北京市丰台区2020届上学期高三年级期末练习数学试卷.docx

北京市丰台区 2020 届上学期高三年级期末练习数学试卷
本试卷分为第一部分和第二部分，满分 150 分，考试时长 120 分钟。
第一部分（选择题 共 40 分）
一、选择题共 10 小题，每小题 4 分，共 40 分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目
要求的一项.
1.若集合 A={x|1<x<3}，B={x|－1<x<2} ，则 A∩B=
（A） {x|－1<x<3}
（C） {x|1<x<2}
（B） {x|－1<x<1}
（D） {x|2<x<3}
$
2.命题“ x ∈（0，+∞），lnx =x －1”的否定是
0
0
0
$
（A） x ∈（0，+∞），lnx ≠ x －1
0
0
0
$
（B） x ∉（0，+∞），ln x = x －1
0
0
0
（C）"
（D）"
x∈（0，+∞），lnx≠x－1
x∉（0，+∞），lnx =x－1
3.下列函数中，既是偶函数又在区间（0，+∞）上单调递增的是
（A） y=－x
（B） y=x －1
2
1
= x
（D） y
（C） y = cosx
2
4.一个四面体的顶点在空间直角坐标系 O－xyz 中的坐标分别是（0，0，0），（0，0，1），
（1，1，0），（1，0，1），则此四面体在 xOy 坐标平面上的正投影图形的面积为
1
1
3
（A）
（B）
（C）
（D）1
4
2
4
5.已知菱形 ABCD 边长为 1，∠BAD=60°，则 BD•CD =
1
2
1
2
3
3
-
-
（A）
（B）
（C）
（C）
（D）
（D）
2
2
6.双曲线 4x －y =1 的离心率为
2
2
5
3
5
3
（A）
（B）
2
2
7.已知公差不为 0 的等差数列{a }，前 n 项和为 S ，满足 S －S =10，且a ，a ，a 成等比
n
n
3
1
1
2
4
数列，则 a =
3
（A） 2
（B） 6
的展开式中，常数项是
（B）－15
（C） 5 或 6
（D） 12
1
( - x )
8.在
2 6
x
（A）－20
（C） 15
（D） 30
9.大西洋鲑鱼每年都要逆流而上，游回到自己出生的淡水流域产卵.记鲑鱼的游速为 v（单
Q
log
位：m/s ），鲑鱼的耗氧量的单位数为 Q.科学研究发现 v 与
成正比.当 v=1m/s 时，
（D） 8100
100
3
鲑鱼的耗氧量的单位数为 900.当 v=2m/s 时，其耗氧量的单位数为
（A） 1800 （B） 2700 （C） 7290

10.在边长为 2 的等边三角形 ABC 中，点 D，E 分别是边 AC，AB 上的点，满足 DE//BC
AD
=
且
l （λ∈（0，1）），将△ADE 沿直线 DE 折到△A'DE 的位置.在翻折过程中，下
AC
列结论成立的是
（A）在线段 A'E 上存在点 F，使得在翻折过程中，满足 BF//平面 A'CD
1
Î(0, )
2
（B）存在l
，使得在翻折过程中的某个位置，满足平面A'BC⊥平面 BCDE
1
10
=
' =
，当二面角 A'－DE－B 为直二面角时， A B
（C）若l
2
4
（D）在翻折过程中，四棱锥A'－BCDE 体积的最大值记为 f（λ），f（λ）的最大值为
2 3
9
第二部分（非选择题 共 110 分）
二、填空题共 6 小题，每小题 5 分，共 30 分.
1
11.复数
的实部为_____________.
1+ i
12.我国古代典籍《周易》用“卦”描述万物的变化.每一“重卦”由从下到上排列的 6 个爻组
成，爻分为阳爻“——”和阴 爻“－ －” ，如图就是一重卦.如果某重卦中有 2 个阳爻，则它
可以组成___________种重卦. （用数字作答）
1
13.已知 a，b，c 分别为△ABC 内角 A，B，C 的对边，c =2ab 且 sin A = sin C ，则 cos
2
2
A______.
14.我们称一个数列是“有趣数列”，当且仅当该数列满足以下两个条件：
①所有的奇数项满足 a
< a ，所有的偶数项满足 a < a ；
2n 1
2n+1
2n
2n+2
－
②任意相邻的两项 a ，a 满足 a
－
< a .
2n 1
根据上面的信息完成下面的问题：
2n
2n 1
－
2n
（i）数列 1，2，3，4，5，6___________“有趣数列”（填“是”或者“不是”）；
2
= n + (-1)n
（ii）若 a
，则数列{a }___________ “有趣数列”（填“是”或者“不是”）.
n
n
n
15.已知抛物线 C：y =4x 的焦点为 F ，则 F 的坐标为____________；过点 F 的直线交抛
2
物线 C 于 A，B 两点，若|AF |=4，则△AOB 的面积为__________.
16.定义域为 R 的函数 f（x）同时满足以下两条性质：
①存在 x ∈R ，使得 f（x ）≠0；
0
0
②对于任意 x∈R，有 f（x+1）=2f（x）.
根据以下条件，分别写出满足上述性质的－个函数.

（i）若 f（x）是增函数，则 f（x）=___________；
（ii）若 f（x）不是单调函数，则 f（x）=___________.
三、解答题共 6 小题，共 80 分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.
17. （本小题共 13 分）
(x) = sin xcos x + 3 cos2 x
已知函数 f
（I ）求 f
.
p
( )
的值；
3
é p ù
0,
（II）求 f（x）在区间
18. （本小题共 14 分）
上的最大值.
ê
ú
2
ë
û
p
如图，在三棱柱 ABC－A B C 中，AA ⊥平面 ABC，∠BAC= ，AA =AB =AC=1，CC
1
1
1
1
2
1
1
的中点为 H.
（I）求证：AB⊥A C；
1
（II）求二面角 A －BC－A 的余弦值；
1
（III）在棱 A B 上是否存在点 N ，使得 HN//平面 A BC？
1
1
1
A N
若存在，求出
的值；若不存在，请说明理由.
1
A B
1
1
19. （本小题共 13 分）
目前，中国有三分之二的城市面临“垃圾围城”的窘境.我国的垃圾处理多采用填埋的方
式，占用上万亩土地，并且严重污染环境.垃圾分类把不易降解的物质分出来，减轻了土地
的严重侵蚀，减少了土地流失.2020 年 5 月 1 日起，北京市将实行生活垃圾分类，分类标准
为厨余垃圾、可回收物、有害垃圾和其它垃圾四类.生活垃圾中有 30% ~40%可以回收利用，
分出可回收垃圾既环保，又节约资源.如：回收利用 1 吨废纸可再造出 0.8 吨好纸，可以挽救
17 棵大树，少用纯碱 240 千克，降低造纸的污染排放 75%，节省造纸能源消耗 40%~50%.
现调查了北京市 5 个小区 12 月份的生活垃圾投放情况，其中可回收物中废纸和塑料品
的投放量如下表：
A 小区
废纸投放量（吨）
5
塑料品投放量（吨）
3.5
3.6
3.7
3.4
3.3

（I）从 A，B，C，D，E 这 5 个小区中任取 1 个小区，求该小区 12 月份的可回收物中，
废纸投放量超过 5 吨且塑料品投放量超过 3.5 吨的概率；
（II）从 A，B，C，D，E 这 5 个小区中任取 2 个小区，记 X 为 12 月份投放的废纸可
再造好纸超过 4 吨的小区个数，求 X 的分布列及期望.
20. （本小题共 13 分）
1
x2
y
2
+ =1
已知椭圆 C：
（a>b>0）的离心率为 ，以原点为圆心，椭圆 C 的短半轴
2
a b2
2
- y + 6 = 0
长为半径的圆与直线 x
相切.
（I）求椭圆 C 的方程；
（II）设 S 为椭圆 C 的右顶点，过椭圆 C 的右焦点的直线 l 与椭圆 C 交于 P ，Q 两点
（异于 S），直线 PS，QS 分别交直线 x=4 于 A，B 两点.求证：A，B 两点的纵坐标之积为
定值.
21. （本小题共 14 分）
1
(a +1)
(x) = x -
x + ax
.
2
已知函数 f
3
3
2
（I）当 a=1 时，求曲线 y=f（x）在点（0，f（0））处的切线方程；
（II）讨论函数 f（x）的单调性；
2
（III）对于任意 x ，x ∈[0，2]，都有| f（x ）－ f（x ）|≤ ，求实数 a 的取值范围.
1
2
1
2
3
22. （本小题共 13 分）
已知 n∈N ，n≥2，给定 n×n 个整点（x，y） ，其中 1≤x，y≤n，x，y∈N .
*
*
（I）当 n=2 时，从上面的2×2 个整点中任取两个不同的整点（x ，y ），（x ，y ），
1
1
2
2
求 x +x 的所有可能值；
1
2
5n
³ -1
2
（II）从上面 n×n 个整点中任取 m 个不同的整点，m
.
（i）证明：存在互不相同的四个整点（x ，y ）， （x' ，y' ）， （x ，y ）， （x' ，
1
1
1
1
2
2
2
y' ）满足 y =y’ ，y =y’ ，y ≠y ；
2
1
1
2
2
1
2
（ii）证明：存在互不相同的四个整点（x ，y ）， （x' ，y' ）， （x ，y ）， （x' ，
1
1
1
1
2
2
2
y' ），满足 x +x’ =x +x’ ，y ≠y .
2
1
1
2
2
1
2

参考答案
－、选择题共 10 小题，每小题 4 分，共 40 分.
题号
答案
1
C
2
C
3
B
4
B
5
A
6
A
7
B
8
C
9
D
10
D
二、填空题共 6 小题，每小题 5 分，共 30 分.
1
7
8
11.
12.15
l3.
2
4 3
3
14.是；是
15. （1，0）；
16.2 ； 2 sin 2p x（答案不唯－）
x x
注：第 14、15、16 题第一空 3 分，第二空 2 分.
三、解答题共 6 小题，共 80 分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.
17. （本小题共 13 分）
p
p
p
p
( ) = sin cos + 3 cos2
解：（I） f
3
3
3
3
3 1
1
=
=
´ + 3 ´( )2
2 2
2
3
…………………………4 分
2
(x) = sin x cos x + 3 cos2 x
cos 2x +1
（II） f
1
= sin 2x + 3 •
2
2
3
p
= sin(2x + ) +
3
.
2
p
p p 4p
Î[0, ]
2x + Î[ , ]
.
因为 x
，所以
2
3 3 3
p p
p
2x + =
x =
当
，即
时，
3 2
12
3
f（x）取得最大值1+
……………………13 分
2
18. （本小题共 14 分）
证明：（I）因为 AA ⊥平面 ABC，ABÌ 平面 ABC，所以 AA ⊥AB.
1
1
p
因为∠BAC= ，所以 AC⊥AB.
2

又因为 AC∩A A = A，
1
所以 AB⊥平面 A AC.
1
因为 A CÌ 平面 A AC，所以 AB⊥A C. ……………………4 分
1
1
1
（II）由（I）可知 AB，AC，AA 两两互相垂直，
1
如图，建立空间直角坐标系 A－xyz.
因为 AA = AB=AC=1，
1
所以 A（0，0，0），B（1，0，0）， C（0，1，0）， A （0，0，1）.
1
因为 AA ⊥平面 ABC，
1
所以 AA =（0，0，1）即为平面 ABC 的一个法向量.
1
设平面 A BC 的－个法向量为 n=（x，y，z），
1
A B = (1,0, -1),AC = (0,1,-1)，
1
1
ì
则 í
0,
=
- = 0,
x z
ïn A B
ì
1
即 í
= 0. îy - z = 0.
ïn AC
î
1
令 z=1，则 x=1，y=1.
于是 n=（1，1，1）.
AA n
1
AA n
3
cos AA ,n =
=
.
所以
3
1
1
3
由题知二面角 A －BC－A 为锐角，所以其余弦值为
……………………10 分
1
3
（III）假设棱 A B 上存在点 N（x，y，z），使得 HN //平面 A BC.
1
1
1

N = lA B (0 £ l £1)，又 A B = ,0,0)
(1
A N = ( ,0,0)
由 A
，故
l
1
1 1
1 1
1
1
(0,1, ) .
因为 C （0，1，1），H 为 CC 的中点，所以 H
1
1
2
1
= HA + A N = ( ,-1, )
.
所以 HN
l
2
1
1
1
1
= -1+ = 0
= Î[0,1]
若 HN //平面 A BC，则 HN n l
，解得l
.
1
2
2
又因为 HNË 平面 A BC.
1
A N 1
=
所以在棱 A B 上存在点 N，使 得 HN //平面 A BC，且
.
………………14 分
1
A B
1
1
1
2
1
1
19. （本小题共 13 分）
解：（I）记“该小区 12 月份的可回收物中废纸投放量超过 5 吨且塑料品投放量超过 3.5
吨”为事件 A.
由题意，有 B，C 两个小区 12 月份的可回收物中废纸投放量超过 5 吨且塑料品投放量
超过 3.5 吨，
2
5
所以 P(A) =
. ………………………………4 分
（II）因为回收利用 1 吨废纸可再造出 0.8 吨好纸，
所以 12 月份投放的废纸可再造好纸超过 4 吨的小区有 B，C，共 2 个小区.
X 的所有可能取值为 0，1，2.
3
C
2
3
P(X = 0) =
P(X =1)=
P(X = 2) =
=
C 10
2
5
6 3
= =
10 5
C C
1
1
2
3
C
2
5
C
1
2
2
=
C 10
2
5
所以 X 的分布列为：
X
P
10
5
10
3
3
1 4
E(X ) = 0´ +1´ + 2´ =
10 10 5
5
…………………………13 分
20. （本小题共 13 分）
- y + 6 = 0
解：（I）因为以原点为圆心，椭圆的短半轴长为半径的圆与直线x
相切，
0 - 0 + 6
= d =
= 3
.
所以半径 b 等于原点到直线的距离 d，b
即b
1+1
，

1
2
c 1
=
，且 a =b +c ，得 a=2.
2 2 2
=
由离心率e
，可知
a 2
x2
y
2
+ =1.
故椭圆 C 的方程为
……………………4 分
4 3
（II）由椭圆 C 的方程可知 S（2，0）.
若直线 l 的斜率不存在，则直线 l 方程为 x=1，
3
3
(1, ),Q(1,- )
所以 P
2
2
则直线 PS 的方程为 3x+2y－6=0，直线 QS 的方程为 3x+2y－6=0.
令 x=4，得 A（4，－3），B（4，3） .
所以 A，B 两点的纵坐标之积为－9.
若直线 l 的斜率存在，设直线 l 的方程为 y=k（x－1）（k≠0），
ìy = k(x -1)
由 í
得（3+4k ）x － 8k x+4k －12=0，
2
2
2
2
3x + 4y -12 = 0
î
2
2
依题意△≥0 恒成立.
设 P（x ，y ），Q（x ，y ）（x ，x ≠0），
1
1
2
2
1
2
8k
4k -12
2
2
x + x =
, x x =
，
则
3+ 4k
3+ 4k
1
2
2
1 2
2
设 A（4，y ） B（4，y ），
A
B
y
y
=
由题意 P，S， A 三点共线可知
A
1
4 - 2 x - 2
1
2y
=
所以点 A 的纵坐标为 y
，
1
x - 2
1
A
2y
=
.
同理得点 B 的纵坐标为 y
2
x - 2
2
B
2y
2y
=
所以 y y
A
1
2
x - 2 x - 2
1
B
2
x x - (x + x ) +1
= 4k
2
1 2
1
2
x x - 2(x + x ) + 4
1 2
1
2
4k -12 -8k + 4k + 3
2
2
2
= 4k
2
4k -12 - 2´8k + 4(4k +3)
2
2
2
-9
4k
= 4k ´
2
2
=-9
综上，A， B 两点的纵坐标之积为定值.
……………………13 分

21. （本小题共 14 分）
1
(x) = x - x + x
解： （I ）当 a=1 时，因为 f
3
2
3
所以 f'（x）=x －2x+1，f'（0）=1.
2
又因为 f（0）=0，
所以曲线 y= f（x）在点（0，f（0））处的切线方程为 y=x.
1
(a +1)
(x) = x -
x + ax
.
2
（II） 因为 f
3
3
2
所以 f'（x）=x －（a +1）x+a=0.
2
令 f'（x）=0，解得 x=a 或 x=1.
若 a>1，当 f'（x）>0 即 x<1 或 x>a 时，函数 f（x）单调递增；
当 f'（x）<0 即 1<x<a 时，函数 f（x）单调递减.
若 a=1，则 f'（x）=x －2x+1=（x－1） ≥0，
2
2
当且仅当 x=1 时取等号，函数 f（x）是增函数.
若 a<1，当 f'（x）>0 即 x<a 或 x>1 时，函数 f（x）单调递增.
当 f'（x）<0 即 a<x<1 时，函数 f（x）单调递减.
综上，a>1 时，函数 f（x）单调递增区间为（－∞，1），（a， +∞），单调递减区间
为（1，a） ；
a=1 时，函数 f（x）单调递增区间为（－∞，+∞） ；
a<1 时，函数 f（x）单调递增区间为（－∞， a），（1，+∞），单调递减区间为（a，
1）.
………………………………9 分
（III） 令 f"（x）=x －（a+1）x+a=0， 解得 x=a 或 x=1.
2
当 a≤0 时，随 x 变化，f'（x），f（x） 变化情况如下表：
x
0
0
（0，1）
1
（1，2）
2
-
0
+
2
↘
极小值
↗
3
2
(2) - f (1) >
由表可知 f（0）>f（1），此时 f
，不符合题意.
3
当 0<a<1 时，随 x 变化，f’（x），f（x） 变化情况如下表：
x
0
(1,2)
+
2
+
0
-
0
2
0
↗
极大值
↘
↗
3
1
1
1
1
2
(a) = - a + a , f (1)= a - , f (2) =
由表可得 f（0）=0， f
，
3
2
6
2
2
6
3
且 f(0)<f(a)，f(1)<f(2)，
1
1
2
ì
- a + a £ ,
3
2
ï
(a) £ f (2),
(1)³ f (0).
ì f
ï
1
3
6
2
3
所以只需í
即í
解得
£ a <1.
1
1
î f
ï
ï
a - ³ 0.
î2 6
当 a=1 时，f'（x）=x－2x+1=（x－1） >0 在（0，2）恒成立，符合题意.
2

当 1<a<2 时，
ì1
1 2
a - £ ,
6 3
ï
(1)£ f (2),
ì f
ï
5
3
2
只需 í
， 即 í
解得1< a £
(a) ³ f (0).
1
1
î f
ï
ï
- a + a ³ 0.
3
2
î 6
2
当 a≥2 时，f（1）> f（2），不符合题意.
1 5
[ , ]
综上，实数 a 的取值范围是
.
……………………14 分
3 3
22. （本小题共 13 分）
解： （I）当 n=2 时，4 个整点分别为（1，1），（1，2），（2，1），（2，2）
所以 x +x 的所有可能值 2，3，4.…………………………3 分
1
2
（II） （i） 假设不存在互不相同的四个整点（x y ），（x’ y’ ）,（x ，y ），（x’ ，
1
1
1
，
1
2
2
2
，
y’ ），
2
满足 y =y '，y =y’ ，y ≠y .
1
1
2
2
1
2
即在直线 y=i（l≤i≤n，i∈N ）中至多有－条直线上取多于 1 个整点，其余每条直线上至
*
多取一个整点，此时符合条件的整点个数最多为n－1+n=2n－1.
5
2n -1<
n -1，
而
2
5
³ n -1
与已知 m
矛盾.
2
故存在互不相同的四个整点（x ，y），（x’ ，y’ ）,（x ，y ），（x’ ，y’ ），
1
1
1
2
2
2
2
满足 y =y '，y =y’ ，y ≠ y .
1
1
2
2
1
2
（ii）设直线 y=i（1≤i≤n，i∈N ）上有 a 个选定的点.
*
i
若 a ≥2，设 y=i 上的这 a 个选定的点的横坐标为 x ，x ，… ，x ，且满足 x <x <…< x .
i
i
1
2
ai
1
2
ai
< x + x
由 x +x <x +x <x +x <x +x <x +x …
1
2
1
3
2
3
2
4
3
4
ai-1
ai
知 x ，x ，…，x 中任意不同两项之和至少有 2a －3 个不同的值，这对于 a <2 也成立.
1
2
ai
i
i
由于 1，2，3，…，n 中任意不同两项之和的不同的值恰有 2n－3 个，
n
å (2 - 3) = 2 - 3 ³ 5 - 2 - 3 ³ 2 - 3
而
a
m n n
n
n
，
i
i=1
可知存在四个不同的点（x ，y ）（x ’，y ）（x ，y ），（x’ ，y ），
1
1
1
1
2
2
2
2
满足 x +x '=x +x '，y ≠y ，y ≠y .
1
1
2
2
1
2
1
2
……………………………………13 分
（若用其他方法解题，请酌情给分）

21. （本小题共 14 分）
1
(x) = x - x + x
解： （I ）当 a=1 时，因为 f
3
2
3
所以 f'（x）=x －2x+1，f'（0）=1.
2
又因为 f（0）=0，
所以曲线 y= f（x）在点（0，f（0））处的切线方程为 y=x.
1
(a +1)
(x) = x -
x + ax
.
2
（II） 因为 f
3
3
2
所以 f'（x）=x －（a +1）x+a=0.
2
令 f'（x）=0，解得 x=a 或 x=1.
若 a>1，当 f'（x）>0 即 x<1 或 x>a 时，函数 f（x）单调递增；
当 f'（x）<0 即 1<x<a 时，函数 f（x）单调递减.
若 a=1，则 f'（x）=x －2x+1=（x－1） ≥0，
2
2
当且仅当 x=1 时取等号，函数 f（x）是增函数.
若 a<1，当 f'（x）>0 即 x<a 或 x>1 时，函数 f（x）单调递增.
当 f'（x）<0 即 a<x<1 时，函数 f（x）单调递减.
综上，a>1 时，函数 f（x）单调递增区间为（－∞，1），（a， +∞），单调递减区间
为（1，a） ；
a=1 时，函数 f（x）单调递增区间为（－∞，+∞） ；
a<1 时，函数 f（x）单调递增区间为（－∞， a），（1，+∞），单调递减区间为（a，
1）.
………………………………9 分
（III） 令 f"（x）=x －（a+1）x+a=0， 解得 x=a 或 x=1.
2
当 a≤0 时，随 x 变化，f'（x），f（x） 变化情况如下表：
x
0
0
（0，1）
1
（1，2）
2
-
0
+
2
↘
极小值
↗
3
2
(2) - f (1) >
由表可知 f（0）>f（1），此时 f
，不符合题意.
3
当 0<a<1 时，随 x 变化，f’（x），f（x） 变化情况如下表：
x
0
(1,2)
+
2
+
0
-
0
2
0
↗
极大值
↘
↗
3
1
1
1
1
2
(a) = - a + a , f (1)= a - , f (2) =
由表可得 f（0）=0， f
，
3
2
6
2
2
6
3
且 f(0)<f(a)，f(1)<f(2)，
1
1
2
ì
- a + a £ ,
3
2
ï
(a) £ f (2),
(1)³ f (0).
ì f
ï
1
3
6
2
3
所以只需í
即í
解得
£ a <1.
1
1
î f
ï
ï
a - ³ 0.
î2 6
当 a=1 时，f'（x）=x－2x+1=（x－1） >0 在（0，2）恒成立，符合题意.
2

当 1<a<2 时，
ì1
1 2
a - £ ,
6 3
ï
(1)£ f (2),
ì f
ï
5
3
2
只需 í
， 即 í
解得1< a £
(a) ³ f (0).
1
1
î f
ï
ï
- a + a ³ 0.
3
2
î 6
2
当 a≥2 时，f（1）> f（2），不符合题意.
1 5
[ , ]
综上，实数 a 的取值范围是
.
……………………14 分
3 3
22. （本小题共 13 分）
解： （I）当 n=2 时，4 个整点分别为（1，1），（1，2），（2，1），（2，2）
所以 x +x 的所有可能值 2，3，4.…………………………3 分
1
2
（II） （i） 假设不存在互不相同的四个整点（x y ），（x’ y’ ）,（x ，y ），（x’ ，
1
1
1
，
1
2
2
2
，
y’ ），
2
满足 y =y '，y =y’ ，y ≠y .
1
1
2
2
1
2
即在直线 y=i（l≤i≤n，i∈N ）中至多有－条直线上取多于 1 个整点，其余每条直线上至
*
多取一个整点，此时符合条件的整点个数最多为n－1+n=2n－1.
5
2n -1<
n -1，
而
2
5
³ n -1
与已知 m
矛盾.
2
故存在互不相同的四个整点（x ，y），（x’ ，y’ ）,（x ，y ），（x’ ，y’ ），
1
1
1
2
2
2
2
满足 y =y '，y =y’ ，y ≠ y .
1
1
2
2
1
2
（ii）设直线 y=i（1≤i≤n，i∈N ）上有 a 个选定的点.
*
i
若 a ≥2，设 y=i 上的这 a 个选定的点的横坐标为 x ，x ，… ，x ，且满足 x <x <…< x .
i
i
1
2
ai
1
2
ai
< x + x
由 x +x <x +x <x +x <x +x <x +x …
1
2
1
3
2
3
2
4
3
4
ai-1
ai
知 x ，x ，…，x 中任意不同两项之和至少有 2a －3 个不同的值，这对于 a <2 也成立.
1
2
ai
i
i
由于 1，2，3，…，n 中任意不同两项之和的不同的值恰有 2n－3 个，
n
å (2 - 3) = 2 - 3 ³ 5 - 2 - 3 ³ 2 - 3
而
a
m n n
n
n
，
i
i=1
可知存在四个不同的点（x ，y ）（x ’，y ）（x ，y ），（x’ ，y ），
1
1
1
1
2
2
2
2
满足 x +x '=x +x '，y ≠y ，y ≠y .
1
1
2
2
1
2
1
2
……………………………………13 分
（若用其他方法解题，请酌情给分）