资源描述
第Ⅰ卷（共60分）
一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项
是符合题目要求的.
1. 已知集合，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】
考点：集合间的运算.
2. 已知为虚数单位，复数满足，则（ ）
A．1 B．-1 C． D．
【答案】
【解析】
试题分析：因为
所以
所以
故答案选
考点：复数的运算.
3. 已知函数，若，则的值为（ ）
A．-2 B．2 C．-2或2 D．
【答案】
考点：分段函数.
4. 在平行四边形中，，，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】
【解析】试题分析：
因为，
所以
故答案选
考点：平面向量的加减运算法则.
5. 在等差数列中，“”是“数列是单调递增数列”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】
【解析】
试题分析：因为数列是等差数列
设数列的通项公式
所以
若，则，所以，所以数列是单调递增数列；
若数列是单调递增数列，则，所以
所以“”是“数列是单调递增数列”的充要条件
故答案选
考点：等差数列；命题的充分必要性.
6. 设由不等式表示的平面区域为，若直线平分的面积，则实数的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】
考点：线性规划.
7. 如图，网格纸上每个正方形小格的边长为1，图中粗线画出的是某多面体的三视图，则该几何体的表面积轴互相垂直的平面有（ ）对
A．3 B．4 C．5 D．6
【答案】
【解析】
试题分析：由三视图得几何体如图所示，，，，，面，
由面，，所以面、面、面都与面垂直
因为，，所以
所以
又
所以面
所以面面
所以该几何体的表面中互相垂直的平面有4对
故答案选
考点：三视图；平面与平面垂直的判定.
【易错点睛】读空间几何体的三视图，需要注意：（1）空间几何体的不同放置对三视图的影响；（2）注意区分三视图中的实线和虚线；（3）注意投影在三视图中的应用.同时三视图的长度特征，三视图中，正视图和侧视图一样高，正视图和俯视图一样长，侧视图和俯视图一样宽．即“长对正，宽相等，高平齐”
；空间想象能力与多观察实物相结合是解决此类问题的关键．(4)还要注意画直观图时长度的变化．
8. 若抛物线（其中角为的一个内角）的准线过点，则的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】
考点：抛物线；三角恒等变换.
9. 某程序框图如图所示，若该程序运行后输出的值是6，则输入的整数的可能值为（ ）
A．5 B．6 C．8 D．15
【答案】
考点：程序框图的识别.
10. 在各项均为正数的等比数列中，成等差数列，，是数列的前项的和，则（ ）
A．1008 B．2016 C．2032 D．4032
【答案】
【解析】
试题分析：设等比数列的公比为
因为成等差数列
所以
因为，解得
所以，
故答案选
考点：等比数列和等差数列.
11. 已知点分别是双曲线的左、右顶点，点是双曲线上异于的另外一点，且是顶角为的等腰三角形，则该双曲线的渐近线方程为（ ）
A． B． C． D．
【答案】
考点：双曲线的性质.
【易错点睛】双曲线的渐近线方程是，的渐近线方程是，同时还要注意在中哪个角是，正确表示点的坐标，利用“点在双曲线上”列方程是解题关键.
12. 已知函数，若存在，使得成立，则实数的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】
考点：导数的几何意义；不等式能成立问题.
【命题意图】本题考查了函数的能成立、导数的几何意义以及两点间的最短距离，考查考生的问题的转化能力、数形结合和计算能力，不等式中的能成立问题通常是转化为最值问题，这也是解决此题的关键点.
第Ⅱ卷（共90分）
二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）
13. 函数的定义域为 .
【答案】
【解析】
试题分析：要使原式有意义需满足
所以原函数的定义域为
故答案为
考点：函数的定义域.
14. 若直线与直线平行，则 .
【答案】
考点：两直线平行的充要条件.
【易错点睛】充分掌握两直线平行与垂直的条件是解决直线问题的关键，对于斜率都存在且不重合的两条直线和，，，若有一条直线的斜率不存在，那么另一条直线的斜率是多少一定要特别注意．
15. 若是数列的前项和，且，则数列的最大项的值为 .
【答案】
【解析】
试题分析：当时，
当时，当时取等号
所以数列的最大项的值为
故答案为
考点：数列的通项公式.
16. 在三棱锥中，平面，，则该三棱锥的外接球的表面积为 .
【答案】
考点：空间几何体的外接球.
【方法点睛】解与球有关的组合体问题的方法，一种是内切，一种是外接．解题时要认真分析图形，明确切点和接点的位置，确定有关元素间的数量关系，并作出合适的截面图，如球内切于正方体，切点为正方体各个面的中心，正方体的棱长等于球的直径；球外接于正方体，正方体的顶点均在球面上，正方体的体对角线长等于球的直径．球与旋转体的组合，通常作它们的轴截面进行解题，球与多面体的组合，通过多面体的一条侧棱和球心或“切点”、“接点”作出截面图．
三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
17. （本小题满分12分）
已知函数.
（1）试将函数化为的形式，并求该函数的对称中心；
（2）若锐角中角所对的边分别为，且，求的取值范围.
【答案】（1），；（2）.
（2）由解得，，
考点：三角函数解析式；对称中心；正弦定理.
18. （本小题满分12分）
当前《奔跑吧兄弟第三季》正在热播，某校一兴趣小组为研究收看《奔跑吧兄弟第三季》与年龄是否相关，在某市步行街随机抽取了110名成人进行调查，发现45岁及以上的被调查对象中有10人收看，有25人未收看；45岁以下的被调查对象中有50人收看，有25人未收看.
（1）试根据题设数据完成下列列联表，并说明是否有99.9%的把握认为收看《奔跑吧兄弟第三季》与年龄有关；
（2）采取分层抽样的方法从45岁及以上的被调查对象中抽取了7人。从这7人中任意抽取2人，求至少有一人收看《奔跑吧兄弟第三季》的概率.
【答案】（1）表格略，有关；（2）.
【解析】
考点： 独立性检验的应用；古典概型；分层抽样.
19. （本小题满分12分）
如图所示，四边形是边长为2的菱形，且，四边形是正方形，平面平面，点分别为边的中点，点是线段上一动点.
（1）求证：；
（2）求三棱锥的体积的最大值.
【答案】（1）证明略；（2）.
在正方形中，，
又因为平面平面且平面平面，
则平面，
又平面，所以，
考点：空间中垂直关系的证明；空间几何体的体积.
【方法点睛】立体几何中经常碰到求最值问题，不少学生害怕这类问题，主要原因是难以将立体几何问题转化为平面几何问题或代数问题去求解，对立体几何的最值问题，一般可以从两方面着手：一是从问题的几何特征入手，充分利用其几何性质去解决；二是找出问题中的代数关系，建立目标函数，利用求函数最值的几种方法加以解决即可.
20. （本小题满分12分）
已知圆过圆与直线的交点，且圆上任意一点关于直线的对称点仍在圆上.
（1）求圆的标准方程；
（2）若圆与轴正半轴的交点为，直线与圆交于两点，且点是的垂线（垂心是三角形三条高线的交点），求直线的方程.
【答案】（1）；（2）.
（2）由题知，，所以直线的斜率为1，设直线的方程为，
，由，得，
故，，
又
代入得，解得或
当时，直线过点，不合题意；
当时，直线，经检验证直线与圆相交，
故所求直线的方程为.
考点：圆的标准方程；直线与圆的位置关系.
21. （本小题满分12分）
已知函数，.
（1）若，求函数的单调区间；
（2）若函数在区间上单调递增，求实数的取值范围.
【答案】（1）函数的单增区间为，；单减区间为；（2）.
由于在区间上单调递增，故，解得.
所以所求实数的取值范围是.
考点：导函数的应用；恒成立问题.
【易错点睛】函数在某个区间内单调递增，则0而不是 (在有限个点处取到); 同时，利用导数解决含有参数的单调性问题是将问题转化为不等式恒成立问题，要注意分类讨论和数形结合思想的应用．
请考生在22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.
22. （本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲
如图所示，已知圆的半径长为4，两条弦相交于点，若，，为的中点，.
（1）求证：平分；
（2）求的度数.
【答案】（1）略；（2）.
又
∴∽
∴
又
∴
故平分
考点：三角形相似；有关圆的证明和计算.
23. （本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程
已知曲线的参数方程为（其中为参数），以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为.
（1）分别写出曲线与曲线的普通方程；
（2）若曲线与曲线交于两点，求线段的长.
【答案】（1），；（2）.
考点：参数方程；极坐标方程；直线与圆锥曲线的位置关系.
24. （本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲
已知函数.
（1）求不等式；
（2）若函数的最小值为，且，求的最小值.
【答案】（1）；（2）.
【解析】
考点：绝对值不等式；基本不等式.
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