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2014 年四川省高考数学试卷（理科）

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2014 年四川省高考数学试卷（理科）
一、选择题：本大题共 10 小题，每小题 5 分 ，共 50 分．在每小题给处的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
2
1．（5 分）（2014•四川）已知集合 A={x|x ﹣x﹣2≤0}，集合 B 为整数集，则 A∩B=（
）
A．{﹣1，0，1，2}
B．{﹣2，﹣1，0，1}
C．{0，1}
D．{﹣1，0}
6
3
2．（5 分）（2014•四川）在 x（1+x） 的展开式中，含 x 项的系数为（
）
A．30
B．20
C．15
D．10
3．（5 分）（2014•四川）为了得到函数 y=sin（2x+1）的图象，只需把 y=sin2x 的图象上所有的点（
）
B．向右平行移动 个单位长度
C．向左平行移动 1 个单位长度
D．向右平行一定 1 个单位长度
4．（5 分）（2014•四川）若 a＞b＞0，c＜d＜0，则一定有（
A． B． C．
）
D．
＞
＜
＞
＜
5．（5 分）（2014•四川）执行如图所示的程序框图，若输入的x，y∈R，那么输出的 S 的最大值为（
）
A．0
B．1
C．2
D．3
6．（5 分）（2014•四川）六个人从左至右排成一行，最左端只能排甲或乙，最右端不能排甲，则不同的排法共有（
A．192 种 B．216 种 C．240 种 D．288 种
）
7．（5 分）（2014•四川）平面向量 =（1，2）， =（4，2）， =m + （m∈R），且 与 的夹角等于 与 的夹角，
则 m=（
A．﹣2
）
B．﹣1
C．1
D．2
8．（5 分）（2014•四川）如图，在正方体 ABCD﹣A B C D 中，点 O 为线段 BD 的中点，设点 P 在线段 CC 上，
1 1 1 1
1
直线 OP 与平面 A BD 所成的角为 α，则 sinα 的取值范围是（
）
1
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A．[ ，1]
B．[ ，1]
C．[
，
]
D．[
，1]
9．（5 分）（2014•四川）已知 f（x）=ln（1+x）﹣ln（1﹣x），x∈（﹣1，1）．现有下列命题：
①f（﹣x）=﹣f（x）；
②f（
）=2f（x）
③|f（x）|≥2|x|
其中的所有正确命题的序号是（
）
A． ①②③
B．②③
C． ①③
D． ①②
2
10．（5 分）（2014•四川）已知 F 为抛物线 y =x 的焦点，点 A，B 在该抛物线上且位于 x 轴的两侧， • =2（其
中 O 为坐标原点），则△ABO 与△AFO 面积之和的最小值是（
A．2 B．3 C．
）
D．
二、填空题：本大题共 5 小题，每小题 5 分，共 25 分
11．（5 分）（2014•四川）复数 = _________ ．
12．（5 分）（2014•四川）设 f（x）是定义在 R 上的周期为 2 的函数，当 x∈[﹣1，1）时，f（x）
，则 f（ ）= _________ ．
=
13．（5 分）（2014•四川）如图，从气球A 上测得正前方的河流的两岸 B，C 的俯角分别为 67°，30°，此时气球的高
是 46m，则河流的宽度 BC 约等于 _________ m．（用四舍五入法将结果精确到个位．参考数据：sin67°≈0.92，
cos67°≈0.39，sin37°≈0.60，cos37°≈0.80， ≈1.73）
14．（5 分）（2014•四川）设 m∈R，过定点 A 的动直线 x+my=0 和过定点 B 的动直线 mx﹣y﹣m+3=0 交于点 P（x，
y）．则|PA|•|PB|的最大值是 _________ ．
15．（5 分）（2014•四川）以 A 表示值域为 R 的函数组成的集合，B 表示具有如下性质的函数 φ（x）组成的集合：
3
对于函数 φ（x），存在一个正数 M，使得函数 φ（x）的值域包含于区间[﹣M，M]．例如，当 φ （x）=x ，φ （x）
1
2
=sinx 时，φ （x）∈A，φ （x）∈B．现有如下命题：
1
2
①设函数 f（x）的定义域为 D，则“f（x）∈A”的充要条件是“∀b∈R，∃a∈D，f（a）=b”；
②函 数 f（x）∈B 的充要条件是 f（x）有最大值和最小值；
③若函数 f（x），g（x）的定义域相同，且 f（x）∈A，g（x）∈B，则 f（x）+g（x）∉B．
④若函数 f（x）=aln（x+2）+
（x＞﹣2，a∈R）有最大值，则 f（x）∈B．
其中的真命题有 _________ ．（写出所有真命题的序号）
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三、解答题：本大题共 6 小题，共 75 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
16．（12 分）（2014•四川）已知函数 f（x）=sin（3x+ ）．
（1）求 f（x）的单调递增区间；
（2）若 α 是第二象限角，f（ ）= cos（α+ ）cos2α，求 cosα﹣sinα 的值．
17．（12 分）（2014•四川）一款击鼓小游戏的规则如下：每盘游戏都需要击鼓三次，每次击鼓要么出现一次音乐，
要么不出现音乐：每盘游戏击鼓三次后，出现一次音乐获得 10 分，出现两次音乐获得 20 分，出现三次音乐获得 100
分，没有出现音乐则扣除200 分（即获得﹣200 分）．设每次击鼓出现音乐的概率为 ，且各次击鼓出现音乐相互独
立．
（1）设每盘游戏获得的分数为 X，求 X 的分布列；
（2）玩三盘游戏，至少有一盘出现音乐的概率是多少？
（3）玩过这款游戏的许多人都发现．若干盘游戏后，与最初分数相比，分数没有增加反而减少了．请运用概率统
计的相关知识分析分数减少的原因．
18．（12 分）（2014•四川）三棱锥 A﹣BCD 及其侧视图、俯视图如图所示，设M，N 分别为线段 AD，AB 的中点，
P 为线段 BC 上的点，且 MN⊥NP．
（1）证明：P 是线段 BC 的中点；
（2）求二面角 A﹣NP﹣M 的余弦值．
x
*
19．（12 分）（2014•四川）设等差数列{a }的公差为 d，点（a ，b ）在函数 f（x）=2 的图象上（n∈N ）．
n
n
n
（1）若 a =﹣2，点（a ，4b ）在函数 f（x）的图象上，求数列{a }的前 n 项和 S ；
1
8
7
n
n
（2）若 a =1，函数 f（x）的图象在点（a ，b ）处的切线在 x 轴上的截距为 2﹣
，求数列{ }的前 n 项和 T ．
1
2
2
n
20．（13 分）（2014•四川）已知椭圆C： + =1（a＞b＞0）的焦距为 4，其短轴的两个端点与长轴的一个端点构
成正三角形．
（1）求椭圆 C 的标准方程；
（2）设 F 为椭圆 C 的左焦点，T 为直线 x=﹣3 上任意一点，过 F 作 TF 的垂线交椭圆 C 于点 P，Q．
①证明：OT 平分线段 PQ（其中 O 为坐标原点）；
②当
最小时，求点 T 的坐标．
x
2
21．（14 分）（2014•四川）已知函数 f（x）=e ﹣ax ﹣bx﹣1，其中 a，b∈R，e=2.71828…为自然对数的底数．
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（1）设 g（x）是函数 f（x）的导函数，求函数 g（x）在区间[0，1]上的最小值；
（2）若 f（1）=0，函数 f（x）在区间（0，1）内有零点，求 a 的取值范围．
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2014 年四川省高考数学试卷（理科）
参考答案与试题解析
一、选择题：本大题共 10 小题，每小题 5 分 ，共 50 分．在每小题给处的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
2
1．（5 分）（2014•四川）已知集合 A={x|x ﹣x﹣2≤0}，集合 B 为整数集，则 A∩B=（
）
A．{﹣1，0，1，2}
B．{﹣2，﹣1，0，1}
C．{0，1}
D．{﹣1，0}
点评： 本题属于容易题，集合知识是高中部分的基础知识，也是基础工具，高考中涉及到对集合的基本考查题，
一般都比较容易，且会在选择题的前几题，考生只要够细心，一般都能拿到分．
6
3
2．（5 分）（2014•四川）在 x（1+x） 的展开式中，含 x 项的系数为（
）
A．30
B．20
C．15
D．10
考点： 二项式系数的性质．
专题： 二项式定理．
6
2
分析： 利用二项展开式的通项公式求出（1+x） 的第 r+1 项，令 x 的指数为 2 求出展开式中 x 的系数．然后求解
6
r+1
6
2
3
6
6
2
6
3
点评： 本题考查二项展开式的通项的简单直接应用．牢记公式是基础，计算准确是关键．
3．（5 分）（2014•四川）为了得到函数 y=sin（2x+1）的图象，只需把 y=sin2x 的图象上所有的点（
）
B．向右平行移动 个单位长度
C．向左平行移动 1 个单位长度
D．向右平行一定 1 个单位长度
考点： 函数 y=Asin（ωx+φ）的图象变换．
专题： 三角函数的图像与性质．
分析：
解答：
解：∵y=sin（2x+1）=sin2（x+ ）， ∴把 y=sin2x 的图象上所有的点向左平行移动 个单位长度，
点评： 本题主要考查函数 y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，属于基础题．
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4．（5 分）（2014•四川）若 a＞b＞0，c＜d＜0，则一定有（
）
＞
＜
＞
＜
则
，
点评： 本题考查不等式比较大小，特值法有效，导数计算正确．
5．（5 分）（2014•四川）执行如图所示的程序框图，若输入的x，y∈R，那么输出的 S 的最大值为（
）
A．0
B．1
C．2
D．3
内，目标还是 S=2x+y 的最大值，画出可行域，求得取得最大值的点的坐
标，求出最大值．
解答：
内，目标还是 S=2x+y 的最大值，
画出可行域如图：
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当
故选：C．
点评： 本题借助选择结构的程序框图考查了线性规划问题的解法，根据框图的流程判断算法的功能是解题的关键．
6．（5 分）（2014•四川）六个人从左至右排成一行，最左端只能排甲或乙，最右端不能排甲，则不同的排法共有（
A．192 种 B．216 种 C．240 种 D．288 种
）
点评： 本题考查排列、组合及简单计数问题，考查学生的计算能力，属于基础题．
7．（5 分）（2014•四川）平面向量 =（1，2）， =（4，2）， =m + （m∈R），且 与 的夹角等于 与 的夹角，
则 m=（
A．﹣2
）
B．﹣1
C．1
D．2
由已知求出向量 的坐标，再根据 与 的夹角等于 与 的夹角，代入夹角公式，构造关于 m 的方程，解
又∵ 与 的夹角等于 与 的夹角，
∴
=
，
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∴
∴
，
=
，
点评： 本题考查的知识点是数量积表示两个向量的夹角，难度中档．
8．（5 分）（2014•四川）如图，在正方体 ABCD﹣A B C D 中，点 O 为线段 BD 的中点，设点 P 在线段 CC 上，
1 1 1 1
1
直线 OP 与平面 A BD 所成的角为 α，则 sinα 的取值范围是（
）
1
A．[ ，1]
B．[ ，1]
C．[
，
]
D．[
，1]
∪
．再利
．
1
∪
1
=
=
．
1
，
1
1
1
1
1
1
∴sinα 的取值范围是
故选：B．
．
点评： 本题考查了正方体的性质和直角三角形的边角关系即可、线面角的求法，考查了推理能力，属于中档题．
9．（5 分）（2014•四川）已知 f（x）=ln（1+x）﹣ln（1﹣x），x∈（﹣1，1）．现有下列命题：
①f（﹣x）=﹣f（x）；
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②f（
）=2f（x）
③|f（x）|≥2|x|
其中的所有正确命题的序号是（
）
A． ①②③
B．②③
C． ①③
D． ①②
考点： 命题的真假判断与应用．
专题： 函数的性质及应用．
分析： 根据已知中函数的解析式，结合对数的运算性质，分别判断三个结论的真假，最后综合判断结果，可得答
案．
f（
）=ln（1+
）﹣ln（
）=ln（
）=ln[（
）
）=2[ln（1+x）﹣ln（1﹣x）]=2f（x），故②正确；
当 x∈[0，1）时，|f（x）|≥2|x|⇔f（x）﹣2x≥0，令 g（x）=f（x）﹣2x=ln（1+x）﹣ln（1﹣x）﹣2x（x∈[0，
1））
+
﹣2=
≥0， ∴g（x）在[0，1）单调递增，g（x）=f（x）﹣2x≥g（0）=0，
点评： 本题以命题的真假判断为载体，考查了对数的运算性质，代入法求函数的解析式等知识点，难度中档．
2
10．（5 分）（2014•四川）已知 F 为抛物线 y =x 的焦点，点 A，B 在该抛物线上且位于 x 轴的两侧， • =2（其
中 O 为坐标原点），则△ABO 与△AFO 面积之和的最小值是（
A．2 B．3 C．
）
D．
可先设直线方程和点的坐标，联立直线与抛物线的方程得到一个一元二次方程，再利用韦达定理及 • =2
解答： 解：设直线 AB 的方程为：x=ty+m，点 A（x ，y ），B（x ，y ），直线 AB 与 x 轴的交点为 M（（0，m），
1
1
2
2
2
由
1
2
，
1
2
1
2
∵点 A，B 位于 x 轴的两侧，∴y •y =﹣2，故 m=2．
1
2
不妨令点 A 在 x 轴上方，则 y ＞0，又
，
1
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=
．
当且仅当
，即
点评： 求解本题时，应考虑以下几个要点：
1、联立直线与抛物线的方程，消x 或 y 后建立一元二次方程，利用韦达定理与已知条件消元，这是处理此
类问题的常见模式．
2、求三角形面积时，为使面积的表达式简单，常根据图形的特征选择适当的底与高．
3、利用基本不等式时，应注意“一正，二定，三相等”．
二、填空题：本大题共 5 小题，每小题 5 分，共 25 分
11．（5 分）（2014•四川）复数
= ﹣2i ．
考点： 复数代数形式的乘除运算．
专题： 数系的扩充和复数．
=
=
=﹣2i，
故答案为：﹣2i．
点评： 本题主要考查两个复数代数形式的乘除法法则的应用，属于基础题．
12．（5 分）（2014•四川）设 f（x）是定义在 R 上的周期为 2 的函数，当 x∈[﹣1，1）时，f（x）
=
，则 f（ ）= 1 ．
∴
点评： 本题属于容易题，是考查函数周期性的简单考查，学生在计算时只要计算正确，往往都能把握住，在高考
中，属于“送分题”．
13．（5 分）（2014•四川）如图，从气球A 上测得正前方的河流的两岸 B，C 的俯角分别为 67°，30°，此时气球的高
是 46m，则河流的宽度 BC 约等于 60 m．（用四舍五入法将结果精确到个位．参考数据：sin67°≈0.92，cos67°≈0.39，
sin37°≈0.60，cos37°≈0.80， ≈1.73）
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分析： 过 A 点作 AD 垂直于 CB 的延长线，垂足为 D，分别在 Rt△ACD、Rt△ABD 中利用三角函数的定义，算出
CD、BD 的长，从而可得 BC，即为河流在 B、C 两地的宽度．
解答： 解：过 A 点作 AD 垂直于 CB 的延长线，垂足为 D，
则 Rt△ACD 中，∠C=30°，AD=46m
∴CD=
=
点评： 本题给出实际应用问题，求河流在 B、C 两地的宽度，着重考查了三角函数的定义、正余弦定理解三角形的
知识，属于中档题．
14．（5 分）（2014•四川）设 m∈R，过定点 A 的动直线 x+my=0 和过定点 B 的动直线 mx﹣y﹣m+3=0 交于点 P（x，
y）．则|PA|•|PB|的最大值是 5 ．
分析： 先计算出两条动直线经过的定点，即A 和 B，注意到两条动直线相互垂直的特点，则有P A⊥PB；再利用基
本不等式放缩即可得出|PA|•|PB|的最大值．
2
2
2
故|PA|•|PB|≤
=5（当且仅当
时取“=”）
点评： 本题是直线和不等式的综合考查，特别是“两条直线相互垂直”这一特征是本题解答的突破口，从而有
2
2
|PA| +|PB| 是个定值，再由基本不等式求解得出．直线位置关系和不等式相结合，不容易想到，是个灵活的
好题．
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15．（5 分）（2014•四川）以 A 表示值域为 R 的函数组成的集合，B 表示具有如下性质的函数 φ（x）组成的集合：
3
对于函数 φ（x），存在一个正数 M，使得函数 φ（x）的值域包含于区间[﹣M，M]．例如，当 φ （x）=x ，φ （x）
1
2
=sinx 时，φ （x）∈A，φ （x）∈B．现有如下命题：
1
2
①设函数 f（x）的定义域为 D，则“f（x）∈A”的充要条件是“∀b∈R，∃a∈D，f（a）=b”；
②函 数 f（x）∈B 的充要条件是 f（x）有最大值和最小值；
③若函数 f（x），g（x）的定义域相同，且 f（x）∈A，g（x）∈B，则 f（x）+g（x）∉B．
④若函数 f（x）=aln（x+2）+
（x＞﹣2，a∈R）有最大值，则 f（x）∈B．
其中的真命题有 ①③④ ．（写出所有真命题的序号）
考点： 命题的真假判断与应用；充要条件；函数的值域．
专题： 新定义；极限思想；函数的性质及应用；不等式的解法及应用．
分析： 根据题中的新定义，结合函数值域的概念，可判断出命题①②③是否正确，再利用导数研究命题④中函数的值
域，可得到其真假情况，从而得到本题的结论．
解答： 解：（1）对于命题①
∴命题①是真命题；
（2）对于命题②
∴﹣M≤f（x）≤M．例如：函数 f（x）满足﹣2＜f（x）＜5，则有﹣5≤f（x）≤5，此时，f（x）无最大值，无
∴命题③是真命题．
（4）对于命题④
（x＞﹣2，a∈R）有最大值，
→0，ln（x+2）→+∞，∴aln（x+2）→+∞，则 f（x）→+∞．与题意不符；
→
，ln（x+2）→﹣∞，∴aln（x+2）→+∞，则 f（x）→+∞．与题意
∴a=0．
（x＞﹣2）
，∴
，即
；
当 x=0 时，f（x）=0；
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，∴
，即
．
∴
故命题④是真命题．
故答案为①③④．
点评： 本题考查了函数值域的概念、基本不等式、充要条件，还考查了新定义概念的应用和极限思想．本题计算
量较大，也有一定的思维难度，属于难题．
三、解答题：本大题共 6 小题，共 75 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
16．（12 分）（2014•四川）已知函数 f（x）=sin（3x+ ）．
（1）求 f（x）的单调递增区间；
（2）若 α 是第二象限角，f（ ）= cos（α+ ）cos2α，求 cosα﹣sinα 的值．
考点： 两角和与差的余弦函数；正弦函数的单调性．
专题： 三角函数的求值．
（2）由函数的解析式可得 f（ ）=sin（α+ ），又 f（ ）= cos（α+ ）cos2α，可 得 sin（α+ ）= cos
2
（α+ ）cos2α，化简可得 （cosα﹣sinα） = ．再由 α 是第二象限角，cosα﹣sinα＜0，从而求得 cosα﹣
求得
+ ，故函数的增区间为[
2
2
2
2
∴sinαcos +cosαsin = （cos α﹣sin α）（sinα+cosα）．
点评： 本题主要考查正弦函数的单调性，三角函数的恒等变换，属于中档题．
17．（12 分）（2014•四川）一款击鼓小游戏的规则如下：每盘游戏都需要击鼓三次，每次击鼓要么出现一次音乐，
要么不出现音乐：每盘游戏击鼓三次后，出现一次音乐获得 10 分，出现两次音乐获得 20 分，出现三次音乐获得 100
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分，没有出现音乐则扣除200 分（即获得﹣200 分）．设每次击鼓出现音乐的概率为 ，且各次击鼓出现音乐相互独
立．
（1）设每盘游戏获得的分数为 X，求 X 的分布列；
（2）玩三盘游戏，至少有一盘出现音乐的概率是多少？
（3）玩过这款游戏的许多人都发现．若干盘游戏后，与最初分数相比，分数没有增加反而减少了．请运用概率统
计的相关知识分析分数减少的原因．
则 P（X=﹣200）=
P（X=10）=
，
=
= ，
= ，
= ，
．
．
这说明每盘游戏平均得分是负分，由概率统计的相关知识可知：许多人经过若干盘游戏后，入最初的分数
相比，分数没有增加反而会减少．
点评： 本题主要考查概率的计算，以及离散型分布列的计算，以及利用期望的计算，考查学生的计算能力．
18．（12 分）（2014 四川）三棱锥 A﹣BCD 及其侧视图、俯视图如图所示，设M，N 分别为线段 AD，AB 的中点，
P 为线段 BC 上的点，且 MN⊥NP．
（1）证明：P 是线段 BC 的中点；
（2）求二面角 A﹣NP﹣M 的余弦值．
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于是 OA⊥BD，OC⊥BD 所以 BD⊥平面 OAC⇒BD⊥AC
于是
，
，
和
由
，则
，设 z =1，则
1
由
，则
，设 z =1，则
2
cos
=
=
=
点评： 本题考查线线的位置关系，考查二面角知识的应用，解题的关键是掌握用向量的方法求二面角大小的步骤，
属于中档题．
x
*
19．（12 分）（2014 四川）设等差数列{a }的公差为 d，点（a ，b ）在函数 f（x）=2 的图象上（n∈N ）．
n
n
n
（1）若 a =﹣2，点（a ，4b ）在函数 f（x）的图象上，求数列{a }的前 n 项和 S ；
1
8
7
n
n
（2）若 a =1，函数 f（x）的图象在点（a ，b ）处的切线在 x 轴上的截距为 2﹣
，求数列{ }的前 n 项和 T ．
1
2
2
n
专题： 函数的性质及应用；等差数列与等比数列．
分析：
x
，又等差数列{a }的公差为 d，利用等差
8
7
n
d
数列的通项公式可得
=2 ．由于点
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d
=b ，进而得到 =4=2 ，解得 d．再利用等差数列的
8
7
8
前 n 项和公式即可得出．
（2）利用导数的几何意义可得函数f（x）的图象在点（a ，b ）处的切线方程，即可解得a ．进而得到a ，
2
2
2
n
b ．再利用“错位相减法”即可得出．
n
x
8
7
∴
，
n
d
∴
=
8
7
∴
8
d
2
1
n
x
x
∴函 数 f（x）的图象在点（a ，b ）处的切线方程为
，
2
2
又
，
∴
2
2
1
n
n
∴
．
∴T =
+ ，
n
，
n
﹣
n
=
=
．
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点评： 本题综合考查了指数函数的运算性质、导数的几何意义、等差数列与等比数列的通项公式及其前n 项和公
式等基础知识与基本技能方法，考查了推理能力、计算能力、“错位相减法”，属于难题．
20．（13 分）（2014•四川）已知椭圆C： + =1（a＞b＞0）的焦距为 4，其短轴的两个端点与长轴的一个端点构
成正三角形．
（1）求椭圆 C 的标准方程；
（2）设 F 为椭圆 C 的左焦点，T 为直线 x=﹣3 上任意一点，过 F 作 TF 的垂线交椭圆 C 于点 P，Q．
①证明：OT 平分线段 PQ（其中 O 为坐标原点）；
②当
最小时，求点 T 的坐标．
2
2
2
2
2
表示出来，由
解得
1
1
2
2
0
0
①证明：由 F（﹣2，0），可设直线 PQ 的方程为 x=my﹣2，
2
2
由
所以
于是
即
，从而
，则
，
，
所以 O，N，T 三点共线，从而 OT 平分线段 PQ，故得证．
②由两点间距离公式得
由弦长公式得
，
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=
=
，
所以
，
2
令
，则
2
2
所以当
最小时，由 x =2=m +1，得 m=1 或 m=﹣1，此时点 T 的坐标为（﹣3，1）或（﹣3，﹣1）．
2、联立直线与椭圆方程，消去 y 或 x，得到一个关于 x 或 y 一元二次方程，利用韦达定理；
3、利用基本不等式或函数的单调性探求最值问题．
x
2
21．（14 分）（2014•四川）已知函数 f（x）=e ﹣ax ﹣bx﹣1，其中 a，b∈R，e=2.71828…为自然对数的底数．
（1）设 g（x）是函数 f（x）的导函数，求函数 g（x）在区间[0，1]上的最小值；
（2）若 f（1）=0，函数 f（x）在区间（0，1）内有零点，求 a 的取值范围．
考点： 导数在最大值、最小值问题中的应用；函数的零点．
专题： 导数的综合应用．
分析： （1）求出 f（x）的导数得 g（x），再求出 g（x）的导数，对它进行讨论，从而判断g（x）的单调性，求出
g（x）的最小值；
（2）利用等价转换，若函数f（x）在区间（0，1）内有零点，则函数 f（x）在区间（0，1）内至少有三个
单调区间，所以 g（x）在（0，1）上应有两个不同的零点．
x
2
x
x
x
x
时，则 2a≤1，g′（x）=e ﹣2a≥0，
min
②当
x
x
x
③当
min
；
若函数 f（x）在区间（0，1）内有零点，则函数 f（x）在区间（0，1）内至少有三个单调区间，
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由（1）知当 a≤ 或 a≥ 时，函数 g（x）在区间[0，1]上单调，不可能满足“函数 f（x）在区间（0，1）内至
少有三个单调区间”这一要求．
若
（1＜x＜e）
则
．由
＞0⇒x＜
∴h（x）在区间（1， ）上单调递增，在区间（ ，e）上单调递减，
＜0，即 g （x）＜0 恒成立，
=
+
∴函 数 f（x）在区间（0，1）内至少有三个单调区间⇔
⇒
，
又
综上得：e﹣2＜a＜1．
点评： 本题考查了，利用导数求函数的单调区间，分类讨论思想，等价转换思想，函数的零点等知识点．是一道
导数的综合题，难度较大．
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参与本试卷答题和审题的老师有：任老师；王老师；孙佑中；刘长柏；qiss；尹伟云；翔宇老师；szjzl；caoqz；清
风慕竹；静定禅心；maths（排名不分先后）
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2014 年 6 月 24 日
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由（1）知当 a≤ 或 a≥ 时，函数 g（x）在区间[0，1]上单调，不可能满足“函数 f（x）在区间（0，1）内至
少有三个单调区间”这一要求．
若
（1＜x＜e）
则
．由
＞0⇒x＜
∴h（x）在区间（1， ）上单调递增，在区间（ ，e）上单调递减，
＜0，即 g （x）＜0 恒成立，
=
+
∴函 数 f（x）在区间（0，1）内至少有三个单调区间⇔
⇒
，
又
综上得：e﹣2＜a＜1．
点评： 本题考查了，利用导数求函数的单调区间，分类讨论思想，等价转换思想，函数的零点等知识点．是一道
导数的综合题，难度较大．
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参与本试卷答题和审题的老师有：任老师；王老师；孙佑中；刘长柏；qiss；尹伟云；翔宇老师；szjzl；caoqz；清
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