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面板数据计量分析 白仲林 第六讲第六讲 面板单位根检验面板单位根检验 众所周知，单位根检验是非经典计量经济学的核心内容，从计量经济学和经济学分析，其主要原因有如下两个方面。（1）非平稳数据的建模方法不同于平稳数据的建模方法，单位根检验为人们在建模方法的选择提供了依据；（2）正确解释宏观经济变量波动特征，为经济政策的选择提供依据。如果大多数宏观经济变量是单位根过程，那么这些宏观经济变量的波动就具有巨大的永久性因素（如技术冲击）。相反，如果大多数宏观经济变量是结构突变的趋势平稳过程（或趋势平稳过程），按照凯恩斯主义的经济周期理论，需求冲击是经济周期波动的主导原因。因此，时间序列的单位根检验主要的焦点在于识别宏观经济变量是单位根过程还是结构突变的趋势平稳过程。Nelson&Plosser(1982)使用 Dickey-Fuller 的单位根检验(DF 检验)研究了美国 14 个主要宏观经济变量的平稳性，这 14 个时间序列始于 1869 到 1909 年间，终止于 1970 年。Nelson&Plosser(1982)利用DF检验发现除失业率序列外其余13个序列均不能拒绝存在单位根的零假设。DeJong(1989)发现即使采用 ADF 检验和 PP 检验也会得出同样的结论。然而，Perron(1989)用外生结构突变单位根检验进行推断，研究发现除了消费价格指数、利率和周转率外，其余 10 个变量均拒绝了存在单位根的零假设。近年来，有关基于 Nelson-Plosser数据（不包括失业率的 13 个变量）检验是否存在单位根的研究结论很多，如下表所示。表1 五种结构突变的单位根检验的检验结果 Perron(1989)1 ZA(1992)2 Sen(2003)3 LP(1997)4 LS(2003)5 检验假设 H0 有突变点的单位根过程 单位根过程单位根过程单位根过程有突变点的单位根过程H1 趋势突变平稳过程 趋势突变平稳过程 趋势突变平稳过程 趋势突变平稳过程 趋势突变平稳过程 拒绝H0的序列 11 7 1066模型与结果 T TB 模型 H0 TB 模型 H0 TB 模型H0 TB1 TB2 模型H0 TB1 TB2 模型H0 实际 GNP 62 1929（A）拒绝a 1929（D）拒绝a1929（G）拒绝b19311945（H）拒绝d 1920 1941（I）接受 名义 GNP 62 1929（A）拒绝a 1929（D）拒绝a1929（G）拒绝a19201929（H）拒绝a 1920 1948（I）接受 实际人均 GNP 62 1929（A）拒绝b 1929（D）拒绝d1938（G）拒绝b19311945（H）拒绝d 1920 1941（I）接受 工业总产值 111 1929（A）拒绝a 1929（D）拒绝a1929（G）拒绝a19181929（H）拒绝a 1920 1930（I）拒绝c消费价格 111 1929（A）接受 1873（D）接受 1893（G）接受 19151945（H）接受 1916 1941（I）接受 周转率 102 1929（A）接受 1949（D）接受 1949（G）接受 18971929（H）接受 1893 1947（I）接受 利率 71 1929（A）接受 1932（D）接受 1963（G）接受 19321965（H）接受 1949 1958（I）接受 就业 81 1929（A）拒绝a 1929（D）拒绝b1929（G）拒绝c19291956（H）接受 1920 1945（I）接受 GNP 缩减指数 82 1929（A）拒绝b 1929（D）接受 1929（G）接受 19151940（H）拒绝d 1919 1922（I）接受 名义工资 71 1929（A）拒绝a 1929（D）拒绝b1929（G）拒绝c19151940（H）接受 1921 1942（I）接受 货币存量 82 1929（A）拒绝b 1929（D）接受 1930（G）拒绝d19301958（H）接受 1927 1931（I）拒绝c普通股价指数 100 1929（B）拒绝b 1936（E）拒绝a1939（G）拒绝b19261939（H）接受 1925 1941（J）接受 实际工资 71 1929（B）拒绝c 1940（E）接受 1940（G）拒绝a19221940（H）拒绝d 1922 1939（J）拒绝c战后季度 GNP 159 1973:1（C）拒绝c 1972:11（F）接受 1964:3*（G）拒绝d 注：1 数据见Perron(1989)表7，p.1383.；2 数据见ZA(1992)表6，p.259.；3 数据见Sen(2003)表10，p.43.；4 数据见LP(1997)表3，p.216.；5 数据见LS(2003)表5。a 表示1%的显著性水平；b 表示2.5%的显著性水平；c 表示5%的显著性水平；d 表示10%的显著性水平.*在Sen(2003)一文中，战后季度实际GNP的数据自1947:I到2000:II.由表1可见，前四种结构突变的单位根检验均能一致地拒绝实际GNP、名义GNP、实际人均GNP和工业总产值4个经济变量是单位根过程的零假设；也能一致地接受消费价格指数、面板数据计量分析 白仲林 周转率和利率是单位根过程的零假设。除这此变量之外，其余7个经济变量的平稳性依然是一个“谜”。究其原因就在于这些时间序列单位根检验的功效不尽人意。原因就在于这些时间序列单位根检验的功效不尽人意。为此，计量理论界基于面板数据，提出了许多的面板数据单位根检验，以克服时间序列单位根检验功效偏低的缺陷。1 面板单位根检验面板单位根检验 最早使用面板数据进行单位根检验的是 Bhargava 等（1982）。他们利用修正的 DW 统计量提出了一种可以检验固定效应动态模型的残差是否为随机游走的方法。Abuaf 和 Jorion（1990）基于 SUR 回归(Seemingly Unrelated Regression)模型，采用 GLS 估计方法提出了面板单位根检验方法SUR-DF 检验。随后，Quah（1990）、Levin 和 Lin（1992）、Im、Pesaran 和 Shin（1995）、Flres 等（1995）、O Connell（1998）、Taylor 和 Sarno（1998）、Maddala 和吴（1999）、Groen（2000）、Chang（2000）和 Choi（2001）、Bai 和 Ng（2001）、Moon 和 Perron（2002）、Smith 等（2004）等等，最近，Jihai Yu 和 Lung-fei Lee(2008)引入个体间的空间结构研究面板单位根检验。通过蒙特卡洛模拟试验发现，与单变量时间序列单位根检验相比较，各种面板数据单位根检验都不同程度地提高了单位根检验的检验功效。各种面板数据单位根检验都不同程度地提高了单位根检验的检验功效。下面将从面板数据检验假设、个体的相关性结构和检验统计量构造的角度，梳理面板单位根检验理论研究的相关文献。面板单位根检验的主要假设 在现有的面板单位根检验文献中经常选择的检验假设分为两类，一类是预期拒绝单位根过程的单位根假设，另一类是预期拒绝平稳过程的平稳性假设。设面板单位根检验的检验式是 yit=iyi,t-1+uit 则面板单位根检验的假设有如下三种。(1)假设 A H0:i=1，i=1，2，,N H1:i=1，i=1，2，,N 假设 A，也称为 LL 假设。LL 假设的零假设是，面板数据的所有纵剖面时间序列是单位根过程；备择假设是，所有纵剖面时间序列是平稳过程。LL 假设主要用于同质面板数据的单位根检验问题，早期的面板数据单位根检验应用研究绝大多数都是有关 LL 假设的检验。面板数据计量分析 白仲林 但是，近年来，发现 LL 假设与实际经济现象存在较大的差距。(2)假设 B H0:i=1，i=1，2，,N H1:i 1，存在 i，Ni 1 假设 B，也称为 IPS 假设。与 LL 假设相同，IPS 检验的零假设也是指面板数据的所有纵剖面时间序列是单位根过程。而备择假设与 LL 假设不同，它的备择假设是，有一部分纵剖面时间序列是平稳过程。显然，无论从逻辑上，还是从实际经济现象来看，IPS 假设的备择假设都是相对合理的。目前，几乎所有的面板数据单位根检验理论及其应用研究均选择 IPS 假设进行检验。(3)假设 C H0:i=1，存在 i，Ni 1 H1:i 1，i=1，2，N 假设 C 由 Taylor 和 Sarno（1998）首次使用，Chang(2001)也提出一种检验该假设的面板单位根检验，而在其他文献中未曾发现。显然，直觉上该假设最能揭示经济规律，实际上，在检验 PPP 理论的应用研究中，接受假设 C 的零假设是人们预期的结果。同样，在研究经济增长收敛理论时，预期的结果自然是拒绝假设 C 的零假设。另外，Taylor 和 Sarno(1998)指出，“在某些条件下，IPS 检验是很有益的。可是，在通常情况下，拒绝 IPS 零假设的机会很高，并且，拒绝 IPS 零假设并不能得到面板中包含多少平稳序列。因此，IPS 检验并不能为研究者提供更多的信息。”面板单位根检验统计量的构造方法 在经典计量经济学中，常见的方法是构造具有精确(exact)或渐近(asymptotic)正态分布、F 分布和 2分布的统计量。但是，在面板单位根检验的研究中，由于数据结构既具有空间上的相关性（或称为纵剖面的相关性），又具有时间上的相关性（或称为序列相关性），因此，直接构造具有已知精确分布统计量是很困难的。在文献中，一般的方法是（1）对于在空间上独立的同质面板数据，基于 ADF 模型的 POLS 回归构造 DF 型统计量，这时，DF 型统计量具有渐近正态分布；例如，LL 检验。（2）对于在空间上独立的异质面板数据，在各时间序列的单位根检验统计量的基础上，利用这些检验统计量的均值或者最小值构造面板单位根检验的统计量，所构造的统计量一般具有渐近正态分布（在 N，T 是序列收敛的）。或者，利用这些检验统计量的 p 值构造 Fisher面板数据计量分析 白仲林 型的组合 p 值检验统计量。所构造的统计量一般具有精确的 2等分布。例如，IPS 的 t-bar 检验、LM检验和 Smith 等（2004）WS检验、Max检验和Min检验；Maddala 和 Wu（1997）和 Choi（2001）的组合 p 值检验等。（3）对于空间同期相关的面板数据，基于 SUR 模型构造 FGLS 估计的 DF 型统计量，即 SUR-DF 统计量，SUR-ADF 统计量。例如，Abuaf 等（1990）、Jorion 等（1996）和 Flres 等（1999）等等文献介绍的面板单位根检验。（4）对于空间长期相关的面板数据，普遍使用两阶段法构造检验统计量，第一步，利用时间序列的退势技术（GLS 退势、OLS 退势或者 ROLS 退势）剔除各个序列存在的确定性时间趋势，或者采用主成分分析法剔除各时间序列的共同因子；第二步，按照（1）和（3）中的方法构造基于退势面板或退因子面板的单位根检验统计量。例如，Bai（2001）、Choi（2001）和 Smith 等（2004）等所提出的面板单位根检验。概括而言，在检验空间独立面板数据的单位根时，对于大样本数据，一般采用检验统计量的渐近分布做统计推断；对于小样本数据，运用检验统计量的经验分布进行统计推断。而在进行空间相关面板数据的单位根检验时，无论样本如何均采用检验统计量的经验分布做出统计推断。面板单位根检验的主要估计方法 面板单位根检验研究中，现有文献中所使用的统计量估计方法因所研究的面板数据结构而区别，但常用的估计方法可用表 2 加以归纳。表 2 面板单位根检验的主要估计方法 估计方法 面板数据结构 检验 原创文献 POLS 独立的同质面板 LLC 检验 Levin et al.(1992)OLS 独立的异质面板 IPS 检验 Im et al.(1995)FGLS 同期相关面板 SUR-DF 检验 Abuaf et al.(1990)IV-OLS 空间相关面板 SN检验 Chang(2002)面板数据计量分析 白仲林 按照个体相关性结构分类的面板单位根检验 纵观历史研究文献，有关面板单位根检验理论研究的主要脉络如下图所示。2 同质面板的单位根检验同质面板的单位根检验（1）LL 检验 Levin 和 Lin（1992）的 LL 检验 基于单位根检验式()12(0)1 2;1 2itii,titituy zyuu i.i.d.,i,Nt,T=+=?(1)其中，()0=z、()1=z或()tz1=为检验式(1)的漂移项或时间趋势项。检验假设 A H0:i=1，i=1，2，,N H1:i=1，i=1，2，,N LL 采用合并 OLS 回归(Pooling OLS Regression)，令表示的合并 OLS 估计量，t表纵剖面时间序列同期相关的面板单位纵剖面时间序列相关的面板单位根纵剖面时间序列独立的面板单位根面板单位根检验 同质面板单位异质面板单位根检因子分解模型的面板单位根纵剖面时间序列协整的面板单位因子分解模型的面板单位根误差分解模型的面板单位根外生突变的面板单位根检验 存在结构突变的面板单位根检验 空间相关的面板单位根检验内生突变的面板单位根检验 面板数据计量分析 白仲林 示的 t 统计量，则在零假设=1 的条件下，当 T，N 序贯发散1于时（记为，.,seqNT），即，当T时,N时，和t的渐近分布见表 4。表 4 LL 检验的渐近分布 zit t 0 或 1)2,0()1(NTN)1,0(Nt i)551,0()3)1(NTN+)1,0(875.125.1NNt+(i t)1122895,0()5.7)1(NTN+)1,0()75.3(277448NNt+资料来源：Levin 和 Lin（Levin and Lin,1992）。在检验式（1）中，假设了纵剖面时间序列的系数是相同的，即i=，i=1,N，这一点招致了许多人的批评，而且检验临界值对 ADF 滞后期的选择比较敏感。鉴于此，Levin，Lin 和 Chu（2002）对 LL 检验进行了修正，允许随机误差项可以具有不同的序列相关形式，并提出了与之相应的 ADF 检验，简称为 LLC 检验。（2）LLC检验 LLC 检验的主要思路是首先分别对每个纵剖面时间序列进行 ADF 回归，其次构造两组正交的残差序列，最后利用正交残差序列的合并回归系数的 t 统计量得到修正的 t 统计量，此统计量检验面板数据是否存在单位根。LLC 检验的检验式为,1,1ipitii tiLi t LmimtitLyyyd=+，m=1，2，3 （2）其中，对于模型 m=1，2，3，mtd表示确定性变量的向量，mi是相应系数的向量。特别，1td=空集、2td=1和3td=1，t。因为滞后阶数 pi是未知的，LLC 检验的三步骤过程如下：第一步：对每个个体时间序列分别运行 ADF 回归,1,1ipitii tiLi t LmimtitLyyyd=+，m=1，2，3 （3）其中，允许滞后阶数 pi随个体变化。对于给定的 T，首先选择最大的滞后阶数 pmax，然后根据iL的 t-统计量确定是否较小的滞后阶数更好（在零假设0iL=、0i下，这些 t-统计量服从分布 N(0，1)）。1 T，N 序贯发散是指当 T时，N=N(T)。面板数据计量分析 白仲林 当滞后阶数确定后，为了得到正交残差，运行两个辅助回归：运行 ity关于,i t Ly（L=1，2，pi）和mtd的回归，得到残差ite 运行,1i ty关于,i t Ly（L=1，2，pi）和mtd的回归，得到残差,1i tv 为了控制残差的个体方差，标准化这些残差 iititee=?，,1,1ii ti tvv=?其中，i是每个 ADF 回归的标准差，i=1，2，N。第二步：估计长期标准差和短期的比 在单位根的零假设下，22,21211211iTKTyititi t LKLtLtLywyyTT=+=+（4）是式（2）的长期方差，其中，K是依赖于数据的截断滞后期，K以确保2iy是一致估计的方式得到；()()11KLwLK=+是 Bartlett 核。对于每个纵剖面 i，长期标准差与新息标准差的比由22iiiys=估计。用11NNiiSsN=估计平均标准差。第三步：计算面板检验统计量 基于 NT?个观测值，运行合并回归,1iti titev=+?其中，1TTp=?是面板中每个个体的平均观测数，1NiippN=是各个体 ADF 回归的平均滞后阶。对于假设 H0：0=的传统 t-统计量是()t=其中，2,1,11212iiNNTTi titi titpitpvev=+=+=?，()2,112iNTi titpv=+=?，()22,1121iNTiti titpevNT=+=?是it?的方差估计。计算调整的 t-统计量()2*NmTmTtNTSt =?（5）其中，*mT?和*mT?分别是 LLC 表 2 给出的调整后均值和标准差。LLC 表 2 也给出了对于每个时间序列T?的纵剖面滞后阶参数K的建议。LLC 证明调整的 t-统计量*t渐近服从 N(0，1)分布。面板数据计量分析 白仲林 这里的渐近性要求0TNT，其中，TN强调个体维数 N 是 T 的任意单调增函数。LLC 认为对于微观面板 T 比TN增长的慢。像0TNT和TNT常数的发散速度是充分的，但不是必要的。在计算上，LLC 方法要求使用纵剖面 ADF 回归设定滞后阶（pi）、在计算NS时使用核选择、检验式中必须设定外生解释变量，可以选不含外生解释变量、或者含个体常数项（固定效应）、或者使用常数项和趋势项。对于中等容量的（N 在 10 到 250 之间、T 在 25 到 250 之间）面板数据，LLC 建议使用他们的面板单位根检验。他们指出对该容量的面板数据 LLC 检验可能计算上不可行，或者不是充分有效的。但是，对于充分大的 T，他们认为各纵剖面时间序列的单位根检验是充分有效的。对于较大的 N 和较小的 T，他们推荐使用该检验过程。LLC 的蒙特卡洛实验指出，即使在小样本的情况下，正态分布很好地逼近了检验统计量的经验分布；与各截面时间序列的单位根检验比较，面板单位根检验戏剧性地改进了检验功效。LLC 检验也有局限，该检验严重依赖于纵剖面的独立性假设，存在截面相关性的面板数据不可使用。其次，所有时间序列或者都有，或者都没有单位根的假设也存在限制。3 异质面板的单位根检验异质面板的单位根检验（1）IPS 检验检验 尽管 LL/LLC 检验是应用最广泛的面板单位根检验，但是，它存在着严重的局限性，它假设各纵剖面时间序列的一阶自回归系数在零假设和备择假设下都是相同的，即 i=。于是，所有纵剖面时间序列或者都含有单位根，或者所有纵剖面时间序列都是平稳序列。显然，LL 检验的零假设是可以理解的，但是，备择假设与实际相距甚远。例如，Maddala（1999）指出当利用 LL 检验检验各国经济增长的收敛性时，若拒绝了零假设，则意味着各国的经济增长要以相同的速率收敛，这显然不符合实际。Im Pesaran 和 Shin（1997）（简称为 IPS）允许异质的,1i ty系数，基于平均个体单位根检验统计量的方法提出了一种检验过程。对于不同的个体 ADF 检验式,1,1ipitii tiLi t LmimtitLyyyd=+，m=1，2，3 （3）的it有不同的序列相关性质时，IPS 建议平均各个体时间序列 ADF 统计量检验面板数据的单位根假设 B，即，面板数据计量分析 白仲林 零假设 H0：对于所有的 i，0i=，面板数据计量分析 白仲林 备择假设是 0i，i=1，2，N1 H1：0i=，i=N1+1，N1+2，N2 即，备择假设允许一部分（但不是全部）个体时间序列有单位根。并要求平稳的个体时间序列部分是非零的，且1limNNN=，0 1.该条件对于面板单位根检验的一致性是必要的。IPS 的 t-bar 统计量定义为各个序列 ADF 统计量的均值，即，11iNittN=（6）其中，对于所有的 i，it是（3）中检验假设 H0：0i=的个体 t 统计量。在滞后阶数全是零（pi=0）的情形下，且 Dickey-Fuller 回归式仅含截距项或者含截距项和线性趋势项时，对于不同的 N 和 T，IPS 模拟了t的临界值。对于一些截面的滞后阶数（pi）非零的情况，IPS 指出适当的标准化t可得到标准正态的渐近分布 N(0，1).已知对于固定的 N，当T，1011220iiZiZiTiZW dWttW=（7）其中，()W r dr是有限的 Wiener 积分。IPS 假设iTt是 IID 的，且有有限的均值和方差，则当 N 时，由 Lindberg-Lvy 中心极限定理，()11111|00,11|0NNiTiTiiiNiTiiNtE tNNNVar tN=因此，按照序贯极限 T、N ()111|00,11|0NiTiiIPSNiTiiNtE tNtNVar tN=（8）对于不同的 T 和 pi，IPS 模拟了|1iTiE t=和|1iTiVar t=的值。面板数据计量分析 白仲林 通过蒙特卡洛实验他们发现，如果各个体 ADF 检验式的滞后阶数足够大，则 IPS 检验具有比 LLC 检验良好的有限样本性质。McCoskey 和 Selden（1998）应用 IPS 统计量检验了 20 个 OECD 国家人均健康支出（HE）和人均 GDP（PGDP）面板数据的单位根，McCoskey 和 Selden 拒绝了这两个变量存在单位根的零假设。Gerdtham 和 Lothgren（2000）认为 McCoskey 和 Selden 发现的平稳性遗漏了ADF 检验式（3）中的时间趋势。使用有时间趋势的 IPS 检验，他们发现 HE 和 PGDP 是非平稳的，它们之间存在有时间趋势项的协整关系。Wu（2000）利用 1977 年第 1 季度到 1997年第 4 季度的 10 个 OECD 国家数据，应用 IPS 检验检验了经常账户平衡的平稳性，经常账户平衡测度了国家净债务（indebtedness）的变化，持续性赤字（persistent deficits）有严重的影响。Wu 不能拒绝经常账户的平稳性，在研究的工业国家中，相反，经常账户与外债的承受能力（sustainability）一致。（2）组合组合 p 值检验值检验 尽管 IPS 检验的提出极大地完善了面板单位根检验理论，也推动了经济增长收敛理论和购买力平价理论等实证检验的发展，但是，IPS 检验同样存在着明显的不足。IPS 检验在其基本框架中，假设所有纵剖面时间序列具有相同长度的观测期 T，并且所有的各纵剖面时间序列也具有相同的滞后期，这些假设都只适用于平衡面板数据（balanced panel data），对于非平衡面板数据则无法处理。组合 p 值检验 为了克服LL检验和IPS检验的不足，Maddala和Wu（1997）基于Fisher（1932）的组合统计量，利用各独立个体时间序列的ADF检验的显著性水平pi值对数之和()()212ln2NiiPpN=（9）检验面板数据的单位根假设 B，即，零假设 H0：对于所有的 i，0i=，面板数据计量分析 白仲林 备择假设是 0i 或者)10()(111,NpNZNii=或者*211ln()(54)1/3NiiipLkLtNpN=+时，则拒绝了面板单位根检验的零假设。面板数据计量分析 白仲林 LLC表2 LLC 检验的均值调整因子和标准差调整因子 T K*1T*1T*2T*2T*3T*3T 25 90.004 1.0490:5540.9190:703 1.00330 100.003 1.0350:5460.8890:674 0.94935 110.002 1.0270:5410.8670:653 0.90640 110.002 1.0210:5370.8500:637 0.87145 110.001 1.0170:5330.8370:624 0.84250 120.001 1.0140:5310.8260:614 0.81860 130.001 1.0110:5270.8100:598 0.78070 130.000 1.0080:5240.7980:587 0.75180 140.000 1.0070:5210.7890:578 0.72890 140.000 1.0060:5200.7820:571 0.710100 150.000 1.0050:5180.7760:566 0.695250 200.000 1.0010:5090.7420:533 0.603 0.000 1.0000:5000.7070:500 0.500资料来源：Levin等(2002)表2。