高三数学应知应会讲义十三：空间直线与平面(9B)复习教案.doc

空间直线与平面（9B）
一、考试说明要求：

内容
要求
A
B
C
1
平面及其基本性质

√

2
几何体的直观图
√

3
直线和平面平行的判定与性质

√

4
直线和平面垂直的判定

√

5
三垂线定理及其逆定理

√

6
空间向量的概念及空间向量的加法、减法和数乘

√

7
空间向量的坐标运算

√

8
空间向量的数量积的概念、性质

√

9
用直角坐标计算空间向量的数量积的公式

√

10
空间两点间距离公式

√

11
直线的方向向量、平面的法向量、向量在平面内的射影

√

12
直线和直线、直线和平面、平面和平面所成的角

√

13
距离(对异面直线的距离,只要求会计算给出公垂线或在坐标表示下的距离)

√

14
直线和平面垂直的性质

√

15
两个平面平行、垂直的判定与性质

√

二、应知应会知识
1. (1)在以下命题中:
①若a、b共线，则a与b所在直线平行
②若a，b所在直线是异面直线，则a与b一定不共面
③若a，b，c三向量两两共面，则a，b，c三向量一定也共面
④若a，b，c三向量共面，则由a，b所在直线所确定的平面与由b，c所在直线所确定的平面一定平行。正确命题的个数为 （ A ）
A. 0 B. 1 C. 2 D. 3
(2)设O，P，A，B为空间任意四个点，如果满足=m+n，且m+n=1，则 （ A ）
A. P在直线AB上 B. P不在直线AB上 C. P有可能在直线AB上 D. 以上都不对
(3)下列命题中不正确的命题个数是 ( )
①若A、B、C、D是空间任意四点，则有+++=0;
②|a|－|b|=|a+b|是a、b共线的充要条件; ③若a、b共线，则a与b所在直线平行;
④对空间任意点O与不共线的三点A、B、C，若=x+y+z（其中x、y、z∈R），则P、A、B、C四点共面 ( C )
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
(4)命题：
①若a与b共线，b与c共线，则a与c共线；
②向量a、b、c共面，则它们所在的直线也共面；
③若a与b共线，则存在唯一的实数λ，使b=λa；
④若A、B、C三点不共线，O是平面ABC外一点，= + + ，则点M一定在平面ABC上，且在△ABC内部.
上述命题中的真命题是_____________.④
解：①中b为零向量时，a与c可以不共线，故①是假命题；②中a所在的直线其实不确定，故②是假命题；③中当a=0，而b≠0时，则找不到实数λ，使b=λa，故③是假命题；④中M是△ABC的重心，故M在平面ABC上且在△ABC内，故④是真命题.
(5)已知、是空间两个单位向量，它们的夹角为60°，设向量=2+，=－3+2，则向量与的夹角是_______.120°
(6)若e1，e2，e3是三个不共面向量，试问向量a=3e1+2e2+e3，b=－e1+ e 2+3 e 3，c=2e 1－e 2－4 e 3是否共面，并说明理由。
解：由共面向量定理可知，关键是能否找到三个不全为零的实数x，y，z，
使得xa+yb+zc=0，即x（3 e1+2e2+e3）+y（－e1+ e 2+3 e 3）+z（2 e 1－e 2－4 e 3）=0，即
（3x－y+2z）e1+（2x+y－z）e2+（x+3y－4z）e3=0。由于e1，e2，e3不共面，故得
3x－y+2z=0，① 2x+y－z=0，② x+3y－4z=0。③
①+②求得z=－5x，代入③得y=－7x，取x=1，则y=－7，z=－5，于是a－7b－5c=0，
即a=7b+5c，所以a，b，c三向量共面。
(7)已知向量=（3，0，1），=（-1，1，2），⊥，∥，若=－，求向量的坐标。（-，1，）

考查空间向量的概念及运算.要求空间向量的加法、减法和数乘、空间向量的坐标运算、空间向量的数量积的概念、性质.

2. (1)下列五个正方体图形中，l是正方体的一条对角线，点M、N、P分别是其所在棱的中点，能得出l⊥平面MNP的图形的序号是_____________.①④⑤.

(2)设=（cosα，1，sinα），=（sinα，1，cosα），求证：（+）⊥（－）。

(3)已知正四棱柱ABCD—A1B1C1D1.AB=1，AA1=2，点E为CC1
中点，点P为BD1中点. 证明EF为BD1与CC1的公垂线；
证：建立如图的坐标系，得B（0，1，0），D1（1，0，2），
F（，，1），C1（0，0，2），E（0，0，1）.

即EF⊥CC1，EF⊥BD1 .故EF是为BD1 与CC1的公垂线.
(4)已知=（2，2，1），=（4，5，3），求平面ABC的单位法向量.
解：单位法向量n 0=±=±（，－，）.
(5)已知空间三点A（0，2，3），B（-2，1，6），C（1，-1，5）：
（Ⅰ）求以向量、为一组邻边的平行四边形的面积S；
（Ⅱ）若向量分别与向量、垂直，且||=，求向量a的坐标。
（Ⅰ）=（-2，-1，3），=（1，-3，2），
则cos∠BAC==，∴∠BAC=，∴ S=||·||·sin=7
（Ⅱ）设 =（x，y，z），则⊥ -2x－y+3z= 0 ①
⊥ x－3y+2z= 0 ② ||= x2+y2+z2=3 ③
由式①、②、③解得，x=y=z=1 或 x=y=z=-1.∴ =（1，1，1）或=（-1，-1，-1）
(6)如图，已知矩形和矩形垂直，以为公共边，但它们不在同一平面上．点M、N分别在对角线BD、AE上，且｜BM｜＝｜BD｜，｜AN｜＝｜AE｜．
证明：MN∥平面CDE．
解：如图，＝++．
由已知，＝，又因为＝+，
所以 ＝+．
由已知，＝，又因为＝+，
所以 ＝+．所以 ＝++++，
又 ＝－，＝－，所以 ＝－，即有MN∥平面CDE．
(7)若OA，OB，OC两两互相垂直，求证△ABC为锐角三角形。
证明：OA，OB，OC两两互相垂直。
因·=（－）·（－）=·=||2＞0，
∴ <·>为锐角，即∠BAC为锐角，同理∠ABC，∠BCA均为锐角，∴△ABC为锐角三角形。

(8)△ABC为边长等于a的正三角形，AE和CD都垂直于平面ABC，且AE=AB=2CD，F是BE的中点。
（Ⅰ）求证：DF//平面ABC； （Ⅱ）求证：AF⊥BD。
证：（Ⅰ）=（+）=（++++）
=（2+++）=（+++）
=（+）=。∴ DFCM，从而DF//平面ABC。
（Ⅱ）=（+），=－。
·=（+）·（－）=（－·+·）
=（－·+·）=（－|| ||cos60°+|| ||）
=（－a2+a2）=0。∴ AF⊥BD。

考查运用空间向量的基本知识判断空间的线线、线面位置关系.要求掌握用坐标法或基底法证明空间线面平行、垂直,掌握用空间向量解立体几何问题的一般程序:把已知条件用向量表示，把一些待求的量用基向量或其他向量表示，将几何的位置关系的证明问题或数量关系的运算问题转化为典型的向量运算，以算代证，以值定形.

3. (1)在棱长为1的正方体ABCD—A1B1C1D1中，M、N分别为A1B1和BB1的中点，那么直线AM与CN所成的角为 ( D )
A.arccos B.arccos C.arccos D.arccos
解：建立如图所示坐标系，把D点视作原点O，分别沿、、方向为x轴、y轴、z轴的正方向，则α=arccos.
(2)在正三棱柱ABC－A1B1C1中，各棱长都为a，D是BC中点,
则向量和的夹角为_____,异面直线A1D和AB1的夹角为______。
解： cos <，> = -∴<,>=π－arccos

异面直线和的夹角为φ，则φ= arccos
(3)如图，直棱柱ABC—A1B1C1的底面△ABC中，CA=CB=1，∠BCA=90°，棱AA1=2，M、N分别是A1B1、A1A的中点.
（Ⅰ）求的长；
（Ⅱ）求cos〈，〉的值；
（Ⅲ）求证：A1B⊥C1M.
（Ⅰ）解：依题意得B（0，1，0），N（1，0，1），
∴｜｜==.
（Ⅱ）解：A1（1，0，2），B（0，1，0），C（0，0，0），B1（0，1，2），
∴=（1，－1，2），=（0，1，2），·=3，｜｜=，｜｜=.
∴cos〈，〉==.
（Ⅲ）证明：C1（0，0，2），M（，，2），=（－1，1，－2），=（，，0），∴·=0，∴A1B⊥C1M.
(4)如图，在正方体ABCD—A1B1C1D1中，E、F分别是BB1、CD的中点.

（Ⅰ）证明AD⊥D1F；
（Ⅱ）求AE与D1F所成的角；
（Ⅲ）证明面AED⊥面A1D1F.
解：取D为原点，DA、DC、DD1为x轴、y轴、z轴建立直角坐标系，取正方体棱长为2，则A（2，0，0）、A1（2，0，2）、
D1（0，0，2）、E（2，2，1）、F（0，1，0）.
（Ⅰ）∵· =（2，0，0）·（0，1,－2）=0，∴AD⊥D1F.
（Ⅱ）∵·=（0，2，1）·（0，1，－2）=0，∴AE⊥D1F，即AE与D1F成90°角.
（Ⅲ）∵·=（2，2，1）·（0，1，－2）=0，∴DE⊥D1F.∵AE⊥D1F，
∴D1F⊥面AED.∵D1F面A1D1F，∴面AED⊥面A1D1F.
(5)如图，在棱长为1的正方体中，是侧棱上的一点，。
（Ⅰ）试确定，使直线与平面所成角的正切值为；
（Ⅱ）在线段上是否存在一个定点，使得对任意的，在平面上的射影垂直于，并证明你的结论。
解：（Ⅰ）建立如图所示的空间直角坐标系，则A(1,0,0),B(1,1,0),P(0,1,ｍ)，C(0,1,0),D(0,0,0),B1(1,1,1),D1(0,0,1).
所以
又由的一个法向量.设与所成的角为，
则
依题意有：，解得.
故当时，直线。
（Ⅱ）若在上存在这样的点，设此点的横坐标为，
则。
依题意，对任意的m要使D1Q在平面APD1上的射影垂直于AP。
等价于
即为的中点时，满足题设的要求.
(6)如图，已知正三棱柱ABC-A1B1C1的侧棱长和底面边长均为1，M是底面BC边上的中点，N是侧棱CC1上的点，且CN＝2C1N.
（Ⅰ）求二面角B1－AM－N的平面角的余弦值；
（Ⅱ）求点B1到平面AMN的距离。
解：（Ⅰ）建立如图所示的空间直角坐标系，则（0，0，1），
M（0，，0）,C(0,1,0), N (0,1,) , A ()，所以，
，,。
因为
所以,同法可得。故﹤﹥为二面角—AM—N的平面角
∴﹤﹥＝
故所求二面角—AM—N的平面角的余弦值为。
（Ⅱ）设n=(x,y,z)为平面AMN的一个法向量，则由得
.故可取
设与n的夹角为a，则。
所以到平面AMN的距离为。
(7)如图，已知四棱锥P-ABCD的底面ABCD为等腰梯形，AB∥DC,AC⊥BD,AC与BD相交于点O，且顶点P在底面上的射影恰为O点，又
BO=2,PO=,PB⊥PD.
(Ⅰ)求异面直线PD与BC所成角的余弦值；
(Ⅱ)求二面角P－AB－C的大小；
(Ⅲ)设点M在棱PC上，且为何值时，PC⊥平面BMD.
解： 平面 ,又，，由平面几何知识得：
以为原点，分别为轴建立如图所示的空间直角坐标系，则各点坐标为，，，，，
（Ⅰ）， ，。
。故直线与所成的角的余弦值为
（Ⅱ）设平面的一个法向量为，由于，，
由 得 取，又已知平面ABCD的一个法向量，
,又二面角为锐角，所求二面角的大小为
（Ⅲ）设，由于三点共线，，
平面，
由（1）（2）知：，。
，故时，平面。

考查运用空间向量的有关知识求空间的角和距离.要求掌握利用空间向量求空间的角和距离的一般方法.
利用空间向量求异面直线所成角时,必须注意异面直线所成角的范围是（0，,向量的夹角的范围是[0，,故向量的夹角与异面直线的夹角可能相等，也可能互补。
求直线与平面所成角：先求出平面的法向量，再求此直线所在向量与法向量所成角（锐
角），它的余角为线面角；
求两个平面所成角:二面角的大小转化为求面的法向量m、n的夹角
<m，n>或其补角。
空间的距离有：可以利用|a|=aa，进行计算。
用心 爱心 专心