初三二次函数最值问题和给定范围最值.doc

二次函数中的最值问题重难点复习
一般地，如果是常数，，那么叫做的二次函数.
二次函数用配方法可化成：的形式
的形式，得到顶点为(,)，对称轴是.
，∴顶点是，对称轴是直线.

二次函数常用来解决最值问题，这类问题实际上就是求函数的最大(小)值。一般而言，最大(小)值会在顶点处取得，达到最大(小)值时的即为顶点横坐标值，最大(小)值也就是顶点纵坐标值。

自变量取任意实数时的最值情况
（1）当时，函数在处取得最小值，无最大值；
（2）当时，函数在处取得最大值，无最小值．
（3）二次函数最大值或最小值的求法．
第一步：确定的符号，有最小值，有最大值；
第二步：配方求顶点，顶点的纵坐标即为对应的最大值或最小值．
2.自变量在某一范围内的最值．
如：在（其中）的最值．
第一步：先通过配方，求出函数图象的对称轴：；
第二步：讨论：
[1]若时求最小值（或时求最大值），需分三种情况讨论：(以时求最小值为例)
①对称轴小于即，即对称轴在的左侧，在处取最小值；
②对称轴，即对称轴在的内部，在处取最小值；
③对称轴大于即，即对称轴在的右侧，在处取最小值.
[2] 若时求最大值（或时求最小值），需分两种情况讨论：(以时求最小值为例)
①对称轴，即对称轴在的中点的左侧，在处取最大值；
②对称轴，即对称轴在的中点的右侧，在处取最大值

小结：对二次函数的区间最值结合函数图象总结如下：
当时

当时

另法：当（其中）的最值：
求出函数的对称轴，在以后的数学学习中
①若，则分别求出处的函数值，，，则三函数值最大者即最大值，最小者即为最小值；
②若时，则求出处的函数值，，则两函数值中大者即为最大值，最小者即为最小值。

基础巩固:
将下列函数写成顶点式,并写出对称轴和 顶点坐标 :
(1) ； (2) (3)

(4) (5) (6)

例1.求下列函数的最大值或最小值．
（1）； （2）．（3） （4） (5)
例1（1） 最小值为 无最大值；（2）最大值为，无最小值.

练习: 求下列函数的最大值或最小值
(1)
(2)
(3)

(4)

(5) 的最小值是_________.

例2.、如图，抛物线与直线交于点A（-1，m）、B（4，n），点M是抛物线上的一个动点，连接OM
（1）求m，n，p。
（2）当M为抛物线的顶点时，求M坐标和⊿OMB的面积；
（3）当点M在直线AB的下方且在抛物线对称轴的右侧，M运动到何处时，⊿OMB的面积最大。

练习 ：
1．如图，二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象与x轴交于A（﹣1，0），B（3，0）两点，与y轴交于点C，且二次函数的最小值为﹣4，
（1）求二次函数的解析式；
（2）若M（m，n）（0＜m＜3）为此抛物线上的一个动点，连接MC、MB，试求当m为何值时，△MBC的面积最大？并求出这个最大值

考点：
二次函数综合题．1904127
专题：
代数几何综合题．
分析：
（1）根据点A、B的坐标求出对称轴解析式，从而得到顶点坐标，然后设顶点式解析式，把点A的坐标代入计算即可得解；
（2）根据点B、C的坐标求出OB、OC的长度，利用勾股定理求出BC，再求出直线BC的解析式，根据三角形的面积，当平行于BC的直线与抛物线只有一个交点时△MBC的面积最大，再根据平行直线的解析式的k值相等设出平行线的解析式，然后与抛物线联立消掉y得到关于x的一元二次方程，然后利用根的判别式△=0求出直线的解析式，再根据等腰直角三角形的性质求出点M到BC的距离，然后求解即可；
（3）根据抛物线的解析式设点P的坐标为（x，x2﹣2x﹣3），根据抛物线的对称性以及点P在点Q的左侧，表示出EF=2（1﹣x），然后根据正方形的四条边都相等列式，再分①x＜﹣1时点P的纵坐标是正数，②﹣1＜x＜1时，点P的纵坐标是负数两种情况去掉绝对值号，解方程求解即可．
解答：
解：（1）y=x2﹣2x﹣3；

（2）不难求出，直线BC的解析式为y=x﹣3，
S△MBC=×3×=；

2．已知：如图，抛物线y=ax2+3ax+c（a＞0）与y轴交于C点，与x轴交于A、B两点，A点在B点左侧．点B的坐标为（1，0），OC=3BO．
（1）求抛物线的解析式；
（2）若点D是线段AC下方抛物线上的动点，求四边形ABCD面积的最大值；
．

解答：
解：（1）∴抛物线的解析式为：（2分）
（2）∴AC的解析式为：（3分）
∵S四边形ABCD=S△ABC+S△ADC
==
设，当x=﹣2时，DM有最大值3
此时四边形ABCD面积有最大值

例3.(1) 当时，求函数的最大值和最小值．
(2)当时，求函数的最大值和最小值．
例2.(2)当时，，当时，
巩固练习
(1) 函数在区间 上的最大值是_______，最小值是_______.
（2）已知，求函数的最值. 最小值为1，最大值为
(3) 函数在区间 上的最大值是_______，最小值是_______.
（4）函数在区间 上的最大值是_______，最小值是_______. 2， -2
(5) ,求函数的取值范围．
(6) 函数在区间 上的最大值是_______，最小值是_______.(a为常数)
例4. 已知关于的函数在上．
(1) 当时，求函数的最大值和最小值；
(2) 当为实数时，求函数的最值．
(1) 当时，；当时，．
(2) 当时，；当时，
练习 ：求关于的二次函数在上的最值(为常数)．
【课后作业】
1.抛物线，当= 时，图象的对称轴是轴；当= 时，图象的顶点在轴上；当= 时，图象过原点． 4 14或2，
2．用一长度为米的铁丝围成一个长方形或正方形，则其所围成的最大面积为________ ．
3．求下列二次函数的最值：(1) ； (2) ．
(1) 有最小值3，无最大值；(2) 有最大值，无最小值．
4．求二次函数在上的最大值和最小值，并求对应的的值．
当时，；当时，．
5．函数在区间上的最小值和最大值分别是（ ） B
　 　 （C） 　 （D）
6．函数在区间上的最小值是（　　　）C
　　 　　 　　 2
7．函数的最值为 （　　　） B
最大值为8，最小值为0　　　　　　不存在最小值，最大值为8
（C）最小值为0, 不存在最大值　　　　 不存在最小值，也不存在最大值
8.已知二次函数的最小值为1，那么的值为 .10
9．对于函数，当时，求的取值范围．
10．求函数的最小值．当时，；当或1时，．
11.已知关于的函数在上．
(1) 当时，求函数的最大值和最小值；2) 当为常数时，求函数的最大值．
.(1) 当时，；当时，． (2) 当时，；当时，．
12．已知关于的函数，当取何值时，的最小值为0？当时，．
13．求关于的二次函数在上的最大值(为常数)．
13．当时，，此时；当时，，此时．
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