资源描述
• 1、二次函数的定义
• 2、二次函数的图像及性质
• 3、求解析式的三种方法
• 4、a，b，c及相关符号的确定
• 5、抛物线的平移
• 6、二次函数与一元二次方程的关系
• 7、二次函数的应用题
• 8、二次函数的综合运用
1、二次函数的定义
定义： y=ax²＋ bx ＋ c （ a 、 b 、 c 是常数， a ≠ 0 ）
定义要点：①a ≠ 0 ②最高次数为2 ③代数式一定是整式
练习：1、y=-x²，y=2x²-2/x，y=100-5 x²，y=3 x²-2x³+5,其中是二次函数的有____个。
2.当m_______时,函数y=(m+1)χ - 2χ+1 是二次函数？
2、二次函数的图像及性质
抛物线
顶点坐标
对称轴
位置
开口方向
增减性
最值
y=ax2+bx+c(a>0)
y=ax2+bx+c(a<0)
由a,b和c的符号确定
由a,b和c的符号确定
a>0,开口向上
a<0,开口向下
在对称轴的左侧,y随着x的增大而减小.
在对称轴的右侧, y随着x的增大而增大.
在对称轴的左侧,y随着x的增大而增大. 在对称轴的右侧, y随着x的增大而减小.
x
y
0
x
y
0
3、求抛物线解析式的三种方法
1、一般式：已知抛物线上的三点，通常设解析式为________________
y=ax2+bx+c(a≠0)
2,顶点式：已知抛物线顶点坐标（h, k），通常设抛物线解析式为_______________求出表达式后化为一般形式.
y=a(x-h)2+k(a≠0)
3,交点式:已知抛物线与x 轴的两个交点(x1,0)、 (x2,0),通常设解析式为_____________求出表达式后化为一般形式.y=a(x-x1)(x-x2) (a≠0)
练习：根据下列条件，求二次函数的解析式。
(1)、图象经过(0，0)， (1，-2) ， (2，3) 三点；
(2)、图象的顶点(2，3)， 且经过点(3，1) ；
(3)、图象经过(0，0)， (12，0) ，且最高点的纵坐标是3 。
例1已知二次函数y=ax2+bx+c的最大值是2，图象顶点在直线y=x+1上，并且图象经过点（3，-6）。求a、b、c。
4、a，b，c符号的确定
抛物线y=ax2+bx+c的符号问题：
（1）a的符号：由抛物线的开口方向确定
（2）C的符号：由抛物线与y轴的交点位置确定.
（3）b的符号：由对称轴的位置确定
（4）b2-4ac的符号：由抛物线与x轴的交点个数确定
（5）a+b+c的符号：因为x=1时,y=a+b+c,所以a+b+c的符号由x=1时，对应的y值决定。
当x=1时，y>0,则a+b+c>0
当x=1时，y<0，则a+b+c<0
当x=1时，y=0，则a+b+c=0
(6)a-b+c的符号：因为x=-1时,y=a-b+c,所以a-b+c的符号由x=-1时，对应的y值决定。
当x=-1，y>0,则a-b+c>0
当x=-1，y<0,则a-b+c<0
当x=-1，y=0,则a-b+c=0
练习
１、二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象如图所示，则a、b、c的符号为（ ）
A、a<0,b>0,c>0 B、a<0,b>0,c<0
C、a<0,b<0,c>0 D、a<0,b<0,c<0
2、二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象如图所示，则a、b、c的符号为（ ）
A、a>0,b>0,c=0 B、a<0,b>0,c=0
C、a<0,b<0,c<0 D、a>0,b<0,c=0
3、二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象如图所示，则a、b、c 、 △的符号为（ ）
A、a>0,b=0,c>0,△>0 B、a<0,b>0,c<0,△=0
C、a>0,b=0,c<0,△>0 D、a<0,b=0,c<0,△<0
熟练掌握a，b， c，△与抛物线图象的关系(上正、下负）(左同、右异)
4.抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)的图象经过原点和 二、三、四象限，
判断a、b、c的符号情况：a 0,b 0,c 0.
5.抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)的图象经过原点,且它的顶点在第三象限，
则a、b、c满足 的条件是：a 0,b 0,c 0.
6.二次函数y=ax2+bx+c中，如果a>0，b<0，c<0，那么这个二次函数
图象的顶点必在第 象限
先根据题目的要求画出函数的草图，再根据图象以及性质确定结果（数形结合的思想）
7.已知二次函数的图像如图所示，下列结论。⑴a+b+c=0 ⑵a-b+c﹥0 ⑶abc ﹥0 ⑷b=2a
其中正确的结论的个数是（ ）
A 1个 B 2个 C 3个 D 4个
要点：寻求思路时，要着重观察抛物线的开口方向，对称轴，顶点的位置，抛物线与x轴、y轴的交点的位置，注意运用数形结合的思想。
5、抛物线的平移
左加右减，上加下减
练习
⑴二次函数y=2x2的图象向 平移 个单位可得到y=2x2-3的图象；
二次函数y=2x2的图象向 平移 个单位可得到y=2(x-3)2的图象。
⑵二次函数y=2x2的图象先向 平移 个单位，再向 平移 个单位可得到函数y=2(x+1)2+2的图象。
引申：y=2(x+3)2-4 y=2(x+1)2+2
（3）由二次函数y=x2的图象经过如何平移可以得到函数y=x2-5x+6的图象.
y=x2-5x+6
y=x2
6、二次函数与一元二次方程的关系
一元二次方程根的情况与b²-4ac的关系
我们知道:代数式b2-4ac对于方程的根起着关键的作用.
二次函数y=ax²＋bx＋c的图象和x轴交点的横坐标，便是对应的一元二次方程ax²＋bx＋c=0的解。
二次函数y=ax2+bx+c的图象和x轴交点有三种情况:
(1)有两个交点b2 – 4ac > 0
(2)有一个交点b2 – 4ac= 0
(3)没有交点 b2 – 4ac< 0
若抛物线y=ax2+bx+c与x轴有交点,则b2 – 4ac ≥0
例(1)如果关于x的一元二次方程 x2-2x+m=0有两个相等的实数根,则m=＿＿＿＿,此时抛物线 y=x2-2x+m与x轴有＿＿＿＿个交点.
(2)已知抛物线 y=x2 – 8x +c的顶点在 x轴上,则c=＿＿＿＿.
(3)一元二次方程 3 x2+x-10=0的两个根是x1= -2 ,x2=5/3, 那么二次函数y= 3 x2+x-10与x轴的交点坐标是＿＿＿＿.
判别式：
b2-4ac
二次函数
y=ax2+bx+c
（a≠0）
图象
一元二次方程ax2+bx+c=0
（a≠0）的根
b2-4ac＞0
与x轴有两个不
同的交点
（x1，0）
（x2，0）
x
y
O
有两个不同的解x=x1，x=x2
b2-4ac=0
与x轴有唯一个
交点
x
y
O
有两个相等的解
x1=x2=
b2-4ac＜0
与x轴没有
交点
x
y
O
没有实数根
7二次函数的综合运用
1.已知抛物线y=ax2+bx+c与抛物线y=-x2-3x+7的形状相同,顶点在直线x=1上,且顶点到x轴的距离为5,请写出满足此条件的抛物线的解析式.
2.若a+b+c=0,a¹0,把抛物线y=ax2+bx+c向下平移 4个单位,再向左平移5个单位所到的新抛物线的顶点是(-2,0),求原抛物线的解析式.
练习题
1．直线y＝3 x－1与y＝x－k 的交点在第四象限，则k 的范围是………………（ ）
（A）k＜ （B）＜k＜1 （C）k＞1 （D）k＞1或k＜1
2．二次函数y＝ax2＋bx＋c 的图象如图，则下列各式中成立的个数是…………（ ）
（1）abc＜0； （2）a＋b＋c＜0； （3）a＋c＞b； （4）a＜－．
（A）1 （B）2 （C）3 （D）4
3．若一元二次方程x2－2 x－m＝0无实数根，则一次函数y＝（m＋1）x＋m－1的图象不经过…………………………………………………………………………………（ ）
（A）第一象限 （B）第二象限 （C）第三象限 （D）第四象限
4．如图，已知A，B 是反比例函数y＝的图象上两点，设矩形APOQ 与矩形MONB 的面积为S1，S2，则……………………………（ ）
（A）S1＝S2 （B）S1＞S2 （C）S1＜S2 （D）上述（A）、（B）、（C）都可能
5．若点A（1，y1），B（2，y2），C（p，y3）在反比例函数y＝－的图象上，则（ ）
（A）y1＝y2＝y3 （B）y1＜y2＜y3 （C）y1＞y2＞y3 （D）y1＞y3＞y2
6．直线y＝ax＋c 与抛物线y＝ax2＋bx＋c 在同一坐标系内大致的图象是……（ ）
（A） （B） （C） （D）
7．已知函数y＝x2－1840 x＋1997与x 轴的交点是（m，0）（n，0），则（m2－1841 m＋1997）（n2－1841 n＋1997）的值是……………………………………………（ ）
（A）1997 （B）1840 （C）1984 （D）1897
8．某乡的粮食总产量为a（a 为常数）吨，设这个乡平均每人占有粮食为y（吨），人口数为x，则y 与x 之间的函数关系为……………………………………………（ ）
（A） （B） （C） （D）
（二）填空题（每小题4分，共32分）
9．函数y＝＋的自变量x 的取值范围是____________．
10．若点P（a－b，a）位于第二象限，那么点Q（a＋3，ab）位于第_______象限．
11．正比例函数y＝k（k＋1）的图象过第________象限．
12．已知函数y＝x2－（2m＋4）x＋m2－10与x 轴的两个交点间的距离为2，则m＝___________．
13．反比例函数y＝的图象过点P（m，n），其中m，n 是一元二次方程x2＋kx＋4＝0的两个根，那么P 点坐标是_____________．
14．若一次函数y＝kx＋b 的自变量x 的取值范围是－2≤x≤6，相应函数值y 的范围是－11≤y≤9，则函数解析式是___________．
15．公民的月收入超过800元时，超过部分须依法缴纳个人收入调节税，当超过部分不足500元时，税率（即所纳税款占超过部分的百分数）相同．某人本月收入1260元，纳税23元，由此可得所纳税款y（元）与此人月收入x（元）800＜x＜1300间的函数关系为____________．
17．（6分）已知y＝y1＋y2，y1 与x 成正比例，y2 与x 成反比例，并且x＝1时y＝4，x＝2时y＝5，求当x＝4时y 的值．
18．（6分）若函数y＝kx2＋2（k＋1）x＋k－1与x 轴只有一个交点，求k 的值．
19．（8分）已知正比例函数y＝4 x，反比例函数y＝．（1）当k 为何值时，这两个函数的图象有两个交点？k 为何值时，这两个函数的图象没有交点？（2）这两个函数的图象能否只有一个交点？若有，求出这个交点坐标；若没有，请说明理由．
20．（8分）如图是某市一处十字路口立交桥的横断面在平面直角坐标系中的一个示意图，横断面的地平线为x 轴，横断面的对称轴为y 轴，桥拱的D′GD 部分为一段抛物线，顶点G 的高度为8米，AD 和AD′是两侧高为5.5米的立柱，OA 和OA′为两个方向的汽车通行区，宽都为15米，线段CD 和CD′为两段对称的上桥斜坡，其坡度为1∶4．（1）求桥拱DGD′所在抛物线的解析式及CC′的长．（2）BE 和B′E′为支撑斜坡的立柱，其高都为4米，相应的AB 和A′B′为两个方向的行人及非机动车通行区，试求AB 和A′B′的宽．（3）按规定，汽车通过桥下时，载货最高处和桥拱之间的距离不可小于0.4米，今有一大型运货汽车，装载上大型设备后，其宽为4米，车载大型设备的顶部与地面的距离为7米，它能否从OA（OA′）安全通过？请说明理由．
21．（8分）已知二次函数y＝ax2＋bx＋c 的图象抛物线G 经过（－5，0），（0，），（1，6）三点，直线l 的解析式为y＝2 x－3．（1）求抛物线G 的函数解析式；（2）求证抛物线G 与直线l 无公共点；（3）若与l 平行的直线y＝2 x＋m 与抛物线G 只有一个公共点P，求P 点的坐标．
【分析】（1）略；（2）要证抛物线G 与直线l 无公共点，就是要证G 与l 的解析式组成的方程无实数解；（3）直线y＝2 x＋m 与抛物线G 只有一个公共点，就是由它们的解析式组成的二元二次方程组有一个解，求出这组解，就得P 点的坐标．
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