北京市丰台区2021届高三上学期期中考试数学试题-Word版含答案.docx

丰台区 2020—2021 学年度第一学期期中练习
= ln3
= log 2
= 0.30.2
，c ，则 a b c 的大小关系为
, ,
a < b < c
（B）
（5）已知 a
，b
0.3
高三数学
< c < b
< c < a
（A） a
（C）b
（D） c < a < b
2020.11
3
6
注意事项：
（6）在平面直角坐标系xOy 中，角 以
a
为始边，终边与单位圆交于点
( ,
-
) ，
Ox
3
3
1．答题前，考生务必先将答题卡上的学校、年级、班级、姓名、准考证号用黑色字
迹签字笔填写清楚，并认真核对条形码上的准考证号、姓名，在答题卡的“条形码粘贴
区”贴好条形码。
cos(p + ) =
则
a
3
3
（A） -
（C） -
（B）
2．本次考试所有答题均在答题卡上完成。选择题必须使用 2B 铅笔以正确填涂方式
将各小题对应选项涂黑，如需改动，用橡皮擦除干净后再选涂其它选项。非选择题必须
使用标准黑色字迹签字笔书写，要求字体工整、字迹清楚。
3．请严格按照答题卡上题号在相应答题区内作答，超出答题区域书写的答案无效，
在试卷、草稿纸上答题无效。
3
3
6
6
（D）
3
3
(x) [0,+¥)
f (1)=1
，则不等式
（7）已知定义在 上的奇函数 f
在
单调递增．若
R
-1< f (x -1)<1的解集为
（A）(-1,1)
4．本试卷共 150 分。考试时间 120 分钟。
（B）(-2,2)
（D） (0, 2)
l : y = x + a
第一部分（选择题共 40 分）
（C）(0,1)
一、选择题共 10 小题，每小题 4 分，共 40 分。在每小题列出的四个选项中，选出符
(x) = sin x
a = 0
l
”是“直线 与曲线
（8）已知函数 f
和直线
，那么“
合题目要求的一项。
y = f (x) 相切”的
（1）已知集合 A
= {-1,0,1, 2},B = {x | x
≤ ，则 A B
=
1}
2
（A）充分不必要条件
（C）充分必要条件
（B）必要不充分条件
（A）{-1,0,1}
（B）{0,1}
（D）{0,1,2}
（D）既不充分也不必要条件
（C）{-1,1}
p
（2）若 z(1-i) = 2i
，则在复平面内 对应的点位于
f (x) = sin x( > 0)
w w
z
（9）先将函数
的图象向左平移 个单位长度，再向上平移2 个
2
（A）第一象限
（B）第二象限
（D）第四象限
单位长度后得到函数g(x) 的图象，若方程f (x) = g(x)
有实根，则 的值可以为
w
（C）第三象限
1
1
（A）
（B）1
Øp
（3）已知命题 :" Î(0,+¥),ln ≥1- ，则
p x
为
x
2
x
（C）2
4
（D）
1
1
$x Î(0,+¥),ln x <1-
（B）"xÎ(0,+¥),ln x <1-
（A）
（C）
0
0
x
0
x
ì2 - , > 0,
x a x
(x) =
= f (x)
（10）已知函数 f
í
若 y
的图象上存在两个点
A B
, 关于原点
1
1
-x, x < 0.
$x Î(0,+¥),ln x ≥1-
（D）"xÏ(0,+¥),ln x≥1-
î
0
0
x
x
0
对称，则实数a 的取值范围是
（4）下列函数中，既是偶函数又在区间(0,+¥)上单调递增的是
（A）[-1,+¥)
（B）(-1,+¥)
（D）(1,+¥)
= ln | x |
（B） y
（A） y
（C） y
= x3
（C）[1,+¥)
= 2- x
D y = x2 - 2x
（ ）
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[t ,t ]
③ 在
④ 在
这个时间段内，甲、乙两人血管中药物浓度的平均变化率相同；
第二部分
（非选择题 共 110 分）
2
3
[t ,t ] [t ,t ]
两个时间段内，甲血管中药物浓度的平均变化率不相同.
,
二、填空题共 5 小题，每小题 5 分，共 25 分。
1
2
2
3
其中所有正确结论的序号是_____．
(x) = log (x + a)
(2) = 2
，则 = ________．
（11）已知函数 f
，若 f
a
2
注：本题给出的结论中，有多个符合题目要求. 全部选对得5分，不选或有错选得
4
= x +
(x >1)的最小值为_______．
（12）函数 y
0分，其他得3分.
x -1
2
3
三、解答题：本大题共 6 小题，共 85 分. 解答应写出文字说明，演算步骤或证明过
程.
= 3c,b = 2,cos B =
（13）△
的内角 , , 的对边分别为 , , ．已知 a
，
ABC
A B C
a b c
那么边c 的长为_____．
max{x , x ,×××, x }
（16）（本小题 13 分）
x , x ,×××, x
（14）已知
表示
这 n 个数中最大的数．能够说明“对任
A
设全集为 R ，集合 = {x | x - 2x - 3 < 0},B = {x | x≥ a}
．
2
1
2
n
1
2
n
a,b,c,d ÎR ,都有
”是假命题的一组整
a b c d a b c d
max{ , }+ max{ , }≥max{ , , , }
意
数
=1时，求
（Ⅰ）当
a
A B
， (A B) ；
R
,b,c,d
的值依次可以为_____
．
a
= A
（Ⅱ）若 A B
，求实数a 的取值范围.
（15）为了评估某种治疗肺炎药物的疗效，现有关部门对该药物在人体血管中的药物
浓度进行测量．设该药物在人体血管中药物浓度c 与时间 的关系为c = f (t)，甲 、
t
乙两人服用该药物后，血管中药物浓度随时间 变化的关系如下图所示．
t
（17）（本小题 13 分）
3
2
bx c
+ + 在 x 处取得极小值
-
¢( )
，其导函数为 ．当x
f x
3
2
0
变化时，
变化情况如下表：
2
(1,+¥)
x
1
3
+
0
0
+
0
,b,c
（Ⅱ）求 a
的值．
给出下列四个结论：
① 在t 时刻，甲、乙两人血管中的药物浓度相同；
1
② 在t 时刻，甲、乙两人血管中药物浓度的瞬时变化率相同；
2
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1
2
加工处理量 x 之间的函数关系可近似地表示为 =
2 + 40 + 3200，且每加工处理 1
x
y
x
（18）（本小题 14 分）
f x
吨厨余垃圾得到的化工产品的售价为 100 元．
已知函数 ( ) = 3 sin 2 - 2cos 2 +1．
x
x
（Ⅰ）该企业日加工处理量为多少吨时，日加工处理每吨厨余垃圾的平均成本最低？
此时该企业处理 1 吨厨余垃圾处于亏损还是盈利状态？
(x)
（Ⅰ）求 f
的最小正周期；
p
p
Î[ ,m]
f (x)≥ f ( )
，求 m 的最大值．
（Ⅱ）若对任意 x
，都有
（Ⅱ）为了该企业可持续发展，政府决定对该企业进行财政补贴，补贴方式共有两种．
① 每日进行定额财政补贴，金额为 2300 元；
6
6
② 根据日加工处理量进行财政补贴，金额为30x
．
如果你是企业的决策者，为了获得最大利润，你会选择哪种补贴方式进行补贴？
为什么？
（19）（本小题 15 分）
如图，在△ 中， 是
p
上的点，
3 3,
4,
，再从条件①、
ABC
BC
=
=
C
=
D
AB
BD
3
条件②这两个条件中选择一个作为已知，求：
（21）（本小题 15 分）
已知函数 f (x) = lnx -a + (a > 0) ．
B
（Ⅱ）△ ACD 的面积．
a
x
AC
= 3．
条件①：
7 ；条件②：
AD =
（Ⅰ）若曲线 y = f (x) 在点(1,f (1))处与 轴相切，求 的值；
x
a
注：如果选择条件①和条件②分别解答，按第一个解答计分．
（Ⅱ）求函数 f (x) 在区间(1,e)上的零点个数；
（Ⅲ）若" , Î(1,e)，( - )(| ( ) | - | ( ) |) > 0，试写出a 的取值范围.（只需写
x x x x
f x
f x
1
2
1
2
1
2
出结论）
（20）（本小题 15 分）
国家发展改革委、住房城乡建设部于 2017 年发布了《生活垃圾分类制度实施方
案》，规定 46 个城市在 2020 年底实施生活垃圾强制分类，垃圾回收、利用率要达 35%
以上．截至 2019 年底，这 46 个重点城市生活垃圾分类的居民小区覆盖率已经接近
70%．
（考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效）
某企业积极响应国家垃圾分类号召，在科研部门的支持下进行技术创新，新上一
种把厨余垃圾加工处理为可重新利用的化工产品的项目．已知该企业日加工处理量x
（单位：吨）最少为 70 吨，最多为 100 吨．日加工处理总成本 y （单位：元）与日
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高三数学
答案
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2020．11
3
5
2
即1+ a + b + c = - ，整理得：a +b + c = -
.②
2
1
2
B
3
4
B
5
C
6
7
8
9
C
10
D
2
2
(x)
的极大值点，所以 f ¢(- ) = 0 ，
由题可知 x = - 为函数 f
3
3
A
A
A
D
A
4 4
二、填空题（共 5 小题，每小题 5 分，共 25 分）
即 - a + b = .③
0
3 3
3
3
13．
1
= - ,b = -2,c = 0
联立①②③得：a
.
2
-1,-2,1,2
（答案不唯一） 15．①③④（全部选对得 5 分，不选或有错选得 0
（18）（本小题 14 分）
(x) = 3 sin 2x - 2cos 2 x +1
= 3 sin 2x - cos 2x
解：（Ⅰ）因为 f
={x | -1< x < 3},B ={x | x≥1}，
3
1
解：（Ⅰ）由题可得 A
= 2(
sin 2x - cos 2x)
2
2
A B = { |1 ≤ < 3}
所以
x
x
.
p
= 2sin(2 x - )
6
= { | > -1}
x x
，
2π
(x)
=
= π
．
所以 f
的最小正周期为T
所以
2
R
p
(x) = 2sin(2 x - ).
（Ⅱ）由（Ⅰ）知 f
（Ⅱ）因为 A B
，
6
p
所以
.
= 2x - ,
令t
6
所以 a
≤ -1.
p
p
p
Î[ ,m]
t Î[ ,2m - ]
.
当 x
时，
6
6
6
¢( ) = 3 2 + 2 +
解：（Ⅰ）由题意可知， f x
x
ax b
p
p
Î[ ,m]
f ，
( )≥ ( )
若对任意 x
，都有 f x
2
6
6
当 x
时，
；当
.
3
p
p
1
Î[ ,2m - ]
sint ≥ ,
即对任意t
，都有
2
6
6
2
上单调递减，在区间(1,+¥)
上单调递增.
在区间
3
p 5p
2m - ≤
所以
.
有极小值，所以
故 x
f
x
6
6
0
f
（Ⅱ）由（Ⅰ）知 x
p
≤
即 m
，
即3+ 2a + b = 0
.①
2
3
3
p
(x)
-
因为函数 f
的极小值为
，所以 f
(1)= -
，
所以m 的最大值为 .
2
2
2
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（19）（本小题 15 分）
p
所以 = .
B
6
选择条件①：
解：（Ⅰ）在△
中
= 3 3,
= 4,
= 7 ，
ABD
AB
BD
AD
p
（Ⅱ）由（Ⅰ）知， = ，
B
6
由余弦定理，得
AB
2
+ BD
2AB × BD
2
- AD
2
p
p
cosB =
因为 = ，所以Ð
= .
C
BAC
3
2
(3 3) + 4 - 72
2
2
所以△ ABC 为直角三角形，
=
=
2´3 3 ´ 4
= 6
得 BC
.
3
.
2
BD
= 4 ，
又因为
因为0 < B < p
，
= 2
所以CD
.
p
所以 = .
B
6
1
= AC ×CD ×sin C
所以 S
2
p
DACD
（Ⅱ）由（Ⅰ）知， = ，
B
6
1
3
= ´3´ 2´
2
2
p
p
因为 = ，所以Ð
= .
C
BAC
3
2
3 3
=
.
所以△ ABC 为直角三角形.
= 6
2
AC
又因为
3
所以
= ， BC
.
（20）（本小题 15 分）
BD
= 2
= ，
4
解：（Ⅰ）由题意可知，每吨厨余垃圾平均加工成本为
所以CD
.
1
y x 3200
= AC ×CD ×sin C
所以 S
+ 40 xÎ[70,100].
= +
2
DACD
2
x
x
1
3
x 3200
= ´3´ 2´
+
+ 40
2
2
2
x
3 3
x 3200
≥2 ×
2 x
=
.
+ 40
2
选择条件②：
解：（Ⅰ）在△
= 2´ 40 + 40
= 120
.
p
中,
= 3,
= 3 3 ， = .
ABC
AC
AB
C
3200
3
x
= 80
吨时，每吨厨余垃圾的平均加工成本最低.
当且仅当 =
，即 x
2
x
AC
AB
=
由正弦定理
，
sin B sinC
此时该企业处理 1 吨厨余垃圾处于亏损状态.
（Ⅱ）若该企业采用第一种补贴方式，设该企业每日获利为 ，由题可得
y
1
得sin B =
2
1
.
1
y = 100x - ( x2 + 40x + 3200) + 2300
2
1
p
1
0 < B < C =
由题可知
，
= - x + 60x - 900
2
3
2
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1
( ) < f (1)= 0
， 所以函数 f x 在区间
(1,e)上无零点.
( )
所以 f x
= - (x - 60) + 900
2
2
e
综上：当0 < a ≤1或 a
≥
( ) (1,e)上无零点；
时，函数 f x 在区间
Î[70,100],所以当 x 70
因为 x
=
吨时，企业最大获利为 850 元.
e - 1
若该企业采用第二种补贴方式，设该企业每日获利为 y ，由题可得
2
e
当1< a <
( ) (1,e)上有一个零点.
时，函数 f x 在区间
1
e -1
0 < a ≤1 a≥e
.
y = 130x - ( x2 + 40x + 3200)
2
2
（Ⅲ）
或
1
= - x + 90x - 3200
2
2
1
= - (x - 90) + 850
2
2
因为 x
Î[70,100],所以当吨 x = 90
吨时, 企业最大获利为 850 元.
结论：选择方案一，因为日加工处理量处理量为70 吨时，可以获得最大利润；
选择方案二，日加工处理量处理量为90 吨时，获得最大利润，能够为社会做出
更大贡献；由于最大利润相同，所以选择两种方案均可.
（21）（本小题 15 分）
1 a x - a
¢( ) = - =
解：（Ⅰ） f x
，
x x2
x2
因为 =
y f
(x) 在点(1,f (1))
处与 轴相切，
x
所以 f
¢(1)= 0，
即1- a = 0
，
所以 a
=1.
经检验 a
=1符合题意.
x - a
¢( ) =
（Ⅱ）由（Ⅰ）知 f x
，
x2
¢( ) = 0
令 f x
=
，得 x a .
（i）当 0 < a ≤1时， xÎ(1,e)， f x
¢( ) > 0
( ) (1,e)上单调递增，所
，函数 f x 在区间
(x) > f (1)= 0 ( )
(1,e)上无零点.
以 f
（ii）当1< a < e
， 所以函数 f x 在区间
( )
(1, )
( ,e)
时，函数 f x 在区间 a 上单调递减，在区间 a 上单调递增，
a
.
(1)= 0, f (e) =1- a +
且 f
当 f
当 f
e
e
a
，即1< a <
( )
时，函数 f x 在区间
(1,e)上有一个零点.
(1,e)上无零点.
(e) =1- a + > 0
e
e -1
e
a
< e ( )
时，函数 f x 在区间
(e) =1- a + ≤0
，即
≤ a
e
e-1
（iii）当 a≥e时， xÎ(1,e)
¢( ) < 0
， f x
( ) (1,e)上单调递减，
，函数 f x 在区间
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（19）（本小题 15 分）
p
所以 = .
B
6
选择条件①：
解：（Ⅰ）在△
中
= 3 3,
= 4,
= 7 ，
ABD
AB
BD
AD
p
（Ⅱ）由（Ⅰ）知， = ，
B
6
由余弦定理，得
AB
2
+ BD
2AB × BD
2
- AD
2
p
p
cosB =
因为 = ，所以Ð
= .
C
BAC
3
2
(3 3) + 4 - 72
2
2
所以△ ABC 为直角三角形，
=
=
2´3 3 ´ 4
= 6
得 BC
.
3
.
2
BD
= 4 ，
又因为
因为0 < B < p
，
= 2
所以CD
.
p
所以 = .
B
6
1
= AC ×CD ×sin C
所以 S
2
p
DACD
（Ⅱ）由（Ⅰ）知， = ，
B
6
1
3
= ´3´ 2´
2
2
p
p
因为 = ，所以Ð
= .
C
BAC
3
2
3 3
=
.
所以△ ABC 为直角三角形.
= 6
2
AC
又因为
3
所以
= ， BC
.
（20）（本小题 15 分）
BD
= 2
= ，
4
解：（Ⅰ）由题意可知，每吨厨余垃圾平均加工成本为
所以CD
.
1
y x 3200
= AC ×CD ×sin C
所以 S
+ 40 xÎ[70,100].
= +
2
DACD
2
x
x
1
3
x 3200
= ´3´ 2´
+
+ 40
2
2
2
x
3 3
x 3200
≥2 ×
2 x
=
.
+ 40
2
选择条件②：
解：（Ⅰ）在△
= 2´ 40 + 40
= 120
.
p
中,
= 3,
= 3 3 ， = .
ABC
AC
AB
C
3200
3
x
= 80
吨时，每吨厨余垃圾的平均加工成本最低.
当且仅当 =
，即 x
2
x
AC
AB
=
由正弦定理
，
sin B sinC
此时该企业处理 1 吨厨余垃圾处于亏损状态.
（Ⅱ）若该企业采用第一种补贴方式，设该企业每日获利为 ，由题可得
y
1
得sin B =
2
1
.
1
y = 100x - ( x2 + 40x + 3200) + 2300
2
1
p
1
0 < B < C =
由题可知
，
= - x + 60x - 900
2
3
2
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1
( ) < f (1)= 0
， 所以函数 f x 在区间
(1,e)上无零点.
( )
所以 f x
= - (x - 60) + 900
2
2
e
综上：当0 < a ≤1或 a
≥
( ) (1,e)上无零点；
时，函数 f x 在区间
Î[70,100],所以当 x 70
因为 x
=
吨时，企业最大获利为 850 元.
e - 1
若该企业采用第二种补贴方式，设该企业每日获利为 y ，由题可得
2
e
当1< a <
( ) (1,e)上有一个零点.
时，函数 f x 在区间
1
e -1
0 < a ≤1 a≥e
.
y = 130x - ( x2 + 40x + 3200)
2
2
（Ⅲ）
或
1
= - x + 90x - 3200
2
2
1
= - (x - 90) + 850
2
2
因为 x
Î[70,100],所以当吨 x = 90
吨时, 企业最大获利为 850 元.
结论：选择方案一，因为日加工处理量处理量为70 吨时，可以获得最大利润；
选择方案二，日加工处理量处理量为90 吨时，获得最大利润，能够为社会做出
更大贡献；由于最大利润相同，所以选择两种方案均可.
（21）（本小题 15 分）
1 a x - a
¢( ) = - =
解：（Ⅰ） f x
，
x x2
x2
因为 =
y f
(x) 在点(1,f (1))
处与 轴相切，
x
所以 f
¢(1)= 0，
即1- a = 0
，
所以 a
=1.
经检验 a
=1符合题意.
x - a
¢( ) =
（Ⅱ）由（Ⅰ）知 f x
，
x2
¢( ) = 0
令 f x
=
，得 x a .
（i）当 0 < a ≤1时， xÎ(1,e)， f x
¢( ) > 0
( ) (1,e)上单调递增，所
，函数 f x 在区间
(x) > f (1)= 0 ( )
(1,e)上无零点.
以 f
（ii）当1< a < e
， 所以函数 f x 在区间
( )
(1, )
( ,e)
时，函数 f x 在区间 a 上单调递减，在区间 a 上单调递增，
a
.
(1)= 0, f (e) =1- a +
且 f
当 f
当 f
e
e
a
，即1< a <
( )
时，函数 f x 在区间
(1,e)上有一个零点.
(1,e)上无零点.
(e) =1- a + > 0
e
e -1
e
a
< e ( )
时，函数 f x 在区间
(e) =1- a + ≤0
，即
≤ a
e
e-1
（iii）当 a≥e时， xÎ(1,e)
¢( ) < 0
， f x
( ) (1,e)上单调递减，
，函数 f x 在区间
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