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课时冲关练(二)
向量、不等式、线性规划
A组(30分钟 76分)
一、选择题(每小题5分,共60分)
1.(2014·杭州模拟)已知A,B,C三点在同一条直线l上,O为直线外一点,若p+q+r=0,p,q,r∈R,则p+q+r= ( )
A.-1 B.0 C.1 D.3
【解析】选B.因为A,B,C三点在同一条直线上,
所以存在实数λ使=λ,
所以-=λ(-),
即(λ-1)+-λ=0,
因为p+q+r=0,
所以p=λ-1,q=1,r=-λ,所以p+q+r=0.
2.设向量a=(4,x),b=(2,-1),且a⊥b,则x的值是 ( )
A.8 B.-8 C.2 D.-2
【解析】选A.因为a⊥b,所以a·b=4×2-x=0,解得x=8.
3.设a,b为实数,则“0<ab<1”是“b<”的 ( )
A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件
C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件
【解析】选D.0<ab<1可分为两种情况:
当a>0,b>0时,b<;当a<0,b<0时,b>,故不充分;反之,当b<0<,可有ab<0,故不必要,所以应为既不充分也不必要条件.
4.(2014·湖州模拟)若a,b∈R,且ab>0,则下列不等式恒成立的是 ( )
A.a2+b2>2ab B.a+b≥2
C.+> D.+≥2
【解析】选D.对于A:当a=b=1时满足ab>0,但a2+b2=2ab,所以A错;对于B,C:当a=b=-1时满足ab>0,但a+b<0,+<0,而2>0,>0,显然B,C不对;对于D:当ab>0时,由基本不等式可得+≥2=2.
5.已知不等式ax2+bx+c>0的解集为{x|2<x<4},则不等式cx2+bx+a<0的解集为
( )
A.
B.
C.
D.
【解析】选D.由已知a<0,
把2和4看作方程ax2+bx+c=0的两个根,则所以b=-6a,c=8a,
即cx2+bx+a<08ax2-6ax+a<0.
因为a<0,所以8x2-6x+1>0,
解得:x>或x<.
6.(2014·温州模拟)已知实数x,y满足不等式组则2x-y的取值范围是 ( )
A.[-1,3] B.[-3,-1]
C.[-1,6] D.[-6,1]
【解析】选C.由线性约束条件作出可行域如图.
设z=2x-y,则y=2x-z.利用平移法可知,在点(3,0)处z取最大值6,在点(0,1)处取得最小值-1.故选C.
7.已知向量a,b,其中|a|=,|b|=2,且(a-b)⊥a,则向量a和b的夹角是
( )
A. B. C. D.π
【解析】选A.由题意知
(a-b)·a=a2-a·b=2-a·b=0,
所以a·b=2.
设a与b的夹角为θ,则cosθ==,θ=.
8.已知向量a=(2,1),a·b=10,=5,则= ( )
A. B. C.5 D.25
【解析】选C.因为a=(2,1),a·b=10,|a+b|=5,
所以(a+b)2=50=a2+2a·b+b2,解得可知|b|=5.
9.下列不等式一定成立的是 ( )
A.lg（x2+）>lgx(x>0)
B.sinx+≥2(x≠kπ,k∈Z)
C.x2+1≥2|x|(x∈R)
D.>1(x∈R)
【解题提示】应用基本不等式:x,y为正实数,≥(当且仅当x=y时取等号)逐个分析,注意基本不等式的应用条件及取等号的条件.
【解析】选C.当x>0时,x2+≥2·x·=x,
所以lg（x2+）≥lgx(x>0),故选项A不正确;
运用基本不等式时需保证一正、二定、三相等,
而当x≠kπ,k∈Z时,sinx的正、负不定,故选项B不正确;
由基本不等式可知,选项C正确;
当x=0时,有=1,故选项D不正确.
10.(2014·合肥模拟)若不等式组表示的平面区域的面积为3,则实数a的值是 ( )
A.1 B.2 C. D.3
【解析】选B.作出可行域,如图中阴影部分所示,区域面积S=×（+2）×2=3,解得a=2.
11.小王从甲地到乙地往返的时速分别为a和b(a<b),其全程的平均时速为v,则
( )
A.a<v< B.v=
C.<v< D.v=
【解析】选A.由小王从甲地到乙地往返的时速分别为a和b,则全程的平均时速为v==,
又因为a<b,所以<<=,
所以a<v<,A成立.
12.已知A,B是单位圆上的动点,且|AB|=,单位圆的圆心为O,则·=
( )
A.- B. C.- D.
【解析】选C.由题意知,单位圆的弦AB所对的圆心角∠AOB=120°,
故·=·(-)=·-
=1×1×cos120°-1=-.故选C.
二、填空题(每小题4分,共16分)
13.已知向量a=(1,2),b=(1,0),c=(3,4).若λ为实数,(a+λb)∥c,则λ的值为 .
【解析】a+λb=(1,2)+λ(1,0)=(1+λ,2),
因为(a+λb)∥c,
所以4(1+λ)-3×2=0,解得λ=.
答案:
14.(2014·宁波模拟)在△ABC中,∠C=90°,点M满足=3,则sin∠BAM的最大值是 .
【解析】以CB,CA为x轴、y轴建立坐标系,如图,
设B(4a,0),A(0,b),
因为=3,所以M(a,0),
所以·=(a,-b)·(4a,-b)=4a2+b2,
又因为||=,||=,
所以cos∠BAM=
=
≥=,
所以cos∠BAM的最小值是,
因为sin2∠BAM+cos2∠BAM=1,
sin∠BAM>0,
所以sin∠BAM的最大值为.
答案:
15.(2014·台州模拟)设k∈R,若1≤x≤2时恒有x3-3x2+2≤(1-k)x+1≤0,则k的取值集合是 .
【解析】因为1≤x≤2时,恒有(1-k)x+1≤0,
所以
所以k≥2,x3-3x2+2≤(1-k)x+1,
则1-k≥x2-3x+,设f(x)=x2-3x+,
f'(x)=2x-3-,
设f'(x)=0在1≤x≤2时的解为a,
所以函数f(x)在(1,a)上单调递减,在(a,2)上单调递增,
因为f(1)=-1,f(2)=-,
所以f(x)max=f(1)=-1.
所以1-k≥-1,所以k≤2.
所以k的取值集合是{2}.
答案:{2}
16.(2014·潍坊模拟)已知a>0,b>0,且a+2b=1,则+的最小值为 .
【解析】+=+=
3++≥3+2=3+2.
即+的最小值为3+2.
答案:3+2
B组(30分钟 76分)
一、选择题(每小题5分,共60分)
1.(2014·浏阳模拟)设a,b∈R,若a-|b|>0,则下列不等式中正确的是 ( )
A.b-a>0 B.a3+b3<0
C.b+a>0 D.a2-b2<0
【解题提示】可以根据a-|b|>0去掉绝对值号得到a与b的大小关系,从而作出判断,亦可以在a,b∈R的前提下取满足a-|b|>0的特殊实数a,b验证.
【解析】选C.方法一:由a-|b|>0,得a>|b|,
所以-a<b<a,所以a+b>0且a-b>0,
所以b-a<0,A错.
a3+b3=(a+b)(a2-ab+b2)
=(a+b)>0,所以B错.
而a2-b2=(a-b)(a+b)>0,所以D错.
方法二(特殊值法):
因为a,b∈R且a-|b|>0,
所以取a=2,b=-1.
则b-a=-1-2=-3<0,所以A错.
a3+b3=8-1=7>0,所以B错.
a2-b2=22-(-1)2=3>0,所以D错.
2.已知向量a,b,满足|a|=3,|b|=2,且a⊥(a+b),则a与b的夹角为 ( )
A. B. C. D.
【解析】选D.a⊥(a+b)a·(a+b)=a2+a·b=|a|2+|a||b|cos<a,b>=0,
故cos<a,b>=-=-,故所求夹角为.
3.直线ax+by+c=0的某一侧的点P(m,n),满足am+bn+c<0,则当a>0,b<0时,该点位于该直线的 ( )
A.右上方 B.右下方
C.左下方 D.左上方
【解析】选D.因为am+bn+c<0,b<0,
所以n>-m-.
所以点P所在的平面区域满足不等式y>-x-,a>0,b<0.
所以->0.故点P在该直线的上侧,综上知,点P在该直线的左上方.
4.(2014·绍兴模拟)已知约束条件对应的平面区域D如图所示,其中l1,l2,l3对应的直线方程分别为:y=k1x+b1,y=k2x+b2,y=k3x+b3,若目标函数z=-kx+y仅在点A(m,n)处取到最大值,则有 ( )
A.k1<k<k2 B.k1<k<k3
C.k1≤k≤k3 D.k<k1或k>k3
【解析】选B.因为z=-kx+y仅在点A(m,n)处取得最大值,则由y=kx+z,可知k1<k<k3.
5.(2014·黄冈模拟)在△ABC中,(-3)⊥,则角A的最大值为 ( )
A. B. C. D.
【解析】选A.由(-3)⊥,
可得(-3)·=0.
化简可得||cosB=3||cos(π-C).
cosA==+≥,0<A<π.
所以0<A≤.
6.已知正项等比数列{an}满足:a3=a2+2a1,若存在两项am,an使得=4a1,则+的最小值为 ( )
A. B. C. D.不存在
【解析】选A.设等比数列{an}的公比为q(q>0),
因为a3=a2+2a1,
所以a1q2=a1q+2a1,解之得q=2.
又=4a1,
所以qm+n-2=16,
所以2m+n-2=16.
因此m+n=6.
则（+）(m+n)=5++≥9.
当且仅当n=2m(即n=4,m=2)时取等号.
所以（+）(m+n)的最小值为9,
从而+的最小值为.
7.(2014·天津高考)已知菱形ABCD的边长为2,∠BAD=120°,点E,F分别在边BC,DC上,BE=λBC,DF=μDC.若·=1,·=-,则λ+μ= ( )
A. B. C. D.
【解析】选C.因为∠BAD=120°,所以·=··cos120°=-2.
因为BE=λBC,所以=+λ,=μ+.
因为·=1,
所以·=1,
即2λ+2μ-λμ= ①
同理可得λμ-λ-μ=- ②,①+②得λ+μ=.
8.设x,y∈R,向量a=(x,1),b=(1,y),c=(2,-4),且a⊥c,b∥c,则|a+b|= ( )
A. B. C.2 D.10
【解析】选B.因为a=(x,1),b=(1,y),c=(2,-4),
由a⊥c,得a·c=2x-4=0,
所以x=2.
由b∥c,得1×(-4)-2y=0,
所以y=-2.
因此a+b=(2,1)+(1,-2)=(3,-1),
则|a+b|=.
9.设x,y满足约束条件
若目标函数z=ax+by(a>0,b>0)的最大值为12,则+的最小值为 ( )
A. B. C. D.4
【解题提示】先由已知结合线性规划知识可以求得a,b的关系式,再由基本不等式求解.
【解析】选A.不等式组表示的平面区域如图阴影部分所示.
当直线ax+by=z(a>0,b>0)过直线x-y+2=0与直线3x-y-6=0的交点(4,6)时,目标函数z=ax+by(a>0,b>0)取得最大值12,即4a+6b=12,即2a+3b=6.
所以+=+·=++≥+2=.
【方法技巧】线性规划问题的求解关注
线性规划的实质是把代数问题几何化,即数形结合的思想.需要关注的是:
(1)准确无误地作出可行域.
(2)画目标函数所对应的直线时,要注意与约束条件中的直线的斜率进行比较,避免出错.
(3)一般情况下,目标函数的最大或最小值会在可行域的端点或边界上取得.
10.(2014·温州模拟)在△ABC中,若·>||2,则有 ( )
A.||>|| B.||>||
C.||>|| D.||>||
【解析】选D.因为·>||2,
所以||·||·cosA>||2,
所以||·cosA>||.
因为||cosA是在上的投影,如图.
所以||cosA=||>||,
所以必须C为钝角时才能满足||cosA>||.
根据大角对大边得||最长.故选D.
11.(2014·台州模拟)在△ABC中,=(cos18°,cos72°),=
(2cos63°,2cos27°),则△ABC的面积为( )
A. B. C. D.
【解析】选B.·=2cos 18°cos 63°+2cos 72°cos 27°
=2sin 27°cos 18°+2cos 27°sin 18°
=2sin(27°+18°)
=2sin45°=.
而||=1,||=2,
所以cosB==,
所以sinB=,
所以S△ABC=||||sinB=.
12.定义max{a,b}=设实数x,y满足约束条件
且z=max{4x+y,3x-y},则z的取值范围为 ( )
A.[-6,0] B.[-7,10]
C.[-6,8] D.[-7,8]
【解析】选B.因为(4x+y)-(3x-y)=x+2y,
所以z=直线x+2y=0将约束条件所确定的平面区域分为两部分.
如图,令z1=4x+y,点(x,y)在四边形ABCD上及其内部,求得-7≤z1≤10;
令z2=3x-y,点(x,y)在四边形ABEF上及其内部(除AB边),求得-7≤z2≤8.
综上可知,z的取值范围为[-7,10].故选B.
二、填空题(每小题4分,共16分)
13.已知函数f(x)=若f(2-a2)>f(a),则实数a的取值范围是 .
【解析】f(x)=
由f(x)的图象可知f(x)在(-∞,+∞)上是单调增函数,由f(2-a2)>f(a)得2-a2>a,即a2+a-2<0,解得-2<a<1.
答案:-2<a<1
14.(2014·宁波模拟)已知点O是△ABC的外接圆圆心,且AB=3,AC=4.若存在非零实数x,y,使得=x+y,且x+2y=1,则cos∠BAC = .
【解析】因为·=||·||·cos∠BAO,
又因为||cos∠BAO是在上的投影且O为外接圆的圆心,
所以||cos∠BAO=||.
所以·=||·=.
同理·=|AC|·=8.
又因为=x+y.
所以·=x||2+y·
=9x+y·=,
·=x·+y||2=x·+16y=8.
设·=a,则有
解得a=8,即·=8.
所以cos∠BAC===.
答案:
15.(2014·衢州模拟)已知x,y满足则的取值范围是 .
【解析】由题意作出可行性区域如图所示,
设z=,则z=+1,
设k=,则z=k+1,
k的几何意义是可行域内任一点与点(4,2)连线的斜率k的取值范围.
由图象可得∈,所以z=∈.
答案:
16.(2014·绍兴模拟)若不等式m≤+在x∈(0,1)时恒成立,则实数m的最大值为 .
【解析】设f(x)=+,x∈(0,1),
f'(x)=-+=,
令f'(x)=0,得x=-1或x=.
所以f(x)在上为减函数,在上为增函数,
所以f(x)min=f=.
若m≤+在x∈(0,1)时恒成立,
则m≤,故m的最大值为.
答案:
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