：由例题可以总结椭圆方程有两种求法：其一由定义求出与，根据条件写出方程；其二是由a，b，c的关系和椭圆标准方程，由点在椭圆上的条件，用待定系数的办法得出方程．可以达到渗透求轨迹的常用方法的目的．另外要注意求方程的基本步骤．）
 学生通过解题发现求椭圆的标准方程的一般步骤，特别是要注意先定位，再定量。
五、课堂形成性练习，即时反馈
 1．写出适合下列条件的椭圆方程：
（1） 焦点在轴上；
（2） 焦点在坐标轴上；
2.椭圆的焦距为4，且过点P，求椭圆的标准方程．
3．椭圆的焦距是        ，焦点坐标为         ；若CD为过左焦点的弦，
则的周长为        ．
六、知识整理，形成系统（由学生归纳）
 1．椭圆的定义（注意几何特征和三个条件）．
 2．推导椭圆的标准方程（注意焦点的位置与方程形式的关系，直接法求轨迹方程）．
 3．求椭圆的标准方程的方法（待定系数法求轨迹方程）．
 4. 求椭圆的标准方程的注意点：先定位，再定量。
七、布置作业，巩固提高
 1．课本练习：1－3．
 2．小组合作自编题（总题数4个，可以填空或解答题．要求说明编题的基本思路）．
 3．探索题：查阅资料及小组讨论还有哪些方法可以得到椭圆的标准方程。