中考数学真题演练---因动点引起的点或图形的存在.doc

中考数学真题演练之-------------压轴题专项训练
训练目标
1. 熟悉题型结构，辨识题目类型，调用解题方法；
2. 书写框架明晰，踩点得分（完整、快速、简洁）。
题型结构及解题方法
压轴题综合性强，知识高度融合，侧重考查学生对知识的综合运用能力，对问题背景的研究能力以及对数学模型和套路的调用整合能力。往往采取明确目标、逐步逼近、前进探索、大胆猜想、随机应变、进退互化等策略。
考查要点
常考类型举例
题型特征
解题方法
问题背景研究
求坐标或函数解析式，求角度或线段长
已知点坐标、解析式或几何图形的部分信息
研究坐标、解析式，研究边、角，特殊图形。
模型套路调用
求面积、周长的函数关系式，并求最值
速度已知，所求关系式和运动时间相关
① 分段：动点转折分段、图形碰撞分段；
② 利用动点路程表达线段长；
③ 设计方案表达关系式。
坐标系下，所求关系式和坐标相关
① 利用坐标及横平竖直线段长；
② 分类：根据线段表达不同分类；
③ 设计方案表达面积或周长。
④ 铅垂面积或线段最值
求线段和（差）的最值
有定点（线）、不变量或不变关系
利用几何模型（铁路同侧两村庄）、几何定理求解，如两点之间线段最短、垂线段最短、三角形三边关系等。
套路整合及分类讨论
点的存在性
点的存在满足某种关系，如满足面积比为9:10
① 抓定量，找特征；
② 确定分类；.
③ 根据几何特征或函数特征建等式。
图形的存在性
特殊三角形（等腰、直角或等腰直角）、特殊四边形（平行四边形、菱形、等腰梯形、正方形）的存在性
① 分析动点、定点或不变关系（如平行）；
② 根据特殊图形的判定、性质，确定分类；
③ 根据几何特征或函数特征建等式。
④ 两点间距离公式解等腰，勾股定理不贸然使用
⑤ 利用平行移动或中点公式求平行四边形点坐标
⑥ 菱形转成等腰三角形
⑦ 中垂线妙解等腰梯形
⑧ 利用三垂直相似或全等解正方形有关题
三角形相似、全等的存在性
① 找定点，分析目标三角形边角关系；
② 根据判定、对应关系确定分类；
③ 根据几何特征建等式求解。
答题规范动作
1. 试卷上探索思路、在演草纸上演草。
2. 合理规划答题卡的答题区域：两栏书写，先左后右。
作答前根据思路，提前规划，确保在答题区域内写完答案；同时方便修改。
3. 作答要求：框架明晰，结论突出，过程简洁。
23题作答更加注重结论，不同类型的作答要点：
几何推理环节，要突出几何特征及数量关系表达，简化证明过程；
面积问题，要突出面积表达的方案和结论；
几何最值问题，直接确定最值存在状态，再进行求解；
存在性问题，要明确分类，突出总结。
4. 20分钟内完成。
注：前五个小专题以试卷形式已发过但要注意：
1.①直角三角形关键是用好直角，可考虑：勾股定理逆定理、弦图模型、直线k值乘积为-1；
②等腰三角形可考虑直接表达线段长，利用两腰相等建等式，或借助三线合一找相似建等式；
③全等三角形或相似三角形关键是研究目标三角形的边角关系，进而表达线段长，借助函数或几何特征建等式．
④分类不仅要考虑图形存在性的分类，也要考虑点运动的分类．
2.①平行四边形存在性，由定线分别作边、对角线分类，通过平移或旋转画图，借助坐标间关系及中点坐标公式建等式求解．
②菱形存在性可转化为等腰三角形存在性处理．
③等腰梯形存在性通常直接表达两腰长，利用两腰相等建等式；两腰不易表达，借助对称性和中点坐标公式联立求解．
④直角梯形存在性关键是利用好直角
类型六-------因动点而产生的相似三角形问题
解题思路：抓住角相等的条件进行讨论。如两三角形有两角相等，要这两三角形相似，只要满足角的两边成比例。
1.如图，一次函数y=－2x的图象与二次函数y=－x2+3x图象的对称轴交于点B.
（1）求出点B的坐标
（2）已知点P是二次函数y=－x2+3x图象在y轴右侧部分上的一个动点，将直线y=－2x沿y轴向上平移，分别交x轴、y轴于C、D两点. 若以CD为直角边的△PCD与△OCD相似，求P的坐标。
O
B
C
D

2．如图，抛物线与轴交于A、B两点（点A在点B的左边），与y轴交于点C，连接BC.
（1）求点A、B、C的坐标.
（2）点P为AB上的动点(点A、O、B除外)，过点P作直线PN⊥轴，交抛物线于点N，交直线BC于点M，设点P到原点的值为t，MN的长度为s，求s与t的函数关系式.
（3）在（2）的条件下，试求出在点P运动的过程中，由点O、P、N围成的三角形与Rt△COB相似时点P的坐标.

图1

3.直线分别交x轴、y轴于A、B两点，△AOB绕点O按逆时针方向旋转90°后得到△COD，抛物线y＝ax2＋bx＋c经过A、C、D三点．
(1) 写出点A、B、C、D的坐标；
(2) 求经过A、C、D三点的抛物线表达式，并求抛物线顶点G的坐标；
(3) 在直线BG上是否存在点Q，使得以点A、B、Q为顶点的三角形与△COD相似？若存在，请求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．

解：（1）A(3，0)，B(0，1)，C(0，3)，D(－1，0)．
（2）因为抛物线y＝ax2＋bx＋c经过A(3，0)、C(0，3)、D(－1，0) 三点，所以 解得
所以抛物线的解析式为y＝－x2＋2x＋3＝－(x－1)2＋4，顶点G的坐标为(1，4)．
（3）如图2，直线BG的解析式为y＝3x＋1，直线CD的解析式为y＝3x＋3，因此CD//BG．
因为图形在旋转过程中，对应线段的夹角等于旋转角，所以AB⊥CD．因此AB⊥BG，即∠ABQ＝90°．
因为点Q在直线BG上，设点Q的坐标为(x，3x＋1)，那么．
Rt△COD的两条直角边的比为1∶3，如果Rt△ABQ与Rt△COD相似，存在两种情况：
①当时，．解得．所以，．
②当时，．解得．所以，．

图2 图3
考点伸展
第（3）题在解答过程中运用了两个高难度动作：一是用旋转的性质说明AB⊥BG；二是．
我们换个思路解答第（3）题：
如图3，作GH⊥y轴，QN⊥y轴，垂足分别为H、N．
通过证明△AOB≌△BHG，根据全等三角形的对应角相等，可以证明∠ABG＝90°．
在Rt△BGH中，，．
①当时，．
在Rt△BQN中，，．
当Q在B上方时，；当Q在B下方时，．
②当时，．同理得到，．

4.如图，四边形ABCO是平行四边形，AB=4，OB=2，抛物线过A、B、C三点，与x轴交于另一点D．一动点P以每秒
1个单位长度的速度从B点出发沿BA向点A运动，运动到A停止，同时一动点Q从点D出发，以每秒3个单位长度的速度沿DC向点C运动，与点P同时停止．
（1）求抛物线的解析式；
（2）若抛物线的对称轴与AB交于点E，与x轴交于点F，当点P运动时间t为何值时，四边形POQE是等腰梯形？
（3）当t为何值时，以P、B、O为顶点的三角形与以点Q、B、O为顶点的三角形相似？

5.已知：如图一，抛物线y=ax2+bx+c与x轴正半轴交于A、B两点，与y轴交于点C，直线y=x﹣2经过A、C两点，且AB=2．
（1）求抛物线的解析式；
（2）若直线DE平行于x轴并从C点开始以每秒1个单位的速度沿y轴正方向平移，且分别交y轴、线段BC于点E，D，同时动点P从点B出发，沿BO方向以每秒2个单位速度运动，（如图2）；当点P运动到原点O时，直线DE与点P都停止运动，连DP，若点P运动时间为t秒；设s=，当t为何值时，s有最小值，并求出最小值．
（3）在（2）的条件下，是否存在t的值，使以P、B、D为顶点的三角形与△ABC相似；若存在，求t的值；若不存在，请说明理由．

解答：
解：（1）由直线：y=x﹣2知：A（2，0）、C（0，﹣2）；
∵AB=2，∴OB=OA+AB=4，即 B（4，0）．
设抛物线的解析式为：y=a（x﹣2）（x﹣4），代入C（0，﹣2），得：
a（0﹣2）（0﹣4）=﹣2，解得 a=﹣
∴抛物线的解析式：y=﹣（x﹣2）（x﹣4）=﹣x2+x﹣2．

（2）在Rt△OBC中，OB=4，OC=2，则 tan∠OCB=2；
∵CE=t，∴DE=2t；
而 OP=OB﹣BP=4﹣2t；
∴s===（0＜t＜2），
∴当t=1时，s有最小值，且最小值为 1．

（3）在Rt△OBC中，OB=4，OC=2，则 BC=2；
在Rt△CED中，CE=t，ED=2t，则 CD=t；
∴BD=BC﹣CD=2﹣t；
以P、B、D为顶点的三角形与△ABC相似，已知∠OBC=∠PBD，则有两种情况：
①=⇒=，解得 t=；
②=⇒=，解得 t=；
综上，当t=或时，以P、B、D为顶点的三角形与△ABC相似．
6.如图，直线AB交x轴于点B（4，0），交y轴于点A（0，4），直线DM⊥x轴正半轴于点M，交线段AB于点C，DM=6，连接DA，∠DAC=90°．
（1）直接写出直线AB的解析式；
（2）求点D的坐标；
（3）若点P是线段MB上的动点，过点P作x轴的垂线，交AB于点F，交过O、D、B三点的抛物线于点E，连接CE．是否存在点P，使△BPF与△FCE相似？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

【答案】解：（1）设直线AB的解析式为y=kx+b，将A（0，4），B（4，0）两点坐标代入，得
，解得。
∴直线AB的解析式为y=﹣x+4。
（2）过D点作DG⊥y轴，垂足为G，
∵OA=OB=4，∴△OAB为等腰直角三角形。
又∵AD⊥AB，∴∠DAG=90°﹣∠OAB=45°。
∴△ADG为等腰直角三角形。
∴DG=AG=OG﹣OA=DM﹣OA=5﹣4=2。
∴D（2，6）。
（3）存在。
由抛物线过O（0，0），B（4，0）两点，设抛物线解析式为y=ax（x﹣4），
将D（2，6）代入，得a=。∴抛物线解析式为y=x（x﹣4）。
由（2）可知，∠B=45°，则∠CFE=∠BFP=45°，C（2，2）。
设P（x，0），则MP=x﹣2，PB=4﹣x，
①当∠ECF=∠BPF=90°时（如图1），△BPF与△FCE相似，过C点作CH⊥EF，此时，△CHE、△CHF、△PBF为等腰直角三角形。
则PE=PF+FH+EH=PB+2MP=4﹣x+2（x﹣2）=x，
将E（x，x）代入抛物线y=x（x﹣4）中，
得x=x（x﹣4），解得x=0或，
∴P（，0）。
②当∠CEF=∠BPF=90°时（如图2），此时，△CEF、△BPF为等腰直角三角形。
则PE=MC=2，
将E（x，2）代入抛物线y=x（x﹣4）中，
得2=x（x﹣4），解得x=或。
∴P（，0）。
综上所述，点P的坐标为（，0）或（，0）。
类型六-------因动点而产生的面积比问题
1．已知，如图，在平面直角坐标系中，点A坐标为(－2，0)，点B坐标为 （0，2 ），点E为线段AB上的动点(点E不与点A，B重合)，以E为顶点作∠OET=45°，射线ET交线段OB于点F，C为y轴正半轴上一点，且OC=AB，抛物线y=x2+mx+n的图象经过A，C两点.
（1） 求此抛物线的函数表达式；
（2） 求证：∠BEF=∠AOE；
（3） 当△EOF为等腰三角形时，求此时点E的坐标；
（4） 在（3）的条件下，当直线EF交x轴于点D，P为（1） 中抛物线上一动点，直线PE交x轴于点G，在直线EF上方的抛物线上是否存在一点P，使得△EPF的面积是△EDG面积的（） 倍.若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
温馨提示：考生可以根据题意，在备用图中补充图形，以便作答.

解：（1）∵A （－2， 0）， B （0， 2），∴OA=OB=2 。∴AB2=OA2+OB2=22+22=8。∴AB=2。
∵OC=AB，∴OC=2， 即C （0， 2）。∵抛物线y=-x2+mx+n的图象经过A、C两点，得
，解得：。∴抛物线的表达式为y=－x2－x+2。
（2）证明：∵OA=OB，∠AOB=90° ，∴∠BAO=∠ABO=45°。
又∵∠BEO=∠BAO+∠AOE=45°+∠AOE，∠BEO=∠OEF+∠BEF=45°+∠BEF ，∴∠BEF=∠AOE。
（3）当△EOF为等腰三角形时，分三种情况讨论①当OE=OF时， ∠OFE=∠OEF=45°，在△EOF中， ∠EOF=180°－∠OEF－∠OFE=180°－45°－45°=90°。又∵∠AOB＝90°，则此时点E与点A重合， 不符合题意， 此种情况不成立。
②如图①， 当FE=FO时，∠EOF=∠OEF=45°。
在△EOF中，∠EFO=180°-∠OEF-∠EOF=180°-45°-45°=90°，
∴∠AOF+∠EFO=90°+90°=180°。∴EF∥AO。
∴ ∠BEF=∠BAO=45° 。又∵ 由 (2) 可知 ，∠ABO=45°，∴∠BEF=∠ABO。
∴BF=EF。∴EF=BF=OF=OB=×2＝1 。∴ E(－1， 1)。
③如图②， 当EO=EF时， 过点E作EH⊥y轴于点H ，在△AOE和△BEF中，
∵∠EAO=∠FBE， EO=EF， ∠AOE=∠BEF， ∴△AOE≌△BEF（AAS）。∴BE=AO=2。
∵EH⊥OB ，∴∠EHB=90°。∴∠AOB=∠EHB。∴EH∥AO。 ∴∠BEH=∠BAO=45°。
在Rt△BEH中， ∵∠BEH=∠ABO=45° ，∴EH=BH=BEcos45°=2×=。∴OH=OB－BH=2－2。∴ E(－， 2－)。
综上所述， 当△EOF为等腰三角形时，点E坐标为E(－1， 1)或E(－， 2－)。
（4）假设存在这样的点P。当直线EF与x轴有交点时，由（3）知，此时E(－， 2－)。
如图④所示，过点E作EH⊥y轴于点H，则OH=FH=2－。
由OE=EF，易知点E为Rt△DOF斜边上的中点，即DE=EF。
过点F作FN∥x轴，交PG于点N。易证△EDG≌△EFN，因此S△EFN=S△EDG。
依题意，可得S△EPF=（）S△EDG=（）S△EFN，∴PE：NE=。
过点P作PM⊥x轴于点M，分别交FN、EH于点S、T，则ST=TM=2－。∵FN∥EH，∴PT：ST=PE：NE=。
∴PT=（）ST=（）（2－）=3－2。
∴PM=PT+TM=2，即点P的纵坐标为2。∴2=－x2－x+2，解得x1=0，x2=－1。∴P点坐标为(0， 2)或（－1， 2）。
综上所述，在直线EF上方的抛物线上存在点P，使得△EPF的面积是△EDG面积的（）倍，点P的坐标为(0， 2)或（－1， 2）。
2.如图，已知抛物线经过原点O和x轴上一点A（4，0），抛物线顶点为E，
它的对称轴与x轴交于点D.直线经过抛物线上一点B（－2，m）且与y轴交于点C，与抛物线
的对称轴交于点F.
（1）求m的值及该抛物线对应的解析式；
（2）P是抛物线上的一点，若S△ADP=S△ADC,求出所有符合条件的点P的坐标；
（3）点Q是平面内任意一点，点M从点F出发，沿对称轴向上以每秒1个单位长度的速度匀速运动，
设点M的运动时间为t秒，是否能使以Q、A、E、M四点为顶点的四边形是菱形.若能，请直接写出点M
的运动时间t的值；若不能，请说明理由.

备用图

（2）设，求得点C的坐标，由S△ADP=S△ADC和二者是同底等高的三角形，得，即，解之即可求得点P的坐标。
（3）∵抛物线的解析式为，∴顶点E（2，﹣1），对称轴为x=2。∵点F是直线y=﹣2x﹣1与对称轴x=2的交点，∴F（2，﹣5），DF=5。
又∵A（4，0），∴AE=。如图所示，在点M的运动过程中，依次出现四个菱形：
①菱形AEM1Q1。∵此时DM1=AE=，∴M1F=DF﹣DE﹣DM1=。
∴t1=。
②菱形AEOM2。∵此时DM2=DE=1，∴M2F=DF+DM2=6。∴t2=6。
③菱形AEM3Q3。∵此时EM3=AE=，∴DM3=EM3﹣DE=﹣1。∴M3F=DM3+DF=（﹣1）+5=。∴t3=。
④菱形AM4EQ4。此时AE为菱形的对角线，设对角线AE与M4Q4交于点H，则AE⊥M4Q4。
∵易知△AED∽△M4EH，∴，即，得M4E=。∴DM4=M4E﹣DE=﹣1=。∴M4F=DM4+DF=+5=。∴t4=。
综上所述，存在点M、点Q，使得以Q、A．E、M四点为顶点的四边形是菱形；时间t的值为：t1=，t2=6，t3=，t4=。
类型七-------因动点而产生的四边形问题
1.如图，已知抛物线经过点，抛物线的顶点为，过作射线．过顶点平行于轴的直线交射线于点，在轴正半轴上，连结．
（1）求该抛物线的解析式；
（2）若动点从点出发，以每秒1个长度单位的速度沿射线运动，设点运动的时间为．问当为何值时，四边形分别为平行四边形？直角梯形？等腰梯形？
（3）若，动点和动点分别从点和点同时出发，分别以每秒1个长度单位和2个长度单位的速度沿和运动，当其中一个点停止运动时另一个点也随之停止运动．设它们的运动的时间为，连接，当为何值时，四边形的面积最小？并求出最小值及此时的长．

x
y
M
C
D
P
Q
O
A
B
x
y
M
C
D
P
Q
O
A
B
N
E
H

解：（1）抛物线经过点，
1分
二次函数的解析式为： 3分
（2）为抛物线的顶点过作于，则，
4分

当时，四边形是平行四边形
5分
当时，四边形是直角梯形
过作于，则
（如果没求出可由求）
6分
当时，四边形是等腰梯形

综上所述：当、5、4时，对应四边形分别是平行四边形、直角梯形、等腰梯形． 7分
（3）由（2）及已知，是等边三角形
则
过作于，则 8分

= 9分
当时，的面积最小值为 10分
此时
11分
2,如图，平面直角坐标系中，点A、B、C在x轴上，点D、E在y轴上，OA=OD=2，OC=OE=4，DB⊥DC，直线AD与经过B、E、C三点的抛物线交于F、G两点，与其对称轴交于M.点P为线段FG上一个动点(与F、G不重合)，PQ∥y轴与抛物线交于点Q.
(1)求经过B、E、C三点的抛物线的解析式；
(2)是否存在点P，使得以P、Q、M为顶点的三角形与△AOD相似？若存在，求出满足条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由；
(3)若抛物线的顶点为N，连接QN，探究四边形PMNQ的形状：①能否成为菱形；②能否成为等腰梯形？若能，请直接写出点P的坐标；若不能，请说明理由.