高三等差等比复习题.doc

高2015级高三等差等比数列基础复习
1．求数列的前项和
2．已知数列的前项和为，数列是公比为的等比数列，是和的等比中项.
（1）求数列的通项公式；
（2）求数列的前项和.
3．数列的首项,
求数列的通项公式；
设的前项和为,求的最小值.
4．数列满足.
（Ⅰ）设，证明：是等差数列；
（Ⅱ）求的通项公式.
5．已知是递增的等差数列，是方程根.
（Ⅰ）求的通项公式；
（Ⅱ）求数列的前项和
6．已知{an}是等差数列，其前n项的和为Sn， {bn}是等比数列，且a1＝b1＝2，a4＋b4＝21，S4＋b4＝30．（1）求数列{an}和{bn}的通项公式；
（2）记cn＝anbn，n∈N*，求数列{cn}的前n项和．
7．已知等差数列满足：，，的前n项和为．
（1）求及；
（2）令=（），求数列的前项和．
8．已知数列是等差数列，是等比数列，。
（1）求数列、的通项公式；
（2）设数列中，，求数列的前n项和Sn.
9．已知数列是公差不为0的等差数列，，且，，成等比数列．
（1）求数列{an}的通项公式；
（2）设，求数列的前项和．
10．已知数列是公差大于零的等差数列，数列为等比数列，且
（1）求数列和的通项公式
（2）设，求数列前n项和．
11．已知单调递增的等比数列满足：,且是,的等差中项.
（Ⅰ）求数列的通项公式；
（Ⅱ）若,,求.

评卷人
得分

三、填空题
12．10. 数列中, ,,,则
13．数列1，1+2+1，1+2+3+2+1，1+2+3+4+3+2+1，…其通项公式为 ．
14．在数列1，2，2，3，3，3，4，4，4，4， 中，第25项为 。
15．已知函数由下表定义：

若，（），则 ．
16．已知数列的前n项和为，那么该数列的通项公式为=_______.
17．数列的前项和,则 .
18．已知数列依它的前10项的规律，则
_．
19．已知数列满足，，且，则
20．数列的一个通项公式为 ．
21．如图所示的图形由小正方形组成，请观察图①至图④的规律，并依此规律，得第n个图形中小正方形的个数是________．

22．观察下列等式
12＝1
12－22＝－3
12－22＋32＝6
12－22＋32－42＝－10
……
照此规律，第n个等式可为________．
23．等比数列的前项和为，已知S1，2S2，3S3成等差数列，则数列的公比为____________。
24．设递增的等差数列的前项和为，且、是方程的两个根，则= .
25．等差数列中， 则的公差为 ．
26．等差数列中，已知，则的取值范围是 ．
27．在等差数列中，已知，那么等于
28．已知等差数列中，，那么 ．
29．已知等差数列中， ，，则前10项和 ．
30．在等差数列中，已知，，则第3项 ．
31．已知等差数列的首项为1，公差为2，则数列的前项和＝______
32．已知等差数列，,则 .
33．等差数列的前项和为，已知，则_____时此数列的前项和取得最小值．
34．已知为等差数列，，，则____________
35．等差数列的前项和为30，前项和为100，则它的前项和为 ．
36．数列是公比为的等比数列，是首项为12的等差数列．现已知a9＞b9
且a10＞b10，则以下结论中一定成立的是 ．（请填写所有正确选项的序号）
① ； ② ； ③ ； ④ ．
37．在等差数列中，若，则前项的和 .
38．等差数列中，，若在每相邻两项之间各插入一个数，使之成为等差数列，
那么新的等差数列的公差是 .
39．等差数列、的前项和分别为和，若，则 ．
40．若等差数列满足，则当 时，的前项和最大.
41．若2、、、、9成等差数列,则____________.
42．已知数列是一个公差不为0等差数列，且，并且成等比数列，则=________．
43．在等比数列中，，则数列的通项公式_____________，设，则数列的前项和_____________．
44．已知实数1，m，9成等比数列，则圆锥曲线的离心率为 .
45．已知各项都为正数的等比数列，公比q=2，若存在两项，使得，则的最小值为 ．
46．已知为等比数列的前项和，若，则________
47．若等比数列的各项均为正数，且，则 .
48．已知x是4和16的等比中项，则x＝ ．
49．数列中，若，则该数列的通项= ．
50．等比数列的各项均为正数，且，则 .

试卷第3页，总4页
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参考答案
1．
【解析】该数列的通项公式为，考核的是数列求和问题中的裂项求和法，

2．（1）；（2）．
【解析】
试题分析：
解题思路：（1）利用已知条件先求出，再求；（2）用错位相减法求数列前n项和.
规律总结：1求数列的通项公式一般有三种类型：①利用等差数列、等比数列的基本量求通项公式；②已知数列的首项与递推式，求通项公式；③利用与的关系求通项公式；
因为是等差数列，是等比数列，则求的和利用错位相减法.
注意点：利用时，一定要验证的式子是否满足的表达式．
试题解析：（1）∵是公比为的等比数列，
∴,
∴,从而，,
∵是和的等比中项∴，
解得或,
当时，，不是等比数列，
∴.∴,
当时，,
∵符合,
∴；
（2），
，
，两式相减，得
，
.
考点：1.已知求；2.错位相减法.
3．(1)；（2）.
【解析】
试题分析：（1）由题设递推关系，，得，两式相减可得，这说明数列的奇数项与偶数项分别成等差数列，只要根据题意再求出，就能写出其通项公式；（2）由于奇数项与偶数项的表达式不相同，因此在求时，要按的奇偶分类讨论，当为偶数，即时，可求出，当为奇数时，可求出，从而S，则题意，则应该有，由此得的范围.
（1） +1分 又，
则 即奇数项成等差，偶数项成等差 +3分
+6分 （或: ）
（2）当为偶数，即时：
+9分
当为奇数，即时：
+12分
+14分
考点：（1）数列的通项公式；（2）数列的前项和与最小值问题.
4．（Ⅰ）详见解析
（Ⅱ）的通项公式为
【解析】（Ⅰ）由得，即，又，所以是首项为1，公差为2的等差数列.
（Ⅱ）由（Ⅰ）得，即，于是，所以，即，又，所以的通项公式为.
5．（Ⅰ）数列的通项公式为
（Ⅱ）数列的前项和.
【解析】（Ⅰ）方程的两个根为，由题意得.
设数列的公差为，则，故，从而.
所以数列的通项公式为.
（Ⅱ）设的前项和为，由（Ⅰ）知，则
，
两式相减得
所以.
6．（1）an＝n＋1，bn＝2n；（2）Tn＝n·2n＋1.
【解析】试题分析：（1）利用数列的通项公式与前n项和公式，得到首项和公比、公差的方程，求出数列的首项公比和公差，得到数列的通项；（2）本小题是一个等差与等比的积形成的数列，可以利用错位相减法求和．
试题解析：（1）设等差数列{an}的公差为d，等比数列{bn}的公比为q．
由a1＝b1＝2，得a4＝2＋3d，b4＝2q3，S4＝8＋6d．
由条件a4＋b4＝21，S4＋b4＝30，得方程组解得
所以an＝n＋1，bn＝2n，n∈N*．
（2）由题意知，cn＝（n＋1）×2n．
记Tn＝c1＋c2＋c3＋…＋cn．
则Tn＝c1＋c2＋c3＋…＋cn
＝2×2＋3×22＋4×23＋…＋n×2n－1＋（n＋1）×2n，
2 Tn＝ 2×22＋3×23＋…＋（n－1）×2n－1＋n×2n＋ （n＋1）2n＋1，
所以－Tn＝2×2＋（22＋23＋…＋2n ）－（n＋1）×2n＋1，
即Tn＝n·2n＋1，n∈N*．
考点：等差数列，等比数列的通项公式，递推数列，错位相减法求和
7．（1）,;（2）
【解析】
试题分析：（1）等差数列基本量的求解是等差数列的一类基本问题，解决这类问题的关键在于熟练掌握等差数列的有关公式并能灵活运用;（2）观测数列的特点形式，看使用什么方法求和.使用裂项法求和时，要注意正负项相消时消去了哪些项，保留了哪些项，切不可漏写未被消去的项，未被消去的项有前后对称的特点，实质上造成正负相消是此法的根源和目的.（3）在做题时注意观察式子特点选择有关公式和性质进行化简，这样给做题带来方便，掌握常见求和方法，如分组转化求和，裂项法，错位相减.
试题解析：解：（1）设等差数列的公差为d，因为，，所以有
，解得，
所以；=
（2）由（1）知，所以==，
所以==，
即数列的前n项和.
考点：1、等差数列的通项公式；2、等差数列的前项和公式；3、裂项求和.
8．（1）
（2）Sn=
【解析】
试题分析：（1）根据条件求出公差及公比，即得通项公式.（2）这类由等差数列与等比数列的积构成的数列，用错位相消法求和.
试题解析：（1）由已知得：

（2）
所以
两边乘以2得：
将以上等式相减得：
所以
考点：等差数列与等比数列的通项公式及其和.
9．（1）（2）
【解析】
试题分析：（1）根据等差数列的首项和公差求通项公式；（2）观测数列的特点形式，看使用什么方法求和．使用裂项法求和时，要注意正负项相消时消去了哪些项，保留了哪些项，切不可漏写未被消去的项，未被消去的项有前后对称的特点，实质上造成正负相消是此法的根源和目的．
试题解析：（1）设数列的公差为，由和成等比数列，得，解得，或，当时，，与成等比数列矛盾，舍去．，
即数列的通项公式
（2），

考点：（1）等差数列的通项公式；（2）裂项求和法．
10．（1）；（2）．
【解析】
试题分析：（1）由已知得：，由此能求出数列和的通项公式．（2）利用裂项求和法能求出数列前n项和．
试题解析：解：（1）设数列的公差为，数列的公比为
由已知得：，解得：
因为，所以，
即
（2）

考点：1．数列的求和；2．等差数列的性质．
11．（Ⅰ）=2n （Ⅱ）=.
【解析】
试题分析：（Ⅰ）将2（）=+,代入,
得=8,∴+=20
构造方程组，又单调递增，
∴ =2>1, =2,∴=2n
（Ⅱ）根据第一问，可得 ，
需要构造数列，采取错位相减的思想求和
∴ ①
∴ ②
∴①-②得＝
试题解析：（Ⅰ）设等比数列的首项为，公比为，
依题意，有2（）=+,代入,
得=8,
∴+=20
∴解之得或
又单调递增，∴ =2, =2,∴=2n
（Ⅱ）
∴
考点：等差等比数列的综合.
12．
【解析】该题考核的是用数列二阶递推公式确定数列周期

13．an=n2
【解析】
试题分析：

观察归纳出通项公式为an=n2
考点：归纳推理思想．
14．7
【解析】
试题分析：由题意得：1个1,2个2,3个3,4个4，可归纳出：n个n，因为所以第25项为7.
考点：数列找规律
15．2
【解析】
试题分析：，，，可知数列是循环数列周期为4，所以.
考点：1函数的表示方法；2数列.
16．
【解析】
试题分析：当时，；当时，将代入上式可得.综上可得.
考点：求数列的通项公式.
17．
【解析】
试题分析：由，得：
考点：求通项公式
18．
【解析】
试题分析：把原数列重新组合可以看出规律：（）（）（）（）．．．．．
构成以1为首项，2为公差的等差数列，前10组的个数为，所以是第10组的第5个数，即
考点：数列的规律；观察法；等差数列的前n项和．
19．－6
【解析】
试题分析：因为，所以由，可依次推得：
考点：数列递推公式
20．
【解析】
试题分析：因为数列可看做因此该数列一个通项公式为.
考点：由数列规律求通项
21．
【解析】a1＝1，a2＝3，a3＝6，a4＝10，所以a2－a1＝2，a3－a2＝3，a4－a3＝4，…，an－an－1＝n，等式两边同时累加得an－a1＝2＋3＋…＋n，即an＝1＋2＋…＋n＝，所以第n个图形中小正方形的个数是
22．(－1)n＋1·
【解析】左边为平方项的(－1)n＋1倍的和，右边为(1＋2＋3＋…＋n)的(－1)n＋1 倍．即12－22＋32－42＋…＋(－1)n＋1n2＝(－1)n＋1·
23．
【解析】
试题分析：由题设得：.
考点：等差数列与等比数列.
24．5
【解析】
试题分析：由根与系数的关系，得，由于是递增数列，解得，因此由等差数列的前项和公式得.
考点：1、根与系数的关系；2、等差数列的前项和公式.
25．8
【解析】
试题分析：根据等差数列，得．
考点：等差数列的性质．
26．
【解析】
试题分析：由得，所以由，
，故的取值范围为
考点：等差数列的通项公式
27．4
【解析】
试题分析：。
考点：等差数列性质的应用。
28．
【解析】
试题分析：由等差数列的性质得，解得，所以．
考点：1、等差数列的性质；2、诱导公式的应用．
29．155．
【解析】
试题分析：设等差数列的公差为，则，解得，所以，所以由等差数列的求和公式可得前10项和．故应填155．
考点：等差数列的前项和．
30．5．
【解析】
试题分析：在等差数列中，由，知，，所以令得，．
考点：等差数列的定义及通项公式．
31．
【解析】
试题分析：已知等差数列的首项为1，公差为2，得，
所以，
所以考点：裂项求和.
32．2730
【解析】
试题分析：根据等差数列的性质，得,
代入计算得，2730.
考点：等差数列的性质.
33．7
【解析】
试题分析：由；，所以由以上两式可得：，又因为该数列的首项为负公差为正，所以前7项的和最小.
考点：等差数列的定义及性质.
34．15
【解析】
试题分析：由等差数列的性质得，
考点：等差数列的性质
35．210.
【解析】
试题分析：直接由等差数列的前项和性质：也成等差数列，即成等差数列，所以，解之得.即为所求.
考点：等差数列的前项和性质.
36．①③．
【解析】
试题分析：∵数列{an}是公比为-的等比数列，所以a9•a10=a92•(-)＜0，①一定成立；
而④a9＞a10，只有当a9为正数才成立，不一定成立；又{bn}是首项为12的等差数列，a9＞b9且a10＞b10，可得等差数列{bn}一定是递减数列，③一定成立；②当公差很小时不成立；故答案为:①③．
考点：等比数列.
37．90.
【解析】
试题分析：首先由等差数列的求和公式可得：，然后由等差数列的性质知，，将其代入求和公式中即可得到：.
考点：等差数列的前项和.
38．-
【解析】
试题分析：
考点：公差的计算.
39．
【解析】
试题分析：由等差数列的性质可知,所以答案为.
考点：等差数列的性质
40．8
【解析】
试题分析：由等差数列的性质点，所以，，所以
，该数列前8项为正，从第9项开始为负值，所以前8项和最大.
考点：等差数列的性质
41．.
【解析】
试题分析：易知2,b,9也成等差数列，所以有2b=2+9,得，又2、、及、、9均成等差数列，
所以有2a=2+b,及2c=9+b,解得，所以.
考点：等差中项关系式，等差数列性质.
42．.
【解析】
试题分析：∵等差数列，∴，，，
又∵，，成等比数列，∴，
∴，∴
.
考点：1.等差数列的通项公式；2.等比中项的性质；3.裂项相消法求数列的和.
43．，
【解析】
试题分析：设等比数列{an}的公比q，解得q=2，
∴an=a1qn-1=2×2n-1=2n，
∴bn=log2an=log22n=n，
∴b1=1，
∵bn=n是首项为1，公差为1的等差数列，

考点：等差数列和等比数列的性质和求和公式
44．或2
【解析】根据条件可知
当m=3时，
当m=-3时，e=2
45．
【解析】
试题分析：∵各项均为正数的等比数列的公比q=2，，∴，
同理，∴，∴，∴m+n=6（m∈N*，n∈N*），∴（当且仅当m=2，n=4时取“=”）．
考点：1．基本不等式；2．等比数列的性质．
46．7
【解析】
试题分析：根据为等比数列的前项和，有，
将代入，计算得7.
考点：等比数列的性质.
47．12
【解析】
试题分析：因为数列为等比数列，设其公比为，则
由得：
所以
= ，所以，答案应填：12.
考点：1、等比数列；2、对数的运算.
48．
【解析】
试题分析：由x是4和16的等比中项，得
考点：等比中项
49．.
【解析】
试题分析：由于，，因此数列构成是以为首项，2为公比的等比数列，，即.
考点：等比数列的通项公式.
50．5.
【解析】
试题分析：由等比数列的性质得，即；
则.
考点：等比数列的性质、对数的运算法则.
答案第13页，总14页