惠州市2018届高三第一次调研考试(理数).doc

惠州市2018届高三第一次调研考试
数学（理科）
注意事项：
1．答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号、座位号、学校、班级等考生信息填写在答题卡上。
2．作答选择题时，选出每个小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案信息点涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案，写在本试卷上无效。
3．非选择题必须用黑色字迹签字笔作答，答案必须写在答题卡各题指定的位置上，写在本试卷上无效。
4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求.
（1）已知集合，，则（ ）
A． B． C． D．
（2）已知是实数，是虚数单位，若是纯虚数，则=（ ）
A. 1 B. -1 C. D. -
（3）从0，1，2，3，4中任选两个不同的数字组成一个两位数，其中偶数的个数是（ ）
A．6 B．8 C．10 D．12
（4）已知定义域为的偶函数在上是减函数，且，
则不等式的解集为（ ）
A． B. C. D.
（5）点为不等式组所表示的平面区域内的动点，
则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
（6）设命题：若定义域为的函数不是偶函数，则，．
命题：在上是减函数,在上是增函数．
则下列判断错误的是（ ）
A．为假 　　 B．为真 　　 C．∨为真 D. ∧为假
（7）已知函数和的图象的对称轴完全相同，若，则的取值范围是（　　）
A. B. C. D.
（8）一个四面体的顶点在空间直角坐标系中的坐标分别是 ，绘制该四面体三视图时, 正视图的方向如下图所示，
则得到左视图可以为（ ）

朱
朱
朱
朱
黄
（9）三国时代吴国数学家赵爽所注《周髀算经》中给出了勾股定理的绝妙证明．下面是赵爽的弦图及注文，弦图是一个以勾股形之弦为边的正方形，其面积称为弦实．图中包含四个全等的勾股形及一个小正方形，分别涂成红（朱）色及黄色，其面积称为朱实、黄实，利用勾股朱实黄实弦实，化简得：勾股弦．设勾股形中勾股比为，若向弦图内随机抛掷1000颗图钉（大小忽略不计），则落在黄色图形内的图钉数大约为（ ）
A．866      B．500     C．300     D．134

（10）已知函数的定义域为，且满足下列三个条件：
①对任意的，当时，都有恒成立；
② ； ③ 是偶函数；
若，则的大小关系正确的是（ ）
A.  　　　B. 　　　　C.  　　D. 
（11）已知三棱锥，是直角三角形，其斜边平面 ，则三棱锥的外接球的表面积为（ ）
A． B． C． D．
（12）已知分别是双曲线的两个焦点，过其中一个焦点与双曲线的一条渐近线平行的直线交双曲线另一条渐近线于点M，若点M在以线段为直径的圆内，则双曲线离心率的取值范围是（ ）
A．(1, 2) B．(2, +∞) C． D．
二．填空题：本题共4小题，每小题5分。
（13）执行如图所示的程序框图，则输出S的结果为　 　．
（14）二项式展开式中的常数项是　　 ．
（15）已知正方形的中心为且其边长为1，
则 ．
（16）已知，，是的三边，，，，则边的取值范围是 .

三．解答题：共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。第17～21题为必考题，每个考生都必须作答。第22、23题为选考题，考生根据要求作答。
（一）必考题：共60分。
（17）（本小题满分12分）
在公差不为0的等差数列中，成等比数列．
（1）已知数列的前10项和为45，求数列的通项公式；
（2）若，且数列的前项和为，若，
求数列的公差．

（18）（本小题满分12分）
已知圆柱底面半径为1，高为，ABCD是圆柱的一个轴截面，动点M从点B出发沿着圆柱的侧面到达点D，其距离最短时在侧面留下的曲线如图所示．将轴截面ABCD绕着轴逆时针旋转后，边与曲线相交于点P．
（1）求曲线长度；
（2）当时，求点到平面APB的距离．

（19）（本小题满分12分）
近年来随着我国在教育科研上的投入不断加大，科学技术得到迅猛发展，国内企业的国际竞争力得到大幅提升。伴随着国内市场增速放缓，国内有实力企业纷纷进行海外布局，第二轮企业出海潮到来。例如在智能手机行业，国产品牌已在赶超国外巨头，某品牌手机公司一直默默拓展海外市场，在海外共设多个分支机构，需要国内公司外派大量后、后中青年员工。该企业为了解这两个年龄层员工是否愿意被外派工作的态度，按分层抽样的方式从后和后的员工中随机调查了位，得到数据如下表：

愿意被外派
不愿意被外派
合计
后

后

合计

（1）根据调查的数据，是否有以上的把握认为“是否愿意被外派与年龄有关”，并说明理由；
（2）该公司举行参观驻海外分支机构的交流体验活动，拟安排名参与调查的后、后员工参加。后员工中有愿意被外派的人和不愿意被外派的人报名参加，从中随机选出人，记选到愿意被外派的人数为；后员工中有愿意被外派的人和不愿意被外派的人报名参加，从中随机选出人，记选到愿意被外派的人数为，求的概率．
参考数据：

参考公式：，其中.

（20）（本小题满分12分）
如图，椭圆的右顶点为，左、右焦点分别为、，过点且斜率为的直线与轴交于点，与椭圆交于另一个点，且点在轴上的射影恰好为点．
（1）求椭圆的标准方程；
（2）过点且斜率大于的直线与椭圆交于两点（），若，求实数的取值范围．

（21）（本小题满分12分）
已知函数（其中a是实数）．
（1）求的单调区间；
（2）若，且有两个极值点，
求的取值范围．（其中e为自然对数的底数）．

（二）选考题：共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分。答题时请写清题号并将相应信息点涂黑。
（22）（本题满分10分）[选修4-4：坐标系与参数方程]
在直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数）．以坐标原点为极点，以轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为．
（1）求曲线的普通方程和曲线的直角坐标方程；
（2）若与交于两点，点的极坐标为，求的值．

（23）（本题满分10分）[选修4-5：不等式选讲]
已知函数．
（1）解不等式；
（2），使得，求实数的取值范围．

数学（理科）参考答案
一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
答案
A
A
C
B
D
C
D
B
D
B
D
A
1【解析】依题意得，．
2【解析】设，则，所以 解得=1, 选择A
3【解析】由题意，末尾是0，2，4，末尾是0时，有4个；末尾是2时，有3个；末尾是4时，有3 个，所以共有4+3+3=10个，故选C．
4【解析】是的偶函数，在上是减函数，所以在上是增函数，
所以或或. 答案B.
5【解析】如图所示，不等式组所表示的平面区域为图中阴影部分．由 可得，故．的几何意义为直线的斜率，故当点与点重合时直线的斜率的最小，此时．
6【解析】函数不是偶函数， 仍然可， p为假；
在上都是增函数， q为假； 以 p∨q为假，选C．
7【解析】因为函数f(x)和g(x)的图象的对称轴完全相同，故f(x)和g(x)的周期相同，所以w =2，，由，得，根据余弦函数的单调性，当，即时，f (x)min=，当，即时，f (x)max=，所以f (x)的取值范围是，选择D.
8【解析】满足条件的四面体如左图，依题意投影到平面为正投影，所以左（侧）视方向如图所示，所以得到左视图效果如右图，故答案选B．

9【解析】设勾为，则股为 ， ∴ 弦为 ，小正方形的边长为．所以图中大正方形的面积为 ，小正方形面积为  ，所以小正方形与大正方形的面积比为 ∴ 落在黄色图形(小正方形)内的图钉数大约为 ．
10【解析】由①知函数在区间上为单调递增函数；由②知，即函数的周期为，所以，；由③可知的图象关于直线对称，所以，；因为函数在区间上为单调递增函数，所以，即
11【解析】本题考查空间几何体的表面积.三棱锥所在长方体的外接球,即三棱锥所在的外接球;所以三棱锥的外接球的直径,即三棱锥的外接球的半径R=5;所以三棱锥的外接球的表面积.选D.
12【解析】如图1，不妨设，则过F1与渐近线平行的直线为，
联立解得即
因M在以线段为直径的圆内，
故，化简得,
即，解得，又双曲线离心率
，所以双曲线离心率的取值范围是(1，2). 选择A.

二、填空题（本大题共4个小题，每小题5分，共20分）
13． 30 14．240 15． 1 16．
13．【解析】第一次，i=1，满足条件，i＜6，i=1+2=3，S=6，
第二次，i=3，满足条件，i＜6，i=3+2=5，S=6+10=16，
第三次，i=5，满足条件，i＜6，i=5+2=7，S=16+14=30，
第四次，i=7，不满足条件i＜6，程序终止，
输出S=30，故答案为：30
14．【解析】二项式展开式的通项公式为，令，求得，所以二项式展开式中的常数项是×24=240．
15．【解析】
16．【解析】由正弦定理，，，
由余弦定理，
，
由，，.
三、解答题（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程）
17．（本小题满分12分）
【解】（1）设数列的公差为d（），
由成等比数列可得，即，得 ……4分
由数列的前10项和为45得，即，所以．
故数列的通项公式为：． …………8分
（2）因为，
所以数列的前项和为
，
即，
因此，解得公差或． …………12分
18．（本小题满分12分）
【解】(1) 在侧面展开图中为BD的长，其中AB = AD = π，
∴的长为; …………………………3分
x
z
y
(2)当时，建立如图所示的空间直角坐标系，……………………4分
则有、、、，……………………6分
、、……………………8分
设平面ABP的法向量为，则，……………9分
取z = 2得，……………………10分
所以点C1到平面PAB的距离为；……………………12分
注：本题也可以使用等积法求解．
19．（本小题满分12分）
【解】（1）
………4分
所以有90% 以上的把握认为“是否愿意外派与年龄有关” …………5分
（2）“”包含：“”、 “”、 “”、
“”、 “”、 “”六个互斥事件…………6分
且，
，
，
所以： ． …………12分
20．（本小题满分12分）
【解】（1）因为轴，得到点， …………2分
所以 ，所以椭圆的方程是． …………5分
（Ⅱ）因为 ……6分
所以．由（Ⅰ）可知，设方程，，
联立方程得：．即得（*）
又，有， …………7分
将代入（*）可得：． …………8分
因为，有， …………9分
则且． (没考虑到扣1分) ………11分
综上所述，实数的取值范围为． …………12分
注：若考生直接以两个极端位置分析得出答案，只给结果2分.
21．（本小题满分12分）
【解】（1）的定义域为，，…….1分
令，，对称轴，，
1)当≤0，即－４≤≤4时，≥0
于是，函数的单调递增区间为，无单调递减区间．………………2分
2)当＞0，即或时，
①若，则恒成立,于是，的单调递增区间为，无减区间．……3分
②若令，得，，
当时，，当时，．
于是，的单调递增区间为和，单调递减区间为．……4分
综上所述：当时， 的单调递增区间为，无单调递减区间．
当时，的单调递增区间为和，单调递减区间为．…5分
（2）由（1）知，若有两个极值点，则，且，，
又，，,，又，解得,……………………………………………7分
于是，

……………………………………9分
令，则恒成立，
在单调递减，，即，
故的取值范围为．…………………………12分
22.（本小题满分10分）
【解】（1）曲线的普通方程为 2分
曲线的直角坐标方程为:. 5分
（2）的参数方程的标准形式为为参数)代入得
6分
设是对应的参数,则 7分
10分
23.（本小题满分10分）
【解】（Ⅰ） 2分
等价于 3分
综上,原不等式的解集为 5分
（2） 7分
由(Ⅰ)知
所以， 9分
实数的取值范围是 10分

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