高中数学圆锥曲线知识点总结.pdf

-1-高考数学圆锥曲线部分知识点梳理高考数学圆锥曲线部分知识点梳理1 1、方程的曲线：方程的曲线：在平面直角坐标系中，如果某曲线 C(看作适合某种条件的点的集合或轨迹)上的点与一个二元方程 f(x,y)=0 的实数解建立了如下的关系：(1)曲线上的点的坐标都是这个方程的解；(2)以这个方程的解为坐标的点都是曲线上的点，那么这个方程叫做曲线的方程；这条曲线叫做方程的曲线。点与曲线的关系：若曲线 C 的方程是 f(x,y)=0，则点 P0(x0,y0)在曲线 C 上f(x0,y 0)=0；点 P0(x0,y0)不在曲线 C 上f(x0,y0)0。两条曲线的交点：若曲线 C1，C2的方程分别为 f1(x,y)=0,f2(x,y)=0,则点 P0(x0,y0)是 C1，C2的交点方程组有 n 个不同的实数解，两条曲线就有 n 个不0),(0),(002001yxfyxf同的交点；方程组没有实数解，曲线就没有交点。二、圆：二、圆：1 1、定义：、定义：点集MOM=r，其中定点 O 为圆心，定长 r 为半径.2 2、方程：、方程：(1)标准方程：圆心在 c(a,b)，半径为 r 的圆方程是(x-a)2+(y-b)2=r2 圆心在坐标原点，半径为 r 的圆方程是 x2+y2=r2(2)一般方程：当 D2+E2-4F0 时，一元二次方程 x2+y2+Dx+Ey+F=0 叫做圆的一般方程，圆心为半径是。配方，将方程 x2+y2+Dx+Ey+F=0 化为)2,2(ED2422FED(x+)2+(y+)2=2D2E44F-ED22当 D2+E2-4F=0 时，方程表示一个点(-,-);2D2E当 D2+E2-4F0 时，方程不表示任何图形.（3）点与圆的位置关系 已知圆心 C(a,b),半径为 r,点 M 的坐标为(x0,y0)，则MCr点 M 在圆 C 内，MC=r点 M 在圆 C 上，MCr点 M 在圆C 内，其中MC=。2020b)-(ya)-(x（4）直线和圆的位置关系：直线和圆有相交、相切、相离三种位置关系：直线-2-与圆相交有两个公共点；直线与圆相切有一个公共点；直线与圆相离没有公共点。直线和圆的位置关系的判定：(i)判别式法；(ii)利用圆心 C(a,b)到直线Ax+By+C=0 的距离与半径 r 的大小关系来判定。22BACBbAad三、圆锥曲线的统一定义：三、圆锥曲线的统一定义：平面内的动点 P(x,y)到一个定点 F(c,0)的距离与到不通过这个定点的一条定直线l 的距离之 比是一个常数 e(e0),则动点的轨迹叫做圆锥曲线。其中定点 F(c,0)称为焦点，定直线 l 称为准线，正常数 e 称为离心率。当 0e1 时，轨迹为椭圆；当 e=1 时，轨迹为抛物线；当 e1 时，轨迹为双曲线。四、椭圆、双曲线、抛物线：四、椭圆、双曲线、抛物线：椭圆双曲线抛物线定义1到两定点 F1,F2的距离之和为定值2a(2a|F1F2|)的点的轨迹2与定点和直线的距离之比为定值 e的点的轨迹.（0e1）1到两定点 F1,F2的距离之差的绝对值为定值2a(02a1）与定点和直线的距离相等的点的轨迹.轨迹条件点集：(MMF1+MF2=2a,F 1F22a点集：MMF1-MF2.=2a,F2F22a.点集M MF=点M 到直线 l 的距离.-3-图形方程标准方程12222byax(ba 0)12222byax(a0,b0)pxy22参数方程为离心角）参数(sincosbyax为离心角）参数(tansecbyaxptyptx222(t 为参数)范围axa，byb|x|a，yRx0中心原点 O（0，0）原点 O（0，0）顶点(a,0),(a,0),(0,b),(0,b)(a,0),(a,0)(0,0)对称轴x 轴，y 轴；长轴长 2a,短轴长2bx 轴，y 轴;实轴长 2a,虚轴长 2b.x 轴焦点F1(c,0),F2(c,0)F1(c,0),F2(c,0)0,2(pF准 线x=ca2准线垂直于长轴，且在椭圆外.x=ca2准线垂直于实轴，且在两顶点的内侧.x=-2p准线与焦点位于顶点两侧，且到顶点的距-4-离相等.焦距2c （c=22ba）2c （c=22ba）离心率)10(eace)1(eacee=1【备注备注 1】1】双曲线：双曲线：等轴双曲线：双曲线222ayx称为等轴双曲线，其渐近线方程为xy，离心率2e.共轭双曲线：以已知双曲线的虚轴为实轴，实轴为虚轴的双曲线，叫做已知双曲线的共轭双曲线.2222byax与2222byax互为共轭双曲线，它们具有共同的渐近线：02222byax.共渐近线的双曲线系方程：)0(2222byax的渐近线方程为02222byax如果双曲线的渐近线为0byax时，它的双曲线方程可设为)0(2222byax.【备注备注 2】2】抛物线：抛物线：（1）抛物线=2px(p0)的焦点坐标是(,0)，准线方程 x=-，开口向右；抛物2y2p2p线=-2px(p0)的焦点坐标是(-,0)，准线方程 x=，开口向左；抛物线2y2p2p=2py(p0)的焦点坐标是(0,)，准线方程 y=-，开口向上；2x2p2p抛物线=-2py（p0）的焦点坐标是（0,-），准线方程 y=，开口向下.2x2p2p（2）抛物线=2px(p0)上的点 M(x0,y0)与焦点 F 的距离；抛物线=-2y20pxMF2y2px(p0)上的点 M(x0,y0)与焦点 F 的距离02xpMF（3）设抛物线的标准方程为=2px(p0)，则抛物线的焦点到其顶点的距离为，2y2p-5-顶点到准线的距离，焦点到准线的距离为 p.2p（4）已知过抛物线=2px(p0)焦点的直线交抛物线于 A、B 两点，则线段 AB 称为2y焦点弦，设 A(x1,y1),B(x2,y2)，则弦长=+p 或(为直线 ABAB21xx 2sin2pAB 的倾斜角)，(叫做焦半径).221pyy2,41221pxAFpxxAF五、坐标的变换：五、坐标的变换：（1）坐标变换：在解析几何中，把坐标系的变换(如改变坐标系原点的位置或坐标轴的方向)叫做坐标变换.实施坐标变换时，点的位置，曲线的形状、大小、位置都不改变，仅仅只改变点的坐标与曲线的方程.（2）坐标轴的平移：坐标轴的方向和长度单位不改变，只改变原点的位置，这种坐标系的变换叫做坐标轴的平移，简称移轴。（3）坐标轴的平移公式：设平面内任意一点 M，它在原坐标系 xOy 中的坐标是9x,y)，在新坐标系 x Oy中的坐标是.设新坐标系的原点 O在原坐标),(yx系 xOy 中的坐标是(h,k)，则 或 kyyhxxkyyhxx叫做平移(或移轴)公式.（4）中心或顶点在(h,k)的圆锥曲线方程见下表：方 程焦 点焦 线对称轴+=122h)-(xa22k)-(yb(c+h,k)x=+hca2x=hy=k椭圆+=122h)-(xb22k)-(ya(h,c+k)y=+kca2x=hy=k-=122h)-(xa22k)-(yb(c+h,k)x=+kca2x=hy=k双曲线-=122k)-(ya22h)-(xb(h,c+h)y=+kca2x=hy=k-6-(y-k)2=2p(x-h)(+h,k)2px=-+h2py=k(y-k)2=-2p(x-h)(-+h,k)2px=+h2py=k(x-h)2=2p(y-k)(h,+k)2py=-+k2px=h抛物线(x-h)2=-2p(y-k)(h,-+k)2py=+k2px=h六、椭圆的常用结论：六、椭圆的常用结论：1.点 P 处的切线 PT 平分PF1F2 在点 P 处的外角.2.PT 平分PF1F2 在点 P 处的外角，则焦点在直线 PT 上的射影 H 点的轨迹是以长轴为直径的圆，除去长轴的两个端点.3.以焦点弦 PQ 为直径的圆必与对应准线相离.4.以焦点半径 PF1 为直径的圆必与以长轴为直径的圆内切.5.若在椭圆上，则过的椭圆的切线方程是.000(,)P xy22221xyab0P00221x xy yab6.若在椭圆外，则过作椭圆的两条切线切点为 P1、P2，则切点000(,)P xy22221xyab0P弦 P1P2的直线方程是.00221x xy yab7.椭圆(ab0)的左右焦点分别为 F1，F 2，点 P 为椭圆上任意一点22221xyab，则椭圆的焦点角形的面积为.12FPF122tan2F PFSb8.椭圆（ab0）的焦半径公式,(,22221xyab10|MFaex20|MFaex1(,0)Fc).2(,0)F c00(,)M xy9.设过椭圆焦点 F 作直线与椭圆相交 P、Q 两点，A 为椭圆长轴上一个顶点，连结AP 和 AQ 分别交相应于焦点 F 的椭圆准线于 M、N 两点，则 MFNF.10.过椭圆一个焦点 F 的直线与椭圆交于两点 P、Q,A1、A2为椭圆长轴上的顶点，-7-A1P 和 A2Q 交于点 M，A2P 和 A1Q 交于点 N，则 MFNF.11.AB 是椭圆的不平行于对称轴的弦，M为 AB 的中点，则22221xyab),(00yx，即。22OMABbkka 0202yaxbKAB12.若在椭圆内，则被 Po 所平分的中点弦的方程是000(,)P xy22221xyab；2200002222x xy yxyabab【推论推论】：1、若在椭圆内，则过 Po 的弦中点的轨迹方程是。000(,)P xy22221xyab22002222x xy yxyabab椭圆（abo）的两个顶点为,，与 y 轴平行的直线交椭圆22221xyab1(,0)Aa2(,0)A a于 P1、P2时 A1P1与 A2P2交点的轨迹方程是.22221xyab2、过椭圆(a0,b0)上任一点任意作两条倾斜角互补的直线交22221xyab00(,)A xy椭圆于 B,C 两点，则直线 BC 有定向且（常数）.2020BCb xka y3、若 P 为椭圆（ab0）上异于长轴端点的任一点,F1,F 2是焦点,22221xyab,，则.12PFF21PF Ftant22accoac4、设椭圆（ab0）的两个焦点为 F1、F2,P（异于长轴端点）为椭圆上22221xyab任意一点，在PF1F2中，记,，则有12FPF12PFF12FF P.sinsinsincea5、若椭圆（ab0）的左、右焦点分别为 F1、F2，左准线为 L，则当22221xyab0e时，可在椭圆上求一点 P，使得 PF1是 P 到对应准线距离 d 与 PF2的比21例中项.-8-6、P 为椭圆（ab0）上任一点,F1,F2为二焦点，A 为椭圆内一定点，则22221xyab,当且仅当三点共线时，等号成立.2112|2|aAFPAPFaAF2,A F P7、椭圆与直线有公共点的充要条件是220022()()1xxyyab0AxByC.2222200()A aB bAxByC8、已知椭圆（ab0），O 为坐标原点，P、Q 为椭圆上两动点，且22221xyab.（1）;（2）|OP|2+|OQ|2的最大值为;（3）OPOQ22221111|OPOQab22224a bab的最小值是.OPQS2222a bab9、过椭圆（ab0）的右焦点 F 作直线交该椭圆右支于 M,N 两点，弦 MN22221xyab的垂直平分线交 x 轴于 P，则.|2PFeMN10、已知椭圆（ab0）,A、B、是椭圆上的两点，线段 AB 的垂直平22221xyab分线与 x 轴相交于点,则.0(,0)P x22220ababxaa11、设 P 点是椭圆（ab0）上异于长轴端点的任一点,F1、F2为其焦点22221xyab记，则(1).(2).12FPF2122|1 cosbPFPF1 22tan2PF FSb12、设 A、B 是椭圆（ab0）的长轴两端点，P 是椭圆上的一点，22221xyab,，c、e 分别是椭圆的半焦距离心率，则有(1)PABPBABPA.(2).(3).22222|cos|sabPAac co2tantan1 e 22222cotPABa bSba13、已知椭圆（ab0）的右准线 与 x 轴相交于点，过椭圆右焦点22221xyablE的直线与椭圆相交于 A、B 两点,点在右准线 上，且轴，则直线 AC 经过FClBCx线段 EF 的中点.-9-14、过椭圆焦半径的端点作椭圆的切线，与以长轴为直径的圆相交，则相应交点与相应焦点的连线必与切线垂直.15、过椭圆焦半径的端点作椭圆的切线交相应准线于一点，则该点与焦点的连线必与焦半径互相垂直.16、椭圆焦三角形中,内点到一焦点的距离与以该焦点为端点的焦半径之比为常数e(离心率).（注:在椭圆焦三角形中,非焦顶点的内、外角平分线与长轴交点分别称为内、外点.）17、椭圆焦三角形中,内心将内点与非焦顶点连线段分成定比 e.18、椭圆焦三角形中,半焦距必为内、外点到椭圆中心的比例中项.七、双曲线的常用结论：七、双曲线的常用结论：1 1、点 P 处的切线 PT 平分PF1F2在点 P 处的内角内角.2、PT 平分PF1F2在点 P 处的内角，则焦点在直线 PT 上的射影 H 点的轨迹是以长轴为直径的圆，除去长轴的两个端点.3、以焦点弦 PQ 为直径的圆必与对应准线相交相交.4、以焦点半径 PF1为直径的圆必与以实轴为直径的圆相切相切.（内切：P 在右支；外切：P 在左支）5、若在双曲线（a0,b0）上，则过的双曲线的切线方程是000(,)P xy22221xyab0P.00221x xy yab6、若在双曲线（a0,b0）外，则过 Po 作双曲线的两条切线000(,)P xy22221xyab切点为 P1、P2，则切点弦 P1P2的直线方程是.00221x xy yab7、双曲线（a0,bo）的左右焦点分别为 F1，F 2，点 P 为双曲线上任意22221xyab一点，则双曲线的焦点角形的面积为.12FPF122t2F PFSb co-10-8、双曲线（a0,bo）的焦半径公式：(,）当22221xyab1(,0)Fc2(,0)F c在右支上时，,；当在左支上时，00(,)M xy10|MFexa20|MFexa00(,)M xy,。10|MFexa 20|MFexa 9、设过双曲线焦点 F 作直线与双曲线相交 P、Q 两点，A 为双曲线长轴上一个顶点，连结 AP 和 AQ 分别交相应于焦点 F 的双曲线准线于 M、N 两点，则 MFNF.10、过双曲线一个焦点 F 的直线与双曲线交于两点 P、Q,A1、A2为双曲线实轴上的顶点，A1P 和 A2Q 交于点 M，A2P 和 A1Q 交于点 N，则 MFNF.11、AB 是双曲线（a0,b0）的不平行于对称轴的弦，M为 AB 的22221xyab),(00yx中点，则，即。0202yaxbKKABOM0202yaxbKAB12、若在双曲线（a0,b0）内，则被 Po 所平分的中点弦的方000(,)P xy22221xyab程是.2200002222x xy yxyabab13、若在双曲线（a0,b0）内，则过 Po 的弦中点的轨迹方程000(,)P xy22221xyab是.22002222x xy yxyabab【推论推论】：1、双曲线（a0,b0）的两个顶点为,，与 y 轴平行的直22221xyab1(,0)Aa2(,0)A a线交双曲线于 P1、P2时 A1P1与 A2P2交点的轨迹方程是.22221xyab2、过双曲线（a0,bo）上任一点任意作两条倾斜角互补的直线22221xyab00(,)A xy交双曲线于 B,C 两点，则直线 BC 有定向且（常数）.2020BCb xka y 3、若 P 为双曲线（a0,b0）右（或左）支上除顶点外的任一点,F1,F 22221xyab2是焦点,，则（或）.12PFF21PF Ftant22cacocatant22cacoca-11-4、设双曲线（a0,b0）的两个焦点为 F1、F2,P（异于长轴端点）为双22221xyab曲线上任意一点，在PF1F2中，记,，则有12FPF12PFF12FF P.sin(sinsin)cea5、若双曲线（a0,b0）的左、右焦点分别为 F1、F2，左准线为 L，则22221xyab当 1e时，可在双曲线上求一点 P，使得 PF1是 P 到对应准线距离 d 与 PF221的比例中项.6、P 为双曲线（a0,b0）上任一点,F1,F2为二焦点，A 为双曲线内一定22221xyab点，则,当且仅当三点共线且和在 y 轴同侧时，等21|2|AFaPAPF2,A F PP2,A F号成立.7、双曲线（a0,b0）与直线有公共点的充要条件是22221xyab0AxByC.22222A aB bC8、已知双曲线（ba 0），O 为坐标原点，P、Q 为双曲线上两动点，且22221xyab.OPOQ（1）;（2）|OP|2+|OQ|2的最小值为;（3）的最小22221111|OPOQab22224a bbaOPQS值是.2222a bba9、过双曲线（a0,b0）的右焦点 F 作直线交该双曲线的右支于 M,N 两22221xyab点，弦 MN 的垂直平分线交 x 轴于 P，则.|2PFeMN10、已知双曲线（a0,b0）,A、B 是双曲线上的两点，线段 AB 的垂直22221xyab平分线与 x 轴相交于点,则或.0(,0)P x220abxa220abxa 11、设 P 点是双曲线（a0,b0）上异于实轴端点的任一点,F1、F2为其22221xyab-12-焦点记，则(1).(2).12FPF2122|1 cosbPFPF1 22cot2PF FSb12、设 A、B 是双曲线（a0,b0）的长轴两端点，P 是双曲线上的一点，22221xyab,，c、e 分别是双曲线的半焦距离心率，则有(1)PABPBABPA.22222|cos|s|abPAac co(2).(3).2tantan1 e 22222cotPABa bSba13、已知双曲线（a0,b0）的右准线 与 x 轴相交于点，过双曲线右22221xyablE焦点的直线与双曲线相交于 A、B 两点,点在右准线 上，且轴，则直线 ACFClBCx经过线段 EF 的中点.14、过双曲线焦半径的端点作双曲线的切线，与以长轴为直径的圆相交，则相应交点与相应焦点的连线必与切线垂直.15、过双曲线焦半径的端点作双曲线的切线交相应准线于一点，则该点与焦点的连线必与焦半径互相垂直.16、双曲线焦三角形中,外点到一焦点的距离与以该焦点为端点的焦半径之比为常数 e(离心率).(注:在双曲线焦三角形中,非焦顶点的内、外角平分线与长轴交点分别称为内、外点).17、双曲线焦三角形中,其焦点所对的旁心将外点与非焦顶点连线段分成定比 e.18 双曲线焦三角形中,半焦距必为内、外点到双曲线中心的比例中项.8 8、抛物线的常用结论：抛物线的常用结论：xcbyay2顶点)244(2ababac.)0(22ppxy则焦点半径2PxPF;)0(22ppyx则焦点半径为2PyPF.通径为 2p，这是过焦点的所有弦中最短的.-13-pxy22（或pyx22）的参数方程为ptyptx222（或222ptyptx）（t为参数）.pxy22pxy22pyx22pyx22图形yxOyxOyxOyxO焦点)0,2(pF)0,2(pF)2,0(pF)2,0(pF准线2px2px 2py2py 范围Ryx,0Ryx,00,yRx0,yRx对称轴x轴y轴顶点（0,0）离心率1e焦点12xpPF12xpPF12ypPF12ypPF-14-15-圆圆锥锥曲曲线线的的性性质质对对比比圆锥曲线椭圆双曲线抛物线标准方程(x2/a2)+(y2/b2)=1 ab0(x2/a2)-(y2/b2)=1 a0,b0y2=2px p0范围x-a,a y-b,bx(-,-aa,+)yRx0,+)yR对称性关于 x 轴,y 轴,原点对称关于 x 轴,y 轴,原点对称关于 x 轴对称顶点(a,0),(-a,0),(0,b),(0,-b)(a,0),(-a,0)(0,0)-16-焦点(c,0),(-c,0)【其中 c2=a2-b2】(c,0),(-c,0)【其中 c2=a2+b2】(p/2,0)准线x=(a2)/cx=(a2)/cx=-p/2渐近线y=(b/a)x离心率e=c/a,e(0,1)e=c/a,e(1,+)e=1焦半径PF1=a+ex PF2=a-exPF1=ex+aPF2=ex-aPF=x+p/2焦准距p=(b2)/cp=(b2)/cp通径(2b2)/a(2b2)/a2p参数方程x=acos y=bsin，为参数x=asec y=btan,为参数x=2pt2 y=2pt,t 为参数过圆锥曲线上一点(x0 x/a2)+(y0y/b2)=1(x0,y0)的切线方程(x0 x/a2)-(y0y/b2)=1y0y=p(x+x0)斜率为k 的切线方程y=kx(a2)(k2)+b2y=kx(a2)(k2)-b2y=kx+p/2k