北京市房山区2020-2021学年高二上学期期末数学试题.docx

北京市房山区 2020-2021 学年高二上学期期末数学试题学校:_姓名：_班级：_考号：_一、单选题x2y21椭圆 +=1 的离心率是（）4 3131232ABCD222在空间若把平行于同一平面且长度相等的所有非零向量的起点放在同一点，则这些向量的终点构成的图形是（ ）A一个球B一个圆C半圆D一个点y2- x =1的渐近线方程为()3双曲线24122= 2xA yB = 2xC y= xD = yyx2( )= 2,-3,5()4已知向量aA1与向量 = 4, ,-1 垂直，则实数 x 的值为（）bxB1C6D6x2y2- =5已知双曲线1 的焦点为 F ，F ，P 为其上一点.若点 P 到 F 的距离为 15，64 36121则点 到 的距离是（F）P2A31B1C1D1 或 31()a()a6已知直线l 的方向向量a = -1,2,1 ，平面 的法向量b = -2,4, 2 ，则直线l 与平面的位置关系是()/Bl aCl aAl aDl a7在正方体 ABCDA B C D 中，向量与向量C A 的夹角是（1）AB1 1111A150B135C45D308已知抛物线 y2 =16=10x 上的点 到抛物线焦点的距离my，则 点 到 轴的距离dPP等于（）A12B9C6D3x2y2+ =1 2，则实数 的取值范围是()9已知双曲线的离心率ek4 k k 3或k-3 0ABC -12 0D -8 n 0n m 0 0C mnmn ，a b0F ，过点 F 的直线交椭圆3,017已知椭圆 E：的右焦点为a b22( )1,-1E，则 的方程为_.于 、 两点若A B的中点坐标为EAB三、双空题8y18抛物线 x2的准线方程是_，焦点坐标是_. 四、解答题- A B C= 3，BC， ，点= 4， AB = 5 AA = 419如图，在直三棱柱ABC中， AC1111是 AB 的中点DBC所成的角；（1）求异面直线与AC1AC /（2）求证：平面CDB11xy22中，点 F ，F 分别是椭圆 E: + =1(a b 0)的左、20在平面直角坐标系xOy12a2b24 1,(0,b)CCF右焦点，顶点 的坐标为B，且|= 2 ，点 是椭圆 E 上一点，直线B F23 32交椭圆于点 A（1）求椭圆 E 的方程；（2）求DABC的面积: y = 2 px( p 0)21已知F 为抛物线C点，O为坐标原点的焦点，过点F 的直线交抛物线于 A， 两B2（1）当抛物线C 过点 M(1,-2) 时，求抛物线 的方程；C（2）证明：OA OB22如图，在四棱锥 PABCD 中，底面 ABCD 为矩形，PA平面 ABCD，ABPA1，上一点.是定值= 3， 是中点， 为E BCADFPB （1）求证： 平面 PBC；AF（2）当为何值时，二面角 为 45.C PE DBE 参考答案1D【解析】【分析】x2y2c+ =1c=方程可知 、 、 的值，由离心率e由椭圆a求出结果b4 3a【详解】x2y2= 23 c =1， ，+ =1可知，a=解：由椭圆，b4 3c 1= = 离心率e，a 2故选： D【点睛】a c本题考查椭圆的标准方程，以及椭圆的简单性质的应用，求出 、 的值是解题的关键，属于基础题2B【分析】利用共面向量的概念及向量的模即可得答案【详解】解：平行于同一平面的所有非零向量是共面向量，把它们的起点放在同一点，则终点在同一平面内，又这些向量的长度相等，则终点到起点的距离为定值故在空间把平行于同一平面且长度相等的所有非零向量的起点放在同一点，则这些向量的终点构成的图形是一个圆故选： B【点睛】本题考查方程，关键是理解共面向量的概念，属于基础题3A【分析】x2y2ba- =1= 直接利用双曲线的标准方程程即可的渐近线方程为 yx ，求出双曲线的渐近线方a2 b2 【详解】y2y= 2x- x =1解：因为双曲线的标准方程为2，则它的渐近线方程为：4故选： A【点睛】本题考查双曲线的渐近线方程的求法，考查计算能力，属于基础题4B【分析】根据数量积的坐标计算公式代入可得x 的值【详解】( )= 2,-3,5()解：向量a，与向量 = 4, ,-1 垂直，则a b= 0 ，bx由数量积的坐标公式可得：2 4 + (-3) x + 5(-1)= 0解得 x=1，故选： B【点睛】本题考查空间向量的坐标运算，以及数量积的坐标公式，属于基础题5A【分析】直接利用双曲线的定义，转化求解即可【详解】x y22- =1F F的焦点为 ， ， 为其上一点P解：双曲线64 3612PF - PF = 2a =16所以，12FPF =15若点 到 的距离为P，1115- PF =16，2PF = 31 PF = -1（舍去），解得或22F所以点 到 的距离是：31 P2故选： A 【点睛】本题考查双曲线的简单性质的应用，双曲线的定义的应用，属于基础题6B【分析】 ab a2a ，判断 与 共线，即可得解l由已知可求 =b【详解】()(b)a解： 直线 的方向向量 = -1,2,1 ，平面 的法向量 = -2,4,2 ，lab = 2a，则 与 共线，可得：l a b a故选： B【点睛】本题考查满足线面平行的条件的判断，考查线面垂直的性质等基础知识，考查运算求解能力，属于基础题7B【分析】由题意利用正方体的性质，求出向量【详解】与向量C A 的夹角1AB1ABCD - A B C DAC/AC， ，解：如图，正方体中，/AB A B11111111C A B 的补角即为向量与向量C A 的夹角1 1AB111DC A B 为等腰直角三角形，11 1C A B = 45 ，11 1量与向量C A 的夹角为180 - 45 =135 ，AB11故选： B 【点睛】本题主要考查两个向量的夹角，正方体的性质，属于中档题8C【分析】y由抛物线的性质可得到焦点的距离等于到准线的距离，求出 的横坐标，即为 到 轴的PP距离【详解】= -4解：由抛物线的方程可得准线方程为：x，设 的横坐标为 ，由抛物线的性质可得P x0x = 6yx + 4 =10，所以，所以 到 轴的距离为 6，P00故选：C 【点睛】考查抛物线的定义的理解，属于基础题9C【分析】直接利用双曲线的方程，求出离心率，利用已知条件求解即可【详解】x2y24 -kk 0+ =1解：双曲线可知，并且a= 2，c= 4 - k，双曲线的离心率为： =，e4 k21 e 2 ，4 - k 1 2，2解得 -12 0 ，综上 -12 0n m则等价为， n 0解得： m，故选： A【点睛】本题主要考查椭圆的定义和方程，将条件转化为标准方程形式是解决本题的关键，属于基础题12D【分析】由题意画出图形，证明Q 到直线Q 的轨迹AB的距离为Q 到G 点的距离，再由抛物线的定义得动点1【详解】解：如图，- A B C DA D AA B B1在正方体 ABCD A B中，有平面，则，ABA D1111111111A B A D 平面又 AB，= ，平面，A BCD1A B A D1A1A BCD1111111111 AB 平面，A BCD111设= ，连接A B AB G，则 ，垂直为G ，QG ABQG111而G 与 BC 在平面内，且 G BC，A BCD11又点Q 到直线AB和直线BC的距离相等，即点Q 到G 的距离与到直线 BC 的距离相等，1 由抛物线定义可知，动点Q 的轨迹是抛物线的一部分故选： D【点睛】本题考查轨迹方程的求法，考查空间想象能力与思维能力，考查抛物线定义的应用，属于中档题p130， .2【分析】pqq当直线在平面内或直线平行于平面时， 取最小值 0，当直线与平面垂直时， 取最大值 ，2q由此能求出角 的取值范围【详解】q解： 是直线与平面所成的角，当直线在平面内或直线平行于平面时，q 取最小值 0，p当直线与平面垂直时，q 取最大值 ，2pq0, 角 的取值范围是2p0,故答案为：【点睛】2本题考查线面角的取值范围的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，属于基础题148.【分析】直接利用双曲线标准方程，求出实轴长即可【详解】y2x2- =1解：双曲线的实轴长为：2 = 2 4 = 8 a16 9故答案为：8【点睛】 本题考查双曲线的简单性质的应用，是基本知识的考查，属于基础题15.【分析】（1）根据双曲线的定义知不正确，（2）解方程知两个正根，一根大于 1 作双曲线的离心率，一根小于 1 作椭圆的离心率，判定正确；，（3）求出双曲线的焦点与椭圆的焦点，判定正确【详解】F F解：平面内与两个定点 ， 的距离的差的绝对值等于常数k k F F|) 的点的轨迹叫做( |1212双曲线，当0 k 0)(1,-2)，解：（1）因为抛物线C过点 M24 = 2p2，=所以， p2 = 4x所以抛物线 的方程 yC；ppy = k(x - )2( ,0)（2）证明：当直线l 斜率存在时， F，设直线l 的方程为，则2p= k(x - )(1)y2，2 = 2 (2)pxy2kp k2 p将（1）代入（2）得，-px= 2 ，化简得kx2 k2 p- (p x+ 2 ) += 0 ，kx24( ) ( )p2x , yx , y=设 A， 的坐标分别为，则 x x，B112241 2= 2 px= 2= 2因为点 A， 都在抛物线 y上，所以 y2px ， y12px ，22B12所以= 2p2，所以=，p4y21y22x x1y21y222 xy y 0，所以Ay y = - p2 ，1 2因为点 ， B 分布在 轴的两侧，所以123OA = (x , y ) OB = (x , y )所以，所以OA OB = x x + y y = - p ，是定值241122121 2pF( ,0)2p(xx = x =A当直线l 无斜率时，设 ，B 的坐标分别为 ，y ) ，(x ，y ) ，则，1221212y = 2 px得， y = p ， y = p ，代入抛物线方程2212222xy y 0，所以Ay y = - p2 ，1 2所以 y y = p ，因为点 ， B 分布在 轴的两侧，所以21241223OA = (x , y ) OB = (x , y )所以，所以OA OB = x x + y y = - p ，是定值241122121 23p2综上，OA OB = -，是定值4【点睛】本题考查抛物线的标准方程及简单几何性质，直线与抛物线的位置关系，考查韦达定理，考查分类讨论思想，计算能力，属于中档题5 322（1）证明见解析（2）BE =6【分析】yx为 轴，AADABAP 为 z 轴，建立空间直角坐标系，利用向为 轴，（1）以 为原点，量法能证明AF 平面 PBC ( )BE = a E a，,1,0，求出平面PDEPCE（2）设的法向量和平面的法向量，利用向量法5 36能求出当 BE =时，二面角C - PE - D 为45【详解】y为 轴，x为 轴，A解：（1）证明：以 为原点，ADABAP为 z 轴，建立空间直角坐标系，AD = 3PB中点，AB = PA=1， F 是( )D 3,0,0 A(00) P(0，0， ，1) B(0，0， ，0) C( 3，1， ，0)，1， ，11F(0， ， ) ，PB = (0,1,-1)， PC = ( 3,1,-1)，2211AF = (0 ， ， ) ，22，AF PB = 0 AF PC = 0，AF PBAF PC， AF 平面PBC= a ( 0)， E a ，1， ，（2）设 BE= ( - 3,1,0) ，PD= ( 3,0, -1)，DEa设平面的法向量 = ( , , ) ，x y zPDEnn DE = (a - 3)x + y = 0则，n PD = 3x - z = 0取 x=1，得 n = (1， 3) ，3 - a1 1平面 PCE 的法向量为= (0, , ) ，AF2 2二面角 - 为45，C PE D12，22 cos =222 - 2 3 + 7aa5 3解得 =，a65 3时，二面角C- PE - D为45 当BE =6【点睛】本题考查直线与平面垂直的证明，考查使得二面角为45的线段长的求法，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用，属于中档题xy y 0，所以Ay y = - p2 ，1 2因为点 ， B 分布在 轴的两侧，所以123OA = (x , y ) OB = (x , y )所以，所以OA OB = x x + y y = - p ，是定值241122121 2pF( ,0)2p(xx = x =A当直线l 无斜率时，设 ，B 的坐标分别为 ，y ) ，(x ，y ) ，则，1221212y = 2 px得， y = p ， y = p ，代入抛物线方程2212222xy y 0，所以Ay y = - p2 ，1 2所以 y y = p ，因为点 ， B 分布在 轴的两侧，所以21241223OA = (x , y ) OB = (x , y )所以，所以OA OB = x x + y y = - p ，是定值241122121 23p2综上，OA OB = -，是定值4【点睛】本题考查抛物线的标准方程及简单几何性质，直线与抛物线的位置关系，考查韦达定理，考查分类讨论思想，计算能力，属于中档题5 322（1）证明见解析（2）BE =6【分析】yx为 轴，AADABAP 为 z 轴，建立空间直角坐标系，利用向为 轴，（1）以 为原点，量法能证明AF 平面 PBC ( )BE = a E a，,1,0，求出平面PDEPCE（2）设的法向量和平面的法向量，利用向量法5 36能求出当 BE =时，二面角C - PE - D 为45【详解】y为 轴，x为 轴，A解：（1）证明：以 为原点，ADABAP为 z 轴，建立空间直角坐标系，AD = 3PB中点，AB = PA=1， F 是( )D 3,0,0 A(00) P(0，0， ，1) B(0，0， ，0) C( 3，1， ，0)，1， ，11F(0， ， ) ，PB = (0,1,-1)， PC = ( 3,1,-1)，2211AF = (0 ， ， ) ，22，AF PB = 0 AF PC = 0，AF PBAF PC， AF 平面PBC= a ( 0)， E a ，1， ，（2）设 BE= ( - 3,1,0) ，PD= ( 3,0, -1)，DEa设平面的法向量 = ( , , ) ，x y zPDEnn DE = (a - 3)x + y = 0则，n PD = 3x - z = 0取 x=1，得 n = (1， 3) ，3 - a1 1平面 PCE 的法向量为= (0, , ) ，AF2 2二面角 - 为45，C PE D12，22 cos =222 - 2 3 + 7aa5 3解得 =，a65 3时，二面角C- PE - D为45 当BE =6【点睛】本题考查直线与平面垂直的证明，考查使得二面角为4