线段的垂直平分线(教案).doc

§22．5 线段的垂直平分线（教案）
长桥中学 黄嵘

认知目标 通过实际操作观察并体验线段垂直平分线的定理和逆定理的内容
会用定理和逆定理进行简单证明和计算
教学重点 线段垂直平分线的定理和逆定理
教学难点 线段垂直平分线的定理和逆定理的应用
教学过程 操作
1．画线段AB的垂直平分线MN

取MN上任意一点P，连结PA、PB

线段PA、PB在数量上有什么关系？你会证明吗？
证明：∵MN⊥AB(已知)
∴∠PCA=∠PCB=90°(垂直定义)
在△PCA和△PCB中
∵AC=BC(已知)
∠PCA=∠PCB(已证)
PC=PC(公共边)
∴△PCA≌△PCB(S.A.S)
∴PA=PB(全等三角形对应边相等)
于是，我们得到
线段垂直平分线上的点和这条线段两个端点的距离相等。
数学表达式：
∵点P在线段AB的垂直平分线MN上
∴PA=PB(线段垂直平分线上的点和这条线段两个端点的距离相等)

练习
1． 已知：如图，线段AB垂直平分线段CD
则AC＝
若线段AB,CD互相垂直平分，则AC=
2．已知：如图，∠O=34°,BD垂直平分AO，求∠ABC的度数

操作
1．画线段AB
2．找五个点使它们到点A、B的距离相等

（插几何画板小课件）
可以发现这些点都在一条线上，这条线就是线段AB的垂直平分线
证明：在△MAN和△MBN中
∵MA=MB（已知）
NA=NB(已知)
MN=MN（公共边）
∴△MAN≌△MBN(S.S.S)
∴∠AMN=∠BMN（全等三角形对应角相等）
又∵MA=MB
∴AC=BC MC⊥AB
（等腰三角形顶角平分线垂直平分底边）
∴直线MC就是线段AB的垂直平分线
∴点M、N在线段AB的垂直平分线上

这也就是说：
和线段的两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上
数学表达式：
∵PA＝PB
∴点P在线段AB的垂直平分线上
（和线段的两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上）

观察这两个定理的题设和结论，分析它们的特点
会发现前一个定理的题设和结论正好是后一个定理的结论和题设
我们把这两个定理称为线段垂直平分线的性质定理和逆定理
性质定理的条件是已知了线段的垂直平分线
逆定理的条件是有公共端点的两条线段相等

例1 已知：如图，在△ABC中
AB,AC的垂直平分线相交于点O
求证：点O在BC的垂直平分线上
证明：连结OA、OB、OC
∵点O在AB的垂直平分线上（已知）
∴OA=OB(线段垂直平分线上的点和这条线段两个端点的距离相等）
同理可得 OA=OC
∴OB=OC（等量代换）
∴点O在BC的垂直平分线上
（和线段的两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上）

练习
2． 已知：如图，AC=BC,AD=BD，
求证：AE=BE

小结：本节课学习了线段垂直平分线的性质定理和逆定理，它们的运用集中在下面的基本图形中。因此当题目中出现线段的垂直平分线时，应注意在较复杂的图形中找出基本图形，若基本图形不完整可以添加辅助线构造出完整的基本图形以便于解决问题。这也是几何中常用的思想方法。

练习
3． 已知：如图，∠C=90°,AB的垂直平分线分别交AC、AB于点M、N,
AM=2CM
求证：∠A=30°

作业布置
A册 §22.5 (2)