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1.4 充分条件与必要条件
【题型解读】
【知识储备】
一.充分条件与必要条件
命题真假
“若p，则q”是真命题
“若p，则q”是假命题
推出关系
p⇒q
pq
条件关系
p是q的充分条件
q是p的必要条件
p不是q的不充分条件
q不是p的不必要条件
二.充要条件
1．如果既有p⇒q，又有q⇒p，则p是q的充要条件，记为p⇔q．
2．如果p q且q p，则p是q的既不充分也不必要条件．
3．如果p⇒q且q p，则称p是q的充分不必要条件．
4．如果p q且q⇒p，则称p是q的必要不充分条件．
5．设与命题p对应的集合为A＝{x|p(x)}，与命题q对应的集合为B＝{x|q(x)}，
若A⊆B，则p是q的充分条件，q是p的必要条件；
若A＝B，则p是q的充要条件．
【题型精讲】
【题型一 充分、必要条件的判定】
必备技巧 充分、必要条件的判定
(1)定义法：
①若p⇒q，则称p是q的充分条件，q是p的必要条件．
②若p⇔q，则p是q的充要条件．
③若p⇒q，且qp，则称p是q的充分不必要条件．
④若pq，且q⇒p，则称p是q的必要不充分条件．
⑤若pq，且qp，则称p是q的既不充分也不必要条件．
(2)集合法.
例1 （2022•凌源市模拟）设集合M＝{x|x＞2}，P＝{x|x＜6}，那么“x∈M或x∈P”是“x∈M∩P”的（ ）
A．充分不必要条件 B．充要条件
C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件
例2 （2022届山东省烟台市高考诊断性测试）设，则“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【题型精练】
1. （2022·贵州南明贵阳一中高一期中）设集合，，则“”是“”的（ )
A．充分条件 B．必要条件
C．没有充分、必要性 D．既是充分又是必要条件
2．（2022·哈尔滨市第一中学校）已知，，则是的（ )
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
3. （2022·山东济南高一期中）设，则“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【题型二 充分、必要条件的探索】
必备技巧 充分、必要条件的探索
(1)先寻找必要条件，即将探求充要条件的对象视为结论，寻找使之成立的条件；再证明此条件是该对象的充分条件，即从充分性和必要性两方面说明．
(2)将原命题进行等价变形或转换，直至获得其成立的充要条件，探求的过程同时也是证明的过程，因此探求过程每一步都是等价的，所以不需要将充分性和必要性分开来证．
例3 （多选）（2022·浙江高一期末）“2x2-3x-2<0”的一个充分不必要条件可以是（ ）
A． B．0<x<1 C．-12<x<12 D．x<2
例4 （2022·江苏南通市·海安高级中学高一期中）（多选）一元二次方程有正数根的充分不必要条件是（ ）
A． B． C． D．
例5 （2022·河北高一月考）设全集U，在下列条件中，是B⊆A的充要条件的有（ ）
①A∪B＝A； ②∁UA∩B＝∅③∁UA⊆∁UB；④A∪∁UB＝U
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【题型精练】
1．（2022·上海高一月考）下列“若，则”形式的命题中，是的必要条件的是（ ）
A．若，则 B．若，则
C．若，则 D．若，则
2. （2022·江西高一期末）（多选）下列条件中是“”的充分条件的是（ ）
A． B．
C． D．且
3. （2022·北京人大附中月考）若集合，下列各式是“”的充分不必要条件的是（ )
A． B． C． D．
【题型三 由充分、必要条件求参数】
方法技巧 由充分、必要条件求参数
根据充分、必要条件求参数的取值范围时，将问题转化为相应的两个集合之间的包含关系，然后建立关于参数的不等式(组)进行求解．
例6 （2022·河南焦作市高一期中）在①A∪B＝B；②“x∈A“是“x∈B”的充分不必要条件；③A∩B＝∅这三个条件中任选一个，补充到本题第（Ⅱ）问的横线处，求解下列问题．
问题：已知集合A＝{x|a﹣1≤x≤a+1}，B＝{x|﹣1≤x≤3}．
（Ⅰ）当a＝2时，求A∪B；
（Ⅱ）若_______，求实数a的取值范围．
例7 （2022·浙江高一月考）已知集合A＝{x|a+1≤x≤2a+3}，B＝{x|x2﹣3x﹣4≤0}．若x∈A是x∈B的充分条件，则实数a的取值范围是_______
【题型精练】
1．（2022·全国高一课时练习）已知p:-2≤x≤10，q:1-m≤x≤1+m(m>0)，且是q的必要不充分条件，则实数m的取值范围是____________．
2. （2022·寿县第一中学高一开学考试）已知全集为，集合，.
（1）求；
（2）若，且“”是“”的必要不充分条件，求的取值范围.
3. （2022·浙江温州市高一期中）已知p：实数x满足a<x<4a (其中a>0)q：实数x满足2<x<5.
（1）若，且p与q都为真命题，求实数x的取值范围；
（2）若p是q的必要不充分条件，求实数a的取值范围.
【题型四 充要条件的证明】
必备技巧 充要条件的证明
证明充要条件时要从充分性和必要性两个方面分别证明，首先分清哪个是条件，哪个是结论，然后确定推出方向，即充分性需要证明“条件”⇒“结论”，必要性需要证明“结论”⇒“条件”．
例8 （2022·四川宜宾市高一期中）．已知，求证：的充要条件是．
例9 求证：关于x的方程有两个负实根的充要条件是．
【题型精练】
1．（2022·浙江高一月考）设a,b,c∈R证明:a2+b2+c2=ab+ac+bc的充要条件是a=b=c.
2. （2022 •万州区校级月考）△ABC中，边BC内上有一点D，证明：AD是∠A的角平分线的充要条件是ABAC=BDDC．
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