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【优化方案】高三数学专题复习攻略 电子题库第一部分 专题三第二讲专题针对训练 理 新人教版
一、选择题
1．函数f(x)＝sin(2x－)－2sin2x的最小正周期是(　　)
A.
B．π
C．2π
D．4π
解析：选B.f(x)＝sin2x－cos2x－(1－cos2x)
＝sin2x＋cos2x－＝sin(2x＋)－，
∴T＝＝π.
2．若动直线x＝a与函数f(x)＝sinx和g(x)＝cosx的图象分别交于M、N两点，则|MN|的最大值为(　　)
A．1
B.
C.
D．2
解析：选B.在同一坐标系中作出f(x)＝sinx及g(x)＝cosx在[0,2π]的图象(图略)，由图象知，当x＝，即a＝时，得f(x)＝，g(x)＝－，
∴|MN|max＝|f(x)－g(x)|＝.
3．(2010年高考安徽卷)动点A(x，y)在圆x2＋y2＝1上绕坐标原点沿逆时针方向匀速旋转，12秒旋转一周，已知时间t＝0时，点A的坐标是(，)，则当0≤t≤12时，动点A的纵坐标y关于t(单位：秒)的函数的单调递增区间是(　　)
A．[0,1]
B．[1,7]
C．[7,12]
D．[0,1]和[7,12]
解析：选D.∵T＝12，∴ω＝＝，
从而设y关于t的函数为y＝sin(t＋φ)．
又∵t＝0时，y＝，∴φ＝，∴y＝sin(t＋)，
∴2kπ－≤t＋≤2kπ＋，即12k－5≤t≤12k＋1，k∈Z时，y递增．
∵0≤t≤12，∴函数y的单调递增区间为[0,1]和[7,12]．
4．下列四个函数中，以π为最小正周期，且在区间(，π)上为减函数的是(　　)
A．y＝cos2x
B．y＝2|sinx|
C．y＝()cosx
D．y＝－

解析：选B.对于A，y＝cos2x＝，T＝π，但在(，π)上为增函数；对于B，作如图所示图象，可得：T＝π，且在区间(，π)上为减函数；对于C，函数y＝cosx在区间(，π)上为减函数；函数y＝()x为减函数，因此，y＝()cosx在(，π)上为增函数；对于D，函数y＝－在区间(，π)上为增函数．故选B.
5．(2011年高考天津卷)已知函数f(x)＝2sin(ωx＋φ)，x∈R，其中ω>0，－π<φ≤π.若f(x)的最小正周期为6π，且当x＝时，f(x)取得最大值，则(　　)
A．f(x)在区间[－2π，0]上是增函数
B．f(x)在区间[－3π，－π]上是增函数
C．f(x)在区间[3π，5π]上是减函数
D．f(x)在区间[4π，6π]上是减函数
解析：选A.∵T＝6π，∴ω＝＝＝，
∴×＋φ＝2kπ＋(k∈Z)，∴φ＝2kπ＋(k∈Z)．
∵－π<φ≤π，∴令k＝0得φ＝.
∴f(x)＝2sin.
令2kπ－≤＋≤2kπ＋，k∈Z，
则6kπ－≤x≤6kπ＋，k∈Z.
显然f(x)在[－2π，0]上是增函数，故A正确，而在上为减函数，在上为增函数，故B错误，f(x)在上为减函数，在上为增函数，故C错误，f(x)在[4π，6π]上为增函数，故D错误．
二、填空题
6．已知函数f(x)＝2sinωx(ω＞0)在区间[－，]上的最小值为－2，则ω的取值范围是________．
解析：函数f(x)＝2sinωx(ω＞0)在区间[－，]上的最小值为－2，则sinωx在区间[－，]上的最小值为－1，所以T≤π，ω≥2.
答案：[2，＋∞)
7．(2010年高考福建卷)已知函数f(x)＝3sin(ωx－)(ω>0)和g(x)＝2cos(2x＋φ)＋1的图象的对称轴完全相同．若x∈[0，]，则f(x)的取值范围是________．
解析：由对称轴完全相同知两函数周期相同，
∴ω＝2，∴f(x)＝3sin(2x－)．
由x∈[0，]，得－≤2x－≤π，
∴－≤f(x)≤3.
答案：[－，3]
8．函数f(x)＝cos2x＋2sinx的最小值和最大值之和为________．
解析：f(x)＝cos2x＋2sinx＝－2sin2x＋2sinx＋1
＝－2(sinx－)2＋.
当sinx＝时，f(x)取最大值；
当sinx＝－1时，f(x)取最小值－3.
故函数的最大值和最小值之和为－3＝－.
答案：－
三、解答题
9．已知函数f(x)＝2cosωx(sinωx－cosωx)＋1(ω>0)的最小正周期为π.
(1)求函数f(x)图象的对称轴方程和单调递减区间；
(2)若函数g(x)＝f(x)－f(－x)，求函数g(x)在区间[，]上的最小值和最大值．
解：(1)f(x)＝2cosωx(sinωx－cosωx)＋1＝sin2ωx－cos2ωx＝sin(2ωx－)．
由于函数f(x)的最小正周期为T＝＝π，故ω＝1，即函数f(x)＝sin(2x－)．
令2x－＝kπ＋(k∈Z)，得x＝＋(k∈Z)，即为函数f(x)图象的对称轴方程．
令＋2kπ≤2x－≤＋2kπ(k∈Z)，得＋kπ≤x≤＋kπ(k∈Z)，即函数f(x)的单调递减区间是[＋kπ，＋kπ](k∈Z)．
(2)g(x)＝f(x)－f(－x)
＝sin(2x－)－sin[2(－x)－]
＝2sin(2x－)，
由于x∈[，]，则0≤2x－≤，故当2x－＝即x＝时，函数g(x)取得最大值2；当2x－＝即x＝时，函数g(x)取得最小值－2.
10．已知函数f(x)＝sin2x＋2sin(x＋)cos(x－)－cos2x－.
(1)求函数f(x)的最小正周期和单调递减区间；
(2)当x∈[，]时，－3≤f(x)－m≤3恒成立，试确定m的取值范围．
解：(1)f(x)＝sin2x＋2sin(x＋)cos(x－)－cos2x－＝2sin2(x＋)－cos2x－
＝sin2x－cos2x＝2sin(2x－)．
所以函数f(x)的最小正周期为＝π.
由2kπ＋≤2x－≤2kπ＋(k∈Z)，
得kπ＋≤x≤kπ＋(k∈Z)．
所以函数f(x)的单调递减区间为[kπ＋，kπ＋](k∈Z)．
(2)由(1)知f(x)＝2sin(2x－)．
因为x∈[，]，所以2x－∈[0，]．
所以－1≤2sin(2x－)≤2，即－1≤f(x)≤2.
因为－3≤f(x)－m≤3，即m－3≤f(x)≤3＋m，
所以由题意，得，即－1≤m≤2.
故m的取值范围是[－1,2]．
11．已知函数f(x)＝sin2＋sincos－.
(1)求f(x)的单调递增区间；
(2)将y＝f(x)的图象向左平移个单位，得到函数y＝g(x)的图象．若y＝g(x)(x>0)的图象与直线y＝交点的横坐标由小到大依次是x1，x2，…，xn，…，求数列{xn}的前2n项的和．

解：(1)f(x)＝sin2＋sincos－
＝＋sinx－＝sinx－cosx
＝sin(x－)．
由2kπ－≤x－≤2kπ＋，得2kπ－≤x≤2kπ＋(k∈Z)，
∴f(x)的单调递增区间是[2kπ－，2kπ＋](k∈Z)．
(2)函数f(x)＝sin(x－)的图象向左平移个单位后，得到函数y＝sinx的图象，即g(x)＝sinx.
若函数g(x)＝sinx(x>0)的图象与直线y＝交点的横坐标由小到大依次是x1，x2，…，xn，…，则由正弦曲线的对称性、周期性可知，
＝，＝2π＋，…，＝2(n－1)π＋(n∈N*)，
所以x1＋x2＋…＋x2n－1＋x2n
＝(x1＋x2)＋(x3＋x4)＋…＋(x2n－1＋x2n)
＝π＋5π＋9π＋…＋(4n－3)π
＝[n×1＋×4]×π＝(2n2－n)π.
5
用心 爱心 专心