贵州省铜仁市思南中学2017届高三上学期期中考试数学文试卷(解析版).doc

2016-2017学年贵州省铜仁市思南中学高三（上）期中数学试卷（文科）
参考答案与试题解析

一、选择题（共60分，每小题5分）
1．（2016•平度市一模）已知集合P={0，m}，Q={x|2x2﹣5x＜0，x∈Z}，若P∩Q≠，则m等于（　　）
A．2 B．1 C．1或2 D．1或
【考点】集合关系中的参数取值问题．
【专题】计算题．
【分析】先求出集合P，然后根据P∩Q≠，则集合P中含有集合Q的元素，从而求出m的取值．
【解答】解：Q={x|2x2﹣5x＜0，x∈Z}={x|0＜x，x∈Z}={1，2}
集合P={0，m}，P∩Q≠，集合P中含有集合Q的元素，
∴m=1或2
故选C
【点评】本题主要考查了集合关系中的参数取值问题，以及交集的运算，属于容易题．

2．（2015•河南模拟）已知复数z满足（1+i）z=1+i，则|z|=（　　）
A． B． C． D．2
【考点】复数代数形式的乘除运算．
【专题】数系的扩充和复数．
【分析】利用复数代数形式的乘除运算化简求出z，然后直接代入复数模的公式求解．
【解答】解：∵（1+i）z=1+i，
∴=．
∴．
故选：A．
【点评】本题考查了复数代数形式的乘除运算，考查了复数模的求法，是基础题．

3．（2016秋•思南县校级期中）如图程序框图的算法思路源于我国古代数学名著《九章算术》中的“更相减损术”．执行该程序框图，若输入a，b分别为16，20，则输出的a=（　　）

A．0 B．2 C．4 D．14
【考点】程序框图．
【专题】转化思想；算法和程序框图．
【分析】利用更相减损术可得：a=16，b=20，16＜20，可知：第一次运算可得：b=20﹣16=4；a=16，b=4，4＜16，…，以此类推直到a=b即可结束．
【解答】解：∵a=16，b=20，16＜20，
可知：第一次运算可得：b=20﹣16=4；
∴a=16，b=4，4＜16，
第二次运算可得：a=16﹣4=12；
∴a=12，b=4，4＜12，
第三次运算可得：a=12﹣4=8；
∴a=8，b=4，4＜8，
第四次运算可得：a=8﹣4=4；
此时a=b=4，输出a，即4．
故选：C．
【点评】本题考查了更相减损术、算法与程序框图，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．

4．（2010•成都一模）在△ABC中，AB=2，AC=1，=，则•的值为（　　）
A． B． C． D．
【考点】平面向量数量积的运算；相等向量与相反向量．
【专题】计算题；压轴题．
【分析】由已知条件，我们易得D为△ABC中BC边的中点，根据向量加法的平行四边形法则，我们可将、用表示，代入平面向量数量积的公式，即可得到答案．
【解答】解：由可得
D为BC边的中点，
由向量加法的平行四边形法则可得：
==（）
=（）
∴=（）•（）
=（）
又∵AB=2，AC=1
∴=﹣
故选：C
【点评】本题考查的知识点是平面向量数量积的运算，向量加减法的平行四边形法则，其中根据向量加减法的平行四边形法则，将、用表示，是解答本题的关键．

5．（2016秋•思南县校级期中）已知sin（+α）=，则cos（﹣2α）的值等于（　　）
A． B． C． D．
【考点】运用诱导公式化简求值．
【专题】三角函数的求值．
【分析】已知等式中的角度变形后，利用诱导公式求出cos（﹣α）的值，原式利用二倍角的余弦函数公式化简后，将cos（﹣α）代入计算即可求出值．
【解答】解：∵sin（+α）=sin[﹣（﹣α）]=cos（﹣α）=，
∴cos（﹣2α）=2cos2（﹣α）﹣1=﹣．
故选：C．
【点评】此题考查了运用诱导公式化简求值，熟练掌握诱导公式是解本题的关键．

6．（2016秋•思南县校级期中）△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，若sinA，sinB，sinC成等比数列，且c=2a，则cosB=（　　）
A． B． C． D．
【考点】余弦定理；正弦定理．
【专题】转化思想；综合法；解三角形．
【分析】利用等比数列的定义求得b2=ac，再利用c=2a以及余弦定理求得cosB的值．
【解答】解：△ABC中，∵sinA，sinB，sinC成等比数列，
∴sin2B=sinAsinC，∴b2=ac．
∵c=2a，∴b2=2a2，
则cosB===，
故选：D．
【点评】本题主要考查等比数列的定义，余弦定理的应用，属于基础题．

7．（2011•徐水县一模）若定义域为（﹣∞，0）∪（0，+∞），f（x）在（0，+∞）上的图象如图所示，则不等式f（x）f′（x）＞0的解集是（　　）

A．（﹣∞，﹣1）∪（0，1） B．（﹣1，0）∪（1，+∞） C．（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞） D．（﹣1，0）∪（0，1）
【考点】函数奇偶性的性质；函数单调性的性质；导数的运算．
【专题】计算题．
【分析】本题考查的知识点是函数奇偶性及单调性，由f（x）为偶函数，我们可以根据偶函数的性质﹣﹣偶函数的图象关于Y轴对称，判断出函数图象在Y轴左侧的情况，然后结合导数的意义，不难求出等式f（x）f′（x）＞0的解集．
【解答】解：由图可知：
f（x）在区间（0，+∞）上单调递增，
则在区间（0，+∞）上f'（x）＞0．
又由f（x）为偶函数．
则f（x）在区间（﹣∞，0）上单调递减，
则在区间（﹣∞，0）上f'（x）＜0．
由f（﹣1）=f（1）=0可得
在区间（﹣∞，﹣1）上f'（x）＜0，f（x）＞0．
在区间（﹣1，0）上f'（x）＜0，f（x）＜0．
在区间（0，1）上f'（x）＞0，f（x）＜0．
在区间（1，+∞）上f'（x）＞0，f（x）＞0．
故不等式f（x）f′（x）＞0的解集为（﹣1，0）∪（1，+∞）
故选B

【点评】利用导数研究函数的单调性比用函数单调性的定义要方便，f′（x）＞0（或f′（x）＜0）仅是f（x）在某个区间上为增函数（或减函数），反之，f（x）在某个区间上为增函数（或减函数），则f′（x）＞0（或f′（x）＜0）．

8．（2016秋•思南县校级期中）已知函数f（x）=alnx+x在区间[2，3]上单调递增，则实数a的取值范围是（　　）
A．[﹣2，+∞） B．[﹣3，+∞） C．[0，+∞） D．（﹣∞，﹣2）
【考点】利用导数研究函数的单调性．
【专题】常规题型；综合法；导数的综合应用．
【分析】由题意知函数f（x）=alnx+x，定义域为（0，+∞），函数f（x）在[2，3]上单调递增，则是要求f'（x）在[2，3]上恒大于0；从而求出a的取值范围．
【解答】解：由题意知函数f（x）=alnx+x，定义域为（0，+∞）
则：f'（x）=+1
函数f（x）在[2，3]上单调递增，说明f'（x）在[2，3]上恒大于0；
当a≥0时，f'（x）＞0，则f（x）在[2，3]上单调递增；
当a＜0时，f'（x）为单调递增函数，则最小值f'（2）≥0，即：，解得：a≥﹣2
综上，a的取值范围为：[﹣2，+∞）
故选：A
【点评】本题主要考查了利用导函数判断原函数的单调性，以及参数分类讨论知识点，属中档题．

9．（2015•龙泉驿区校级模拟）将函数f（x）=2sin（2x+）的图象向右平移φ（φ＞0）个单位，再将图象上每一点的横坐标缩短到原来的倍（纵坐标不变），所得图象关于直线x=对称，则φ的最小值为（　　）
A．π B．π C．π D．π
【考点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．
【专题】三角函数的图像与性质．
【分析】由题意根据函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，可得所得图象对应的函数为 y=2sin（4x+﹣2φ），再利用正弦函数的图象的对称性，求得φ=﹣+，k∈z，由此求得φ的最小值．
【解答】解：将函数f（x）=2sin（2x+）的图象向右平移φ（φ＞0）个单位，
可得y=2sin[2（x﹣φ）+]=2sin（2x+﹣2φ）的图象；
再将图象上每一点的横坐标缩短到原来的倍（纵坐标不变），
所得图象对应的函数为 y=2sin（4x+﹣2φ）．
再根据所得图象关于直线x=对称，可得 4×+﹣2φ=kπ+，k∈z，
即φ=﹣+，故φ的最小值为，
故选：C．
【点评】本题主要考查函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，正弦函数的图象的对称性，属于基础题．

10．（2016秋•思南县校级期中）过抛物线y2=2px的焦点F作直线l交抛物线于A，B两点，O为坐标原点，则△OAB的形状为（　　）
A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．不确定
【考点】抛物线的简单性质．
【专题】综合题；转化思想；演绎法；圆锥曲线的定义、性质与方程．
【分析】设过A，B的坐标为（x1，y1），（x2，y2），求出=x1x2+y1y2=+y1y2=﹣＜0，得到三角形的形状．
【解答】解：设过A，B的坐标为（x1，y1），（x2，y2），
则=x1x2+y1y2=+y1y2=﹣＜0
∴三角形为钝角三角形．
故选C

【点评】本题考查三角形形状的判定，具体涉及到抛物线、直线与抛物线的位置关系、向量等知识点，解题时要认真审题，仔细解答，注意合理地进行等价转化．

11．（2012•吉安县校级模拟）若方程（x﹣2cosθ）2+（y﹣2sinθ）2=1（0≤θ≤2π）的任意一组解（x，y）都满足不等式x≤y，则θ的取值范围是（　　）
A． B． C． D．
【考点】圆的标准方程；正弦函数的定义域和值域；余弦函数的定义域和值域．
【专题】综合题．
【分析】方程（x﹣2cosθ）2+（y﹣2sinθ）2=1（0≤θ≤2π）表示的曲线在x=y的左上方（包括相切），由此可建立不等式，利用三角函数知识，即可求得θ的取值范围．
【解答】解：由题意，方程（x﹣2cosθ）2+（y﹣2sinθ）2=1（0≤θ≤2π）表示的曲线在x=y的左上方（包括相切），则
，∴sin（θ﹣）≥
∵0≤θ≤2π，∴
∴
∴
∴θ的取值范围是
故选B．
【点评】本题考查直线与圆的位置关系，考查三角函数知识的运用，解题的关键是将问题转化为方程（x﹣2cosθ）2+（y﹣2sinθ）2=1（0≤θ≤2π）表示的曲线在x=y的左上方（包括相切）．

12．（2013•揭阳校级模拟）函数f（x）=cos2x﹣2cos2的一个单调增区间是（　　）
A． B． C． D．
【考点】复合三角函数的单调性．
【专题】计算题；压轴题；转化思想；换元法．
【分析】化简函数为关于cosx的二次函数，然后换元，分别求出单调区间判定选项的正误．
【解答】解．函数=cos2x﹣cosx﹣1，
原函数看作g（t）=t2﹣t﹣1，t=cosx，
对于g（t）=t2﹣t﹣1，当时，g（t）为减函数，
当时，g（t）为增函数，
当时，t=cosx减函数，
且，∴原函数此时是单调增，
故选A
【点评】本题考查三角函数的单调性，考查发现问题解决问题的能力，是中档题．

二、填空题（共20分，每小题5分）
13．（2012•陕西二模）已知cosα=﹣且α∈（，π），则tan（α+=）　　．
【考点】两角和与差的正切函数；同角三角函数间的基本关系．
【专题】三角函数的求值．
【分析】利用同角三角函数的基本关系求得sinα=，可得tanα=﹣，再由tan（α+）=，运算求得结果．
【解答】解：∵已知cosα=﹣且α∈（，π），∴sinα=，tanα==﹣．
∴tan（α+）===，
故答案为 ．
【点评】本题主要考查同角三角函数的基本关系，两角和的正切公式的应用，属于中档题．

14．（2016秋•思南县校级期中）向量=（cos10°，sin10°），=（cos70°，sin70°），|﹣2|=　　．
【考点】向量的模；平面向量数量积的运算．
【专题】平面向量及应用．
【分析】利用数量积运算及其性质、向量模的计算公式即可得出．
【解答】解：∵向量=（cos10°，sin10°），=（cos70°，sin70°），
∴=cos10°cos70°+sin10°sin70°=cos（70°﹣10°）=cos60°=．
||==1，同理=1．
∴|﹣2|===．
故答案为：．
【点评】本题考查了数量积运算及其性质、向量模的计算公式，属于基础题．

15．（2013•上海校级模拟）设F1、F2分别是双曲线x2﹣=1的左右焦点，点P在双曲线上，且•=0，则|+|=　　．
【考点】双曲线的简单性质．
【专题】计算题．
【分析】先求出F1，F2的坐标、焦点坐标，由两个向量的数量积等于0得，PF1⊥PF2，勾股定理成立，可求|pF1|2+|PF2|2，计算所求式子的平方，可得所求式子的值．
【解答】解：由题意知，a=1，b=3，∴c=，F1（﹣，0），F2（，0），
∵P在双曲线上，且，∴PF1⊥PF2，∴|pF1|2+|PF2|2=（2c）2=40，
所求式子是个非负数，所求式子的平方为：
∴|pF1|2+|PF2|2﹣2 •=40﹣0=40，
则=2，
故答案为2．
【点评】本题考查双曲线的简单性质，两个向量的数量积，体现转化的数学思想．

16．（2016秋•思南县校级期中）已知数列{an}满足：a1=1且an+1=2an+1，n∈N*，设bn=n（an+1），则数列{bn}的前n项和Sn=　（n﹣1）2n+1+2　．
【考点】数列递推式．
【专题】方程思想；转化思想；等差数列与等比数列．
【分析】由an+1=2an+1，可得an+1+1=2（an+1），利用等比数列的通项公式可得an+1，再利用“错位相减法”与等比数列的求和公式即可得出．
【解答】解：∵an+1=2an+1，
∴an+1+1=2（an+1），
∴数列{an+1}是等比数列，公比为2，首项为2．
∴an+1=2n，
∴bn=n（an+1）=n•2n，
∴数列{bn}的前n项和Sn=2+2×22+3×23+…+n•2n，
2Sn=22+2×23+…+（n﹣1）•2n+n•2n+1，
∴﹣Sn=2+22+…+2n﹣n•2n+1=﹣n•2n+1，
∴Sn=（n﹣1）2n+1+2．
故答案为：（n﹣1）2n+1+2．
【点评】本题考查了等比数列的通项公式与求和公式、数列递推关系，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．

三、解答题（共70分）
17．（12分）（2011•浙江校级模拟）已知向量=（sinA，）与=（3，sinA+）共线，其中A是△ABC的内角．
（1）求角A的大小；
（2）若BC=2，求△ABC面积S的最大值，并判断S取得最大值时△ABC的形状．
【考点】向量的共线定理；基本不等式；两角和与差的正弦函数；正弦定理．
【专题】计算题．
【分析】（1）根据向量平行得出角2A的等式，然后根据两角和差的正弦公式和A为三角形内角这个条件得到A．
（2）根据余弦定理代入三角形的面积公式，判断等号成立的条件．
【解答】解：（1）因为∥，所以；
所以，
即，
即．
因为A∈（0，π），所以．
故，；
（2）由余弦定理，得4=b2+c2﹣bc．
又，
而b2+c2≥2bc⇒bc+4≥2bc⇒bc≤4，（当且仅当b=c时等号成立）
所以；
当△ABC的面积取最大值时，b=c．又；
故此时△ABC为等边三角形．
【点评】本题为三角函数公式的应用题目，属于中档题

18．（12分）（2014•新课标II）某地区2007年至2013年农村居民家庭人均纯收入y（单位：千元）的数据如表：
年份
2007
2008
2009
2010
2011
2012
2013
年份代号t
1
2
3
4
5
6
7
人均纯收入y
2.9
3.3
3.6
4.4
4.8
5.2
5.9
（Ⅰ）求y关于t的线性回归方程；
（Ⅱ）利用（Ⅰ）中的回归方程，分析2007年至2013年该地区农村居民家庭人均纯收入的变化情况，并预测该地区2015年农村居民家庭人均纯收入．
附：回归直线的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：=，=﹣．
【考点】线性回归方程．
【专题】计算题；概率与统计．
【分析】（Ⅰ）根据所给的数据，利用最小二乘法可得横标和纵标的平均数，横标和纵标的积的和，与横标的平方和，代入公式求出b的值，再求出a的值，写出线性回归方程．
（Ⅱ）根据上一问做出的线性回归方程，代入所给的t的值，预测该地区2015年农村居民家庭人均纯收入，这是一个估计值．
【解答】解：（Ⅰ）由题意，=×（1+2+3+4+5+6+7）=4，
=×（2.9+3.3+3.6+4.4+4.8+5.2+5.9）=4.3，
∴===0.5，
=﹣=4.3﹣0.5×4=2.3．
∴y关于t的线性回归方程为=0.5t+2.3；

（Ⅱ）由（Ⅰ）知，b=0.5＞0，故2007年至2013年该地区农村居民家庭人均纯收入逐年增加，平均每年增加0.5千元．
将2015年的年份代号t=9代入=0.5t+2.3，得：
=0.5×9+2.3=6.8，
故预测该地区2015年农村居民家庭人均纯收入为6.8千元．
【点评】本题考查线性回归分析的应用，本题解题的关键是利用最小二乘法认真做出线性回归方程的系数，这是整个题目做对的必备条件，本题是一个基础题．

19．（12分）（2016秋•思南县校级期中）如图，在三棱锥P﹣ABC中，PA⊥平面ABC，AB⊥BC，DE垂直平分线段PC，且分别交AC、PC于D、E两点，PB=BC，PA=AB=1．
（1）求证：PC⊥平面BDE；
（2）求三棱锥E﹣BCD的外接球的表面积．

【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积；棱柱、棱锥、棱台的侧面积和表面积；直线与平面垂直的判定．
【专题】计算题；证明题；空间位置关系与距离；立体几何．
【分析】（1）由已知可得DE⊥PC，BE⊥PC，由线面垂直的判定定理可得：PC⊥平面BDE；
（2）三棱锥E﹣BCD的外接球的球心即线段BC的中点，BC是球的直径，进而得到答案．
【解答】（12分）
（1）证明：∵DE垂直平分线段PC，
∴DE⊥PC，
又由PB=BC，PE=CE，
∴BE⊥PC，
又由BE，DE⊂平面BDE，BE∩DE=E，
∴PC⊥平面BDE
（2）解：连接BD，
由（1）中PC⊥平面BDE得：PC⊥BD，
PA⊥平面ABC得：PA⊥BD，
又由PA，PC⊂平面PAC，PA∩PC=P，
∴BD⊥平面PAC，
∴BD⊥AC，
而BE⊥PC，
故三棱锥E﹣BCD的外接球的球心即线段BC的中点，BC是球的直径，
∵BC=，
∴三棱锥E﹣BCD的外接球的表面积S=2π．
【点评】本题考查的知识点是直线与平面垂直的判定定理，球内接多面体，球的体积与表面积，难度中档．

20．（12分）（2014•广东）已知椭圆C：+=1（a＞b＞0）的右焦点为（，0），离心率为．
（1）求椭圆C的标准方程；
（2）若动点P（x0，y0）为椭圆C外一点，且点P到椭圆C的两条切线相互垂直，求点P的轨迹方程．
【考点】轨迹方程；椭圆的标准方程．
【专题】圆锥曲线的定义、性质与方程．
【分析】（1）根据焦点坐标和离心率求得a和b，则椭圆的方可得．
（2）设出切线的方程，带入椭圆方程，整理后利用△=0，整理出关于k的一元二次方程，利用韦达定理表示出k1•k2，进而取得x0和y0的关系式，即P点的轨迹方程．
【解答】解：（1）依题意知，求得a=3，b=2，
∴椭圆的方程为+=1．
（2）①当两条切线中有一条斜率不存在时，即A、B两点分别位于椭圆长轴与短轴的端点，P的坐标为（±3，±2），符合题意，
②当两条切线斜率均存在时，设过点P（x0，y0）的切线为y=k（x﹣x0）+y0，
+=+=1，整理得（9k2+4）x2+18k（y0﹣kx0）x+9[（y0﹣kx0）2﹣4]=0，
∴△=[18k（y0﹣kx0）]2﹣4（9k2+4）×9[（y0﹣kx0）2﹣4]=0，
整理得（x02﹣9）k2﹣2x0×y0×k+（y02﹣4）=0，
∴﹣1=k1•k2==﹣1，
∴x02+y02=13．
把点（±3，±2）代入亦成立，
∴点P的轨迹方程为：x2+y2=13．
【点评】本题主要考查了椭圆的标准方程，轨迹方程的相关问题．对于求轨迹方程，最重要的是建立模型求得x和y关系．

21．（12分）（2016秋•思南县校级期中）已知函数f（x）=+alnx（a∈R）．
（1）讨论函数f（x）的单调性；
（2）已知不等式f（x）＞0在（0，1）上恒成立，求实数a的取值范围．
【考点】利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究函数的单调性．
【专题】函数思想；转化法；导数的概念及应用．
【分析】（1）求出函数的导数，通过讨论a的范围，求出函数的单调区间即可；
（2）分离参数a，令，求出函数的导数，从而求出g（x）的最小值，得到a的范围即可．
【解答】解：（1）f（x）的定义域为，
①当a≤0时，f'（x）＜0，∴f（x）在（0，+∞）上单调递减；
②．
（2），
令，
则，
当，
所以，，
所以，．
因此，a＜2e．即实数a的取值范围是（﹣∞，2e）．
【点评】本题考查了函数的单调性、最值问题，考查导数的应用以及分类讨论思想，是一道中档题．

请考生在第22、23题中任选择一题作答，如果多做，则按所做的第一部分，作答时请填涂清题号．
22．（10分）（2014•郑州二模）在极坐标系下，已知圆O：ρ=cosθ+sinθ和直线l：ρsin（θ﹣）=．
（1）求圆O和直线l的直角坐标方程；
（2）当θ∈（0，π）时，求直线l与圆O公共点的极坐标．
【考点】简单曲线的极坐标方程；直线与圆的位置关系．
【专题】计算题．
【分析】（1）圆O的方程即ρ2=ρcosθ+ρsinθ，可得圆O 的直角坐标方程为：x2+y2=x+y，即x2+y2﹣x﹣y=0．
（2）由 ，可得直线l与圆O公共点的直角坐标为（0，1），由此求得线l与圆O公共点的极坐标．
【解答】解：（1）圆O：ρ=cosθ+sinθ，即ρ2=ρcosθ+ρsinθ，
故圆O 的直角坐标方程为：x2+y2=x+y，即x2+y2﹣x﹣y=0．
直线l：，即ρsinθ﹣ρcosθ=1，则直线的直角坐标方程为：y﹣x=1，即x﹣y+1=0．
（2）由 ，可得 ，直线l与圆O公共点的直角坐标为（0，1），
故直线l 与圆O 公共点的一个极坐标为．
【点评】本题主要考查把极坐标方程化为直角坐标方程的方法，直线和圆的位置关系，属于基础题．

23．（2010•长春三模）设函数f（x）=|3x﹣1|+x+2，
（1）解不等式f（x）≤3，
（2）若不等式f（x）＞a的解集为R，求a的取值范围．
【考点】绝对值不等式的解法．
【专题】分类讨论．
【分析】（1）因为不等式|f（x）|≤a 等价于：﹣a≤f（x）≤a，不必考虑a 的符号（a＜0时，解集是空集），据此进而分析不等式|3x﹣1|≤1﹣x可得答案；
（2）化简f（x）的解析式，利用函数的单调性求出f（x）的最小值，要使不等式f（x）＞a的解集为R，只要f（x）的最小值大于a．
【解答】解：（1）不等式即|3x﹣1|+x+2≤3，
∴|3x﹣1|≤1﹣x，∴x﹣1≤3x﹣1≤1﹣x，
即．
（2）f（x）=，
当时，f（x）单调递增；时，f（x）单调递减，
∴．
要使不等式f（x）＞a的解集为{R}，只需f（x）min＞a即可，即．
∴综上，a的取值范围是（﹣∞，）．
【点评】本题主要考查绝对值不等式的解法，利用函数的单调性求函数的最小值，以及函数的恒成立问题的解法，属于中档题．