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二次函数中的最值问题重难点复习
一般地,如果是常数,,那么叫做的二次函数.
二次函数用配方法可化成:的形式
的形式,得到顶点为(,),对称轴是.
,∴顶点是,对称轴是直线.
二次函数常用来解决最值问题,这类问题实际上就是求函数的最大(小)值。一般而言,最大(小)值会在顶点处取得,达到最大(小)值时的即为顶点横坐标值,最大(小)值也就是顶点纵坐标值。
自变量取任意实数时的最值情况
(1)当时,函数在处取得最小值,无最大值;
(2)当时,函数在处取得最大值,无最小值.
(3)二次函数最大值或最小值的求法.
第一步:确定的符号,有最小值,有最大值;
第二步:配方求顶点,顶点的纵坐标即为对应的最大值或最小值.
2.自变量在某一范围内的最值.
如:在(其中)的最值.
第一步:先通过配方,求出函数图象的对称轴:;
第二步:讨论:
[1]若时求最小值(或时求最大值),需分三种情况讨论:(以时求最小值为例)
①对称轴小于即,即对称轴在的左侧,在处取最小值;
②对称轴,即对称轴在的内部,在处取最小值;
③对称轴大于即,即对称轴在的右侧,在处取最小值.
[2] 若时求最大值(或时求最小值),需分两种情况讨论:(以时求最小值为例)
①对称轴,即对称轴在的中点的左侧,在处取最大值;
②对称轴,即对称轴在的中点的右侧,在处取最大值
小结:对二次函数的区间最值结合函数图象总结如下:
当时
当时
另法:当(其中)的最值:
求出函数的对称轴,在以后的数学学习中
①若,则分别求出处的函数值,,,则三函数值最大者即最大值,最小者即为最小值;
②若时,则求出处的函数值,,则两函数值中大者即为最大值,最小者即为最小值。
基础巩固:
将下列函数写成顶点式,并写出对称轴和 顶点坐标 :
(1) ; (2) (3)
(4) (5) (6)
例1.求下列函数的最大值或最小值.
(1); (2).(3) (4) (5)
例1(1) 最小值为 无最大值;(2)最大值为,无最小值.
练习: 求下列函数的最大值或最小值
(1)
(2)
(3)
(4)
(5) 的最小值是_________.
例2.、如图,抛物线与直线交于点A(-1,m)、B(4,n),点M是抛物线上的一个动点,连接OM
(1)求m,n,p。
(2)当M为抛物线的顶点时,求M坐标和⊿OMB的面积;
(3)当点M在直线AB的下方且在抛物线对称轴的右侧,M运动到何处时,⊿OMB的面积最大。
练习 :
1.如图,二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象与x轴交于A(﹣1,0),B(3,0)两点,与y轴交于点C,且二次函数的最小值为﹣4,
(1)求二次函数的解析式;
(2)若M(m,n)(0<m<3)为此抛物线上的一个动点,连接MC、MB,试求当m为何值时,△MBC的面积最大?并求出这个最大值
考点:
二次函数综合题.1904127
专题:
代数几何综合题.
分析:
(1)根据点A、B的坐标求出对称轴解析式,从而得到顶点坐标,然后设顶点式解析式,把点A的坐标代入计算即可得解;
(2)根据点B、C的坐标求出OB、OC的长度,利用勾股定理求出BC,再求出直线BC的解析式,根据三角形的面积,当平行于BC的直线与抛物线只有一个交点时△MBC的面积最大,再根据平行直线的解析式的k值相等设出平行线的解析式,然后与抛物线联立消掉y得到关于x的一元二次方程,然后利用根的判别式△=0求出直线的解析式,再根据等腰直角三角形的性质求出点M到BC的距离,然后求解即可;
(3)根据抛物线的解析式设点P的坐标为(x,x2﹣2x﹣3),根据抛物线的对称性以及点P在点Q的左侧,表示出EF=2(1﹣x),然后根据正方形的四条边都相等列式,再分①x<﹣1时点P的纵坐标是正数,②﹣1<x<1时,点P的纵坐标是负数两种情况去掉绝对值号,解方程求解即可.
解答:
解:(1)y=x2﹣2x﹣3;
(2)不难求出,直线BC的解析式为y=x﹣3,
S△MBC=×3×=;
2.已知:如图,抛物线y=ax2+3ax+c(a>0)与y轴交于C点,与x轴交于A、B两点,A点在B点左侧.点B的坐标为(1,0),OC=3BO.
(1)求抛物线的解析式;
(2)若点D是线段AC下方抛物线上的动点,求四边形ABCD面积的最大值;
.
解答:
解:(1)∴抛物线的解析式为:(2分)
(2)∴AC的解析式为:(3分)
∵S四边形ABCD=S△ABC+S△ADC
==
设,当x=﹣2时,DM有最大值3
此时四边形ABCD面积有最大值
例3.(1) 当时,求函数的最大值和最小值.
(2)当时,求函数的最大值和最小值.
例2.(2)当时,,当时,
巩固练习
(1) 函数在区间 上的最大值是_______,最小值是_______.
(2)已知,求函数的最值. 最小值为1,最大值为
(3) 函数在区间 上的最大值是_______,最小值是_______.
(4)函数在区间 上的最大值是_______,最小值是_______. 2, -2
(5) ,求函数的取值范围.
(6) 函数在区间 上的最大值是_______,最小值是_______.(a为常数)
例4. 已知关于的函数在上.
(1) 当时,求函数的最大值和最小值;
(2) 当为实数时,求函数的最值.
(1) 当时,;当时,.
(2) 当时,;当时,
练习 :求关于的二次函数在上的最值(为常数).
【课后作业】
1.抛物线,当= 时,图象的对称轴是轴;当= 时,图象的顶点在轴上;当= 时,图象过原点. 4 14或2,
2.用一长度为米的铁丝围成一个长方形或正方形,则其所围成的最大面积为________ .
3.求下列二次函数的最值:(1) ; (2) .
(1) 有最小值3,无最大值;(2) 有最大值,无最小值.
4.求二次函数在上的最大值和最小值,并求对应的的值.
当时,;当时,.
5.函数在区间上的最小值和最大值分别是( ) B
(C) (D)
6.函数在区间上的最小值是( )C
2
7.函数的最值为 ( ) B
最大值为8,最小值为0 不存在最小值,最大值为8
(C)最小值为0, 不存在最大值 不存在最小值,也不存在最大值
8.已知二次函数的最小值为1,那么的值为 .10
9.对于函数,当时,求的取值范围.
10.求函数的最小值.当时,;当或1时,.
11.已知关于的函数在上.
(1) 当时,求函数的最大值和最小值;2) 当为常数时,求函数的最大值.
.(1) 当时,;当时,. (2) 当时,;当时,.
12.已知关于的函数,当取何值时,的最小值为0?当时,.
13.求关于的二次函数在上的最大值(为常数).
13.当时,,此时;当时,,此时.
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