高中数学必修1函数及其表示题型总结.doc

函数及其表示
考点一 求定义域的几种情况
①若f(x)是整式，则函数的定义域是实数集R；
②若f(x)是分式，则函数的定义域是使分母不等于0的实数集；
③若f(x)是二次根式，则函数的定义域是使根号内的式子大于或等于0的实数集合；
④若f(x)是对数函数，真数应大于零。
⑤.因为零的零次幂没有意义，所以底数和指数不能同时为零。
⑥若f(x)是由几个部分的数学式子构成的，则函数的定义域是使各部分式子都有意义的实数集合；
⑦若f(x)是由实际问题抽象出来的函数，则函数的定义域应符合实际问题
考点二 映射个数公式
Card(A)=m,card(B)=n, m,n,则从A到B的映射个数为。简单说成“前指后底”。
方法技巧清单
方法一 函数定义域的求法
1．（2009江西卷文）函数的定义域为 （ ）
A．　　　B．　　　C．　　　　D．
解析 由得或,故选D.
2．（2009江西卷理）函数的定义域为 ( )
A．　　　B．　　　C．　　　　D．
解析 由.故选C
3.（2009福建卷文）下列函数中，与函数 有相同定义域的是 ( )
A . B. C. D.
解析 由可得定义域是的定义域；的定义域是≠0；的定义域是定义域是。故选A.
4.（2007年上海）函数的定义域是 ． 答案
5.求下列函数的定义域。①y=.②y=.③y=
6.已知函数f(x)的定义域为，求函数F(x)=f(3x-1)-f(3x+1)的定义域。
方法二 函数概念的考察
1. 下列各组函数中表示同一函数的是（ ）A.y=和 B.y=ln和
C. D.
2．函数y=f(x)的图像与直线x=2的公共点个数为
A. 0个B. 1个 C. 0个或1个 D. 不能确定
3．已知函数y=定义域为，则其值域为
方法三 分段函数的考察
ⅰ求分段函数的定义域和值域
2x+2 x
1求函数f(x)= x 的定义域和值域
3 x
2（2010天津文数）设函数，则的值域是
（A） （B） （C）（D）
【解析】依题意知，
ⅱ求分段函数函数值
3．（2010湖北文数）3.已知函数，则
A.4 B. C.-4 D-
【解析】根据分段函数可得，则，所以B正确.
ⅲ解分段函数不等式
4.（2009天津卷文）设函数则不等式的解集是（ ）
A. B. C. D.
答案 A解析 由已知，函数先增后减再增当，令
解得。当，故 ，解得
5．（2009天津卷理）已知函数若则实数
的取值范围是 A B C D
解析：由题知在上是增函数，由题得，解得，故选择C。
6.（2009北京理）若函数 则不等式的解集为____________.
解析 （1）由.（2）由.
∴不等式的解集为，∴应填.
7。（2010天津理数）若函数f(x)=,若f(a)>f(-a),则实数a的取值范围是
（A）（-1，0）∪（0，1） （B）（-∞，-1）∪（1,+∞） （C）（-1，0）∪（1,+∞） （D）（-∞，-1）∪（0,1）
【答案】C由分段函数的表达式知，需要对a的正负进行分类讨论。

【温馨提示】分类函数不等式一般通过分类讨论的方式求解，解对数不等式既要注意真数大于0，同事要注意底数在（0，1）上时，不等号的方向不要写错。
ⅳ解分段函数方程
8．（2009北京文）已知函数若，则 .
.w 解析 5.u.c本题主要考查分段函数和简单的已知函数值求的值. 属于基础知识、基本运算的考查.
由，无解，故应填.
方法四 求函数的解析式
1． 求下列函数的解析式
① 已知
②
③ 已知f(x)是二次函数，若f(0)=0,且f(x+1)=f(x)+x+1,求f(x).
④ 已知f(x)满足求f(x).
方法五 函数图像的考察
1
x
y
1
O
A
x
y
O
1
1
B
x
y
O
1
1
C
x
y
1
1
D
O
1. (2009山东卷理)函数的图像大致为 ( ).

解析 函数有意义,需使,其定义域为,排除C,D,又因为,所以当时函数为减函数,故选A.
2.（2009广东卷理）已知甲、乙两车由同一起点同时出发,并沿同一路线（假定为直线）行驶．甲车、乙车的速度曲线分别为（如图2所示）．那么对于图中给定的，下列判断中一定正确的是 （ ）
A. 在时刻，甲车在乙车前面 B. 时刻后，甲车在乙车后面
C. 在时刻，两车的位置相同 D. 时刻后，乙车在甲车前面
解析 由图像可知，曲线比在0～、0～与轴所围成图形面积大，
则在、时刻，甲车均在乙车前面，选A.
3.（2009江西卷文）如图所示，一质点在平面上沿曲线运动，
速度大小不变，其在轴上的投影点的运动速度的图象
大致为 ( )

A B C D

解析 由图可知，当质点在两个封闭曲线上运动时，投影点的速度先由正到0、到负数，再到0，到正，故错误；质点在终点的速度是由大到小接近0，故错误；质点在开始时沿直线运动，故投影点的速度为常数，因此是错误的，故选.
4（2010山东理数）(11)函数y=2x -的图像大致是

【解析】因为当x=2或4时，2x -=0，所以排除B、C；当x=-2时，2x -=，故排除D，所以选A。
5（2010安徽文数）设,二次函数的图像可能是

【解析】当时，、同号，（C）（D）两图中，故，选项（D）符合
【方法技巧】根据二次函数图像开口向上或向下，分或两种情况分类考虑.另外还要注意c值是抛物线与y轴交点的纵坐标，还要注意对称轴的位置或定点坐标的位置等.
方法六 映射概念的考察
1． 设:是集合A到集合B的映射，如果B=，则A∩B=（ ）
A. B. C. 或 D. 或
2集合M=，N=映射f:满足f(a)+(b)+f(c)=0,那么映射f: 的个数是（ ）
A.4 B.5 C. 6 D. 7
3集合M=到集合N=一共有 个不同的映射。
方法七函数值域和最值的求法
1．利用二次函数在有限区间上的范围求值域 求函数y=的值域
2．分离常数法 求函数y=的值域
3．换元法 求函数y=的值域
4．数形结合法 求函数y=的值域
5．判别式法 求函数y=的值域
方法八 函数奇偶性和周期性的考察
1.（2009全国卷Ⅰ理）函数的定义域为R，若与都是奇函数，则( )
A.是偶函数 B.是奇函数
C. D.是奇函数
答案 D解析 与都是奇函数，
，
· 函数关于点，及点对称，函数是周期的周期函数.，，即是奇函数。故选D
2.(2009山东卷理)定义在R上的函数f(x)满足f(x)= ，
则f（2009）的值为 ( )
A.-1 B. 0 C.1 D. 2
答案 C解析 由已知得,,,
,,
,,,
所以函数f(x)的值以6为周期重复性出现.,所以f（2009）= f（5）=1,故选C.
3.（2009江西卷文）已知函数是上的偶函数，若对于，都有，且当时，，则的值为 （ ）
A．　　　 B．　　 　C．　　　 　D．
答案 C解析 ,故选C.
方法九 函数奇偶性和对称性考察
1.（2009全国卷Ⅱ文）函数的图像 （ ）
（A） 关于原点对称 （B）关于主线对称
（C） 关于轴对称 （D）关于直线对称
答案 A解析 由于定义域为（-2，2）关于原点对称，又f(-x)=-f(x)，故函数为奇函数，图像关于原点对称，选A。
2．（2010重庆理数）(5) 函数的图象
A. 关于原点对称 B. 关于直线y=x对称 C. 关于x轴对称 D. 关于y轴对称
解析： 是偶函数，图像关于y轴对称
方法十 函数奇偶性和单调性的考察
1.(2009山东卷文)已知定义在R上的奇函数，满足,且在区间[0,2]上是增函数,则 ( ).
A. B.
C. D.
答案 D解析 因为满足,所以,所以函数是以8为周期的周期函数, 则,,,又因为在R上是奇函数， ,得,,而由得,又因为在区间[0,2]上是增函数,所以,所以,即,故选D.
2.（2009全国卷Ⅱ文）设则 （ ）
（A） （B） （C） （D）
答案 B解析 本题考查对数函数的增减性，由1>lge>0,知a>b,又c=lge, 作商比较知c>b,选B。
3.（2009辽宁卷文）已知偶函数在区间单调增加，则满足＜的x 取值范围是 ( )
（A）（，） B.［，） C.（，） D.［，）
答案 A
解析 由于f(x)是偶函数,故f(x)＝f(|x|)∴得f(|2x－1|)＜f(),再根据f(x)的单调性得|2x－1|＜ 解得＜x＜
4.（2009陕西卷文）定义在R上的偶函数满足：对任意的，有.则 ( )
(A) B.
C. D.
答案 A 解析 由等价，于则在
上单调递增, 又是偶函数,故在
单调递减.且满足时, , ,得
,故选A.
5.(2009陕西卷理)定义在R上的偶函数满足：对任意
的，有.
则当时,有 ( )
(A) B.
C. C. D.
答案 C

6.（2009江苏卷）已知，函数，若实数、满足，则、的大小关系为 .
解析 ，函数在R上递减。由得：m<n
7．（2010安徽文数）（7）设，则a，b，c的大小关系是
（A）a＞c＞b （B）a＞b＞c （C）c＞a＞b （D）b＞c＞a
7.A【解析】在时是增函数，所以，在时是减函数，所以。
方法十一抽象函数的解法
1.（2009四川卷理）已知函数是定义在实数集上的不恒为零的偶函数，且对任意实数都有，则的值是 ( )
A.0 B. C.1 D.
答案 A解析 令，则；令，则
由得，所以
，故选择A。
2.(2009山东卷理)已知定义在R上的奇函数，满足,且在区间[0,2]上是增函数,若方程f(x)=m(m>0)在区间上有四个不同的根,则
答案 -8解析 因为定义在R上的奇函数，满足,所以,所以, 由为奇函数,所以函数图象关于直线对称且,由知,所以函数是以8为周期的周期函数,又因为在区间[0,2]上是增函数,所以在区间[-2,0]上也是增函数.如图所示,那么方程f(x)=m(m>0)在区间上有四个不同的根,不妨设由对称性知所以
-8 -6 -4 -2 0 2 4 6 8
y
x
f(x)=m (m>0)

方法十二 对数函数的考察
3（2010全国卷1文数）(7)已知函数.若且，，则的取值范围是
(A) (B)(C) (D)
C【命题意图】做本小题时极易忽视a的取值范围，而利用均值不等式求得a+b=,从而错选D,【解析1】因为 f(a)=f(b),所以|lga|=|lgb|,所以a=b(舍去)，或，所以a+b=又0<a<b,所以0<a<1<b，令由“对勾”函数的性质知函数在(0,1)上为减函数，所以f(a)>f(1)=1+1=2,即a+b的取值范围是(2,+∞).
【解析2】由0<a<b,且f(a)=f(b)得：，利用线性规划得：，化为求的取值范围问题，，过点时z最小为2,∴(C)

4（2010全国卷1理数）（10）已知函数f(x)=|lgx|.若0<a<b,且f(a)=f(b),则a+2b的取值范围是
(A) (B) (C) (D)

方法十三函数创新题的解法
1.(2009浙江理）对于正实数，记为满足下述条件的函数构成的集合：且，有．下列结论中正确的是 ( )
A．若，，则
B．若，，且，则
C．若，，则
D．若，，且，则
答案 C 解析 对于，即有，令，有，不妨设，，即有，因此有，因此有．
2.（2009福建卷理）函数的图象关于直线对称。据此可推测，对任意的非零实数a，b，c，m，n，p，关于x的方程的解集都不可能是 ( )
A. B C D
答案 D解析 对方程中分别赋值求出代入求出检验即得.
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