天津市高三数学上学期第二次月考-理-新人教A版.doc

天津市新华中学2011-2012学年度第一学期第二次月考高三年级
数学试卷（理）

一、选择题（每小题5分，共60分）
1. 复数的值是
A. -1 B. 1 C. D. i
【答案】A
【解析】，选A.
2. 等差数列{a}中，如果，，数列{a}前9项的和为
A. 297 B. 144 C. 99 D. 66
【答案】C
【解析】由，得。由，德。所以，选C.
3. 设动点满足，则的最大值是
A. 50 B. 60 C. 70 D. 100
【答案】D
【解析】作出不等式组对应的可行域，由得，，平移直线，由图象可知当直线经过点时，直线的截距最大，此时也最大，最大为，选D.
4. 已知=（-3，2），=（-1，0），向量+与-2垂直，则实数的值为
A. - B. C. - D.
【答案】A
【解析】，因为向量+与-2垂直，所以，即，解得，选A.
5. 设集合，B={x|1<x<5,x∈Ｒ}，若AB=，则实数a的取值范围是
A. {a|0≤a≤6} B. {a|a≤2，或a≥4}
C. {a|a≤0，或a≥6} D. {a|2≤a≤4}
【答案】C
【解析】,因为，所以有或，即或，选C.
6. 函数的图象是

【答案】A
【解析】函数为偶函数，图象关于轴对称，所以排除B,D.又，所以，排除C，选A.
7. 下列有关命题的叙述，错误的个数为
①若pq为真命题，则pq为真命题。
②“”是“”的充分不必要条件。
③命题P：x∈Ｒ，使得x＋x-1<0，则p :x∈Ｒ，使得x＋x-1≥0。
④命题“若，则x=1或x=2”的逆否命题为“若x1或x2，则”。
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
【答案】B
【解析】若pq为真命题，则至少有有一个为真，所以不一定为真，所以①错误。得或，所以“”是“”的充分不必要条件，②正确。根据特称命题的否定式全称命题知③正确。“若，则x=1或x=2”的逆否命题为“若x1且x2，则”，所以④错误，所以错误命题的个数为2个，选B.
8. 把函数的图象向右平移个单位，再把所得图象上各点的横坐标缩短到原来的一半，则所得图象对应的函数解析式是
A. y=sin（4x+） B. y=sin（4x+）
C. y=sin4x D. y=sinx
【答案】C
【解析】把函数的图象向右平移个单位，得到函数，再把所得图象上各点的横坐标缩短到原来的一半，则所得图象对应的函数解析式是，选C.
9. 设, ,，则
A. a<c<b B. b<c<a C. a<b<c D.
【答案】D
【解析】因为,,，因为，所以，所以，选D.
10. 已知正项等比数列{a}满足：，若存在两项使得，则的最小值为
A. B. C. D. 不存在
【答案】A
【解析】因为，所以，即，解得。若存在两项，有，即，，即，所以，即。所以，当且仅当即取等号，此时，所以时取最小值，所以最小值为，选A.
11. 偶函数f（x）满足，且在x∈[0，1]时，f（x）=x，则关于x的方程f（x）=在上根的个数是
A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 5个
【答案】C
【解析】由得所以函数的周期又函数为偶函数，所以，所以函数关于对称，，在同一坐标系下做出函数和的图象，如图，由图象可知在区间上，方程根的个数为3个，选C.
12. 已知函数满足，且的导函数，则的解集为
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】设, 则，
，对任意，有，即函数在R上单调递减，则的解集为，即的解集为，选D.

二、填空题（每小题4分，共24分）
13. 若向量，满足||=1，||=2且与的夹角为，则|+|=________。
【答案】
【解析】，所以，所以。
14. 如图为一个几何体的三视图，其中俯视为正三角形，AB=2,AA=4，则该几何体的表面积为_______。

【答案】
【解析】由三视图可知，该几何体是一个正三棱柱，底面边长为2，高是4.所以该三棱柱的表面积为。
15. 在△ABC中，若sinA=2sinBcosC则△ABC的形状为________。
【答案】等腰三角形
【解析】在三角形中，即，所以，所以，即三角形为等腰三角形。
16. 数列{a}中，若a=1，（n≥1），则该数列的通项a=________。
【答案】
【解析】因为，所以，即数列是以为首项，公比的等比数列，所以数列的通项。所以
17. 已知函数f（x）=若f（x）在（-，+）上单调递增，则实数a的取值范围为________。
【答案】
【解析】要使函数在R上单调递增，则有，即，所以，解得，即的取值范围是。
18. 已知=1， =，·=0，点C在∠AOB内，且∠AOC=30°，设=m+n（m，n∈Ｒ），则=________。
【答案】3
【解析】因为,所以，以为边作一个矩形，对角线为.因为∠AOC=30°，所以,所以,所以,即。又,所以，所以如图
。

三、解答题（本题共5小题，共66分）
19. 已知函数f（x）=x+2x+a（共10分）
（1）当a=时，求不等式f（x）>1的解集；（4分）
（2）若对于任意x∈[1，+），f（x）>0恒成立，求实数a的取值范围；（6分）

20. 在△ABC中，A，B为锐角，角A，B，C所对应的边分别为a，b，c，且cos2a=，sinB=（共12分）
（1）求A+B的值；（7分）
（2）若a-b=-1，求a，b，c的值。（5分）

21. 已知函数f（x）=sin+cos，x∈Ｒ（共12分）
（1）求f（x）的最小正周期和最小值；（6分）
（2） 已知cos（- ）=，cos（+ ）= -,0<<≤，求证：[f（）] -2=0.（6分）

22. 设数列{a}的前n项和为S，且满足S=2-a，n=1，2，3，…
（1）求数列{a}的通项公式；（4分）
（2）若数列{b}满足b=1，且b=b+a，求数列{b}的通项公式；（6分）
（3）设C=n（3- b），求数列{ C}的前n项和T 。（6分）

23.已知函数f（x）=ax-（2a+1）x+2lnx(a∈Ｒ).
（1）若曲线y=f（x）在x=1和x=3处的切线互相平行，求a的值；
（2）求f（x）的单调区间；
（3）设g（x）=x-2x，若对任意x∈（0，2]，均存在x∈（0，2]，使得f（x）<g（x），求a的取值范围。

【试卷答案】
1. A 2. C 3. D 4. A 5. C 6. A
7. B 8. C 9. D 10 A 11. C 12. D
13.
14. 2+24
15. 等腰三角形
16. 4·2-3
17. （2，3]
18. 3

19. （1）x+2x+>1
x+2x->0
2 x+4x-1>0 2分
{x|x>-1+或x<-1-} 2分
（2）x+2x+a>0 x∈[1,+ ）恒
a>-x-2x 1分
令g（x）=-x-2x
当对称轴x=-1 2分
当x=1时，g（x）=-3 2分
∴a>-3 1分

20. （1）cos2A=2cosA-1=
∴cosA=
∵A锐角，∴cosA= 1分
sinA= 1分
sinB=
B锐角 cosB= 1分
cos（A+B）=·-·==
∴A+B= 2分
（2）∵===
∴ 1分 ==>b=1 1分
a= 1分 C= 1分
c=a+b-2abcosC=5
∴c=

21. （1）f(x)=sinxcos+cosxsin+cosxcos+sinxsin 1分
=sinx-cosx-cosx+sinx 1分
=sinx-cosx 1分
=2sin(x-) 1分
∴T=2 1分
f（x）=-2 1分
（2）[f（）] -2=4sin（-）-2=4·-2=-2sin 2分
Sin2=sin[（+）+（-）] 1分
cos2=-×-=-1
∵0<+< ∴sin(+)= 1分
0<-< ∴sin(-)= 1分
∴sin2=×+(-)×=0 1分

22. （1）a=S=1 1分
n≥2时，S=2-a 1分
S=2-a 1分
a=a+a
2a= a ∵a=1
= 1分
∴a=() 1分
（2）b-b=（) 1分
1分
∴b-b=()+……+（)= 1分
=2-
∴b=3- 1分
∵b=1 成立 1分
∴b=3-（)
（3）C=n（) 1分
T=1×（)+2（)+……+n（)
T=1×（)+……+(n-1) （)+n（)
=2+-n（)
=2+2-（)-n（)
∴T=8--=8-

23. （1）f′（x）=ax-(2a+1)+ f′(1)=f′(3)
∴a-2a-1+2=3a-2a-1+
∴-a+1=a- a=
(2)注x>0！
f′(x)=
∵x>0 ∴令f′(x)>0得ax-(2a+1)x+2>0
<1>a=0时，得x<2 ∴f(x)在（0，2）在（2，+）
a0时，f′(x)>0得(x-2)(ax-1)>0
<2>a<0时，f′(x)>0得(x-2)(x-)<0
∴f(x)在(0,2)在（2，+）
<3>a>0时f′(x)>0得(x-2)(x-)>0
①=2 即a=时，f(x)在（0，+）
②>2 即0<a<时，f(x)在（，+）在（0，2）在（2，）
③<2 即a>时，f(x)在（0，）在（2, +）在（，2）
（3）f（x）<g(x) x∈(0,2]
∵g(x)=g(2)=0
∴f(x)<0, x∈(0,2]
由（2）知①a≤时 f(x)在(0,2]
∴f(x)=f(2)=2a-2(2a+1)+2ln2
=-2a-2+2ln2<0
∴a>ln2-1
∴ln2-1<a≤
②a>时，f(x)在（0，）在（，2）
∴f(x)=f()=·-(2a+1)·+2ln
=-2--2lna
=2-2lna-
=-2(1+lna)-
∵a> ∴lna>ln>ln=-1 ∴f()<0 ∴a>
经上 a>ln2-1

年级
高三
学科
数学
版本

期数

内容标题
天津市新华中学2011-2012学年度第一学期第二次月考高三年级数学试卷（理）
分类索引号
　　G.622.475
分类索引描述
　　统考试题与题解
主题词
天津市新华中学2011-2012学年度第一学期第二次月考高三年级数学试卷（理）
栏目名称
名校题库
供稿老师

审稿老师

录入
陈桂平
一校

二校

审核

13