资源描述
（考试时间 100 分钟
满分 120 分）
一、选择题：本大题共 10 小题,每小题 5 分，共 50 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目
要求的.
（1）下列各组中的两个集合 A和 B ，表示同一集合的是
（A） A
，
，
= {1, 3, π} B = {π, 1, | - 3 |}
，
（D） A
> b cÎR
，
（2）若a
，则下列不等式中成立的是
a
（A） ac
（B）
（C）
（D）ac2 ≥ bc2
b
(x) = x + x - 2x - 2
的一个正数零点附近的函数值用二分法逐次计算，参考数据如下表：
（3）函数 f
3
2
的一个近似根（精确度0.1）为
那么方程 x
（A）1.2
3
2
（4）某程序框图如图所示，若输出的S
，则判断框内为
> 4？
（B）
（D）
> 6?
k > 7?
5
1
y = x ，② y =olg ( 1)x + ，③ y =|x
-2x |
2
，④ = ( ) ，其中在区间
2
y
x
6
（D）①③
= 0.3 b = 2
，
0.3 ，
0.2 ，则a ， ，c 三者的大小关系是
b
> c > a
> b > c
（B）b > a > c
（D）c > b > a
（A）b
（C） a
（0 < a <1）的图象的大致形状是
（7）函数 y
10
（8）某苗圃基地为了解基地内甲、乙两块地种植同一种树苗的长势情况，从两块地各随机抽取了 株树苗，
用茎叶图表示上述两组树苗高度的数据，对两块地抽取树苗的高度的平均数x x 和方差进行比较，
，
甲
乙
下面结论正确的是
（A） x ＞ x ，乙地树苗高度比甲地树苗高度更稳定
甲
乙
（B） x ＜ x ，甲地树苗高度比乙地树苗高度更稳定
甲
甲
甲
乙
乙
乙
＜
＞
，乙地树苗高度比甲地树苗高度更稳定
，甲地树苗高度比乙地树苗高度更稳定
（9）右图是王老师锻炼时所走的离家距离（ ）与行走时间（t ）之间的函数关系图，若用黑点表示王老
S
f (x) < 0
（10）已知函数 f
x
，若对任意
，总有
成立，则实数a 的取值范围是
（A）(-¥, - 4)
（C）(-4, 0)
（B）[-4, 0)
（D）(-4, + ¥)
ì
í
î
（11）已知函数 f
2
则
的值是________．
x
=
.若要从身高在
[120, 130) [130, 140) [140, 150]
三组内的学
，
，
18
生中，用分层抽样的方法选取 人参加一项活动，
.
3
，则函数 y
．
2
（14）如图，一不规则区域内，有一边长为1 米的正方形，向区域内随机地撒1000颗黄
豆，数得落在正方形区域内（含边界）的黄豆数为360颗，以此实验数据1000为依
平方米.（用分数作答）
x2
=
a
的图象关于 y 轴对称，则
．
(x) =
（16）关于函数 f
有以下四个命题：
；
(x)
②函数 f
③若T 为一个非零有理数，则 f
对任意
④在 f
．
x x m 的定义域为集合 B .
( ) = lg(- + 2 + )
已知函数 f
的定义域为集合 A，函数 g x
2
R
（Ⅱ）若
m
（18）（本题满分 9 分）
空气质量指数 PM2.5(单位：μg/m3)表示每立方米空气中可入肺颗粒物的含量，这个值越高，表示空气
污染越严重：
PM2.5 日均浓度
空气质量级别
空气质量类别
0～35
一级
优
35～75
二级
良
75～115
>250
三级
六级
轻度污染 中度污染 重度污染 严重污染
（19）（本题满分 10 分）
x
(x)
x > 0
- 2x.
已知定义域为R 的单调减函数 f
是奇函数，当
时，
3
（Ⅰ）求 f
（Ⅱ）求 f
的值；
的解析式；
（Ⅲ）若对任意的 ÎR ，不等式
t
2
2
上的函数 f
，如果对任意xÎ(0, + ¥)，都有
k
≥ 2, Î N* ）成
立，则称 f
x ，求 f 的值；
(2 3)
(x)
(x)
（Ⅰ）若函数 f
为二阶伸缩函数，且当
y = f (x) - 2x
x x ，求证：函数
- 2
（Ⅱ）若函数 f
在
f (x) 在(0,
，求
]
（Ⅲ）若函数 f
k
n+1
（ nÎN*）上的取值范围．
高一数学试卷参考答案
第一部分
（选择题 共 50分）
一、选择题：本大题共 10小题,每小题 5分，共 50分.
题号 1
答案 D
2
D
3
C
4
A
5
B
6
A
7
D
8
B
9 10
C
C
二、填空题：本大题共 6小题,每小题 5分，共 30分.
题号
11
12
13
14
15
16
①②③④
9
25
1
-2
-
答案
0.030
3
2
9
2
注：（12）题第一空 3分，第二空 2分.
三、解答题：本大题共 4小题，共 40分.
4x + 5- x2
{
A x| 1 x 5
}
=
=
- <
（17）解:（Ⅰ）由 f (x)
的定义域得
≤ .
x +1
{
}
当
则
m = 3时， B = x| -1< x < 3
，
{
ð B = x| x -1, x 3}
≤
或 ≥ .
R
{
}
ð B = x |3 x 5
所以 A
≤ ≤ .
……………………………… 6分
R
{
}
={x | -1< x 5}
≤
= | -1< < 4
（Ⅱ）因为 A
，
A B x
x
，
-4 + 2´ 4 + m = 0
.
所以有
2
解得 m =8.
{
}
B = x | -2 < x < 4
此时
，符合题意.
所以 m =8.
……………………………… 9分
（18）解:（Ⅰ）由条形监测图可知，空气质量级别为良的天数为16天，
16 8
所以此次监测结果中空气质量为良的概率为 =
；
………3分
30 15
（Ⅱ）样本中空气质量级别为三级的有 4天，设其编号为a ， ，c ，d ；
b
样本中空气质量级别为四级的有 2天，设其编号为e ， ，
f
则基本事件有：
(a, b) (a, c) (a, d) (a, e) (a, f ) (b, c) (b, d) (b, e) (b, f ) (c, d) (c, e)
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
(c, f ) (d, e) (d, f ) (e, f )
，
，
，
共 15 个.
其中至少有一天空气质量类别为中度污染的情况有：
(a, e) (b, e) (c, e) (d, e) (a, f ) (b, f ) (c, f ) (d, f ) (e, f )
，
，
，
，
，
，
，
，
共 9 个.
所以至少有一天空气质量类别为中度污染的概率为
9 3
=
.
……………9 分
15 5
(x)
（19）解:（Ⅰ）因为定义域为R 的函数 f
所以 f
(0) = 0.
是奇函数，
……………………………………2 分
< 0
-x > 0
，
（Ⅱ）因为当 x
时，
-x
(-x) =
- 2-x
.
所以 f
3
(x)
f (-x) - f (x)
= .
又因为函数 f
是奇函数，所以
x
f (x) = + 2
所以
.
-x
3
ì x
- 2 , x > 0,
ï
x
3
ï
(x) = 0,
x = 0,
综上， f
í
……………………………………6 分
ï
x
ï + 2 , < 0.
x
-x
3
î
(t - 2t) + f (2t - k) < 0
f t
( - 2 ) < - (2 - )
（Ⅲ）由 f
得 f t t 2 k .
2
2
2
(x)
f (t - 2t) < f (k - 2t )
f (x) R t - 2t > k - 2t
在 上是减函数，所以 2 2 .
因为 f
是奇函数， 所以
2 .又
2
3t - 2t - k > 0
对任意 Î 恒成立.
t
R
即
2
1
3t - 2t - k = 0
D = 4+12k < 0 D < 0
.由
【方法一】令
【方法二】即k
2
，则
，解得 < - .
k
3
< 3t - 2t
R
对任意 Î 恒成立.
g(t) = 3t - 2t
2
t
令
2
，t
ÎR
2
1
1
1
1
(t) = 3t - 2t = 3(t - t) = 3(t - ) - ³ -
则 g
k
\ < -
2
2
2
3
3
3
3
3
1
(-¥,- )
故实数 的取值范围为
k
．
……………………………………10 分
3
（20）解:（Ⅰ）由题设，当 xÎ(1, 2]
( ) = 1+ log
时， f x
x ，
1
3
1 1
( 3)=1+log 3 =1- =
所以 f
.
2 2
1
3
(x)
因为函数 f
为二阶伸缩函数，
所以对任意 xÎ(0, + ¥)，都有 f
.
(2x) = 2 f (x)
所以 f
(2 3) = 2 f ( 3) =1.
……………………………4 分
x
Î(3 , 3 ] mÎN*
Î (1, 3]
．
（Ⅱ）当 x
m+1
（
）时，
m
3m
f (3x) = 3 f (x)
.
(x)
由 f
为三阶伸缩函数，有
Î(1, 3]
时， f x x x .
( ) = 3 -
2
注意到 x
x
x
x
x
x
(x) = 3f ( ) = 3 f ( ) = ××× = 3 f ( ) = 3 3×( )-( ) = 3 × x - x
所以 f
2 ．
2
m
m
2
m
+1
3
3
2
3
m
3
m
3
m
(x) - 2x = 0
x = 0 x = 3
或
(3 , 3 ]
内. ……7 分
令 f
，解得
m，它们均不在
上无零点． ……………………………8 分
m
m+1
= f (x) - 2x (1,+¥)
在
所以函数 y
f
(kx) = kf (x)
(x)
（Ⅲ） 由题设，若函数 f
且当 xÎ(1, k]
为k 阶伸缩函数，有
，
的取值范围是[0, 1).
(x)
时， f
x
Î (k , k ]
(x) = k f ( )
所以当 x
1 时， f
．
n
n+
n
k
n
x
x
因为
Î(1, k]， 所以 f ( )Î[0,1)
．
kn
k
n
Î (k , k ]
f (x)Î[0, k )
.
所以当 x
n+1
时，
n
n
当
xÎ(0, 1]时，即0 < x £1
，
1
$k (k ³ 2,k Î N ) 0 < < £1
*
x
则
使
，
k
\1< kx£ k
k
Î(1, ]
kx
，即
，
\ f (kx)Î[0,1)．
1
f (x) = f (kx)
又
，
k
1
1
1
f (x)Î[0, )
k
\ f (x) = f (kx)Î[0, )
，即
．
k
k
k 2
因为 ≥ ，
ÎN*）上的取值范围是[0, k )
n
所以 f (x) 在 (0, k ]（n
n+1
．……………12 分
1 1
( 3)=1+log 3 =1- =
所以 f
.
2 2
1
3
(x)
因为函数 f
为二阶伸缩函数，
所以对任意 xÎ(0, + ¥)，都有 f
.
(2x) = 2 f (x)
所以 f
(2 3) = 2 f ( 3) =1.
……………………………4 分
x
Î(3 , 3 ] mÎN*
Î (1, 3]
．
（Ⅱ）当 x
m+1
（
）时，
m
3m
f (3x) = 3 f (x)
.
(x)
由 f
为三阶伸缩函数，有
Î(1, 3]
时， f x x x .
( ) = 3 -
2
注意到 x
x
x
x
x
x
(x) = 3f ( ) = 3 f ( ) = ××× = 3 f ( ) = 3 3×( )-( ) = 3 × x - x
所以 f
2 ．
2
m
m
2
m
+1
3
3
2
3
m
3
m
3
m
(x) - 2x = 0
x = 0 x = 3
或
(3 , 3 ]
内. ……7 分
令 f
，解得
m，它们均不在
上无零点． ……………………………8 分
m
m+1
= f (x) - 2x (1,+¥)
在
所以函数 y
f
(kx) = kf (x)
(x)
（Ⅲ） 由题设，若函数 f
且当 xÎ(1, k]
为k 阶伸缩函数，有
，
的取值范围是[0, 1).
(x)
时， f
x
Î (k , k ]
(x) = k f ( )
所以当 x
1 时， f
．
n
n+
n
k
n
x
x
因为
Î(1, k]， 所以 f ( )Î[0,1)
．
kn
k
n
Î (k , k ]
f (x)Î[0, k )
.
所以当 x
n+1
时，
n
n
当
xÎ(0, 1]时，即0 < x £1
，
1
$k (k ³ 2,k Î N ) 0 < < £1
*
x
则
使
，
k
\1< kx£ k
k
Î(1, ]
kx
，即
，
\ f (kx)Î[0,1)．
1
f (x) = f (kx)
又
，
k
1
1
1
f (x)Î[0, )
k
\ f (x) = f (kx)Î[0, )
，即
．
k
k
k 2
因为 ≥ ，
ÎN*）上的取值范围是[0, k )
n
所以 f (x) 在 (0, k ]（n
n+1
．……………12 分
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