北师大附中高二期末考试(含详细答案和评分标准).doc

高二上学期期末考试
数学备考试题
一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确的答案的编号用铅笔涂在答题卡上．
1．若且，则下列不等式中一定成立的是（ ）
A． B． C． D．
2．在中，，，，则B等于（ ）
A．60° B．60°或120° C．30°或150° D．120°
3．在数列1，2，2，3，3，3，4，4，4，4，……中，第25项为（ ）
A．25 B．6 C．7 D．8
4．设，q：关于x的方程有实数根，则是q的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
5．若抛物线的焦点与椭圆的右焦点重合，则实数p的值为（ ）
A． B．2 C． D．4
6．若椭圆的离心率，则实数m的值为（ ）
A．3 B．3或 C． D．或
7．底面是矩形的四棱柱中，，则
（ ）
A． B． C． D．
8．设x、y满足约束条件，若目标函数的最大值是7，则的最
小值是（ ）
A．4 B． C． D．7

二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．把答案填在答题卡上．
9．过抛物线的焦点作倾斜角为45°的直线，则被抛物线截得的弦长为 ．
10．等比数列中，，前三项之和，则公比q的值为 ．

A
B
C
D
11．若不等式的解集是，则的值是 ．
12．双曲线的实轴长与虚轴长之和等于其焦距的倍，且一个顶点的坐标
为，则双曲线的标准方程是 ．
13．如图，在长方体中，，，
则与平面所成角的正弦值为 ．
14．已知以点F为焦点的抛物线上的两点A、B满足，
则弦AB的中点到准线的距离为 ．

三、解答题：本大题共6小题，共80分，解答应写出文字说明或演算步骤．
15．（本小题满分12分）双曲线与椭圆在x轴上有公共焦点，它们的离心率是方程的两根，
若椭圆焦距为4． （1）求椭圆的标准方程； （2）求双曲线的渐近线方程．

16．（本小题满分12分）已知数列是等差数列，且，．
（1）求数列的通项公式； （2）令，求数列的前n项和的公式．

17．（本小题满分14分）已知的内角A、B、C所对的边分别为a、b、c，且，．
（1）若，求的值； （2）若的面积为4，求b、c的值．

18．（本题满分14分）如图，在长方体中，，，，E、F分别
是线段AB、BC上的点，且，以点A为原点，分别为x、y、z轴建立空间

B
C
D
A
直角坐标系，用向量法解决下列问题．
（1）求二面角的正切值；
（2）求直线与所成角的余弦值．

19．（本小题满分14分）在平面直角坐标系中，点、，已知，BC的垂直平
分线l交线段AC于点D，当点C在坐标平面运动时，点D的轨迹图形设为E．
（1）求轨迹图形E的标准方程；
（2）点P为轨迹图形E上一动点，点O为坐标原点，设，求实数的最大值．

20．（本小题满分14分）在数列中，，对于任意的，有．
（1）求数列的通项公式；
（2）若数列满足：，求数列
的通项公式；
（3）在（2）的条件下，设，是否存在实数，当时，恒成
立？若存在，求实数的取值范围；若不存在，请说明理由．

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参考答案及评分标准
一、选择题：（8×5′ = 40′）
题 号
1
2
3
4
5
6
7
8
答 案
D
B
C
A
D
B
C
D

二、填空题：（6×5′ = 30′）
9．16 10．1或 11． 12． 13． 14．

三、解答题：（80′）
15．（本小题满分12分）
解：（1）由得，………………………………………………………2分
∴，……………………………………………………………………………3分
设椭圆方程为，双曲线方程为
它们的焦点为，且……………………………………5分
∵∴………………………………………………………………………6分
∴ ………………………………………………………………7分
∴椭圆方程为 …………………………………………………………………8分
（2）由（1）知，且 ∴……………………………………………9分
∴…………………………………………………………………10分
∴双曲线方程为………………………………………………………………11分
∴双曲线的渐近线方程为……………………………………………………12分

16．（本小题满分12分）
解：（1）∵，
∴………………………………………………………………………………3分
∴………………………………………………………………………………………4分
∴ …………………………………………………………………6分
（2）由已知：…………………………………………………………………………7分
∵ ①………………………………………8分
②………………………………………9分
①—②得 …………………………10分
…………………………………………………11分
∴……………………………………………12分
17．（本小题满分14分）
解：（1）∵，且
∴ ………………………………………………………………2分
由正弦定理得………………………………………………………………4分
………………………………………………………………6分
（2）∵…………………………………………………………………8分
∴ ∴………………………………………………………10分
由余弦定理得
∴ ………………………14分

18．（本小题满分14分）
解：（1）以A为原点，分别为x、y、z轴的正向建立空间直角坐标系，则有
……………………………2分
于是，，，…………………………3分
设向量与平面垂直，则有

令，则∴………………………………………………5分
∵向量与平面垂直
∴与所成的角为二面角的平面角 ………………………………6分
∵ …………………………………8分
∴………………………………………………………………………………9分
∴二面角的正切值为…………………………………………………10分
（2）设与所成角为，则
…………………12分
所以直线与所成角的余弦值为…………………………………………14分

19．（本小题满分14分）
解：（1）设
∵l是BC的垂直分线∴ ∴
∴D点的轨迹图形E是以A、B为焦点的椭圆，其中………………5分
∴D点的轨迹方程E：………………………………………………………7分
（2）设，，则……………………………………8分
………………………………………………………………………9分
………………………10分
点满足 ∴ ………………………………………11分
………………………………………………………………12分
当时，
当时，设，则， ………………13分
∵ ∴
当且仅当，即时，取得最大值……………………………14分

20．（本小题满分14分）
解：（1）取，则 ∴
∴是公差为2、首项为2的等差数列 ∴……………………………4分
（2）∵ ①
∴ ②
①—②得： ∴…………6分
当时， ∴，满足上式 ∴……8分
（3），假设存在，使
即

…………………………………………………………9分
当n为正偶数时，恒成立
∴
∵ ∴…………11分
当n为正奇数时，恒成立
∴
∵ ∴………………………13分
综上所述，存在实数，使时，恒成立…………………14分

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