四川省绵阳市南山中学2018届高三二诊热身考试数学(理)试题-含解析.doc

绵阳南山中学高2018届高三“二诊”热身考试
数学（理科）
第Ⅰ卷（共60分）
一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 设集合，，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】= 因为所以
故选C
2. 已知是虚数单位，复数的共轭复数虚部为（ ）
A. B. -4 C. 3 D. 4
【答案】B
【解析】=，所以共轭复数为 即虚部为-4
故选B
3. 某中学有高中生3500人，初中生1500人，为了解学生的学习情况，用分层抽样的方法从该校学生中抽取一个容量为的样本，已知从高中生中抽取70人，则为（ ）
A. 100 B. 150 C. 200 D. 250
【答案】A
【解析】试题分析：根据已知可得：，故选择A
考点：分层抽样
视频
4. 下边程序框图的算法思路源于我国古代数学名著《九章算术》中的“更相减损术”，执行该程序框图，若输出的，则输入的可能是（ ）

A. 15,18 B. 14,18 C. 12,18 D. 9,18
【答案】B
【解析】根据题意，执行程序后输出的a=2，则执行该程序框图前，输人a、b的最大公约数是2，分析选项中的四组数，满足条件的是选项B
故选B
5. 已知，直线与直线互相垂直，则的最小值为（ ）
A. 1 B. 2 C. D.
【答案】B
【解析】b＞0，两条直线的斜率存在，因为直线（b2+1）x+ay+2=0与直线x一b2y一1=0互相垂直，
所以（b2+1）-ab2=0，ab=b+≥2
故选B
6. 在中，分别为所对的边，若函数有极值点，则的最小值是（ ）
A. 0 B. C. D. -1
【答案】D
【解析】，∴f′（x）=x2+2bx+（a2+c2-ac），
又∵函数有极值点，∴x2+2bx+（a2+c2-ac）=0有两个不同的根，∴△=（2b）2-4（a2+c2-ac）＞0，即ac＞a2+c2-b2，即ac＞2accosB；
即cosB＜，故∠B的范围是（所以 ，当 时的最小值是-1
故选D
7. 某学校需要把6名实习老师安排到三个班级去听课，每个班级安排2名老师，已知甲不能安排到班，乙和丙不能安排到同一班级，则安排方案的种数有（ ）
A. 24 B. 36 C. 48 D. 72
【答案】C
【解析】先考虑甲不能到A班的方案：种，减去其中乙和丙安排到同一班级的方案：种，即48种；
故选C
8. 以下四个命题中：
①某地市高三理科学生有15000名，在一次调研测试中，数学成绩服从正态分布，已知，若按成绩分层抽样的方式抽取100分试卷进行分析，则应从120分以上（包括120分）的试卷中抽取15分；
②已知命题，，则，；
③在上随机取一个数，能使函数在上有零点的概率为；
④在某次飞行航程中遭遇恶劣气候，用分层抽样的20名男乘客中有5名晕机，12名女乘客中有8名晕机，在检验这些乘客晕机是否与性别有关时，采用独立性检验，有97%以上的把握认为与性别有关.

0.15
0.1
0.05
0.025

2.072
2.706
3.841
5.024

其中真命题的序号为（ ）
A. ①②③ B. ②③④ C. ①②④ D. ①③④
【答案】B
【解析】对于①，在一次调研测试中，数学成绩ξ服从正态分布N（100，σ2），∴数学成绩ξ关于ξ=100对称，
∵P（80＜ξ≤100）=0.40，∴P（ξ＞120）=P（ξ＜80）=0.5-0.40=0.1，则该班数学成绩在120分以上的人数为0.1×100=10，故①错误；
对于②，已知命题p：∀x∈R，sinx≤1，则￢p：∃x∈R，sinx＞1，故②正确；
对于③，由()2−8≥0，解得m≤-2或m≥2，∴在[-4，3]上随机取一个数m，能使函数在R上有零点的概率为，故③正确；
对于④，填写2×2列联表如下：

晕机
不晕机
合计
男乘客
5
15
20
女乘客
8
4
12
合计
13
19
32

则k2的观测值k＝有97%以上的把握认为晕机与性别有关.故④对
故选B
9. 某车间加工零件的数量与加工时间的统计数据如表：
零件数（个）
10
20
30
加工时间（分钟）
21
30
39

现已求得上表数据的线性回归方程中的值为0.9，则据此回归模型可以预测，加工100个零件所需要的加工时间约为（ ）
A. 84分钟 B. 94分钟 C. 102分钟 D. 112分钟
【答案】C
【解析】试题分析：,,回归直线过样本点的中心，，解得，加工100个零件大约需要分钟.
考点：回归直线方程的应用.
10. 若圆上至少有三个不同的点到直线的距离为，则直线的斜率的取值范围是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】圆可化为 则圆心为（-2，2），半径为3，则由圆x2+y2+4x-4y-10=0上至少有三个不同点到直线l：ax+by=0的距离为2，则圆心到直线l：ax+by=0的距离d≤32=即 则a2+b2-4ab≤0，若b=0，则a=0，故不成立，
故b≠0，则上式可化为
1+ 由直线l的斜率k=-则上式可化为k2+4k+1≤0解得
故选B
11. 如图，分别是双曲线的左、右焦点，过的直线与双曲线分别交于点，若为等边三角形，则双曲线的方程为（ ）

A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】根据双曲线的定义，可得|AF1|-|AF2|=2a，
∵△ABF2是等边三角形，即|AF2|=|AB|
∴|BF1|=2a
又∵|BF2|-|BF1|=2a，
∴|BF2|=|BF1|+2a=4a，
∵△BF1F2中，|BF1|=2a，|BF2|=4a，∠F1BF2=120°
∴|F1F2|2=|BF1|2+|BF2|2-2|BF1|•|BF2|cos120°
即4c2=4a2+16a2-2×2a×4a×（-））=28a2，
解得c2=7a2，又c=所以 方程为
故选C
点睛：本题主要考查双曲线的定义和简单几何性质，考查了余弦定理解三角形，根据条件求出a，b的关系是解决本题的关键．
12. 已知函数，有三个不同的零点，（其中），则的值为（ ）
A. B. C. -1 D. 1
【答案】D
【解析】令f（x）=0，分离参数得a=令h（x）=由h′（x）= 得x=1或x=e．
当x∈（0，1）时，h′（x）＜0；当x∈（1，e）时，h′（x）＞0；当x∈（e，+∞）时，h′（x）＜0．
即h（x）在（0，1），（e，+∞）上为减函数，在（1，e）上为增函数．

∴0＜x1＜1＜x2＜e＜x3，a=令μ=则a=即μ2+（a-1）μ+1-a=0，
μ1+μ2=1-a＜0，μ1μ2=1-a＜0，
对于μ=， 则当0＜x＜e时，μ′＞0；当x＞e时，μ′＜0．而当x＞e时，μ恒大于0．不妨设μ1＜μ2，则μ1=， =（1-μ1）2（1-μ2）（1-μ3）
=[（1-μ1）（1-μ2）]2=[1-（1-a）+（1-a）]2=1．
故选D．
点睛：本题考查了利用导数研究函数单调性，极值等性质，训练了函数零点的判断方法，运用了分离变量法，换元法，函数构造法等数学转化思想方法，综合性强．
第Ⅱ卷（共90分）
二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）
13. 已知的展开式中，的系数为，则__________．
【答案】4
【解析】 ，所以由 得 ，从而
点睛：求二项展开式有关问题的常见类型及解题策略
(1)求展开式中的特定项.可依据条件写出第项，再由特定项的特点求出值即可.
(2)已知展开式的某项，求特定项的系数.可由某项得出参数项，再由通项写出第项，由特定项得出值，最后求出其参数.
14. 在一场比赛中，某篮球队的11名队员共有9名队员上场比赛，其得分的茎叶图如图所示，从上述得分超过10分的队员中任取2名，则这2名队员的得分之和超过35分的概率为__________．

【答案】
【解析】从得分超过10分的队员中任取2名，一共有以下10种不同的取法：(12,14)，(12,15)，(12,20)，(12,22)，(14,15)，(14,20)，(14,22)，(15,20)，(15,22)，(20,22)，其中这2名队员的得分之和超过35分的取法有以下3种：(14,22)，(15,22)，(20,22)，故所求概率P＝.
点睛：古典概型中基本事件数的探求方法
(1)列举法.
(2)树状图法：适合于较为复杂的问题中的基本事件的探求.对于基本事件有“有序”与“无序”区别的题目，常采用树状图法.
(3)列表法：适用于多元素基本事件的求解问题，通过列表把复杂的题目简单化、抽象的题目具体化.
(4)排列组合法：适用于限制条件较多且元素数目较多的题目.
15. 在中，角所对的边分别为，且，是的中点，且，，则的最短边的边长为__________．
【答案】
【解析】因为，所以sinB=又∴正弦定理化简可得：sinAcosCsinA+sinAsinCcosA=sinC．
即sinA（cosCsinA+sinCcosA）=sinC∴sinAsinB=sinC∵A+B+C=π，
∴C=π-（A+B）
∴sinAsinB=sin（A+B），sinA=×sinAcosB+cosAsinB，
∴sinA=cosA．
即tanA=1，
∵0＜A＜π，D是AC的中点，且cosB=
∴A= ，根据余弦定理得c2+b2-bc=26，sinA=sinC，且sinB×=sinC
， 的最短边的边长为
故答案为
16. 在平面直角坐标系中，为坐标原点，点，平面向量满足：，则对任意的实数和任意满足条件的向量，的最小值__________．
【答案】
【解析】设C 由得, = 等价于圆M:上一点与函数图象上一点的距离，可先求圆心M到曲线上一点的距离最小值减去半径即为所求，在曲线 上取点P 在点P处切线斜率为，当MP垂直于切线时即可满足题意，即 令 则有 令 在递增，且 点P 此时MP=，所以所求最小值为
故答案为
点睛：本题考查了向量数量积的坐标表示，考查了利用点点距离求最小值，利用了构造函数法，线与线垂直的应用，综合性强,属于难题,
三、解答题 （本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）
17. 已知等差数列中，公差，，且成等比数列.
（1）求数列的通项公式；
（2）若为数列的前项和，且存在，使得成立，求的取值范围.
【答案】(1) (2)
【解析】试题分析：（1）由题意可得解得即可求得通项公式(2),裂项相消求和 ，因为存在，使得成立，所以存在，使得成立，即存在，使得成立.求出的最大值即可解得的取值范围.
试题解析：
（1）由题意可得即
又因为，所以所以.
（2）因为，所以
.
因为存在，使得成立，所以存在，使得成立，即存在，使得成立.
又（当且仅当时取等号）.
所以，即实数的取值范围是.
18. “中国人均读书4.3本（包括网络文学和教科书），比韩国的11本、法国的20本、日本的40本、犹太人的64本少得多，是世界上人均读书最少的国家.”这个论断被各种媒体反复引用，出现这样的统计结果无疑是令人尴尬的，而且和其他国家相比，我国国民的阅读量如此之低，也和我国是传统的文明古国、礼仪之邦的地位不相符.某小区为了提高小区内人员的读书兴趣，特举办读书活动，准备进一定量的书籍丰富小区图书站，由于不同年龄段需看不同类型的书籍，为了合理配备资源，现对小区内看书人员进行年龄调查，随机抽取了一天40名读书者进行调查，将他们的年龄分成6段：，，，，，后得到如图所示的频率分布直方图.问：
（1）估计在40名读书者中年龄分布在的人数；
（2）求40名读书者年龄的平均数和中位数；
（3）若从年龄在的读书者中任取2名，求这两名读书者年龄在的人数的分布列及数学期望.

【答案】(1)30;(2)54,55;(3) 的分布列如下：

0
1
2

数学期望
【解析】试题分析：（1）由频率分布直方图知年龄在[40，70）的频率为（0.020+0.030+0.025）×10，进而得出40 名读书者中年龄分布在[40，70）的人数．（2）40 名读书者年龄的平均数为25×0.05+35×0.1+45×0.2+55×0.3+65×0.25+75×0.1．计算频率为处所对应的数据即可得出中位数．（3）年龄在[20，30）的读书者有2人，年龄在[30，40）的读书者有4人，所以X的所有可能取值是0，1，2．利用超几何分布列计算公式即可得出．........................
试题解析：
（1）由频率分布直方图知年龄在的频率为，
所以40名读书者中年龄分布在的人数为.
（2）40名读书者年龄的平均数为
.
设中位数为，则
解得，即40名读书者年龄的中位数为55.
（3）年龄在的读书者有人，
年龄在的读书者有人，
所以的所有可能取值是0,1,2，
，
，
，
的分布列如下：

0
1
2

数学期望.
19. 已知函数 的图象关于直线对称，且图象上相邻两个最高点的距离为.
（1）求和的值；
（2）若，求得值.
【答案】(1) (2)
【解析】试题分析：（1）由两个相邻的最高点的距离可求得周期，则，函数为，由函数关于直线对称，可知，结合可求得的值；（2）对进行三角恒等变换，可求得的值，又为锐角，可求得，再利用三角恒等变换求得值.
试题解析：（1）由题意可得函数的最小正周期为，
再根据图象关于直线对称，可得
结合，可得
（2）

再根据

考点：三角函数的周期与初相，三角恒等变换.
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20. 如图，已知抛物线的焦点为，椭圆的中心在原点，为其右焦点，点为曲线和在第一象限的交点，且.
（1）求椭圆的标准方程；
（2）设为抛物线上的两个动点，且使得线段的中点在直线上，为定点，求面积的最大值.

【答案】(1) (2) 面积的最大值为.
【解析】试题分析：（1）由已知得，跟据抛物线定义，得，所以点；据椭圆定义，得．
所以椭圆的标准方式是．（2）因为为线段的中点，得直线的方程为；联立，得，由弦长公式和点到直线的距离，得．
再根据函数的单调性得面积的最大值为．
试题解析：（1）设椭圆的方程为，半焦距为．
由已知，点，则．
设点 ，据抛物线定义，得．由已知，，则．
从而，所以点．
设点为椭圆的左焦点，则，．
据椭圆定义，得，则．
从而，所以椭圆的标准方式是．
（2）设点，，，则．
两式相减，得，即．因为为线段的中点，则．
所以直线的斜率．
从而直线的方程为，即．
联立，得，则．
所以．
设点到直线的距离为，则．
所以．
由，得．令，则 ．
设 ，则．
由，得．从而在上是增函数，在上是减函数，
所以，故面积的最大值为．
考点：1、抛物线的定义；2、椭圆的方程；3、最值问题．
【方法点睛】本题考查抛物线的定义和简单几何性质、待定系数法求椭圆的标准方程、直线和椭圆相交中的有关中点弦的问题，综合性强，属于难题；对于直线和圆锥曲线相交中的中点弦问题，解决此类题目的最有效方法是点差法，两式直接相减就可以表示出斜率；而第二问中面积公式求出后，函数单调性的研究更是加深了此题的难度，运算量也比较大，不容易拿高分．
21. 已知函数（且）
（1）若，求函数的单调区间；
（2）当时，设，若有两个相异零点，求证：.
【答案】(1) 当时，函数的单调增区间是，单调减区间是，当时，函数的单调增区间是，单调减区间是.(2)见解析.
【解析】试题分析：（1）由知分，两种情况讨论即得解（2），设的两个相异零点为，设，因为，，所以，，相减得，相加得.要证，即证，即，即，换元设上式转化为.构造函数
求导研究单调性即可得证.
试题解析：
（1）由知
当时，函数的单调增区间是，单调减区间是，
当时，函数的单调增区间是，单调减区间是.
（2），设的两个相异零点为，
设，
∵，，
∴，，
∴，.
要证，即证，
即，即，
设上式转化为.
设，∴，∴在上单调递增，
∴，∴，∴.
点睛：本题考查了利用导数研究函数单调性，考查了分类讨论的思想，考查了不等式的证明，利用零点的式子进行变形，采用变量集中的方法构造新函数即可证明，综合性强属于中档题
请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．
22. 选修4-4：坐标系与参数方程
在平面直角坐标系中，直线的参数方程为（为参数），以原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的方程为，定点，点是曲线上的动点，为的中点.
（1）求点的轨迹的直角坐标方程；
（2）已知直线与轴的交点为，与曲线的交点为，若的中点为，求的长.
【答案】(1) (2)
【解析】试题分析：（1）求出曲线C1的直角坐标方程为，设点N（x′，y′），Q（x，y），由中点坐标公式得，由此能求出点Q的轨迹C2的直角坐标方程．（2）的坐标为，设的参数方程为，（为参数）代入曲线的直角坐标方程得，根据韦达定理，利用t的参数意义得
即可得解.
试题解析：
（1）由题意知，曲线的直角坐标方程为.
设点，，由中点坐标公式得，
代入中，得点的轨迹的直角坐标方程为.
（2）的坐标为，设的参数方程为，（为参数）代入曲线的直角坐标方程得：，
设点对应的参数分别为，
则，，.
23. 选修4-5：不等式选讲
已知函数，.
（1）求不等式的解集；
（2）若方程有三个实数根，求实数的取值范围.
【答案】(1) (2)
【解析】试题分析：（1）通过讨论的范围，得到关于的不等式组，求出不等式的解集即可；（2）分离，得到，令，结合函数的图象求出的范围即可．
试题解析：
（1）原不等式等价于或或，
得或
∴不等式的解集为.
（2）由方程可变形为，
令 ，作出图象如下：

于是由题意可得.
点睛：本题考查了利用分类讨论思想解绝对值不等式问题，考查数形结合思想处理方程的根的个数问题，是一道中档题．