北京高三模拟考试圆锥曲线解析(选修2-1).doc

十二、圆锥曲线
10（2012年海淀一模理10）过双曲线的右焦点，且平行于经过一、三象限的渐近线的直线方程是 .
答案：。
7．（2012年门头沟一模理7）已知点在抛物线上，则点到直线
的距离和到直线 的距离之和的最小值为（ C ）
A. B. C. D.
13．（2012年东城一模理13）抛物线的准线方程为 ；此抛物线的焦点是，则经
过和点，且与准线相切的圆共有 个．
答案：；。
9．（2012年丰台一模理9）已知双曲线的中心在原点，焦点在x轴上，一条渐近线方程为，则该双曲线的离心率是______．
答案：.
13．（2012年密云一模理13）若双曲线的两个焦点为，P为
双曲线上一点，且，则该双曲线离心率的取值范围是________．
答案：1<e≤2.

9.（2012年朝阳一模理9）已知双曲线的方程为，则此双曲线的离心率为 ，其焦点到渐近线的距离为 .
答案：；

13.（2012年东城11校联考理13）已知双曲线的中心在原点，焦点在x轴上，它的一条渐近线与x轴的夹角为，且，则双曲线的离心率的取值范围是_______.
答案：。

19.（2012年海淀一模理19）在平面直角坐标系中，椭圆的中心为坐标原点，左焦点为， 为椭圆的上顶点，且.（Ⅰ）求椭圆的标准方程；
（Ⅱ）已知直线：与椭圆交于，两点，直线：（）与椭圆交于，两点，且，如图所示.（ⅰ）证明：;（ⅱ）求四边形的面积的最大值.

解：（Ⅰ）设椭圆的标准方程为.
因为，，
所以.
所以 .
所以 椭圆的标准方程为.
（Ⅱ）设，，，.
（ⅰ）证明：由消去得：.
则，

所以

.
同理 .
因为 ,
所以 .
因为 ，
所以 .
（ⅱ）解：由题意得四边形是平行四边形，设两平行线间的距离为,则 .
因为 ，
所以 .
所以
.
（或）
所以 当时， 四边形的面积取得最大值为.

19.（2012年西城一模理19）已知椭圆的离心率为，定点，椭圆短轴的端点是，，且.
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）设过点且斜率不为的直线交椭圆于，两点.试问轴上是否存在定点，使平分？若存在，求出点的坐标；若不存在，说明理由.
解：（Ⅰ）由 ， 得 .
依题意△是等腰直角三角形，从而，故.
所以椭圆的方程是.
（Ⅱ）设，，直线的方程为.
将直线的方程与椭圆的方程联立，
消去得 .
所以 ，.
若平分，则直线，的倾斜角互补，
所以.
设，则有 .
将 ，代入上式，
整理得 ，
所以 .
将 ，代入上式，
整理得 .
由于上式对任意实数都成立，所以 .
综上，存在定点，使平分.

19．（2012年东城一模理19）已知椭圆：的左、右顶点分别为，，为短轴的端点，△的面积为，离心率是．（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）若点是椭圆上异于，的任意一点，直线，与直线分别交于，两点，证明：以为直径的圆与直线相切于点 (为椭圆的右焦点)．
解：（Ⅰ）由已知
解得，．
故所求椭圆方程为．
证明：（Ⅱ）由（Ⅰ）知，，设椭圆右焦点．
设，则．
于是直线方程为 ，令，得；
所以，同理．
所以，.
所以
．
所以 ，点在以为直径的圆上．
设的中点为，则．
又，
所以
．
所以 ．
因为是以为直径的圆的半径，为圆心，，
故以为直径的圆与直线相切于右焦点．

19. （2012年丰台一模理19）已知椭圆C：的离心率为，且经过点．
（Ⅰ）求椭圆C的标准方程；（Ⅱ）设直线l：与椭圆C相交于，两点，连接MA，MB并延长交直线x=4于P，Q两点，设yP，yQ分别为点P，Q的纵坐标，且．求证：直线过定点．
解：（Ⅰ）依题意，，所以． …2分
因为， 所以．…3分
椭圆方程为． …5分
（Ⅱ）
消y得 ，． …6分
因为，，
所以 ，． …7分
设直线MA：，则；同理…9分
因为 ，
所以 ， 即．…10分
所以 ，
所以 ，
，
，
所以 ，得 ． ……13分
则，故过定点． …14分

19.（2012年朝阳一模理19）已知椭圆的两个焦点分别为，.点与椭圆短轴的两个端点的连线相互垂直.（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）已知点的坐标为，点的坐标为.过点任作直线与椭圆相交于，两点，设直线，，的斜率分别为，，，若，试求满足的关系式.
解: （Ⅰ）依题意，， ，
所以.
故椭圆的方程为. ……4分
（Ⅱ）①当直线的斜率不存在时，由解得.
不妨设，，
因为，又，所以，
所以的关系式为，即. …7分
②当直线的斜率存在时，设直线的方程为.
将代入整理化简得，.
设，，则,. …9分
又，.
所以

12分
所以，所以，所以的关系式为.……13分
综上所述，的关系式为. …14分

19.（2012年东城11校联考理19）已知顶点在坐标原点，焦点在轴正半轴的抛物线上有一点，点到抛物线焦点的距离为1.（1）求该抛物线的方程；（2）设为抛物线上的一个定点，过作抛物线的两条互相垂直的弦,,求证：恒过定点.（3）直线与抛物线交于,两点，在抛物线上是否存在点，使得△为以为斜边的直角三角形.
解：（1）由题意可设抛物线的方程为，则由抛物线的定义可得，即，
所以抛物线的方程为 . ……4分
（2）由题意知直线与轴不平行，设所在直线方程为得
其中

即 所以

所以直线的方程为
即 …9分
（3）假设（上，
的解，消去得

.……14分
19.（2012年石景山一模理19）已知椭圆（）右顶点与右焦点的距离为，短轴长为.（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）过左焦点的直线与椭圆分别交于、两点，若三角形的面积为，求直线的方程．
解：（Ⅰ）由题意， --1分
解得. ---2分
即：椭圆方程为 --3分
（Ⅱ）当直线与轴垂直时，，
此时不符合题意故舍掉； ----4分
当直线与轴不垂直时，设直线 的方程为：，
代入消去得：. ----6分
设 ，则， ---7分
所以 . -----9分
原点到直线的距离，
所以三角形的面积.
由， ---12分
所以直线或. ---13分

19.（2012年房山一模19）已知椭圆的中心在坐标原点，焦点在轴上，一个顶点为，离心率为．
（I）求椭圆的方程；（II）设直线与椭圆相交于不同的两点．当时，求的取值范围．
解：（I）依题意可设椭圆方程为 ，则离心率为
故，而，解得， ………4分
故所求椭圆的方程为. ………5分
（II）设，P为弦MN的中点，
由 得 ，
直线与椭圆相交，
，① …7分
，从而，
（1）当时
(不满足题目条件)
∵，则
，即 ， ② …………9分
把②代入①得 ，解得 ， ……10分
由②得，解得．故 ………11分
（2）当时
∵直线是平行于轴的一条直线，
∴ ……13分
综上，求得的取值范围是． …14分

19．（2012年密云一模理19） 如图所示，已知椭圆的中心在原点，焦点在x轴上，长轴长是短轴长的3倍且经过点M（3，1）.平行于OM的直线在y轴上的截距为m(m≠0)，且交椭圆于A，B两不同点.（I） 求椭圆的方程；（II） 求m的取值范围；（III） 求证：直线MA、MB与x轴始终围成一个等腰三角形.

解：（I） 设椭圆的方程为(a>b>0)
由题可得

所求椭圆的方程为 . …4分

（II）∴直线∥OM且在y轴上的截距为m,∴直线l方程为：y=x+m.
联立
消y化简得
∵直线交椭圆于A，B两点，
∴
解得又因为m≠0.
m的取值范围为-2<m<2且m≠0. …8分
（III）设直线MA、MB的斜率分别为，则问题只需证明.
设A,B
则.
由（2）
又代入
整理得

∴.从而直线MA、MB与x轴围成一个等腰三角形. …13分

19．（2012年门头沟一模理19）已知椭圆经过点，离心率为，过点的直线与椭圆交于不同的两点．（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）求的取值范围．
解: （Ⅰ）由离心率为，可设，则
因为经过点
所以，解得，所以
椭圆方程为 ……4分
（Ⅱ）由题意可知直线的斜率存在，设直线的方程为，
直线与椭圆的交点坐标为 ……5分
由
消元整理得： ………7分
得 …8分
，…………9分
…10分

因为，所以
所以的取值范围是．………14分

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