如何利用微分恒等式法计算随机变量的矩.pdf

第2 6 卷第3期2023年5月doi:10.3969/j.issn.1008-1399.2023.03.027高等数学研究STUDIES IN COLLEGE MATHEMATICSVol.26,No.3May,2023如何利用微分恒等式法计算随机变量的矩覃光莲（华中农业大学理学院，湖北武汉430 0 7 0）摘要本文介绍了如何利用微分恒等式法计算随机变量的矩，尤其是数学期望和方差的计算.借助该方法可以解决直接用定义很难得到的数学期望和方差或更高阶矩的计算问题，而且它也是一种数学上解决问题的一般性方法，为计算问题提供了一种新的思路。关键词微分恒等式法；矩；二项分布；泊松分布；正态分布；伽马分布中图分类号G642How to Calculatethe Moments of a Random Variable(College of Science,Huazhong Agriculture University,Wuhan 430070,China)Abstract This paper uses the differentiating identities to calculate the expected value and the moments ofa random variable.Our method is very general and it provides a new idea for computing problems.Keywords differentiating identity,moment,binomial distribution,Poisson distribution,normal distribu-tion,Gamma distribution文献标识码Awith Differentiating IdentitiesQIN Guanglian文章编号10 0 8-139 9（2 0 2 3)0 3-0 0 8 3-0 31引言恒等式是数学上建立各种理论的基石，但是得到恒等式却是很不容易的事.因此，从旧的恒等式推导出新的恒等式的方法就非常重要.微分恒等式法就是其中一种常用而且重要的方法，其做法简单说来就是：如果一个恒等式的两端包含同一个自由参数,则对该恒等式两端的参数进行微分（当然在微分运算可以进行的前提下）,从而得到一个新的恒等式。比如，常用的几何级数公式Z心一(111),等式两端对a求11=0dZ)=导，即dxn=0%(2)=2求和次序得nm-1,从而得到一个新的一=080恒等式2 21(1l1),等式两端乘以n=0(1-)2收稿日期：2 0 2 2-0 1-0 1修改日期：2 0 2 3-0 1-0 1作者简介：覃光莲（196 9一），女，新疆玛纳斯人，博士，副教授，主要从事应用概率统计方向的教学工作.Email：q i n g l m a i 2又可以得到恒等式n(1-)(/2/1).n=0当然上述做法必须保证上述所有运算都是可行的，即等式左端的求和与求导的次序是可以交换的，等式右端的求导是可以进行的。随机变量的数学期望、方差或更高阶矩的计算问题是概率论课程教学的一个重要内容，计算方法非常灵活多样1，但国内文献中未见系统详尽地介绍如何利用微分恒等式法解决此类问题的文章.因此本文通过利用该方法计算几个常见分布的期望、方差或更高阶矩，以便大家能够更好地理解和应d用它来解决此类问题或更多的数学计算问题.(l l+1)e,k=0K！此式两端同乘以参数入，得入k=0K！=(EX*+(EX)e=a(a*+3a+1)ed(2)从而得到EX3=k=0=入(入2+3入+1).对（5）继续上述类似过程便可以得到更高阶矩以及各阶矩之间的递推公式EX*+1=(EX+d(EX)）（n 1为整数).4正态分布的矩的计算设随机变量X服从正态分布N（，o），则1EXKe202d，V2元。一种方法是直接积分得到结果，这里介绍如何用微分恒等式法得到结果为了简化计算，下面不妨设XN(O，）则YN(,o）的矩的计算可以通过变换Y=X十间接得到，如k=2时，有(3)EY?=E(X+)?=EX+2EX+.此外k为奇数时EX=0,因此只需要计算XN(O,）的偶数阶矩以下以k=2,4的计算为例演示如何使用微分恒等式法得到所求结果.12从恒等式V2元0-e2d=1出发,将上式变形为22d=e6，2元2023年5月d(EX)e,(4)d入入de=入(EX+dd8k3e(EX)=入(入+1).(5)d入(EX?+(EX?)（6)第2 6 卷第3期上式两端对。求导，即交换求导和积分次序得1e202dx=3.V2元1整理后即得e202d=?,即EX=,V2元。故DX=o2.继续在（7）式两端对。求导，即de2dx):（），72doV2元交换求导和积分次序得124e22da=305，/2元整理后即得+即 EX4=304.对（8）式继续上述类似操作，就可以得到更高的偶数阶矩EX2k，也可以得到各偶数阶矩的递推关系从而得到一般的偶数阶矩的计算结果，限于篇幅其推导过程就不再赘述，有兴趣的读者可参见文献2.5伽马分布的期望、方差的计算设随机变量X服从伽马分布Ga（，入），其概率密度函数为37入p(;,入):Fale(0,0,入 0),一下面用微分恒等式法求它的k阶矩+80EX=入我们从下面的恒等式出发入+1=。p(;,入)da=F()01将上式变形为1()上式两端对入求导得1d(J。交换求导和积分次序得C+1()J0e整理后得入EX=areda0覃光莲：如何利用微分恒等式法计算随机变量的矩d（o），dodo1e20dc=30V2元0ed.，1d.c入，d.c85继续对（10）式两端的入求导得dd（J。F(a)eda)交换求导和积分次序得C+81T()2a+1(7)J0整理后得EX?=故DX=EX?-(EX)?=对（11）式两端的入继续求更高阶导数，并进行整理就可以得到该分布的k阶矩的一般结果：+8EX=入aake da=a(+1)(+k-1)()0(8)6小结本文介绍了如何利用微分恒等式法计算随机变量的数学期望、方差或更高阶矩，分别以离散型的二项分布和泊松分布为例、连续型的以正态分布和伽马分布为例详细介绍了使用该方法的步骤.该方法首先通过选取合适的参数（参数多于1个的情况）并利用概率函数的性质（如概率密度函数在实数轴上的积分为1等)建立一个旧有的恒等式，通过适当变形使得该恒等式两端都包含此参数，再对该恒等式两端的这个参数求导得到新的恒等式，进而得到所要求的随机变量的各阶矩.因此，该方法是否可行取决于是否能够找到合适的参数，使得将已有的恒等式两端的该参数求导后能够得到新的恒等式，且该恒等式恰好可以凑出所求矩的表达形式.如果可以，则该方法可行，否则该方法失效.当然，任何方法都不是万能的，该方法也不例外。总之，当直接用定义计算随机变量的数学期望或更高阶矩非常困难时，用该方法解决是一种非常有意义的尝试，也可能会得到一些有意义的结果.因此不失为一种新的解决问题的思路，同时它也是一(9)种数学上解决问题的一般方法，在解类似的计算问题时可以考虑使用.参考文献1覃光莲数学期望的计算方法探讨.高等理科教育，2 0 0 6,6 9(0 5)：41-45.2Steven J.Miller.The Probability Lifesaver:All the(10)Tools You Need to Understand Chance M.北京:人民邮电出版社，2 0 2 0.3诗松，王静龙，濮晓龙高等数理统计MI.2版北京：高等教育出版社，2 0 0 6.d入(入+1e-atd.c=(+1)入+2入(+1)e-入2+1da=T()e(11)入2入(k1为整数)