高一数学-2015-2016学年高一上学期期中考试数学试卷.doc

2015-2016学年高一数学期中试卷
编制：王忠
一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．请把答案填写在答题卡相应位置上．
1．设，，则 ▲ ．
【答案】[2,3]
2．已知函数的图像过点，则 ▲ ．
【答案】－5
3．若，则m＝ ▲ ．
【答案】
4．设a，b，c都是不等于1的正数，且ab≠1，则 ▲ ．（填＞、＝、＜）
【答案】＝
5．若函数在区间上的最大值与最小值之和为3，则实数a的值为
▲ ．
【答案】2
6．若函数的图像经过第一、二、三象限，则实数m的取值范围是 ▲ ．
【答案】
7．函数的定义域为 ▲ ．
【答案】
8． 若方程的一个根在区间上，另一根在区间上，则实数m的取值范围为 ▲ ．
【答案】－4＜m＜－2
9． 某车站有快、慢两种车，始发站距终点站km，慢车到终点站需，快车比慢车晚发车，且行驶后到达终点站．则两车相遇时距始发站 ▲ km．
【答案】3.6
10．设，则使为奇函数且在上单调递减的值为
▲ ．
【答案】－1
11．设集合，若M是的子集，把M中所有元素的和称为M的“容量”（规定空集的容量为0），若M的容量为奇（偶）数，则称M为的奇（偶）子集．当n＝4时，所有奇子集的个数为 ▲ ．
【答案】8
12．给定，定义函数f：满足：对任意大于k的正整数n，．设k＝2，且n≤2时，，则不同的函数f的个数为 ▲ ．
【答案】4

13．设，且，从A到Z的两个函数和．若对于A中的任意一个x，都有，则满足条件的集合A有 ▲ 个．
【答案】3

14．已知函数，函数．若函数恰好有2个不同的零点，则实数a的取值范围为 ▲ ．
【答案】

二、解答题：本大题共6小题，计90分．请在答题卡指定的区域内作答，解答时应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
15．（本小题满分14分）
设全集是实数集R，集合，．
（1）若，求实数m的取值范围；
（2）若，求．
【答案】
（1） 若，则有m－1≥3或m＋1≤－1
即m≥4或m≤－2
所以m的取值范围为m≥4或m≤－2.
（2） ∵
∴0＜m＜4
当0＜m≤1时，
当1＜m＜4时，

16．（本小题满分14分）
已知关于x的不等式组
（1）求解不等式②；
（2）若此不等式组的整数解集M中有且只有一个元素，求实数k的取值范围及相应的集合M．
【答案】
（1）由②得
∴当即时，
当即时，
当即时，
（2）由①得
当时，整数解集M只能为
则应满足，即
当时，整数解集M只能为
则应满足足时，即
综上所述：当时，；
当时，．

17．（本小题满分14分）
小张在淘宝网上开一家商店，他以10元每条的价格购进某品牌积压围巾2000条．定价前，小张先搜索了淘宝网上的其它网店，发现：A商店以30元每条的价格销售，平均每日销售量为10条；B商店以25元每条的价格销售，平均每日销售量为20条．假定这种围巾的销售量t（条）是售价x（元）（）的一次函数，且各个商店间的售价、销售量等方面不会互相影响．
（1）试写出围巾销售每日的毛利润y（元）关于售价x（元）（）的函数关系式（不必写出定义域），并帮助小张定价，使得每日的毛利润最高（每日的毛利润为每日卖出商品的进货价与销售价之间的差价）；
（2）考虑到这批围巾的管理、仓储等费用为200元／天（只要围巾没有售完，均须支付200元／天，管理、仓储等费用与围巾数量无关），试问小张应该如何定价，使这批围巾的总利润最高（总利润＝总毛利润－总管理、仓储等费用）？
【答案】
设t＝kx＋b，∴，解得k＝－2，b＝70，∴t＝70－2x．
（1）
当时，即围巾定价为22元或23元时，每日的利润最高．
（2） 设售价x（元）时总利润为z（元），
∴
元．
当时，即x＝25时，取得等号．
故小张的这批围巾定价为25元时，这批围巾的总利润最高．

18．（本小题满分16分）
已知函数．
（1）若的定义域和值域均为，求实数a的值；
（2）若函数在区间上是减函数，且对任意的，，总有成立，求实数a的取值范围；
（3）若函数在区间上有零点，求实数a的取值范围．

【答案】
（1） 对称轴为x＝a，所以时，为减函数；
∴
∴a＝2
（2） 因为在上为减函数，所以对称轴x＝a≥2，所以a≥2；
而，所以，
；；
则对任意，

∴－1≤a≤3
又a≥2
∴2≤a≤3
（3）∵在上有零点
∴在上有实数解
∴在上有实数解
∴

19．（本小题满分16分）
在平面直角坐标系xOy中，已知函数（n＞1）的图像上的两点A，B，过A，B作x轴的垂线，垂足分别为，（b＞a＞1），线段BN，AM分别与函数（m＞n＞1）的图像交于点C，D，且AC与x轴平行．
（1）当a＝2，b＝4，n＝3时，求四边形ABCD的面积；
（2）当时，直线BD经过点，求实数a的值；
（3）已知，，若，为区间内任意两个变量，且；
1
O
y
A
M
N
C
B
x
D
求证：．

【答案】
（1） 由题意得，，；
因为AC与x轴平行
所以
所以m＝9
∴；
则
（2） 由题意得，，；
∵AC与x轴平行
∴
∵，∴
∵直线BD经过点
∴
即
∴a＝3

（3） 证明：因为，且
所以
又因为，
所以，
又因为
所以
所以
所以
即

20．（本小题满分16分）
已知函数，若在定义域内存在，使得成立，则称为函数的局部对称点．
（1）若a、且a≠0，证明：函数必有局部对称点；
（2）若函数在定义域内有局部对称点，求实数c的取值范围；
（3）若函数在R上有局部对称点，求实数m的取值范围．

【答案】
（1）由得
代入得，，
得到关于x的方程（），
其中，由于且，所以恒成立
所以函数（）必有局部对称点
（2）方程在区间上有解，于是
设（），，
其中
所以
（3），
由于，所以
于是（*）在R上有解
令（），则，
所以方程（*）变为在区间内有解，需满足条件：

即，
化简得

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