高二文数期末总复习.docx

2016--2017学年高二文数期末总复习

一、选择题（每题5分，共60分）
1．设全集，集合， ，则
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】解：由题意可知,则 .
2．已知偶函数在区间内单调递减， ， ， ，则满足（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】偶函数在区间内单调递减，所以在上单调递增, ,所以,故选C.

3．是虚数单位，若（，），则的值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】
因为，所以由复数相等的定义可知，，所以．选B.
考点：复数相等
【名师点睛】本题重点考查复数的基本运算和复数的概念，属于基本题.首先对于复数的四则运算，要切实掌握其运算技巧和常规思路，如. 其次要熟悉复数相关基本概念，如复数的实部为、虚部为、模为、共轭为

4．以下判断正确的个数是（ ）
①相关系数值越小，变量之间的相关性越强.
②命题“存在”的否定是“不存在”.
③“”为真是“”为假的必要不充分条件.
④若回归直线的斜率估计值是1.23，样本点的中心为（4,5），则回归直线方程是.
A. 4 B. 2 C. 3 D. 1
【答案】B
【解析】关系数值越小，变量之间的相关性越弱，故错误；②命题“存在”的否定是“任意”，故错误；③“”为真时，“”为假不一定成立，故“”为真是“”为假的不充分条件，“”为假时，“”为真，“”为真，故“”为真是“”为假的必要条件，故“”为真是“”为假的必要不充分条件，故正确；④若回归直线的斜率估计值是，样本点的中心为，则，则回归直线方程是，故正确；
5．设为等差数列的前项和，若的前项和为,则的值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】设等差数列的首项为，公差为,
，解得,所以，
又因为
，
解得： ，故选B.
6．已知实数满足且的最大值为，则的最小值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】作出不等式，对应的平面区域，
由，得，平移直线，由图象可知当直线经过点时，直线的截距最大，
此时最大为6，即，由得，∵直线过A，∴．
的几何意义是可行域内的点与距离的平方，由可行域可知到直线的距离最小，可得的最小值为：，故选A.

7．已知数列为等差数列，且满足，若，点为直线外一点，则
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】∵， ∴，
即， 又∵，
∴， ∴.

8．已知函数，其图像相邻两条对称轴之间的距离为，且函数是偶函数，则下列判断正确的是（ ）
A. 函数的最小正周期为
B. 函数在区间上单调递增
C. 函数的图象关于直线对称
D. 函数的图象关于点对称
【答案】B
【解析】图像相邻两条对称轴之间的距离为，即三角函数的周期为,所以,又是偶函数， ,即,又,解得,所以.A项,最小正周期,错误;B项, 由,解得单调递增区间为,k=1时成立,故正确;;C项, ,解得对称轴是,错误;D项, 由,解得对称中心是,错误;综上所述,应选B.
9．已知三棱锥的各顶点都在一个球面上， 所在截面圆的圆心在上， 面， ， ，若三棱锥的体积是，则球体的表面积是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】解：由题意可知，△ABC为直角三角形，其中AB为斜边，如图所示，则球心位于直线 上，设圆心为 ，由三棱锥的体积公式： ，解得： ，如图所示，则： ，设 ，据此可得：
，解得： ，球的半径为： ，
球的表面积为： .

10．执行如下图所示的程序框图，输出的值为（ ）

A. 1 B. C. D.
【答案】D
【解析】第一次循环， ，第二次循环， ，直至，结束循环，输出

，选D.
11．已知为双曲线： （， ）的右焦点， ， 为的两条渐近线，点在上，且，点在上，且，若，则双曲线的离心率为（ ）
A. B. C. 或 D. 或
【答案】D
【解析】设 ，则 ，与 联立方程组解得 ，再由得 或，选D.
点睛：解决椭圆和双曲线的离心率的求值及范围问题其关键就是确立一个关于的方程或不等式，再根据的关系消掉得到的关系式，而建立关于的方程或不等式，要充分利用椭圆和双曲线的几何性质、点的坐标的范围等.

12．已知函数，则在区间上不单调的一个充分不必要条件是
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】解： ，若f(x)在(1,3)上不单调，
令g(x)=2ax2−4ax−1，则函数g(x)=2ax2−4ax−l与x轴在(1,3)有交点，
a=0时，显然不成立，
a≠0时,只需，
解得： .
二、填空题（每题5分，共20分）
13．设集合，，i为虚数单位，，则M∩N为 .
解析：,，
考点：1.集合的交并补；2.复数的代数运算与几何运算
14．函数的单调增区间是 .
【解析】，当时， 递增，当时， 递减，又，所以的增区间是
点睛： 的定义域是，函数定义域是，值域是， ，则是一复合函数，其单调性为：同增异减
注意的值域是的定义域的子集．求复数函数定义域时，第一步应该是求函数的定义域．
15．正项数列的前项和为，满足 ，则的通项公式为
【解析】由 ①，知 ②，
由②-①得，即，，，，
即，又，即，
，，是以4为首项，3为公差的等差数列，
.

16．在区间中随机取一个实数，则事件“直线与圆相交”发生的概率为
【解析】圆 的圆心为 ，半径为1．圆心到直线的距离为，要使直线与圆相交，则，解得 ．∴在区间上随机取一个数，使直线与圆相交的概率为
点睛：本题主要考查了几何概型的概率，以及直线与圆相交的性质，解题的关键是理解几何概率，同时考查了计算能力，属于基础题．
三、解答题（共6题，共70分，最后一题10分，其它每题12分）
17．已知，平面向量，函数的最小正周期是.
（I）求的解析式和对称轴方程；
（II）求在上的值域.
【解析】（I）由已知中向量，代入向量数量积公式，易得到函数的解析式，根据的最小正周期为，易得到的值，故可得的解析式，令，可得对称轴方程；（II）由的范围，求出的范围，根据正弦函数的性质，得其值域.
， ，
由，得对称轴方程为.
（II），
，
故在上的值域是.
点睛：本题主要考查了向量的数量积定义和三角函数的化简，以及函数的性质，属于基础题，强调基础的重要性，是高考中的常考知识点；对于三角函数解答题中，当涉及到周期，单调性，单调区间以及最值等都属于三角函数的性质，首先都应把它化为三角函数的基本形式即，然后利用三角函数的性质求解.
18．如图，已知三棱锥中， 为的中点， 为的中点，且为正三角形.

（1）求证： 平面；
（2）求证：平面平面．
【解析】试题分析：（1）本问考查线面平行判定定理，根据题中条件，易得，在分别强调面外、面内这两个条件，即可以证明线面平行；（2）本问主要考查证明面面平行，根据面面平行判定定理，应先证明线面垂直，根据题中条件，应设法证明，根据题中条件分析可证出 平面，所以得到，于是根据线面垂直判定定理可得平面，于是平面平面.
试题解析：（1）∵分别为的中点，∴，又平面平面，∴平面.
（2）∵为的中点， 为正三角形，∴.
由（1）知，∴.
又，且，
∴平面.
∵平面，∴.
又，且，
∴平面.
而平面，
∴平面平面.
考点：1.线面平行；2.面面垂直.

19．为了传承经典，促进学生课外阅读，某校从高中年级和初中年级各随机抽取100名学生进行有关对中国四大名著常识了解的竞赛.图1和图2分别是高中年级和初中年级参加竞赛的学生成绩按照分组，得到的频率分布直方图.

（1）分别计算参加这次知识竞赛的两个学段的学生的平均成绩；
（2）规定竞赛成绩达到为优秀，经统计初中年级有3名男同学，2名女同学达到优秀，现从上述5人中任选两人参加复试，求选中的2人恰好都为女生的概率；
（3）完成下列的列联表，并回答是否有99%的把握认为“两个学段的学生对四大名著的了解有差异”？

附：
临界值表：

0.10
0.05
0.01

2.706
3.841
6.635
【解析】试题分析：
(1)由题意求得 ；
(2)由古典概型公式，选中的2人恰好都是女生的概率为.
(3)由列联表求得，
故有99%的把握认为“两个学段的学生对四大名著的了解有差异”
试题解析：
（1）
（2）从5名同学中任选2人参加复试的所有基本事件数有10个，其中选中的2人恰好都是女生的基本事件只有1个，故选中的2人恰好都是女生的概率为.
（3）列联表如下

成绩小于60分人数
成绩不小于60分人数
合计
初中年级
50
50
100
高中年级
70
30
100
合计
120
80
200

，
故有99%的把握认为“两个学段的学生对四大名著的了解有差异”
20．已知椭圆： （）的离心率为，短轴一个端点到右焦点的距离为.
（1）求椭圆的方程；
（2）设直线与椭圆交于、两点，坐标原点到直线的距离为，求面积的最大值.
【解析】试题分析：
(1)由题意可得： ，则椭圆方程为．
(2)分类讨论：①当轴时， ．
②当与轴不垂直时，设处直线的方程，利用题意结合根与系数的关系讨论最值即可，综合两种情况可得.
试题解析：
（1）设椭圆的半焦距为，依题意
， 所求椭圆方程为．
（2）设， ．
①当轴时， ．
②当与轴不垂直时，设直线的方程为．
由已知，得．
把代入椭圆方程，整理得 ，
，
．

当且仅当，即时等号成立．
当时， ，综上所述．
当时， 取得最大值， 面积也取得最大值．
.
21．已知函数， .
（1）讨论函数的单调区间；
（2）求证： ；
（3）求证：当时， ， 恒成立.
【解析】试题分析：(1)求函数的导数,对讨论,分当时,当时,令导数大于0,得增区间,令导数小于0,得减区间;
(2) 令，由（1）可知，函数的最小值为，不等式得证;
(3)构造函数，证明其最小值大于等于0即可.
试题解析：（1），
（ⅰ）当时， ，函数在上单调递增；
（ⅱ）当时，令，则，
当，即时，函数单调递增；
当，即时，函数单调递减.
综上，当时，函数在上单调递增；当时，函数的单调递增区间是，单调递减区间是.
（2）证明：令，由（1）可知，函数的最小值为，∴，即.
（3）证明： 恒成立与恒成立等价，
令，即，则，
当时， （或令，则在上递增，∴，∴在上递增，∴，∴）
∴在区间上单调递增，
∴，
∴恒成立.
点晴:本题主要考查函数单调性，不等式恒成立，及不等式的证明问题.要求单调性，求导比较导方程的根的大小，解不等式可得单调区间，要证明不等式恒成立问题可转化为构造新函数，求其值最值即可.这类问题的通解方法就是：划归与转化之后，就可以假设相对应的函数，然后利用导数研究这个函数的单调性、极值和最值，图像与性质，进而求解得结果.

22．在平面直角坐标系中，以原点为极点， 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线， 极坐标方程分别为， ．　
（Ⅰ）和交点的极坐标；
（Ⅱ）直线的参数方程为（为参数），与轴的交点为，且与交于， 两点，求.
【解析】试题分析：（1）联立， 极坐标方程，解出，反代得，即得和交点的极坐标；（2）先利用 将极坐标方程化为直接坐标方程，再由直线参数方程几何意义得，因此将直线的参数方程代入直角坐标方程，利用韦达定理得，且，因此.
试题解析：（Ⅰ）（方法一）由， 极坐标方程分别为， ’
化为平面直角坐标系方程分为.
得交点坐标为. 即和交点的极坐标分别为.
（方法二）解方程组 所以，
化解得，即，
所以和交点的极坐标分别为.
（II）（方法一）化成普通方程解得
因为，所以.
（方法二）把直线的参数方程： （为参数），代入
得， ， 所以.
23．设.
（1）当时，求的解集；
（2）当时，若不等式对任意实数恒成立，求实数的取值范围.
【解析】（１）分类整合思想及绝对值的意义分类求解；（２）借助绝对值的几何意义，运用等价转化的数学思想分析求解：
（1）当时， ，所以由得：
或或
解得
∴的解集为.
（2）
当且仅当时，取等号. ………………7分
由不等式对任意实数恒成立，由于，可得，解得： 或.
故实数的取值范围是