上海市宝山区2020届高三上学期教学质量监测(一模)数学试题-Word版含答案.docx

上海市宝山区 2020 届高三一模数学试卷
2019.12
一. 填空题（本大题共 12 题，1-6 每题 4 分，7-12 每题 5 分，共 54 分）
1. 若 z(1+ i) = 2i
| z |=
（ 是虚数单位），则
i
l
- 4 2
= 5
l =
，则
2. 已知
-l
1
= 3
x £1）的反函数是
3. 函数 y
（
x-1
4. 2019年女排世界杯共有 12 支参赛球队，赛制采用 12 支队伍单循环，两两捉对厮杀一
场定胜负，依次进行，则此次杯赛共有
场球赛
= -6x
5. 以抛物线 y2
的焦点为圆心，且与抛物线的准线相切的圆的方程是
- x) (1+ x )
6. 在(1
的展开式中， x3的系数为
5
3
- x - 2 |> x - 3x - 6
7. 不等式| x
的解集是
2
2
- kx + 2 = 0 k ÎR
（
x
1
| x - x |= 2
k =
，则
8. 已知方程 x2
）的两个虚根为 、 x ，若
2
1
2
9. 已知直线l 过点(-1,0) 且与直线2x - y = 0
垂直，则圆
x + y - 4x + 8y = 0
与直线l 相
2
2
交所得的弦长为
10. 有一个空心钢球，质量为 142 g ，测得外直径为 5 cm ，则它的内直径是
cm
（钢的密度为 7. 9 g / cm ，精确到 0.1cm ）
3
= a ×b ，若{c }前三项是 7、9、9，则c =
11. 已知{a } 、{b }均是等差数列，c
n
n
n
n
n
n
10
16
> b > 0
a +
12. 已知 a
，那么，当代数式 2
取最小值时，点P(a,b) 的坐标为
b(a - b)
二. 选择题（本大题共 4 题，每题 5 分，共 20 分）
1
= ln x - + a 在区间(1,e)
13. 若函数 f (x)
上存在零点，则常数a 的取值范围为（
）
x
1
1
1
0 < a <1
B. < a <1
-1< a <1
+1< a <1
A.
C.
D.
e
e
e
14. 下列函数是偶函数，且在[0,+¥)
上单调递增的是（
）
= log (4 +1)- x
= -
B. f (x) | x | 2cos x
A. f (x)
x
2
- 1 -

ì
1
+
x ¹ 0
= 0
ïx
2
=
=
D. f (x) 10
C. f (x) í
x2
|lg x|
ï
î 0
x
Í
Í
Í
15. 已知平面a 、 b 、g 两两垂直，直线a 、b、c 满足 a a ，b b ，c g ，则直线a 、
b、c 不可能满足的是（
A. 两两垂直
）
B. 两两平行
C. 两两相交
D. 两两异面
+ bcosx = a + b sin(x + )
16. 提鞋公式也叫李善兰辅助角公式，其正弦型如下：asin x
j ，
2
2
p j p
- < <
，下列判断错误的是（
）
b
a
> 0 b > 0 = arctan
， 时，辅助角j
A. 当 a
B. 当 a
C. 当 a
D. 当 a
b
> 0 b < 0
，
j = arctan +p
时，辅助角
时，辅助角
时，辅助角
a
b
< 0 b > 0
，
j = arctan +p
a
b
< 0 b < 0
，
j = arctan -p
a
三. 解答题（本大题共 5 题，共 14+14+14+16+18=76 分）
- A B C D
17. 在直四棱柱 ABCD
长为 2 的菱形，ÐBAD = 60
中，底面四边形 ABCD 是边
1
1
1
1
DD = 3，E 是 AB 的中点.
，
°
1
- EBCD
（1）求四棱锥C
的体积；
1
（2）求异面直线C E 和 AD 所成角的大小.
1
（结果用反三角函数值表示）
p
= sin xcos( + x) + 3sin xcosx
18. 已知函数 f (x)
.
2
（1）求函数 f (x) 的最小正周期及对称中心；
- 2 -

p
[0, ]
2
= a
x
1
x
2
x + x
上有两个解 、 ，求 a 的取值范围及 的值.
（2）若 f (x)
在区间
1
2
19. 一家污水处理厂有 A、B 两个相同的装满污水的处理池，通过去掉污物处理污水，A 池用
传统工艺成本低，每小时去掉池中剩余污物的10%，B 池用创新工艺成本高，每小时去掉池中
剩余污物的 19%.
（1）A 池要用多长时间才能把污物的量减少一半；（精确到 1 小时）
（2）如果污物减少为原来的 10%便符合环保规定，处理后的污水可以排入河流，若A、B 两
池同时工作，问经过多少小时后把两池水混合便符合环保规定.（精确到 1 小时）
x
y2
2
= t (0 < t < 2)
G : +
与椭圆
=1相交于 A、B 两点，其中 A 在第一
20. 已知直线l : x
4 2
象限，M 是椭圆上一点.
G
F
M F
（1）记 F 、 F 是椭圆 的左右焦点，若直线 AB 过 ，当 到 的距离与到直线 AB
1
2
2
1
的距离相等时，求点 M 的横坐标；
（2）若点 M、A 关于 y 轴对称，当
的面积最大时，求直线 MB 的方程；
MAB
×| OQ |
（3）设直线 MA 和 MB 与 x 轴分别交于 P、Q，证明：| OP |
为定值.
- 3 -

= 1 a = e
a = a ×a
，令
21. 已知数列{a } 满足 a
，
（ 是自然对数的底数），且
e
n
n
+2
n+1
n
1
2
b = lna （ nÎ N*）.
n
n
> b b
（1）证明：b
；
n+2
n+1 n
b - b
2
1
（2）证明：{
} 是等比数列，且{b }的通项公式是b
n
= [1- (- ) ]
；
n+2
n+1
n
-1
b - b
n+1
3
2
n
n
（3）是否存在常数 t，对任意自然数nÎ N
否则，说明理由.
均有
b ³ tb
成立？若存在，求 t 的取值范围，
*
n+1
n
- 4 -

- 5 -

- 6 -

- 7 -

- 8 -

- 7 -

- 8 -