高三一轮复习教案.docx

导数与函数的单调性、极值
复习目标：
1.了解函数单调性和导数的关系；能利用导数研究函数的单调性，会求函数的单调区间(其中多项式函数一般不超过三次)。
2．了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件；会用导数求函数的极大值、极小值(其中多项式函数一般不超过三次)。
【梳理自测】
一、函数的导数与单调性
1．(教材改编)函数f(x)＝1＋x－sin x在(0，2π)上是(　　)
A．增函数
B．减函数
C．在(0，π)上增，在(π，2π)上减
D．在(0，π)上减，在(π，2π)上增
2．函数f(x)＝x2－2lnx的单调减区间是(　　)
A．(0，1)　　　　　　　B．(1，＋∞)
C．(－∞，1) D．(－1，1)
3．(教材改编)函数f(x)＝x3－15x2－33x＋6的单调减区间为________．
4．函数f(x)＝x3＋ax－2在(1，＋∞)上是增函数，则实数a的取值范围是________．
【答案】1.A　 2.A　 3.(－1，11)　 4.[－3，＋∞)
◆以上题目主要考查了以下内容：
在(a，b)内可导函数f(x)，f′(x)在(a，b)任意子区间内都不恒等于0.
f′(x)≥0⇔f(x)在(a，b)为增函数；
f′(x)≤0⇔f(x)在(a，b)为减函数．
二、函数的导数与极值
1．若函数f(x)＝x3＋ax2＋3x－9在x＝－3时取得极值，则a等于(　　)
A．2 B．3
C．4 D．5
2．(教材改编)函数f(x)＝x3－3x2＋1在x＝________处取得极小值．
【答案】1.D 　2.2
◆以上题目主要考查了以下内容：
(1)判断f(x0)是极值的方法：
一般地，当函数f(x)在点x0处连续时，
①如果在x0附近的左侧f′(x)＞0，右侧f′(x)＜0，那么
f(x0)是极大值；
②如果在x0附近的左侧f′(x)＜0，右侧f′(x)＞0，那么
f(x0)是极小值．
(2)求可导函数极值的步骤：
①求f′(x)；
②求方程f′(x)＝0的根；
③检查f′(x)在方程f′(x)＝0的根左右值的符号．如果左正右负，那么f(x)在这个根处取得极大值；如果左负右正，那么f(x)在这个根处取得极小值．如果左右两侧符号一样，那么这个根不是极值点．
【指点迷津】　
1．一个方程
求函数y＝f(x)的极值点，先解方程f′(x)＝0的根．
2．两个条件
(1)f′(x)＞0在(a，b)上成立是f(x)在(a，b)上单调递增的充分条件．
(2)对于可导函数f(x)，f′(x0)＝0是函数f(x)在x＝x0处有极值的必要不充分条件．
3．三个步骤
求函数单调区间的步骤：
(1)确定函数f(x)的定义域；
(2)求导数f′(x)；
(3)由f′(x)＞0(f′(x)＜0)解出相应的x的范围．
当f′(x)＞0时，f(x)在相应的区间上是增函数；当f′(x)＜0时，f(x)在相应的区间上是减函数，还可以列表，写出函数的单调区间．
考向一　利用导数研究函数的单调性
　例一： (2014·湖北省八校联考)已知函数
f(x)＝(x＋a)2－7bln x＋1，其中a，b是常数且a≠0.
(1)若b＝1时，f(x)在区间(1，＋∞)上单调递增，求a的取值范围；
(2)当b＝a2时，讨论f(x)的单调性．
【审题视点】　(1)当x＞1时，f′(x)≥0恒成立，求a的范围．
(2)讨论a＞0和a＜0时，f(x)的单调性．
【典例精讲】　(1)∵b＝1，∴f(x)＝(x＋a)2－7ln x＋1，
∴f′(x)＝2x＋2a－.
∵当x＞1时，f(x)是增函数，
∴f′(x)＝2x＋2a－≥0在x＞1时恒成立．
即a≥－x在x＞1时恒成立．
∵当x＞1时，y＝－x是减函数，
∴当x＞1时，y＝－x＜，∴a≥.
(2)∵b＝a2，
∴f(x)＝(x＋a)2－4a2ln x＋1，x∈(0，＋∞)．
∴f′(x)＝＝.
当a＞0时，f′(x)＞0，得x＞a或x＜－2a，
故f(x)的减区间为(0，a)，增区间为(a，＋∞)；
当a＜0时，f′(x)＞0，得x＞－2a或x＜a，
故f(x)的减区间为(0，－2a)，增区间为(－2a，＋∞)．
【类题通法】　(1)当f(x)不含参数时，可通过解不等式f′(x)＞0(或f′(x)＜0)直接得到单调递增(或递减)区间．
(2)已知函数的单调性，求参数的取值范围，应用条件f′(x)≥0([或f′(x)≤0]，x∈(a，b)]恒成立，解出参数的取值范围(一般可用不等式恒成立的理论求解)，应注意参数的取值是f′(x)不恒等于0的参数的范围．

1．(2014·山东名校联考)已知函数f(x)＝－2x2＋ln x，其中a为常数且a≠0.
(1)若a＝1，求函数f(x)的单调区间；
(2)若函数f(x)在区间[1，2]上为单调函数，求a的取值范围．
【解析】(1)当a＝1时，f(x)＝3x－2x2＋ln x，其定义域为(0，＋∞)，则f′(x)＝－4x＋3＝＝(x＞0)，
当x∈(0，1)时，f′(x)＞0，故函数f(x)在区间(0，1)上单调递增；
当x∈(1，＋∞)时，f′(x)＜0，故函数f(x)在区间(1，＋∞)上单调递减．
所以f(x)的单调递增区间为(0，1)，单调递减区间为(1，＋∞)．
(2)由题易得f′(x)＝－4x＋(x＞0)，
因为函数f(x)在区间[1，2]上为单调函数，
所以在区间[1，2]上，f′(x)≥0或f′(x)≤0恒成立，
即－4x＋≥0或－4x＋≤0在x∈[1，2]时恒成立，即≥4x－或≤4x－(1≤x≤2)，即≥(4x－)max或≤(4x－)min，其中1≤x≤2.
令h(x)＝4x－(1≤x≤2)，易知函数h(x)在[1，2]上单调递增，故h(1)≤h(x)≤h(2)．
所以≥h(2)或≤h(1)，即≥4×2－＝，≤4×1－＝3，
解得a＜0或0＜a≤或a≥1.故a的取值范围为
(－∞，0)∪(0，)∪[1，＋∞)．
考向二　利用导数求函数的极值
例二： (2012·高考江苏卷)若函数y＝f(x)在x＝x0处取得极大值或极小值，则称x0为函数y＝f(x)的极值点．已知a，b是实数，1和－1是函数f(x)＝x3＋ax2＋bx的两个极值点．
(1)求a和b的值；
(2)设函数g(x)的导函数g′(x)＝f(x)＋2，求g(x)的极值点．
【审题视点】　1和－1为f(x)的极值点，则有f′(1)＝0，f′(－1)＝0求a和b，再根据极值的概念求g(x)的极值点．
【典例精讲】　(1)由题设知f′(x)＝3x2＋2ax＋b，
且f′(－1)＝3－2a＋b＝0，f′(1)＝3＋2a＋b＝0.
解得a＝0，b＝－3.
(2)由(1)知f(x)＝x3－3x.因为f(x)＋2＝(x－1)2(x＋2)，所以g′(x)＝0的根为x1＝x2＝1，x3＝－2，于是函数g(x)的极值点只可能是1或－2.
当x＜－2时，g′(x)＜0；当－2＜x＜1时，g′(x)＞0，故－2是g(x)的极值点．
当－2＜x＜1或x＞1时，g′(x)＞0，故1不是g(x)的极值点．
所以g(x)的极值点为－2.
【类题通法】　利用导数研究函数的极值的一般流程：

2．(2014·广东省惠州市高三调研)已知函数f(x)＝x3－3ax(a∈R)．
(1)当a＝1时，求f(x)的极小值；
(2)若对任意的m∈R，直线x＋y＋m＝0都不是曲线y＝f(x)的切线，求a的取值范围．
【解析】(1)当a＝1时，f′(x)＝3x2－3，
令f′(x)＝0，得x＝－1或x＝1，
当x∈(－1，1)时，f′(x)＜0，
当x∈(－∞，－1)∪(1，＋∞)时，f′(x)＞0，
∴f(x)在(－1，1)上单调递减，在(－∞，－1]，[1，＋∞)上单调递增，
∴f(x)的极小值是f(1)＝－2.
(2)f′(x)＝3x2－3a，直线x＋y＋m＝0即y＝－x－m，
依题意，切线斜率k＝f′(x)＝3x2－3a≠－1，即3x2－3a＋1＝0无解，
∴Δ＝0－4×3(－3a＋1)＜0，
∴a＜.
用导数研究函数单调性和极值
例三 (2014·烟台四校达标检测)已知函数f(x)＝ln x＋－x，其中常数m＞0.
(1)当m＝2时，求函数f(x)的极大值；
(2)讨论函数f(x)在区间(0，1)上的单调性．
【审题视点】　讨论f′(x)＝0的根与区间(0，1)的关系．
【思维流程】　
　求定义域，并求导函数f′(x)．
　确定极值点．
　确定极大值．
　求导函数f′(x)＝0的根．
　分三种情况讨论m与区间(0，1)的关系，从而确定f′(x)的正负．确定单调性．
【规范解答】　(1)当m＝2时，f(x)＝ln x＋－x，
∵f′(x)＝－－1＝－(x＞0).2分　
∴当0＜x＜或x＞2时，f′(x)＜0；当＜x＜2时，f′(x)＞0.
∴函数f(x)在区间和区间(2，＋∞)上单调递减，在区间上单调递增，4分　
∴函数f(x)的极大值为f(2)＝ln 2－.6分　
(2)由题意知，f′(x)＝－－1＝
－＝－(x＞0，m＞0).8分　
①当0＜m＜1时，＞1，故当x∈(0，m)时，f′(x)＜0，当x∈(m，1)时，f′(x)＞0，
此时函数f(x)在区间(0，m)上单调递减，在区间(m，1)上单调递增.10分
②当m＝1时，＝1，故当x∈(0，1)时，f′(x)＝－＜0恒成立，
此时函数f(x)在区间(0，1)上单调递减.11分
③当m＞1时，0＜＜1，故当x∈时，f′(x)＜0，当x∈时，f′(x)＞0，
此时函数f(x)在区间上单调递减，在区间上单调递增.12分　
【规范建议】　①在第一步中，不能忽视定义域(x＞0)否则单调区间求错．
②在第五步讨论中，不可丢掉m＝1的情况．
拓展延伸：
1．(2013·高考福建卷)设函数f(x)的定义域为R，x0(x0≠0)是f(x)的极大值点，以下结论一定正确的是(　　)
A．∀x∈R，f(x)≤f(x0)
B．－x0是f(－x)的极小值点
C．－x0是－f(x)的极小值点
D．－x0是－f(－x)的极小值点
2．函数f(x)＝(1－cos x)sin x在[－π，π]的图象大致为(　　)

【答案】D
3．(2012·高考重庆卷)设函数f(x)在R上可导，其导函数为f′(x)，且函数f(x)在x＝－2处取得极小值，则函数y＝xf′(x)的图象可能是(　　)

4．(2013·高考全国大纲卷)已知函数f(x)＝x3＋3ax2＋3x＋1.
(1)当a＝－时，讨论f(x)的单调性；
(2)若x∈[2，＋∞)时，f(x)≥0，求a的取值范围．