高中数学圆锥曲线知识点梳理+例题解析.doc

高考数学圆锥曲线部分知识点梳理
一、 方程的曲线：
在平面直角坐标系中，如果某曲线C(看作适合某种条件的点的集合或轨迹 )上的点与一个二元方程f(x,y)=0的实数解建立了如下的关系：(1)曲线上的点的坐标都是这个方程的解；(2)以这个方程的解为坐标的点都是曲线上的点，那么这个方程叫做曲线的方程；这条曲线叫做方程的曲线。
点与曲线的关系：若曲线C的方程是f(x,y)=0，则点P0(x0,y0)在曲线C上f(x0,y 0)=0；点P0(x0,y0)不在曲线C上f(x0,y0)≠0。
两条曲线的交点：若曲线C1，C2的方程分别为f1(x,y)=0,f2(x,y)=0,则点P0(x0,y0)是C1，C2的交点{方程组有n个不同的实数解，两条曲线就有n个不同的交点；方程组没有实数解，曲线就没有交点。
二、圆：
1、定义：点集｛M｜｜OM｜=r｝，其中定点O为圆心，定长r为半径.
2、方程：(1)标准方程：圆心在c(a,b)，半径为r的圆方程是(x-a)2+(y-b)2=r2
圆心在坐标原点，半径为r的圆方程是x2+y2=r2
(2)一般方程：①当D2+E2-4F＞0时，一元二次方程x2+y2+Dx+Ey+F=0叫做圆的一般方程，圆心为半径是。配方，将方程x2+y2+Dx+Ey+F=0化为(x+)2+(y+)2=
②当D2+E2-4F=0时，方程表示一个点(-,-);
③当D2+E2-4F＜0时，方程不表示任何图形.
（3） 点与圆的位置关系 已知圆心C(a,b),半径为r,点M的坐标为(x0,y0)，则｜MC｜＜r点M在圆C内，｜MC｜=r点M在圆C上，｜MC｜＞r点M在圆C内，其中｜MC｜=。
（4） 直线和圆的位置关系：①直线和圆有相交、相切、相离三种位置关系：直线与圆相交有两个公共点；直线与圆相切有一个公共点；直线与圆相离没有公共点。
②直线和圆的位置关系的判定：(i)判别式法；(ii)利用圆心C(a,b)到直线Ax+By+C=0的距离与半径r的大小关系来判定。
三、圆锥曲线的统一定义：
平面内的动点P(x,y)到一个定点F(c,0)的距离与到不通过这个定点的一条定直线l的距离之 比是一个常数e(e＞0),则动点的轨迹叫做圆锥曲线。其中定点F(c,0)称为焦点，定直线l称为准线，正常数e称为离心率。当0＜e＜1时，轨迹为椭圆；当e=1时，轨迹为抛物线；当e＞1时，轨迹为双曲线。
四、椭圆、双曲线、抛物线：

椭圆
双曲线
抛物线
定义
1．到两定点F1,F2的距离之和为定值2a(2a>|F1F2|)的点的轨迹
2．与定点和直线的距离之比为定值e的点的轨迹.（0<e<1）
1．到两定点F1,F2的距离之差的绝对值为定值2a(0<2a<|F1F2|)的点的轨迹
2．与定点和直线的距离之比为定值e的点的轨迹.（e>1）
与定点和直线的距离相等的点的轨迹.
轨迹条件
点集：({M｜｜MF1+｜MF2｜=2a,｜F 1F2｜＜2a＝
点集：{M｜｜MF1｜-｜MF2｜.
=±2a,｜F2F2｜＞2a}.
点集{M｜ ｜MF｜=点M到直线l的距离}.
图形

方

程
标准方程
(>0)
(a>0,b>0)

参数方程

(t为参数)
范围
─a£x£a，─b£y£b
|x| ³ a，yÎR
x³0
中心
原点O（0，0）
原点O（0，0）

顶点
(a,0), (─a,0), (0,b) , (0,─b)
(a,0), (─a,0)
(0,0)
对称轴
x轴，y轴；
长轴长2a,短轴长2b
x轴，y轴;
实轴长2a, 虚轴长2b.
x轴
焦点
F1(c,0), F2(─c,0)
F1(c,0), F2(─c,0)

准 线
x=±
准线垂直于长轴，且在椭圆外.
x=±
准线垂直于实轴，且在两顶点的内侧.
x=-
准线与焦点位于顶点两侧，且到顶点的距离相等.
焦距
2c （c=）
2c （c=）

离心率

e=1
【备注1】双曲线：
⑶等轴双曲线：双曲线称为等轴双曲线，其渐近线方程为，离心率.
⑷共轭双曲线：以已知双曲线的虚轴为实轴，实轴为虚轴的双曲线，叫做已知双曲线的共轭双曲线.与互为共轭双曲线，它们具有共同的渐近线：.
⑸共渐近线的双曲线系方程：的渐近线方程为如果双曲线的渐近线为时，它的双曲线方程可设为.
【备注2】抛物线：
（1）抛物线=2px(p>0)的焦点坐标是(,0)，准线方程x=- ，开口向右；抛物线=-2px(p>0)的焦点坐标是(-,0)，准线方程x=，开口向左；抛物线=2py(p>0)的焦点坐标是(0,)，准线方程y=-　，开口向上；
抛物线=-2py（p>0）的焦点坐标是（0,-），准线方程y=，开口向下.
（2）抛物线=2px(p>0)上的点M(x0,y0)与焦点F的距离；抛物线=-2px(p>0)上的点M(x0,y0)与焦点F的距离
（3）设抛物线的标准方程为=2px(p>0)，则抛物线的焦点到其顶点的距离为，顶点到准线的距离，焦点到准线的距离为p.
（4）已知过抛物线=2px(p>0)焦点的直线交抛物线于A、B两点，则线段AB称为焦点弦，设A(x1,y1),B(x2,y2)，则弦长=+p或(α为直线AB的倾斜角)，，(叫做焦半径).
五、坐标的变换：
（1）坐标变换：在解析几何中，把坐标系的变换(如改变坐标系原点的位置或坐标轴的方向)叫做坐标变换.实施坐标变换时，点的位置，曲线的形状、大小、位置都不改变，仅仅只改变点的坐标与曲线的方程.
（2）坐标轴的平移：坐标轴的方向和长度单位不改变，只改变原点的位置，这种坐标系的变换叫做坐标轴的平移，简称移轴。
（3）坐标轴的平移公式：设平面内任意一点M，它在原坐标系xOy中的坐标是9x,y)，在新坐标系x ′O′y′中的坐标是.设新坐标系的原点O′在原坐标系xOy中的坐标是(h,k)，则 或
叫做平移(或移轴)公式.
（4） 中心或顶点在(h,k)的圆锥曲线方程见下表：
方 程
焦 点
焦 线
对称轴
椭圆
+=1
(±c+h,k)
x=±+h
x=h
y=k
+ =1
(h,±c+k)
y=±+k
x=h
y=k
双曲线
-=1
(±c+h,k)
x=±+k
x=h
y=k
-=1
(h,±c+h)
y=±+k
x=h
y=k
抛物线
(y-k)2=2p(x-h)
(+h,k)
x=-+h
y=k
(y-k)2=-2p(x-h)
(-+h,k)
x=+h
y=k
(x-h)2=2p(y-k)
(h, +k)
y=-+k
x=h
(x-h)2=-2p(y-k)
(h,- +k)
y=+k
x=h
六、椭圆的常用结论：
1. 点P处的切线PT平分△PF1F2在点P处的外角.
2. PT平分△PF1F2在点P处的外角，则焦点在直线PT上的射影H点的轨迹是以长轴为直径的圆，除去长轴的两个端点.
3. 以焦点弦PQ为直径的圆必与对应准线相离.
4. 以焦点半径PF1为直径的圆必与以长轴为直径的圆内切.
5. 若在椭圆上，则过的椭圆的切线方程是.
6. 若在椭圆外，则过作椭圆的两条切线切点为P1、P2，则切点弦P1P2的直线方程是.
7. 椭圆 (a＞b＞0)的左右焦点分别为F1，F 2，点P为椭圆上任意一点，则椭圆的焦点角形的面积为.
8. 椭圆（a＞b＞0）的焦半径公式,( ,).
9. 设过椭圆焦点F作直线与椭圆相交 P、Q两点，A为椭圆长轴上一个顶点，连结AP 和AQ分别交相应于焦点F的椭圆准线于M、N两点，则MF⊥NF.
10. 过椭圆一个焦点F的直线与椭圆交于两点P、Q, A1、A2为椭圆长轴上的顶点，A1P和A2Q交于点M，A2P和A1Q交于点N，则MF⊥NF.
11. AB是椭圆的不平行于对称轴的弦，M为AB的中点，则，即。
12. 若在椭圆内，则被Po所平分的中点弦的方程是；
【推论】：
1、若在椭圆内，则过Po的弦中点的轨迹方程是。椭圆（a＞b＞o）的两个顶点为,，与y轴平行的直线交椭圆于P1、P2时A1P1与A2P2交点的轨迹方程是.
2、过椭圆 (a＞0, b＞0)上任一点任意作两条倾斜角互补的直线交椭圆于B,C两点，则直线BC有定向且（常数）.
3、若P为椭圆（a＞b＞0）上异于长轴端点的任一点,F1, F 2是焦点, , ，则.
4、设椭圆（a＞b＞0）的两个焦点为F1、F2,P（异于长轴端点）为椭圆上任意一点，在△PF1F2中，记, ,，则有.
5、若椭圆（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F1、F2，左准线为L，则当0＜e≤时，可在椭圆上求一点P，使得PF1是P到对应准线距离d与PF2的比例中项.
6、P为椭圆（a＞b＞0）上任一点,F1,F2为二焦点，A为椭圆内一定点，则,当且仅当三点共线时，等号成立.
7、椭圆与直线有公共点的充要条件是.
8、已知椭圆（a＞b＞0），O为坐标原点，P、Q为椭圆上两动点，且.（1）;（2）|OP|2+|OQ|2的最大值为;（3）的最小值是.
9、过椭圆（a＞b＞0）的右焦点F作直线交该椭圆右支于M,N两点，弦MN的垂直平分线交x轴于P，则.
10、已知椭圆（ a＞b＞0） ,A、B、是椭圆上的两点，线段AB的垂直平分线与x轴相交于点, 则.
11、设P点是椭圆（ a＞b＞0）上异于长轴端点的任一点,F1、F2为其焦点记，则(1).(2) .
12、设A、B是椭圆（ a＞b＞0）的长轴两端点，P是椭圆上的一点，, ,，c、e分别是椭圆的半焦距离心率，则有(1).(2) .(3) .
13、已知椭圆（ a＞b＞0）的右准线与x轴相交于点，过椭圆右焦点的直线与椭圆相交于A、B两点,点在右准线上，且轴，则直线AC经过线段EF 的中点.
14、过椭圆焦半径的端点作椭圆的切线，与以长轴为直径的圆相交，则相应交点与相应焦点的连线必与切线垂直.
15、过椭圆焦半径的端点作椭圆的切线交相应准线于一点，则该点与焦点的连线必与焦半径互相垂直.
16、椭圆焦三角形中,内点到一焦点的距离与以该焦点为端点的焦半径之比为常数e(离心率).
（注:在椭圆焦三角形中,非焦顶点的内、外角平分线与长轴交点分别称为内、外点.）
17、椭圆焦三角形中,内心将内点与非焦顶点连线段分成定比e.
18、椭圆焦三角形中,半焦距必为内、外点到椭圆中心的比例中项.
七、双曲线的常用结论：
1、点P处的切线PT平分△PF1F2在点P处的内角.
2、PT平分△PF1F2在点P处的内角，则焦点在直线PT上的射影H点的轨迹是以长轴为直径的圆，除去长轴的两个端点.
3、以焦点弦PQ为直径的圆必与对应准线相交.
4、以焦点半径PF1为直径的圆必与以实轴为直径的圆相切.（内切：P在右支；外切：P在左支）
5、若在双曲线（a＞0,b＞0）上，则过的双曲线的切线方程是.
6、若在双曲线（a＞0,b＞0）外 ，则过Po作双曲线的两条切线切点为P1、P2，则切点弦P1P2的直线方程是.
7、双曲线（a＞0,b＞o）的左右焦点分别为F1，F 2，点P为双曲线上任意一点，则双曲线的焦点角形的面积为.
8、双曲线（a＞0,b＞o）的焦半径公式：( , ）当在右支上时，,；当在左支上时，,。
9、设过双曲线焦点F作直线与双曲线相交 P、Q两点，A为双曲线长轴上一个顶点，连结AP 和AQ分别交相应于焦点F的双曲线准线于M、N两点，则MF⊥NF.
10、过双曲线一个焦点F的直线与双曲线交于两点P、Q, A1、A2为双曲线实轴上的顶点，A1P和A2Q交于点M，A2P和A1Q交于点N，则MF⊥NF.
11、AB是双曲线（a＞0,b＞0）的不平行于对称轴的弦，M为AB的中点，则，即。
12、若在双曲线（a＞0,b＞0）内，则被Po所平分的中点弦的方程是.
13、若在双曲线（a＞0,b＞0）内，则过Po的弦中点的轨迹方程是.
【推论】：
1、双曲线（a＞0,b＞0）的两个顶点为,，与y轴平行的直线交双曲线于P1、P2时A1P1与A2P2交点的轨迹方程是.
2、过双曲线（a＞0,b＞o）上任一点任意作两条倾斜角互补的直线交双曲线于B,C两点，则直线BC有定向且（常数）.
3、若P为双曲线（a＞0,b＞0）右（或左）支上除顶点外的任一点,F1, F 2是焦点, , ，则（或）.
4、设双曲线（a＞0,b＞0）的两个焦点为F1、F2,P（异于长轴端点）为双曲线上任意一点，在△PF1F2中，记, ,，则有.
5、若双曲线（a＞0,b＞0）的左、右焦点分别为F1、F2，左准线为L，则当1＜e≤时，可在双曲线上求一点P，使得PF1是P到对应准线距离d与PF2的比例中项.
6、P为双曲线（a＞0,b＞0）上任一点,F1,F2为二焦点，A为双曲线内一定点，则,当且仅当三点共线且和在y轴同侧时，等号成立.
7、双曲线（a＞0,b＞0）与直线有公共点的充要条件是.
8、已知双曲线（b＞a ＞0），O为坐标原点，P、Q为双曲线上两动点，且.
（1）;（2）|OP|2+|OQ|2的最小值为;（3）的最小值是.
9、过双曲线（a＞0,b＞0）的右焦点F作直线交该双曲线的右支于M,N两点，弦MN的垂直平分线交x轴于P，则.
10、已知双曲线（a＞0,b＞0）,A、B是双曲线上的两点，线段AB的垂直平分线与x轴相交于点, 则或.
11、设P点是双曲线（a＞0,b＞0）上异于实轴端点的任一点,F1、F2为其焦点记，则(1).(2) .
12、设A、B是双曲线（a＞0,b＞0）的长轴两端点，P是双曲线上的一点，, ,，c、e分别是双曲线的半焦距离心率，则有(1).
(2) .(3) .
13、已知双曲线（a＞0,b＞0）的右准线与x轴相交于点，过双曲线右焦点的直线与双曲线相交于A、B两点,点在右准线上，且轴，则直线AC经过线段EF 的中点.
14、过双曲线焦半径的端点作双曲线的切线，与以长轴为直径的圆相交，则相应交点与相应焦点的连线必与切线垂直.
15、过双曲线焦半径的端点作双曲线的切线交相应准线于一点，则该点与焦点的连线必与焦半径互相垂直.
16、双曲线焦三角形中,外点到一焦点的距离与以该焦点为端点的焦半径之比为常数e(离心率).
(注:在双曲线焦三角形中,非焦顶点的内、外角平分线与长轴交点分别称为内、外点).
17、双曲线焦三角形中,其焦点所对的旁心将外点与非焦顶点连线段分成定比e.
18双曲线焦三角形中,半焦距必为内、外点到双曲线中心的比例中项.
八、 抛物线的常用结论：
①顶点.
②则焦点半径;则焦点半径为.
③通径为2p，这是过焦点的所有弦中最短的.
④（或）的参数方程为（或）（为参数）.

图形

焦点

准线

范围

对称轴
轴
轴
顶点
（0,0）
离心率

焦点

圆锥曲线的性质对比
圆锥曲线
椭圆
双曲线
抛物线
标准方程
(x^2/a^2)+(y^2/b^2)=1 a>b>0
(x^2/a^2)-(y^2/b^2)=1 a>0,b>0
y^2=2px p>0
范围
x∈[-a,a] 　　y∈[-b,b]
x∈(-∞,-a]∪[a,+∞) 　y∈R
x∈[0,+∞) y∈R
对称性
关于x轴,y轴,原点对称
关于x轴,y轴,原点对称
关于x轴对称
顶点
(a,0),(-a,0),(0,b),(0,-b)
(a,0),(-a,0)
(0,0)
焦点
(c,0),(-c,0)
　　【其中c^2=a^2-b^2】
(c,0),(-c,0)
　　【其中c^2=a^2+b^2】
(p/2,0)
准线
x=±(a^2)/c
x=±(a^2)/c
x=-p/2
渐近线
——————————
y=±(b/a)x
—————
离心率
e=c/a,e∈(0,1)
e=c/a,e∈(1,+∞)
e=1
焦半径
∣PF1∣=a+ex ∣PF2∣=a-ex
∣PF1∣=∣ex+a∣∣PF2∣=∣ex-a∣
∣PF∣=x+p/2
焦准距
p=(b^2)/c
p=(b^2)/c
p
通径
(2b^2)/a
(2b^2)/a
2p
参数方程
x=a·cosθ 　y=b·sinθ，θ为参数
x=a·secθ
　　y=b·tanθ,θ为参数
x=2pt^2 y=2pt,t为参数
过圆锥曲线上一点
(x0·x/a^2)+(y0·y/b^2)=1
　(x0,y0)的切线方程
(x0x/a^2)-(y0·y/b^2)=1
y0·y=p(x+x0)
斜率为k的切线方程
y=kx±√[(a^2)·(k^2)+b^2]
y=kx±√[(a^2)·(k^2)-b^2]
y=kx+p/2k

椭圆
1. 已知椭圆的离心率，则的值为
（A）3 （B）或 （C） （D）或3
2. 已知直线经过椭圆的一个顶点和一个焦点，那么这个椭圆的方程为 ，离心率为_______．
3. 椭圆的焦点为,过F2垂直于x轴的直线交椭圆于一点P，那么|PF1|的值是 .
4. 设椭圆的两个焦点分别为，，过作椭圆长轴的垂线与椭圆相交，其中的一个交点为，若△为等腰直角三角形，则椭圆的离心率是
A. B. C. D.

5. 椭圆的两焦点及短轴的一个端点构成等边三角形，则椭圆的离心率为_______.

6. 椭圆两焦点为 ，，P在椭圆上，若△的面积的最大值为12，则该椭圆的标准方程为
A. B. C. D.
7. 椭圆的焦点为，点P在椭圆上，若，则 ；的大小为 .
8. 已知为椭圆的左焦点，直线与椭圆交于两点，那么的值为_______.
9. 已知三角形ABC的周长是8，B、C两点的坐标分别为(－1，0)、(1，0)，则顶点A的轨迹方程为__________________．
10. 若椭圆的离心率为，则它的长半轴长为_______________.
11．椭圆的焦距是2，则m的值为( )
A．5 B．3
C．5或3 D．20
12．如果表示焦点在轴上的椭圆，那么实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
13． 是椭圆的两个焦点，为椭圆上一点，且∠，则Δ的面积为（ ）
A． B． C． D．
14．椭圆上一点与椭圆的两个焦点、的连线互相垂直，则△的面积为（ ）
A． B． C． D．
15．过椭圆的中心作直线与椭圆交于A、B两点，F1为椭圆的焦点，则三角形F1AB面积的最大值为( )
A．6 B．12 C．24 D．48

16．P为椭圆上任一点，则P到直线x＋y－5＝0的最短距离是______．

17．圆P经过点B(0，3)且与圆A：x2＋(y＋3)2＝100内切，求圆心P的轨迹方程．

双曲线

1. 已知双曲线对称轴为坐标轴，中心在原点，一个焦点在直线x＋y＝6上，且焦距是实轴长的2倍，则此双曲线的标准方程为____________．
2．以双曲线的右焦点为圆心，且与渐近线相切的圆的方程是______．
3．动点到点及点的距离之差为，则点的轨迹是（ ）
A．双曲线 B．双曲线的一支 C．两条射线 D．一条射线
4．已知方程表示双曲线，则k的取值范围是( )
A．－1＜k＜1 B．k＞0
B．k≥0 D．k＞1或k＜－1
5．双曲线的一个焦点为，则的值为______________。
6．双曲线的一条渐近线与直线垂直，则这双曲线的离心率为___。7．若双曲线的两条渐近线相交所成的锐角为60°，则它的离心率为( )
A． B．2
C．或2 D．或2
8．过双曲线的一个焦点作垂直于实轴的弦，是另一焦点，若∠，则双曲线的离心率等于（ ）
A． B． C． D．
9．若直线与双曲线的右支交于不同的两点，那么的取值范围是（ ）
A．（） B．（） C．（） D．（）
10．若直线与双曲线始终有公共点，则取值范围是 。
11．若一直线l平行于双曲线的一条渐近线，则l与双曲线的公共点个数为( )
A．0或1 B．1 C．0或2 D．1或2
12． 双曲线上的一点P到左焦点的距离为6，则这样的点P有______个．

抛物线
1. 若抛物线 上一点M到该抛物线的焦点F的距离 ，则点M到x轴的距离为
A. 1 B．2 C． D. 4

2. 已知抛物线上一点P(3，y)，则点P到抛物线焦点的距离为 ．

3. 设斜率为的直线过抛物线的焦点F，且和轴交于点A，若△OAF (O为坐标原点)的面积为4，则实数的值为 ( ).
A．
B．
C．
D．

4．动点P(x，y)(x≥0)到定点F(2，0)的距离比它到y轴的距离大2，则动点P的轨迹方程是( )
A．y2＝16x B．y2＝8x
C．y2＝2x D．y2＝4x
5． 在抛物线y2＝8x上有一点P，它到焦点的距离是20，则P点坐标是______．
6．焦点到准线的距离为的抛物线的标准方程为__________________．
7．经过点P(4，－2)的抛物线的标准方程是( )
A．y2＝16x或x2＝16y B．y2＝16x或x2＝－16y
C．x2＝－8y或y2＝x D．x2＝8y或y2＝－x

8．抛物线的顶点在原点，焦点在直线x－2y－4＝0上，则抛物线的标准方程为______．
9．以坐标轴为对称轴，以原点为顶点且过圆的圆心的抛物线的方程是（ ）
A．或 B． C．或 D．或
10．设为过抛物线的焦点的弦，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．无法确定
11．若直线与抛物线交于、两点，则线段的中点坐标是______。
12．对于抛物线上任意一点，点都满足，则的取值范围是13．抛物线上两点、关于直线对称，且，则等于（ ）
A． B． C． D．
14．若直线与抛物线交于、两点，若线段的中点的横坐标是，则______。
15．若点的坐标为，是抛物线的焦点，点在抛物线上移动时，使取得最小值的的坐标为（ ）
A． B． C． D．
16．已知，抛物线上的点到直线的最短距离为__________。

1．双曲线与椭圆有共同的焦点，点是双曲线的渐近线与椭圆的一个交点，求渐近线与椭圆的方程。

2．代表实数，讨论方程所表示的曲线

3．当变化时，曲线怎样变化？

主要题型：
（5） 弦长、中点、面积

3.在平面直角坐标系xOy中，点B与点A（-1,1）关于原点O对称，P是动点，且直线AP与BP的斜率之积等于.
(Ⅰ)求动点P的轨迹方程；
(Ⅱ)设直线AP和BP分别与直线x=3交于点M,N，问：是否存在点P使得△PAB与△PMN的面积相等？若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由。

4.已知椭圆的离心率，连接椭圆的四个顶点得到的菱形的面积为4。
（5） 求椭圆的方程；
（6） 设直线与椭圆相交于不同的两点，已知点的坐标为（），点在线段的垂直平分线上，且，求的值

二.范围、最值
1.已知双曲线C：3x2－y2＝1，过点M(0，－1)的直线l与双曲线C交于A，B两点．
(1) 若|AB|＝，求直线l的方程；
(2) (2)若点A，B在y轴的同一侧，求直线l的斜率的取值范围．

2.已知m＞1，直线，椭圆，分别为椭圆的左、右焦点.
（Ⅰ）当直线过右焦点时，求直线的方程；
（Ⅱ）设直线与椭圆交于两点，，的重心分别为.若原点在以线段为直径的圆内，求实数的取值范围.

三. 证明、求定点、定值
1.设点M在x轴上，若对过椭圆左焦点F的任一条与两坐标轴都不垂直的弦AB，都有MF为△AMB的一条内角平分线，则称点M为该椭圆的“左特征点”．
(1) 有人说：“点是椭圆的‘左特征点’'”．请指出这个观点是否正确，并给出证明过程；
(2) (2)参考椭圆的“左特征点”定义，给出双曲线的“左特征点”定义，并指出该点坐标．

2.己知斜率为1的直线l与双曲线C：相交于B、D两点，且BD的中点为．
（Ⅰ）求C的离心率；
（Ⅱ）设C的右顶点为A，右焦点为F，，证明：过A、B、D三点的圆与x轴相切．

3.已知以原点O为中心，为右焦点的双曲线C的离心率。
(1)求双曲线C的标准方程及其渐近线方程；
(2)如题（20）图，已知过点的直线与过点（其中）的直线的交点E在双曲线C上，直线MN与两条渐近线分别交与G、H两点，求的面积。

4.在平面直角坐标系中，如图，已知椭圆的左、右顶点为A、B，右焦点为F。设过点T（）的直线TA、TB与椭圆分别交于点M、，其中m>0,。
（1）设动点P满足,求点P的轨迹；
（2）设，求点T的坐标；
（3）设,求证：直线MN必过x轴上的一定点（其坐标与m无关）。

5. 如图，已知椭圆的离心率为，以该椭圆上的点和椭圆的左、右焦点为顶点的三角形的周长为.一等轴双曲线的顶点是该椭圆的焦点，设为该双曲线上异于顶点的任一点，直线和与椭圆的交点分别为和.

（Ⅰ）求椭圆和双曲线的标准方程；
（Ⅱ）设直线、的斜率分别为、，证明；
（Ⅲ）是否存在常数，使得恒成立？若存在，求的值；若不存在，请说明理由.

四.求轨迹:定义法、直接法、相关点法、参数法
1.已知定点，，，以点为焦点作过两点的椭圆。
(1)求另一焦点的轨迹的方程；
(2)过点的直线交曲线于两点，若，求直线的方程。

2.已知三角形ABC的三个顶点均在椭圆上，且点A是椭圆短轴的一个端点（点A在y轴正半轴上）.
(1) 若三角形ABC的重心是椭圆的右焦点，试求直线BC的方程;
(2) 若角A为，AD垂直BC于D，试求点D的轨迹方程.

3. 设椭圆，抛物线。
（1） 若经过的两个焦点，求的离心率；
（2） 设A（0，b），,又M、N为与不在y轴上的两个交点，若△AMN的垂心为，且△QMN的重心在上，求椭圆和抛物线的方程。
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五.向量化归
1.椭圆的两个焦点分别为F1（0，－1）、F2（0，1），直线y=4是椭圆的一条准线。
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）若点P在椭圆上，设，试用m表示；
（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，求的最大值和最小值。

2.如图已知△OPQ的面积为S，且.
（Ⅰ）若的取值范围；

（Ⅱ）设为中心，P为焦点的椭圆经过点Q，当m≥2时，求 的最小值，并求出此时的椭圆方程.

3.已知O为坐标原点，点E、F的坐标分别为（-1，0）、（1，0），动点A、M、N满足（），，，．
（Ⅰ）求点M的轨迹W的方程；
（Ⅱ）点在轨迹W上，直线PF交轨迹W于点Q，且，若，求实数的范围．

4.设直线与椭圆相交于A、B两个不同的点，与x轴相交于点F.
（I）证明：
（II）若F是椭圆的一个焦点，且，求椭圆的方程.

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