上海市进才中学2020-2021学年高三上学期12月月考数学试题.docx

上海市进才中学 2020-2021 学年高三上学期 12 月月考数学试
题
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、填空题
A ={x | log x > 0}
= { || -1|< 2}
， B x x
=
，则 A B ________.
1．已知集合
1
2
| n -100 |
2
lim
=________.
2．计算：
3n2
n®¥
i
3．复数 =
（i 为虚数单位）在复平面内对应的点位于第________象限.
为渐近线且经过点(2,0)的双曲线方程为______．
z
1-i
4．以 =
5．已知圆锥底面半径与球的半径都是1cm ，如果圆锥的体积恰好也与球的体积相等，
那么这个圆锥的母线长为cm
．
1
（ x- ）
6．二项式
5 的展开式中常数项为__________．
x
3
7．已知抛物线 y2 = 4
_____________．
x 的焦点与圆 x y mx 的圆心重合，则 m 的值是
- 4 = 0
2 + 2 +
1
1
{x }
- =
{x }
8．若数列
满足：
d （d 为常数， Î *），则称
n N
为调和数列，已
x
n+1
x
n
n
n
1 1 1 1 1
{a }
a = 1
1
+ + + + =15
a
{ }
，则数列 通项为
知数列
为调和数列，且
，
a a a a
3
a
5
n
n
1
2
4
________.
P P
P
n
边上的n
+1等分点，设
OA a OB b
9．三角形 OAB 中， 、 、…、 是
= ，
= ，
AB
1
2
= 2018
+
，用 、 表示OP OP
+×××+
OP ，其结果为________.
若 n
a
b
1
2
2018
+b = ab
+ + = 2
10．已知正数a、b、c 满足a
，a b c abc，则c 的取值范围是________.
11．对 ∈ ，函数 ( )满足 ( + 1) =
( ) − [ ( )] + ，设 = [ ( )] − ( )，
1
2
2
2
}的前 15 项和为− 31
数列{
，则 (15) =__________
.
16
12．如图，甲从A 到 B，乙从C 到 D，两人每次都只能向上或者向右走一格，如果两个
人的线路不相交，则称这两个人的路径为一对孤立路，那么不同的孤立路一共有
________对. （用数字作答）

二、单选题
13．已知非零向量 、 ，“ ∥ ”是“ ∥ a
( )
+b
”的（
）
a b
a b
a
A．充分而不必要条件
C．充要条件
B．必要而不充分条件
D．既不充分也不必要条件
5p
p
p
=
[ ,p]
6
14．同时具有性质：“① 最小正周期是 ；② 图象关于直线 x
对称；③ 在
3
上是单调递增函数”的一个函数可以是（
x p
）
5p
A． y =
cos( + )
B．
y = sin(2x +
)
2 6
6
p
p
= cos(2x - )
C． y
D． = sin(2 - )
y
x
3
6
15．记方程①x +a x+1=0，②x +a x+1=0，③x +a x+1=0，其中a ，a ，a 是正实数，当
2
2
2
1
2
3
1
2
3
a ，a ，a 成等比数列，下列选项中，当方程③有实根时，能推出的是（ ）
1
2
3
A．方程①有实根或方程②无实根
C．方程①无实根或方程②无实根
B．方程①有实根或方程②有实根
D．方程①无实根或方程②有实根
1
16．设 xÎR
{ } = -[ ]
，[x]表示不超过 x 的最大整数，且 x x x ，则方程 x
{ }+{ } =1
（
）
x
A．方程无实根
B．方程存在整数解
D．方程有两个以上有理数根
C．方程存在无理数根
三、解答题
17．已知△ABC 的内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c．
p
3 3
2
= ，b = 7，ABC
（1）若 B
=
的面积 S
，求 a+c 值；
3
（2）若 2cosC（
BA BC AB AC
×
×
+
）=c ，求角 C．
2
1
1
(x) =
-
<
（ a b ）.
18．已知函数 f
x - a x - b
= 3
= ( )
（1）若 =1，b
，求证：函数 y f x 在[2,3)上是增函数；
a
a + b
（2）设集合M
= {(x, y) | y = f (x)}， N ={( , ) | = l( -
x y y
R ，若
)2,lÎ }
x
2
M Ç N = Æ，求实数l 的取值范围.

19．由于浓酸泄漏对河流形成了污染，现决定向河中投入固体碱，1 个单位的固体碱在
y
水中逐步溶化，水中的碱浓度 与时间 x 的关系，可近似地表示为
16
ì
-
- x +8 ,0 £ x £ 2
ï
y = í x
+ 2
，只有当河流中碱的浓度不低于 1 时，才能对污染产生
ï
4 - x,2 < x £ 4
î
有效的抑制作用.
（1）如果只投放 1 个单位的固体碱，则能够维持有效抑制作用的时间有多长？
（2）当河中的碱浓度开始下降时，即刻第二次投放1 个单位的固体碱，此后，每一时
刻河中的碱浓度认为是各次投放的碱在该时刻相应的碱浓度的和，求河中碱浓度可能取
得的最大值.
y
2
20．已知椭圆 + = 的左、右两个顶点分别为 、 ，曲线C 是以 、 两点为
1
x
2
A
A
B
B
4
顶点，焦距为2 5
的双曲线，设点 在第一象限且在曲线C 上，直线
与椭圆相交
AP
P
于另一点 .
T
（1）求曲线C 的方程；
× x
（2）设 、 两点的横坐标分别为 x 、 x ，求证 x
为一定值；
P
T
1
2
1
2
（3）设△TAB 与△
（其中 为坐标原点）的面积分别为S 与 ，且
PA PB
£15，
×
POB
O
S
1
2
- S
的取值范围.
2
2
求 S
2
1
1£ a < a < ××× < a
2
）具有性质 ：对任意
21．已知数集 = { , ,××× , } （
A a a
³
a
， n
P
1
2
n
1
2
n
a
a
1£ i < j £ n
j
a a
与
的i 、 （
），
j 两数中至少有一个属于 A.
i
j
i
{1,3, 4} {1,2,3,6}
是否具有性质 ，并说明理由；
P
（1）分别判断数集
与
a + a + ××× + a
（2）证明：a
= 1，且
1
2
= a
；
n
a
-1
1
+ a + ××× + a
-1
2
-1
1
n
n
= 5
（3）证明：当n
时， a 、a 、 a 、a 、 a 成等比数列.
3
1
2
4
5

参考答案
1．(0,1)
【解析】
【分析】
解对数不等式可化简集合 ，解绝对值不等式化简集合 ，由集合的交集运算即可求解.
A
B
【详解】
log x > 0
因为
，
1
2
所以0 < x <1
，
即 A
= (0,1)，
因为| x -1|< 2
，
-2 < x -1< 2
1 x 3
，
所以
，即
，
B = (-1,3)，
A B = (0,1)
所以
故答案为：(0,1)
【点睛】
本题主要考查了对数函数的性质，绝对值不等式，集合的交集，属于容易题.
1
2．
3
【分析】
| n -100 |
n -100 1 100
2
2
= |
|=| -
|,可知当
n
® ¥
时，式子的极限.
化简
3n2
3n2
3 3n
2
【详解】
| n -100 |
n -100
1 100
|= lim | -
3 3n
2
2
lim
= lim |
|
，
因为
所以
3n2
3n2
2
n®¥
n®¥
n®¥
| n -100 | 1
2
lim
=
，
3n2
3
n®¥
1
3
故答案为：
【点睛】

本题主要考查了分式的变形化简，极限的性质，属于容易题.
3．二
【解析】
【分析】
化简复数为 + 的形式，即可得到结果．
a bi
【详解】
( )
( )( )
1-i 1-i 1+ i
i 1+ i
i
1 1
= - + i
2 2
=
复数
1 1
(- , )
复数对应的点
．在第二象限．
2 2
故答案为：二．
【点睛】
本题主要考查了复数的代数形式混合运算，复数的几何意义，是容易题．
4． −
2
2
= 1
4
4
【解析】
以 =
为渐近线的双曲线为等轴双曲线，方程可设为 2 − 2 =
= 4 ∴ = 1.
≠ 0)，代入点(2,0)得
= 4 ∴
−
2
−
2
2
2
4
4
5．
p
17
【解析】
试题分析：根据题意，由于球的半径为1，那么可知其体积公式为
4p
4p
´12 =
，而圆锥的
3
3
p
4p
体积公式等于 V=SH= h=
，可知其高为 4，那么利用母线长和底面的半径以及高勾股
3
3
定理可知圆锥的母线长，故答案为。
考点：圆锥和球的体积
点评：主要是考查空间几何体简单的体积运算，属于基础题。
-10．
6．
【解析】
试题分析：由二项式定理可知，二项式展开的第 +1项为
r

5 5
- r =
5-r r
5 5r
0
r ，∴
= 3
A = C (-1) = -10
．
T = C (-1) x
- = (-1)
C
x
- ，令
，则
3
5
3
r
5
r
2
3
r
5
r
2
6
2 6
r+1
考点：二项式定理．
7．-2
【分析】
( )
1,0
æ m ö
- ,0
抛物线的焦点坐标为
【详解】
，圆的圆心坐标为ç
÷ ，利用两者相同可得m 的值.
2
è
ø
( )
1,0
æ m ö
- ,0
m
- =
2
1
= -2，填-2 .
即 m
抛物线的焦点坐标为
【点睛】
，圆的圆心坐标为ç
÷ ，故
2
è
ø
æ D E ö
- ,-
÷，注意 D + E - 4F > 0 .
圆的一般方程为 +
x2 y2 Dx Ey F
+
+
+ = 0 ，其圆心为ç
2
2
2
2
ø
è
求圆锥曲线的基本量时，需要把圆锥曲线的方程写成标准形式，便于基本量的计算.
1
8．
n
【分析】
ì 1 ü
1 1 1 1 1
+ + + + =
a a a a a
通过 í ý为等差数列，及
15，利用等差中项的性质计算即得结论.
a
î þ
n
1
2
3
4
5
【详解】
ì 1 ü
依题意 í ý为等差数列，
a
î þ
n
1 1 1 1 1
+ + + + =
a a a a a
由
15，
1
2
3
4
5
5
1
=15
= 3，
得：
，即
a
3
a
3
1 1
-
a a
∴公差
=1，
d =
3
1
2

1
1
= n
=
故
，即 a
n n
a
n
【点睛】
本题主要考查了等差数列定义、通项公式，等差中项，属于中档题
9．1009(a + b)
【分析】
根据向量的加法可知，
=
+
= +
OP OA AP a AP
,OP = OA + 2AP = a + 2AP
，
1
1
1
2
1
1
,OP = OA+ 2018AP = a + 2018AP
，求和化简后再根据向量的减法
AB b a
= - 即可
2018
1
1
求解.
【详解】
由向量的加法法则可知：
OP OA AP a AP
+
=
= +
，
1
1
1
P P
因为 、 、…、 P 是
+1
边上的n 等分点，
AB
1
2
n
所以
OP OA AP OA
+
=
=
+
2AP = a + 2AP
，
2
2
1
1
= OA+ AP = OA+ 3AP = a + 3AP
同理可得：OP
3
3
1
1
,
OP = OA+ AP = OA+ 2018AP = a + 2018AP ，
2018
2018
1
1
(1+ 2018)´2018
2
+ OP + ××× + OP = 2008a +
AP = 2018a +1009AB ,
所以OP
1
2
2018
1
而
= - ，
AB b a
+ OP +×××+ OP = 2018a +1009(b - a) =1009(a + b)
代入得：OP
1
2
2018
故答案为：1009( + )
a b
【点睛】
本题主要考查了向量的加法，向量的减法，共线向量的等分，属于中档题.
1 4
( , ]
10．
2 7
【分析】
a
由正数 ， ， 满足
b c
a +b＝
a
a
利用基本不等式的性质可得 ≥ ．由
4
a + +
＝2
abc
可
b
b
b c

ab
2 -1
ab
1
c =
=
化为c(2ab -1)= ab
，即
1
．利用不等式的性质即可得出．
2 -
ab
【详解】
∵正数a ， ， 满足a + ＝a ³ 2 ab ，
b c
b
b
∴ a ≥4．
b
∴ a + + ＝ 2
b c
，化为c(2ab -1)= ab
，
abc
ab
1
c =
=
1
2ab -1
即
，
2 -
ab
ab ³ 4 ，
1 1
\0 <
£
，
ab 4
7
1
\ £ 2 - < 2
ab
，
4
1
4
\ < c £
．
2
7
1 4
( , ]
故答案为：
2 7
【点睛】
本题主要考查了不等式的性质、基本不等式的性质，考查了学生推理运算的能力，属于中档
题．
3
11．
4
【详解】
∵ ( + 1) =
( ) − [ ( )] + ，
1
2
2
1
∴f(x+1)− = ( ) − [ ( )] ，
2
2
1
两边平方得[ ( +1)− ] = ( ) − [ ( )]2
f x
2
2
(x+1)+1
⇒[ ( +1)]2−f
f x
= ( ) − [ ( )] ，
2
4
1
1
即
+ =− ，即数列{ }任意相邻两项相加为常数− ，
an+1
a
an
n
4
4
1
31
16
3
则 =7×( )+a =
⇒ =
a −
−
−
S
15
15
15
4
16
(15)=
− ⇒ (15)=
3
3
(15)=1
即[ (15)] f
−
或
f
2
f
f
16
4
4

+ 1⩾1
( ) − [ ( )]2
又由 ( + 1) =
2
2
3
可得 (15)= .
f
4
3
故答案为 .
4
12．1750
【分析】
先分析甲乙分别到 B,D 的走法，各有C4 种不同的走法，由分步乘法计数原理知共有路径
8
C4 ×C4 ，
8
8
分析相同的路径，甲从 A 走到 D 与乙从 C 走到 B 的路径都相交，共有C
×C
对相交路径，
4
10
2
6
×C - C ×C .
故孤立路共有C
4
8
4
8
4
10
2
6
【详解】
甲从 到 ，需要向右走 4 步，向上走 4 步，共需 8 步，所以从 到 共有C4 种走法，
A
B
A
B
8
乙从 到 ，需要向右走 4 步，向上走 4 步，共需 8 步，所以从 到 共有C4 种走法，
C
D
A
B
8
×C
根据分步乘法计数原理可知，共有不同路径C
对，
4
8
4
8
甲从 到 ，需要向右走 6 步，向上走 4 步，共需 10 步，所以从 到 共有C 4 种走法,
A
D
A
D
10
乙从 到 ，需要向右走 2 步，向上走 4 步，共需 6 步，所以从 到 共有C 2 种走法,
C
B
C
B
6
×C
所以相交路径共有C
对，
4
10
2
6
×C - C ×C = 70´70 - 210´15 =1750 .
因此不同的孤立路一共有C
对
4
8
4
8
4
10
2
6
故答案为：1750
【点睛】
本题主要考查了组合的实际应用，组合数的计算，分步乘法计数原理，属于难题.
13．C
【解析】
【分析】
利用向量共线定理即可判断出结论．
【详解】

非零向量a， ，由a∥ ，可得存在非 0 实数 使得a = kb ，
b
b
k
1
1
æ
ö
a + b = a + a = 1+ a
∴
ç
÷ ，
k
è k ø
∴ a∥（ + ），
a b
反之：由a∥（ + ），可得存在实数 k 使得a
a b
+b = a
，化为b
=
k
（ ﹣1） a，
k
∴ ∥ ．
a b
∴“a∥ ”是“a∥（ + ）”的充要条件，
b
a b
故选： ．
C
【点睛】
本题主要考查了向量共线定理、充分条件、必要条件，考查了推理能力与计算能力，属于中
档题．
14．D
【分析】
利用正弦函数、余弦函数的图象和性质，逐一检验，可得结论．
【详解】
2p
x p
=
+
1
2
A,对于 ＝cos（
），它的周期为
4π，故不满足条件．
y
2 6
5p
é5p
5p
5p 17p
，
ù
，p
+
+
B,对于 ＝sin（2
），在区间
上，2x
∈[
]，故该函数在区
y
x
ê
ú
6
6
6
2
6
ë
û
é5p
ê
ù
，p
间
上不是单调递增函数，故不满足条件．
ú
6
ë
û
1
2
p
p
-
=
=
时，函数
y
C,对于 ＝cos（2x
）， 当
，不是最值，故不满足②它的图象关于
y
x
3
3
p
=
直线
对称，故不满足条件．
x
3
p
2p
p
-
=
=
π ，当
x
D,对于 ＝sin（2x
），它的周期为
时，函数 y＝1，是函数的最大值，
y
6
2
3
p
é5p
p
3p
11p
ù
，p
满足它的图象关于直线 x=
对称；且在区间
上，2x
-
∈[
，
]，故该
ê
ú
3
6
6
2
6
ë
û

é5p
ê
ù
，p
函数在区间
上是单调递增函数，满足条件．
ú
6
ë
û
故选： ．
D
【点睛】
本题主要考查了正弦函数、余弦函数的图象和性质，属于中档题．
15．C
【解析】
试题分析：当方程③有实根时，
≥0，又 a ＞0，解得 a ≥2．由于 a ，a ，a 成等比数
3
3
1
2
3
列，可得
．对于方程①x +a x+1=0，△ =
；对于方程②x +a x+1=0，△ =
2
2
1
1
2
2
﹣4．对△ 分类讨论即可得出．
2
解：当方程③有实根时，
≥0，又 a ＞0，解得 a ≥2．
3
3
∵a ，a ，a 成等比数列，∴
．
1
2
3
对于方程①x +a x+1=0，△ =
；对于方程②x +a x+1=0，△ =﹣4．
2
2
1
1
2
2
假设△ ＜0，则 0＜a ＜2，则 a = ＜2，可得△ ＜0，因此方程①无实数根；
2
2
1
1
假设△ ≥0，则a ≥2，则 a = 与 2 的大小不确定，因此△ 与 0 大小关系不确定，即方程①
2
2
1
1
可能有实数根也可能无实数根．
故选 C．
考点：等比数列的通项公式；二次函数的性质．
16．C
【分析】
1
1
1
根据{x} = x -[x]定义，方程
可转化为
，分析方程左边，
{x}+{ } =1
[x]+[ ]+1= x +
x
x
x
1
1
+
+ = , Î
可知 x
为整数，原方程有根转化为x
n n Z ，讨论此方程根的情况，注意检验原
x
x
方程即可得出结论.
【详解】
{x} = x -[x]

1
1 1
x -[x]+ -[ ] =1
x x
{x}+{ } =1
\ 方程
可化为
，
，
x
1
1
[x]+[ ]+1= x +
即
（1）
x
x
1
1
+
+ =
由此可知 x
是整数，令 x
n ，
（2）
2 - 4 为有理数时，方程才有有理根，此时x = ±1
x
x
则 2 - +1 = 0.
x nx
2
方程（2）当且仅当n
时，
，
n
而 x
取 n
= ±1显然不是（1）的根，由此可知，方程（1）若有实根必为无理根，
= 3
代入（2）得： x2 - 3x +1 = 0，
3± 5
3 + 5
1 3- 5
\ x =
x =
=
，取
，则
，
2
2
x
2
3 + 5
经检验，知 x =
是方程（1）的根，
2
1
{x}+{ } =1
所以
有根，且为无理根，
x
故选：C
【点睛】
本题主要考查了取整函数的理解，方程的转化，判别式确定二次方程根的解，属于难题.
p
17．（1）5（2）
3
【解析】
【分析】
（1）由已知利用三角形面积公式可求 ac=6，结合余弦定理可求 a+c 的值．
（2）利用平面向量数量积的运算，正弦定理，三角函数恒等变换的应用化简已知等式可求
cosC=，结合范围 C∈（0，π），可求 C 的值．
【详解】
p
3 3
2
= ，b = 7，ABC
解：（1）∵ B
的面积 S
=
，
3
1
2
3 3
2
3
ac B
sin =
ac，可得：ac ，
=6
∴
=
4
∵由余弦定理 b =a +c -2accosB，可得： a c ac （a c） ac （a c） -18，
7= + - = -3 =
+
+
2
2
2
2
2
2
2

解得：a+c=5．
（2）∵2cosC（
×
+
×
）=c ，
BA BC AB AC
2
C（ac B bc A） c
∴2cos cos + cos = ，可得：2cosC（acosB+bcosA）=c，
2
∴由正弦定理可得：2cosC（ A B B A）=sinC，即
sin cos +sin cos
2cos sinC=sin
C
C，
C ，
∵sin ≠0
1
C
∴cos = ，
2
C （ ， ），
∵ ∈ 0 π
p
C
∴ = ．
3
【点睛】
本题主要考查了三角形面积公式，余弦定理，平面向量数量积的运算，正弦定理，三角函数
恒等变换的应用在解三角形中的应用，考查了计算能力和转化思想，属于中档题．
64
0 £ <
l
18．（1）证明见解析；（2）
.
(b - a)3
【分析】
（1）利用导函数与函数的单调性即的关系可证得函数的单调性；（2）将原问题转化为恒成
立的问题，结合恒成立的条件即可求得实数 λ 的范围．
【详解】
1
1
-2
( )
=
-
=
（1）证明：当 x∈[2，3）时： f x
，
x
-1 x -3 x2 - 4x + 3
(
x2
)
¢( ) = 2´
∴ f x
x x
- 4 + 3 -2 ´(2 - 4) 0
\ 函数 （ ）在[2，3）上是增函数．
f x
æ
a + b ö
2
（2）因为 ∩N＝ ，所以函数 ＝ （ ）与 y l x -
f
=
的图象无公共点，
M
y f x
ç
÷
2
è
ø
1
1
a + b ö
æ
2
l
= x -
-
即方程
无实数解，
ç
÷
x - a x -b
2 ø
è
æ
a + b
ö
÷
ø
2
( )( )
l
-b = x - a x -b x -
也即方程a
（ ≠ 且 ≠ ）（﹡）无实数解．
x a x b
ç
2
è
①当 λ＝0 时（﹡）无解，显然符合题意．

æ
a + b
ö
÷
ø
2
( )( )
= x - a x -b x -
②当 λ≠0 时，令 y
，
ç
2
è
( )
é
ù
a
+b ö
2
2
æ a +b ö
æ
a
+b
2
y
= ê x -
-
ú -
x
变形得
ç
÷
ç
÷ ．
2
4
2
êè
ø
úè
ø
ë
û
( )
( ) ( )
é
ù é
ù
2
a -b
2
a -b
2
a -b
4
æ
+ b ö
2
a
= x -
= ê -
ú = ê -
ú -
又令 t
得 y t t
t
．
．
ç
÷
2
4
8
64
è
ø
ê
ú ê
ú
ë
û ë
û
( )
( )
( )
2 a -b
a -b
2
a b
+
a b
-
2
于是当 =
，即 =
±
时，有
= -
t
x
y
8
2
4
64
min
( )
64
a -b
4
a -b
＜ ＜
0 l
所以，要使（﹡）无实数解，只要
＜-
，解得
( ) ．
b - a
3
64
l
64
综上可得0 £ l＜
( ) ．
b - a 3
【点睛】
本题主要考查了函数的导数，函数的单调性，恒成立问题及其应用等，重点考查学生对基础
概念的理解和计算能力，属于中等题．
1+ 17
19．（1）
；（2）14 -8 2 .
2
【详解】
-16
{ 2 - x +18 ³1Þ{
5- 17
5+ 17
5- 17
£ x £
+
2
2
Þ
£ x £ 2
,
（1） x
2
0 £ x £ 2
0 £ x £ 2
4 - x ³1
{
Þ 2 < x £ 3
,
2 £ x £ 4
5 - 17
£ x £ 3 .
综上，得
2
即若 1 个单位的固体碱只投放一次，则能够维持有效抑制作用的时间为
5 - 17 1+ 17
3-
=
.
2
2
16
（2）当0 £ x £ 2时， y
= -
x 单调递增,
- +8
x + 2
2 < x £ 4
当
时，y=4-x 单调递减,

所以当河中的碱浓度开始下降时，即刻第二次投放1 个单位的固体碱，
16
16
- ( - 2) +8 =14 - (2 + )
2 < x £ 4
x
= 4 - +[-
即
时， y
x
x
,
x + 2
x
16
2x = , x = 2 2
故当且仅当
时，y 有最大值14 -8 2 .
x
本试题主要考查了函数在实际生活中的运用.
y
2
× x =1
- =
1
20．（1） x2
；（2）证明见解析，
x
1
；（3）
S - S
Î[0,1].
2
1
2
2
4
2
【分析】
（1）由椭圆方程可得a ，由焦距得到c ，根 据 =
b c a
-
2
2 求得 ，进而得到双曲线方程；
b
( )
AP: y = k x +1
（2）设
x x
，与双曲线方程联立，结合韦达定理可求得 ；同理可求得 ，
1
2
相乘可求得定值；
æ 1
ö
÷
ø
( )
P x , y
, y
16
；利用点 在双曲线
P
+ y £
（3）设
，
T ç
，利用向量数量积可求得 2
x
2
1
1
1
x
2
1
è
1
4
5 - x -
x
-
上且位于第一象限可求得 的范围；将 S S 表示为
2
1
，根据对号函数的性质可
2
1
2
2
x2
1
1
求得最值，进而得到取值范围.
【详解】
( ) ( )
A -1,0 B 1,0
，即双曲线C 中， =1
a
（1）由椭圆方程可得：
，
又双曲线焦距为2 5
\c = 5
c a
- = 2
2
2
\ =
b
y
2
\ 曲线C 的方程为： 2 - =
1
x
4
( )
AP: y = k x +1
斜率存在，则可设
（2）由题意可知，直线
AP
( )
ì =
+1
y k x
( )
( )
2
ï
4 - k x - 2k x - 4 + k = 0
联立 í
得：
2
2
2
y
2
x - =1
ï
2
î
4
4 + k
4 + k
4 - k
2
2
2
\ x × x = -x =
\ x =
，
k - 4
A
1
1
2
1
( )
( )
2
4 - k
4 + k
2
2
4+k x + 2k x - 4 - k = 0
=
可得： x
椭圆与直线联立得：
2
2
2
2

4 + k 4 - k
2
2
2
\ x x =
×
=1，即 x
× x
为定值1
4 - k 4 + k
1
2
1 2
2
æ 1
ö
( )
P x , y
, y
（3）由（2）可设
T ç
，
÷
1
1
x
2
è
ø
1
(
)
，
(
)
= -1- x ,-y
PB = 1- x ,-y
PA PB x
\ × = -1+ £15
则 PA
y
2
1
2
1
1
1
1
1
\ x + y £16
2
1
2
1
y
2
y
2
1
4
4x - 4 £16
x £ 4
- =
1
\ x -
=1
\ +
又点 在双曲线 x
P
上
x
2
1
2
1
，解得：
2
1
2
2
1
4
\1< x £ 2
又 位于第一象限
P
1
1
1
1
S = AB × y = y ， S = OB × y = y
2
2
2
1
2
2
2
1
1
( )
1
æ 1 ö
2
1
4
\S - S = y - y = 4 - 4
- 4x - 4 = 5- x -
2
1
2
2
2
2
2
1
ç ÷
2
2
1
4
x
è ø
1
4
x
1
2
1
4
令t = x
Î(1,4]
\ - = 5- -
2
1
S S
2
1
2
2
t
t
4
[ ]
(1,2]
t + 在
上单调递减，在 2,4 上单调递增
t
( )
( )
\ S - S
= 5- 2 - 2 =1 S - S
= 5- 4 -1= 0
2
2
，
2
1
2
2
1
2
max
min
0,1
2 的取值范围为
2
\S - S
2
1
【点睛】
本题考查圆锥曲线综合应用问题，涉及到双曲线方程的求解、定值问题的求解、与三角形面
积有关的取值范围的求解；求解取值范围的关键是能够将所求量表示为关于某一变量的函数，
通过函数最值的求解方法求得结果.
21．（1）数集具有性质 P，理由见解析；（2）证明见解析；（3）证明见解析.
【分析】
a
（1）由定义直接判断（2）由已知得
与
n 中至少有一个属于 ，从而得到 ＝1；再
a a
A
a
1
n n
a
n
a
a
由 1＝ ＜ ＜…＜ ，得到
a a
（ ＝2，3，… ，n）．由 具有性质 可知
a a A k
∈ （ ＝1，
A k
a
A
P
n
k
1
2
n
k n

a + a + + a
=
= a a = a
2 ，
2，3，… ，n），由此能证明 a ＝1，且
1
2
a
（3）当 n＝5 时 ，a
n
+ a + + a
1
a-1
-1
-1
n
5
2
4
3
1
2
n
a
a
a
a
a
a
a
a
=
=
=
从而
∈ ， 4 ∈ ，由此能证明
a a A
5
4
4
3
3
2
a2 ，故成等比数列．
1
A
3 4
a
3
【详解】
4
（1）由于 3×4 与 均不属于数集{1，3，4}，
3
所以数集{1，3，4}不具有性质 ．
P
6 6 1 2 3 6
由于 1×2，1×3，1×6，2×3， ， ， ， ， ， 都属于数集{1，2，3，6}，
2 3 1 2 3 6
所以数集{1，2，3，6}具有性质 ．
P
（2）证明：
因为 ＝{ ， ，…， }具有性质 ，
A
a a
1
a
n
P
2
a
所以
与
n 中至少有一个属于 ．
A
a a
n n
a
n
由于 1≤ ＜ ＜…＜ ，所以
＞ ，故
，
a a
1
a
a a a
n n
a a A
n n
2
n
n
a
=
从而 1
n ∈ ，故 ＝1；
A a
a
1
n
因为 1＝ ＜ ＜…＜ ，所以
a a
＞ ，故
a a a
k n n
（ ＝2，3，…， ）．
a
a a A k
k n
n
1
2
n
a
由 具有性质 可知 n ∈ （ ＝1，2，3，…， ），
A
P
A k
n
a
k
a
a
a
a
a
an