2015-2016学年北京市第四中学八年级上学期期中考试数学试题(含答案).doc

2015-2016学年北京四中八年级上学期期中考试
数 学 试 卷
（考试时间：100分钟 满分：120分）
姓名： 班级： 成绩: ____________
一、选择题（本题共30分，每小题3分）
1.下列图形中，不是轴对称图形的是（　　）

A. B. C. D.
2.把多项式分解因式，结果正确的是（ ）
A. B. C. D.
3.分式有意义，则x的取值范围是（　　）

A．
x≠1
B．
x=1
C．
x≠﹣1
D．
x=﹣1
4. 点A（2,3）关于y轴成轴对称的点的坐标是（ ）
A．（3,-2）           B．（-2, 3）      C．（-2,-3）       D．（2,-3）
5. 在△ABC和△A′B′C′中，已知∠A=∠A′，AB=A′B′，添加下列条件中的一个，不能使△ABC≌△A′B′C′一定成立的是（ ）．
A．AC=A′C′ B．BC=B′C′ C．∠B=∠B′ D．∠C=∠C′
6. 下列各式中，正确的是（ ）．
A． B．
C． D．
7.等腰三角形的两边长分别为3和6，则这个等腰三角形的周长为（　　）

A．
12
B．
15
C．
12或15
D．
18

8.如图，△ABC中，AB＝AC，∠A＝36°，BD是AC边上的高，
则∠DBC的度数是（ ）
A．18° B．24° C．30° D．36°

第8题图
9.如图，∠3=30°，为了使白球反弹后能将黑球直接撞入袋中，那么击打白球时，
必须保证∠1的度数为（　　）
　 A．30° B．45° C．60° D．75°
10.如图，∠BAC=130°，若MP和QN分别垂直平分AB和AC，则∠PAQ等于（　　）
A．50° B．75° C．80° D．105°

第9题图 第10题图
二、填空题（本题共20分，每小题2分）
11.已知某种植物花粉的直径为35000纳米，即0.000035米，把0.000035用科学记数法表示为 _____________________.
12. 分解因式： ．
13．计算：__ ____．
14. 如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠B=30°，AD
平分∠CAB交BC于D，DE⊥AB于E．若DE=1cm，
则BC =_______ cm． 第14题图
15.如图，已知△ABC是等边三角形，点B、C、D、E在同一直线上，且CG=CD，
DF=DE，则∠E=_____度．

第15题图 第16题图 第18题图
16.如图，△ABC中，BO、CO分别平分∠ABC、∠ACB，OM∥AB，ON∥AC，
BC＝10cm，则ΔOMN的周长＝______cm．
17. 已知，则代数式= .
18. 如图中，平分，，，且的面积为，则的面积为 。
19．如图，MN是正方形ABCD的一条对称轴，点P是直线MN上的一个动点，当PC+PD最小时，∠PCD=_________°．
20.如图所示，长方形ABCD中，AB=4，BC=4，点E是折线段A—D—C上的一个动点（点E与点A不重合），点P是点A关于BE的对称点．在点E运动的过程中，能使△PCB为等腰三角形的点E的位置共有 个．

第19题图 第20题图
三、解答题
分解因式（每题4分，共8分）.
21. 22.

计算（每题4分，共8分）
23. . 24. .

25.（本题5分）先化简，再求值：，其中．

26.（本题5分）解方程：．

27.（本题5分）已知：如图，AD＝AE，AB＝AC，∠DAE＝∠BAC．
求证：BD＝CE．

28． 列分式方程解应用题：（本题5分）
甲、乙两名学生练习计算机打字，甲打一篇1000字的文章与乙打一篇900字的文章所用的时间相同．已知甲每分钟比乙每分钟多打5个字．问：甲、乙两人每分钟各打多少字？

29. （本题6分）小明在做课本中的一道题：如图1，直线a，b所成的角跑到画板外面去了，你有什么办法量出这两条直线所成的角的度数？小明的做法是：如图2，画PC∥a，量出直线b与PC的夹角度数，即直线a，b所成角的度数．

（1） 请写出这种做法的理由；

（2） 小明在此基础上又进行了如下操作和探究（如图3）：①以P为圆心，任意长为半径画圆弧，分别交直线b，PC于点A，D；②连结AD并延长交直线a于点B，请直接写出图3中所有与∠PAB相等的角；

（3）请在图3画板内作出“直线a，b所成的跑到画板外面去的角”的平分线（画板内的部分），只要求作出图形，并保留作图痕迹．

30.（本题8分）
（1）如图（1），已知：在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，直线l经过点A，BD⊥直线l，CE⊥直线l，垂足分别为点D、E．证明：DE＝BD＋CE．
（2）如图（2），将（1）中的条件改为：在△ABC中，AB＝AC，D、A、E三点都在直线l上，且∠BDA＝∠AEC＝∠BAC＝α，其中α为任意锐角或钝角．请问结论DE＝BD＋CE是否成立？如成立；请你给出证明；若不成立，请说明理由．
（3）拓展与应用：如图（3），D、E是直线l上的两动点（D、A、E三点互不重合），点F为∠BAC平分线上的一点，且△ABF和△ACF均为等边三角形，连接BD、CE，若∠BDA＝∠AEC＝∠BAC，求证：DF=EF．
D
A
E
l
B
C
B
C
D
A
E
l
F
B
C
D
A
E
l
图（1）
图（2）
图（3）

附加题（满分20分，计入总分）
1.（本题4分）已知: ，， 则=__ __.

2.（本题4分）已知：，则
的值为 .

3.（本题12分）等腰Rt△ABC中，∠BAC=90°，点A、点B分别是x轴、y轴两个动点，直角边AC交x轴于点D，斜边BC交y轴于点E。
（1）如图（1），若A(0，1)，B(2，0)，求C点的坐标；（4分）
（2）如图（2）， 当等腰Rt△ABC运动到使点D恰为AC中点时，连接DE，
求证：∠ADB=∠CDE；（4分）
（3）如图（3），在等腰Rt△ABC不断运动的过程中，若满足BD始终是∠ABC的平分线，试探究：线段OA、OD、BD三者之间是否存在某一固定的数量关系，并说明理由。（4分）

参考答案及评分标准：
一、选择题：
1.A 2.A 3. A 4. B 5. B 6. D 7. B 8. A 9. C 10. C
二、填空题：
11. 12. 13. 4 14. 3
15. 15 16. 10 17. 4 18. 1.5
19. 45 20. 4
三、解答题
21. (m-2)(x-3y)(x+3y) 22.
23. 24.
25.解：原式=
=
=
=----------------------------4分
当时，原式=．------------5分
26.解： ………………………………1分
…………………………………2分
…………………………………3分
………………………………………4分
经检验：是原方程的增根，所以原方程无解 ……………5分
27.证
28.解：设乙每分钟打x个字，则甲每分钟打（x+5）个字，-------1分
由题意得，=，------------3分
解得：x=45，--------------------4分
经检验：x=45是原方程的解，且符合题意．-------5分
答：甲每人每分钟打50个字，乙每分钟打45个字．
29.解：（1）两直线平行，同位角相等；---1分
（2）∠PAB=∠PDA=∠BDC=∠1，---------4分
（3） 如图，作线段AB的垂直平分线EF，
则EF是所求作的图形．-----------6分
30.解：（1）∵BD⊥l，CE⊥l，
∴∠BDA=∠AEC=90°
又∵∠BAC=90°，
∴∠BAD+∠CAE=90°，∠BAD+∠ABD=90°，
∴∠CAE=∠ABD               
在△ABD和△CAE中，
，
∴△ABD≌△CAE（AAS）
∴BD=AE，AD=CE，
∵DE=AD+AE，
∴DE=CE+BD；-----------------------2分
（2）成立
∵∠BDA=∠AEC=∠BAC=α，
∴∠DBA+∠BAD=∠BAD+∠CAE=180°-α，
∴∠CAE=∠ABD，
在△ADB和△CEA中，
，
∴△ADB≌△CEA（AAS），
∴AE=BD，AD=CE，
∴BD+CE=AE+AD=DE；-------------------5分
（3）由（2）知，△ADB≌△CAE，
BD=EA，∠DBA=∠CAE，
∵△ABF和△ACF均为等边三角形，
∴∠ABF=∠CAF=60°，
∴∠DBA+∠ABF=∠CAE+∠CAF，
∴∠DBF=∠FAE，
∵BF=AF
在△DBF和△EAF中，
，
∴△DBF≌△EAF（SAS），
∴DF=EF，∠BFD=∠AFE，
∴∠DFE=∠DFA+∠AFE=∠DFA+∠BFD=60°，
∴△DEF为等边三角形．
∴DF=EF．-----------------------------8分

附加题：
1. -2
2. 0
3.（1）如图,过点C作CF⊥y轴于点F
则△ACF≌△ABO(AAS),
∴CF=OA=1,AF=OB=2
∴OF=1
∴C(－1,－1)；
（2）如图,过点C作CG⊥AC交y轴于点G
则△ACG≌△ABD(ASA)
∴CG=AD=CD,∠ADB=∠G
∵∠DCE=∠GCE=45°
∴△DCE≌△GCE(SAS)
∴∠CDE=∠G
∴∠ADB=∠CDE；
(3) 如图,在OB上截取OH=OD,连接AH
由对称性得AD=AH,∠ADH=∠AHD
∴∠AHD=∠ADH=∠BAO=∠BEO
∴∠AEC=∠BHA
又∵AB=AC ∠CAE=∠ABH
∴△ACE≌△BAH(AAS)
∴AE=BH=2OA
∵DH=2OD
∴BD=2(OA +OD)

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