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绵阳南山中学高2018届高三“二诊”热身考试
数学(理科)
第Ⅰ卷(共60分)
一、选择题:本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
1. 设集合,,则( )
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】= 因为所以
故选C
2. 已知是虚数单位,复数的共轭复数虚部为( )
A. B. -4 C. 3 D. 4
【答案】B
【解析】=,所以共轭复数为 即虚部为-4
故选B
3. 某中学有高中生3500人,初中生1500人,为了解学生的学习情况,用分层抽样的方法从该校学生中抽取一个容量为的样本,已知从高中生中抽取70人,则为( )
A. 100 B. 150 C. 200 D. 250
【答案】A
【解析】试题分析:根据已知可得:,故选择A
考点:分层抽样
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4. 下边程序框图的算法思路源于我国古代数学名著《九章算术》中的“更相减损术”,执行该程序框图,若输出的,则输入的可能是( )
A. 15,18 B. 14,18 C. 12,18 D. 9,18
【答案】B
【解析】根据题意,执行程序后输出的a=2,则执行该程序框图前,输人a、b的最大公约数是2,分析选项中的四组数,满足条件的是选项B
故选B
5. 已知,直线与直线互相垂直,则的最小值为( )
A. 1 B. 2 C. D.
【答案】B
【解析】b>0,两条直线的斜率存在,因为直线(b2+1)x+ay+2=0与直线x一b2y一1=0互相垂直,
所以(b2+1)-ab2=0,ab=b+≥2
故选B
6. 在中,分别为所对的边,若函数有极值点,则的最小值是( )
A. 0 B. C. D. -1
【答案】D
【解析】,∴f′(x)=x2+2bx+(a2+c2-ac),
又∵函数有极值点,∴x2+2bx+(a2+c2-ac)=0有两个不同的根,∴△=(2b)2-4(a2+c2-ac)>0,即ac>a2+c2-b2,即ac>2accosB;
即cosB<,故∠B的范围是(所以 ,当 时的最小值是-1
故选D
7. 某学校需要把6名实习老师安排到三个班级去听课,每个班级安排2名老师,已知甲不能安排到班,乙和丙不能安排到同一班级,则安排方案的种数有( )
A. 24 B. 36 C. 48 D. 72
【答案】C
【解析】先考虑甲不能到A班的方案:种,减去其中乙和丙安排到同一班级的方案:种,即48种;
故选C
8. 以下四个命题中:
①某地市高三理科学生有15000名,在一次调研测试中,数学成绩服从正态分布,已知,若按成绩分层抽样的方式抽取100分试卷进行分析,则应从120分以上(包括120分)的试卷中抽取15分;
②已知命题,,则,;
③在上随机取一个数,能使函数在上有零点的概率为;
④在某次飞行航程中遭遇恶劣气候,用分层抽样的20名男乘客中有5名晕机,12名女乘客中有8名晕机,在检验这些乘客晕机是否与性别有关时,采用独立性检验,有97%以上的把握认为与性别有关.
0.15
0.1
0.05
0.025
2.072
2.706
3.841
5.024
其中真命题的序号为( )
A. ①②③ B. ②③④ C. ①②④ D. ①③④
【答案】B
【解析】对于①,在一次调研测试中,数学成绩ξ服从正态分布N(100,σ2),∴数学成绩ξ关于ξ=100对称,
∵P(80<ξ≤100)=0.40,∴P(ξ>120)=P(ξ<80)=0.5-0.40=0.1,则该班数学成绩在120分以上的人数为0.1×100=10,故①错误;
对于②,已知命题p:∀x∈R,sinx≤1,则¬p:∃x∈R,sinx>1,故②正确;
对于③,由()2−8≥0,解得m≤-2或m≥2,∴在[-4,3]上随机取一个数m,能使函数在R上有零点的概率为,故③正确;
对于④,填写2×2列联表如下:
晕机
不晕机
合计
男乘客
5
15
20
女乘客
8
4
12
合计
13
19
32
则k2的观测值k=有97%以上的把握认为晕机与性别有关.故④对
故选B
9. 某车间加工零件的数量与加工时间的统计数据如表:
零件数(个)
10
20
30
加工时间(分钟)
21
30
39
现已求得上表数据的线性回归方程中的值为0.9,则据此回归模型可以预测,加工100个零件所需要的加工时间约为( )
A. 84分钟 B. 94分钟 C. 102分钟 D. 112分钟
【答案】C
【解析】试题分析:,,回归直线过样本点的中心,,解得,加工100个零件大约需要分钟.
考点:回归直线方程的应用.
10. 若圆上至少有三个不同的点到直线的距离为,则直线的斜率的取值范围是( )
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】圆可化为 则圆心为(-2,2),半径为3,则由圆x2+y2+4x-4y-10=0上至少有三个不同点到直线l:ax+by=0的距离为2,则圆心到直线l:ax+by=0的距离d≤32=即 则a2+b2-4ab≤0,若b=0,则a=0,故不成立,
故b≠0,则上式可化为
1+ 由直线l的斜率k=-则上式可化为k2+4k+1≤0解得
故选B
11. 如图,分别是双曲线的左、右焦点,过的直线与双曲线分别交于点,若为等边三角形,则双曲线的方程为( )
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】根据双曲线的定义,可得|AF1|-|AF2|=2a,
∵△ABF2是等边三角形,即|AF2|=|AB|
∴|BF1|=2a
又∵|BF2|-|BF1|=2a,
∴|BF2|=|BF1|+2a=4a,
∵△BF1F2中,|BF1|=2a,|BF2|=4a,∠F1BF2=120°
∴|F1F2|2=|BF1|2+|BF2|2-2|BF1|•|BF2|cos120°
即4c2=4a2+16a2-2×2a×4a×(-))=28a2,
解得c2=7a2,又c=所以 方程为
故选C
点睛:本题主要考查双曲线的定义和简单几何性质,考查了余弦定理解三角形,根据条件求出a,b的关系是解决本题的关键.
12. 已知函数,有三个不同的零点,(其中),则的值为( )
A. B. C. -1 D. 1
【答案】D
【解析】令f(x)=0,分离参数得a=令h(x)=由h′(x)= 得x=1或x=e.
当x∈(0,1)时,h′(x)<0;当x∈(1,e)时,h′(x)>0;当x∈(e,+∞)时,h′(x)<0.
即h(x)在(0,1),(e,+∞)上为减函数,在(1,e)上为增函数.
∴0<x1<1<x2<e<x3,a=令μ=则a=即μ2+(a-1)μ+1-a=0,
μ1+μ2=1-a<0,μ1μ2=1-a<0,
对于μ=, 则当0<x<e时,μ′>0;当x>e时,μ′<0.而当x>e时,μ恒大于0.不妨设μ1<μ2,则μ1=, =(1-μ1)2(1-μ2)(1-μ3)
=[(1-μ1)(1-μ2)]2=[1-(1-a)+(1-a)]2=1.
故选D.
点睛:本题考查了利用导数研究函数单调性,极值等性质,训练了函数零点的判断方法,运用了分离变量法,换元法,函数构造法等数学转化思想方法,综合性强.
第Ⅱ卷(共90分)
二、填空题(每题5分,满分20分,将答案填在答题纸上)
13. 已知的展开式中,的系数为,则__________.
【答案】4
【解析】 ,所以由 得 ,从而
点睛:求二项展开式有关问题的常见类型及解题策略
(1)求展开式中的特定项.可依据条件写出第项,再由特定项的特点求出值即可.
(2)已知展开式的某项,求特定项的系数.可由某项得出参数项,再由通项写出第项,由特定项得出值,最后求出其参数.
14. 在一场比赛中,某篮球队的11名队员共有9名队员上场比赛,其得分的茎叶图如图所示,从上述得分超过10分的队员中任取2名,则这2名队员的得分之和超过35分的概率为__________.
【答案】
【解析】从得分超过10分的队员中任取2名,一共有以下10种不同的取法:(12,14),(12,15),(12,20),(12,22),(14,15),(14,20),(14,22),(15,20),(15,22),(20,22),其中这2名队员的得分之和超过35分的取法有以下3种:(14,22),(15,22),(20,22),故所求概率P=.
点睛:古典概型中基本事件数的探求方法
(1)列举法.
(2)树状图法:适合于较为复杂的问题中的基本事件的探求.对于基本事件有“有序”与“无序”区别的题目,常采用树状图法.
(3)列表法:适用于多元素基本事件的求解问题,通过列表把复杂的题目简单化、抽象的题目具体化.
(4)排列组合法:适用于限制条件较多且元素数目较多的题目.
15. 在中,角所对的边分别为,且,是的中点,且,,则的最短边的边长为__________.
【答案】
【解析】因为,所以sinB=又∴正弦定理化简可得:sinAcosCsinA+sinAsinCcosA=sinC.
即sinA(cosCsinA+sinCcosA)=sinC∴sinAsinB=sinC∵A+B+C=π,
∴C=π-(A+B)
∴sinAsinB=sin(A+B),sinA=×sinAcosB+cosAsinB,
∴sinA=cosA.
即tanA=1,
∵0<A<π,D是AC的中点,且cosB=
∴A= ,根据余弦定理得c2+b2-bc=26,sinA=sinC,且sinB×=sinC
, 的最短边的边长为
故答案为
16. 在平面直角坐标系中,为坐标原点,点,平面向量满足:,则对任意的实数和任意满足条件的向量,的最小值__________.
【答案】
【解析】设C 由得, = 等价于圆M:上一点与函数图象上一点的距离,可先求圆心M到曲线上一点的距离最小值减去半径即为所求,在曲线 上取点P 在点P处切线斜率为,当MP垂直于切线时即可满足题意,即 令 则有 令 在递增,且 点P 此时MP=,所以所求最小值为
故答案为
点睛:本题考查了向量数量积的坐标表示,考查了利用点点距离求最小值,利用了构造函数法,线与线垂直的应用,综合性强,属于难题,
三、解答题 (本大题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.)
17. 已知等差数列中,公差,,且成等比数列.
(1)求数列的通项公式;
(2)若为数列的前项和,且存在,使得成立,求的取值范围.
【答案】(1) (2)
【解析】试题分析:(1)由题意可得解得即可求得通项公式(2),裂项相消求和 ,因为存在,使得成立,所以存在,使得成立,即存在,使得成立.求出的最大值即可解得的取值范围.
试题解析:
(1)由题意可得即
又因为,所以所以.
(2)因为,所以
.
因为存在,使得成立,所以存在,使得成立,即存在,使得成立.
又(当且仅当时取等号).
所以,即实数的取值范围是.
18. “中国人均读书4.3本(包括网络文学和教科书),比韩国的11本、法国的20本、日本的40本、犹太人的64本少得多,是世界上人均读书最少的国家.”这个论断被各种媒体反复引用,出现这样的统计结果无疑是令人尴尬的,而且和其他国家相比,我国国民的阅读量如此之低,也和我国是传统的文明古国、礼仪之邦的地位不相符.某小区为了提高小区内人员的读书兴趣,特举办读书活动,准备进一定量的书籍丰富小区图书站,由于不同年龄段需看不同类型的书籍,为了合理配备资源,现对小区内看书人员进行年龄调查,随机抽取了一天40名读书者进行调查,将他们的年龄分成6段:,,,,,后得到如图所示的频率分布直方图.问:
(1)估计在40名读书者中年龄分布在的人数;
(2)求40名读书者年龄的平均数和中位数;
(3)若从年龄在的读书者中任取2名,求这两名读书者年龄在的人数的分布列及数学期望.
【答案】(1)30;(2)54,55;(3) 的分布列如下:
0
1
2
数学期望
【解析】试题分析:(1)由频率分布直方图知年龄在[40,70)的频率为(0.020+0.030+0.025)×10,进而得出40 名读书者中年龄分布在[40,70)的人数.(2)40 名读书者年龄的平均数为25×0.05+35×0.1+45×0.2+55×0.3+65×0.25+75×0.1.计算频率为处所对应的数据即可得出中位数.(3)年龄在[20,30)的读书者有2人,年龄在[30,40)的读书者有4人,所以X的所有可能取值是0,1,2.利用超几何分布列计算公式即可得出.........................
试题解析:
(1)由频率分布直方图知年龄在的频率为,
所以40名读书者中年龄分布在的人数为.
(2)40名读书者年龄的平均数为
.
设中位数为,则
解得,即40名读书者年龄的中位数为55.
(3)年龄在的读书者有人,
年龄在的读书者有人,
所以的所有可能取值是0,1,2,
,
,
,
的分布列如下:
0
1
2
数学期望.
19. 已知函数 的图象关于直线对称,且图象上相邻两个最高点的距离为.
(1)求和的值;
(2)若,求得值.
【答案】(1) (2)
【解析】试题分析:(1)由两个相邻的最高点的距离可求得周期,则,函数为,由函数关于直线对称,可知,结合可求得的值;(2)对进行三角恒等变换,可求得的值,又为锐角,可求得,再利用三角恒等变换求得值.
试题解析:(1)由题意可得函数的最小正周期为,
再根据图象关于直线对称,可得
结合,可得
(2)
再根据
考点:三角函数的周期与初相,三角恒等变换.
视频
20. 如图,已知抛物线的焦点为,椭圆的中心在原点,为其右焦点,点为曲线和在第一象限的交点,且.
(1)求椭圆的标准方程;
(2)设为抛物线上的两个动点,且使得线段的中点在直线上,为定点,求面积的最大值.
【答案】(1) (2) 面积的最大值为.
【解析】试题分析:(1)由已知得,跟据抛物线定义,得,所以点;据椭圆定义,得.
所以椭圆的标准方式是.(2)因为为线段的中点,得直线的方程为;联立,得,由弦长公式和点到直线的距离,得.
再根据函数的单调性得面积的最大值为.
试题解析:(1)设椭圆的方程为,半焦距为.
由已知,点,则.
设点 ,据抛物线定义,得.由已知,,则.
从而,所以点.
设点为椭圆的左焦点,则,.
据椭圆定义,得,则.
从而,所以椭圆的标准方式是.
(2)设点,,,则.
两式相减,得,即.因为为线段的中点,则.
所以直线的斜率.
从而直线的方程为,即.
联立,得,则.
所以.
设点到直线的距离为,则.
所以.
由,得.令,则 .
设 ,则.
由,得.从而在上是增函数,在上是减函数,
所以,故面积的最大值为.
考点:1、抛物线的定义;2、椭圆的方程;3、最值问题.
【方法点睛】本题考查抛物线的定义和简单几何性质、待定系数法求椭圆的标准方程、直线和椭圆相交中的有关中点弦的问题,综合性强,属于难题;对于直线和圆锥曲线相交中的中点弦问题,解决此类题目的最有效方法是点差法,两式直接相减就可以表示出斜率;而第二问中面积公式求出后,函数单调性的研究更是加深了此题的难度,运算量也比较大,不容易拿高分.
21. 已知函数(且)
(1)若,求函数的单调区间;
(2)当时,设,若有两个相异零点,求证:.
【答案】(1) 当时,函数的单调增区间是,单调减区间是,当时,函数的单调增区间是,单调减区间是.(2)见解析.
【解析】试题分析:(1)由知分,两种情况讨论即得解(2),设的两个相异零点为,设,因为,,所以,,相减得,相加得.要证,即证,即,即,换元设上式转化为.构造函数
求导研究单调性即可得证.
试题解析:
(1)由知
当时,函数的单调增区间是,单调减区间是,
当时,函数的单调增区间是,单调减区间是.
(2),设的两个相异零点为,
设,
∵,,
∴,,
∴,.
要证,即证,
即,即,
设上式转化为.
设,∴,∴在上单调递增,
∴,∴,∴.
点睛:本题考查了利用导数研究函数单调性,考查了分类讨论的思想,考查了不等式的证明,利用零点的式子进行变形,采用变量集中的方法构造新函数即可证明,综合性强属于中档题
请考生在22、23两题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题记分.
22. 选修4-4:坐标系与参数方程
在平面直角坐标系中,直线的参数方程为(为参数),以原点为极点,轴正半轴为极轴建立极坐标系,曲线的方程为,定点,点是曲线上的动点,为的中点.
(1)求点的轨迹的直角坐标方程;
(2)已知直线与轴的交点为,与曲线的交点为,若的中点为,求的长.
【答案】(1) (2)
【解析】试题分析:(1)求出曲线C1的直角坐标方程为,设点N(x′,y′),Q(x,y),由中点坐标公式得,由此能求出点Q的轨迹C2的直角坐标方程.(2)的坐标为,设的参数方程为,(为参数)代入曲线的直角坐标方程得,根据韦达定理,利用t的参数意义得
即可得解.
试题解析:
(1)由题意知,曲线的直角坐标方程为.
设点,,由中点坐标公式得,
代入中,得点的轨迹的直角坐标方程为.
(2)的坐标为,设的参数方程为,(为参数)代入曲线的直角坐标方程得:,
设点对应的参数分别为,
则,,.
23. 选修4-5:不等式选讲
已知函数,.
(1)求不等式的解集;
(2)若方程有三个实数根,求实数的取值范围.
【答案】(1) (2)
【解析】试题分析:(1)通过讨论的范围,得到关于的不等式组,求出不等式的解集即可;(2)分离,得到,令,结合函数的图象求出的范围即可.
试题解析:
(1)原不等式等价于或或,
得或
∴不等式的解集为.
(2)由方程可变形为,
令 ,作出图象如下:
于是由题意可得.
点睛:本题考查了利用分类讨论思想解绝对值不等式问题,考查数形结合思想处理方程的根的个数问题,是一道中档题.
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