高中数学圆锥曲线知识点小结.doc

《圆锥曲线》知识点小结
一、椭圆：
（1）椭圆的定义：平面内与两个定点的距离的和等于常数（大于）的点的轨迹。
其中：两个定点叫做椭圆的焦点，焦点间的距离叫做焦距。
注意：表示椭圆；表示线段；没有轨迹；
（2）椭圆的标准方程、图象及几何性质：

中心在原点，焦点在轴上
中心在原点，焦点在轴上
标准方程

图 形

x
O
F1
F2
P
y
A2
A1
B1
B2

x
O
F1
F2
P
y
A2
B2
B1
A1

顶 点

对称轴
轴，轴；短轴为，长轴为
焦 点

焦 距

离心率
（离心率越大，椭圆越扁）
3．常用结论：（1）椭圆的两个焦点为，过的直线交椭圆于两点，则的周长=
（2）设椭圆左、右两个焦点为，过且垂直于对称轴的直线交椭圆于两点，则的坐标分别是
4、求离心率的常用方法：
法一，分别求出a,c，再代入公式
法二、建立a,b,c满足的关系，消去b,再化为关于e的方程，最后解方程求e (求e时，要注意椭圆离心率取值范围是0﹤e﹤1，而双曲线离心率取值范围是e﹥1)
二、双曲线：
（1）双曲线的定义：平面内与两个定点的距离的差的绝对值等于常数（小于）的点的轨迹。
其中：两个定点叫做双曲线的焦点，焦点间的距离叫做焦距。
注意：与（）表示双曲线的一支。
表示两条射线；没有轨迹；
（2）双曲线的标准方程、图象及几何性质：

中心在原点，焦点在轴上
中心在原点，焦点在轴上
标准方程

图 形

x
O
F1
F2
P
y
A2
A1

y
x
O
F1
P
B2
B1
F2

顶 点

对称轴
轴，轴；虚轴为，实轴为
焦 点

焦 距

离心率
（离心率越大，开口越大）
渐近线

（3）双曲线的渐近线：
①求双曲线的渐近线，可令其右边的1为0，即得，因式分解得到。
②与双曲线共渐近线的双曲线系方程是；
（4）等轴双曲线为，其离心率为
（4）常用结论：（1）双曲线的两个焦点为，过的直线交双曲线的同一支于两点，则的周长=
（2）设双曲线左、右两个焦点为，过且垂直于对称轴的直线交双曲线于两点，则的坐标分别是
三、抛物线：
（1）抛物线的定义：平面内与一个定点的距离和一条定直线的距离相等的点的轨迹。
其中：定点为抛物线的焦点，定直线叫做准线。
（2）抛物线的标准方程、图象及几何性质：
标准方程

图 形
x
O
F
P
y

O
F
P
y

x

O
F
P
y

x

O
F
P
y

x

顶 点

对称轴
轴
轴
焦 点

离心率

准 线

焦半径

四、弦长公式：
求弦长步骤：（1）求出或设出直线与圆锥曲线方程；（2）联立两方程，消去y,得关于x的一元二次方程设，，由韦达定理求出，；
（3）代入弦长公式计算。

法（二）若是联立两方程，消去x,得关于y的一元二次方程则相应的弦长公式是：
注意（2）求与弦长有关的三角形面积，往往先求弦长，再求这边上的高（点到直线的距离），但若三角形被过顶点的一条线段分成两个三角形，且线段的长度为定值，求面积一般用分割法
五、弦的中点坐标的求法
法（一）：（1）求出或设出直线与圆锥曲线方程；（2）联立两方程，消去y,得关于x的一元二次方程设，，由韦达定理求出；（3）设中点，由中点坐标公式得；再把代入直线方程求出。
法（二）：用点差法，设，，中点，由点在曲线上，线段的中点坐标公式，过A、B两点斜率公式，列出5个方程，通过相减，代入等变形，求出。
四、基础应用
1.已知F1，F2为椭圆 (a>b>0)的两个焦点，过F2作椭圆的弦AB，若△AF1B的周长为16，椭圆离心率，则椭圆的方程是
2.已知椭圆的短半轴长为1，离心率0<e≤.则长轴长的取值范围为 .
3.过(3，0)，离心率e=的椭圆标准方程为 .
4.已知定点A,B且|AB|=4,动点P满足|PA|-|PB|=3,则|PA|的最小值是　
5.已知A，B为双曲线E的左、右顶点，点M在E上，△ABM为等腰三角形，且顶角为120°，则E的离心率为 　
6.已知双曲线过点(4，)，且渐近线方程为，则该双曲线的标准方程为 .
7.设P是双曲线上一点,双曲线的一条渐近线方程为3x-2y=0,F1,F2分别是双曲线的左、右焦点.若|PF1|=3,则|PF2|=
8. F是抛物线x2=2y的焦点,A,B是抛物线上的两点,|AF|+|BF|=6,则线段AB的中点到x轴的距离为　　　　　.
9.抛物线y2=x上一点P到焦点的距离是2,则点P的坐标为
10.设抛物线y2=2px(p>0)的焦点为F,点A(0,2).若线段FA的中点B在抛物线上,则点B到该抛物线准线的距离为　　　　.
11. 已知点P(3,4)是椭圆 (a>b>0)上的一点,F1,F2为椭圆的两焦点,若PF1⊥PF2,试求:
(1)椭圆的方程.
(2)△PF1F2的面积.

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