2021年自考04184线性代数经管类讲义.doc

自考高数线性代数课堂笔记
第一章 行列式

　　线性代数学核心内容是：研究线性方程组解存在条件、解构造以及解求法。所用基本工具是矩阵，而行列式是研究矩阵很有效工具之一。行列式作为一种数学工具不但在本课程中极其重要，并且在其她数学学科、乃至在其她许多学科（例如计算机科学、经济学、管理学等）都是必不可少。
1.1　行列式定义

　　（一）一阶、二阶、三阶行列式定义

（1）定义：符号叫一阶行列式，它是一种数，其大小规定为：。
　　注意：在线性代数中，符号不是绝对值。
　　例如　，且；
　　（2）定义：符号叫二阶行列式，它也是一种数，其大小规定为：因此二阶行列式值等于两个对角线上数积之差。（主对角线减次对角线乘积）

　　例如　
　　（3）符号叫三阶行列式，它也是一种数，其大小规定为

　　例如　=0
　　三阶行列式计算比较复杂，为了协助人们掌握三阶行列式计算公式，咱们可以采用下面对角线法记忆

　　办法是：在已给行列式右边添加已给行列式第一列、第二列。咱们把行列式左上角到右下角对角线叫主对角线，把右上角到左下角对角线叫次对角线，这时，三阶行列式值等于主对角线三个数积与和主对角线平行线上三个数积之和减去次对角线三个数积与次对角线平行线上数积之和。
　　例如：
　　（1）

　　=1×5×9+2×6×7+3×4×8-3×5×7-1×6×8-2×4×9=0
　　（2）

　　（3）

　　（2）和（3）叫三角形行列式，其中（2）叫上三角形行列式，（3）叫下三角形行列式，由（2）（3）可见，在三阶行列式中，三角形行列式值为主对角线三个数之积，别的五项都是0，例如

　　例1　a为什么值时，
　　[答疑编号10010101：针对该题提问]
　　解　由于　
　　因此8-3a=0，时　
　　例2　当x取何值时，
　　[答疑编号10010102：针对该题提问]
　　解：

　　解得　　0<x<9
　　因此当0<x<9时，所给行列式不不大于0。
　　（二）n阶行列式
　　符号：
　　它由n行、n列元素（共个元素）构成，称之为n阶行列式。其中，每一种数称为行列式一种元素，它前一种下标i称为行标，它表达这个数在第i行上；后一种下标j 称为列标，它表达这个数在第j列上。因此在行列式第i行和第j列交叉位置上。为论述以便起见，咱们用(i,j)表达这个位置。n阶行列式普通也简记作。
　　n阶行列式也是一种数，至于它值计算办法需要引入下面两个概念。
　　（1）在n阶行列式中，划去它第i行和第j列，余下数按照本来相对顺序构成一种(n-1)阶行列式叫元素余子式，记作
　　例如，在三阶行列式

　　中，余子式表达将三阶行列式划去第1行和第1列后，余下数按照相对位置构成二阶行列式，因此

　　相似地，余子式表达将三阶行列式划去第二行和第三列后，余下数构成二阶行列式。因此

　　例1　若，求：
　　（1）
　　[答疑编号10010103：针对该题提问]
　　（2）
　　[答疑编号10010104：针对该题提问]
　　（3）
　　[答疑编号10010105：针对该题提问]
　　（4）
　　[答疑编号10010106：针对该题提问]
　　解（1）
　　（2）
　　（3）
　　（4）

（2）符号叫元素代数余子式
定义：（系数其实是个正负符号）
　　例2　求例1中代数余子式
　　（1）
　　[答疑编号10010107：针对该题提问]
　　（2）
　　[答疑编号10010108：针对该题提问]
　　（3）
　　[答疑编号10010109：针对该题提问]
　　（4）
　　[答疑编号10010110：针对该题提问]
　　解：（1）

　　（2）

　　（3）

　　（4）

（如果符号是奇数，等于相反数；如果是偶数，等于原数）
　　例3　若
　　计算 （以上两组数相等）
　　[答疑编号10010111：针对该题提问]
　　解：

　　由于

　　与例3成果比较，发现

　　这一成果阐明：三阶行列式等于它第一列元素与相应代数余子式积和，这一成果可以推广到n阶行列式作为定义。

定义：n阶行列式

　　即规定n阶行列式值为它第一列元素与相应代数余子式积和，上面成果中由于

　　因此有

　　特别情形

　　例4　计算下列行列式
　　（1）
　　[答疑编号10010112：针对该题提问]

　　由本例可见四阶上三角形行列式值也等于它主对角线各数之积
　　（2）
　　[答疑编号10010113：针对该题提问]

　　可见五阶上三角形行列式值仍等于它主对角线各数之积
　　普通地可推得

　　即任意n阶上三角形行列式值等于它主对角线各数之积
　　同理有

1.2　行列式按行（列）展开

　　在1.1节讲n阶行列式展开时，是把按其第一列展开而逐渐把行列式阶数减少后来，再求出其值。事实上，行列式可以按其任意一行或按其任意一列展开来求出它值。
　　当前给出下面重要定理，其证明从略。
　　定理1.2.1（行列式展开定理）n阶行列式等于它任意一行（列）各元素与其相应代数余子式乘积之和，即
　　　　　 （i=1,2,…,n）　　　（1.8）
　　或　　（j=1,2,…,n）　　　（1.9）
　　其中，是元素在D中代数余子式。
　　定理1.2.1（行列式展开定理）n阶行列式等于它任意一行（列）各元素与其相应代数余子式乘积之和，即
　　　　　　　（i=1,2,…,n）　　　（1.8）
　　或　　（j=1,2,…,n）　　　（1.9）
　　其中，是元素在D中代数余子式。
　　（1.8）式称为D按第i行展开式，（1.9）式称为D按第j列展开式，这里i,j=1,2,…
　　上述展开定理也可以表达到

　　　（i=1,2,…,n）
　　（j=1,2,…,n）
　　这两个展开式中每一项都由三某些构成：元素和它前面符号以及它背面余子式，三者缺一不可！特别容易忘掉是把元素（特别是）抄写下来。
　　依照定理1.2.1懂得，凡是含零行（行中元素全为零）或零列（列中元素全为零）行列式，其值必为零。
　　特别情形
　　（1）

　　（2）

　　例5　计算
　　[答疑编号10010201：针对该题提问]
　　解：由于第一行或第四列所含零最多，故可按第一行展开（解题技巧）

　　可见四阶下三角形行列式值也等于它主对角线各数之积
　　例5成果可推广为

　　咱们称这种行列式为下三角行列式（可任意取值元素在主对角线下面）。
　　例6　计算
　　[答疑编号10010202：针对该题提问]
　　解：由于第2行含0最多，因此应按第二行展开

　　例7　计算
　　[答疑编号10010203：针对该题提问]
　　解：将按第6行展开得

　　例8　计算
　　（1）
　　[答疑编号10010204：针对该题提问]
　　解：按第4行展开

　　（2）
　　[答疑编号10010205：针对该题提问]
　　解：将D按第一行展开

　　（重新分组后得出）
1.3　行列式性质与计算

　　由于n阶行列式是n!项求和，并且每一项都是n个数乘积，当n比较大时，计算量会非常大，例如，10!=3628800。因此对于阶数较大行列式很难直接用定义去求它值，这时运用行列式性质可以有效地解决行列式求值问题。下面咱们来研究行列式性质，并运用行列式性质来简化行列式计算。

　　1.3.1　行列式性质
　　将行列式D第一行改为第一列，第二行改为第二列……第n行改为第n列，仍得到一种n阶行列式，这个新行列式称为D转置行列式，记为或。即如果

　　则

性质1　行列式和它转置行列式相等，即或

　　依照这个性质可知，在任意一种行列式中，行与列是处在平等地位。凡是对“行”成立性质，对“列”也成立；反之，凡是对“列”成立性质，对“行”也成立。因此只需研究行列式关于行性质，其所有结论对列也是自然成立。
　　（运用最多）性质2　用数k乘行列式D中某一行（列）所有元素所得到行列式等于kD。这也就是说，行列式可以按某一行和某一按列提出公因数：

　　证　将左边行列式按其第i行展开后来，再提出公因数k，即得右边值：

　　注意　如果行列式有多行或多列有公因数，必要按行或按列逐次提出公因数。
　　例1　计算行列式：
　　[答疑编号10010206：针对该题提问]
　　解　
　　=30（4+6+5-2-4-15）
　　=30（-6）=-180
　　在例1计算过程中，咱们先提出第二行公因数2和第三行公因数3，得到第一种等号右边式子，然后提出这个行列式中第三列公因数5，把行列式中各元素绝对值化小后来，再求出原行列式值。
　　例2　
　　[答疑编号10010207：针对该题提问]

　　由于

　　因此原式=4abcdef
　　这里是把上式第一种等号左边行列式第一、二、三行分别提出了公因子a,d,f，第二个等号左边行列式第一、二、三列分别提出了公因子b,c,e，化简后再求出其值。
　　例3　计算行列式：
　　在行列式D每一行中都提出公因数（-1）并用行列式性质1可以得到
　　[答疑编号10010208：针对该题提问]

　　由于行列式D是一种数，因此由D= -D，可知行列式D=0。
　　用这种办法可以证明：任意一种奇数阶反对称行列式必为零。所谓反对称行列式指是，其中主对角线上元素全为0，而以主对角线为轴，两边处在对称位置上元素异号。即若是反对称行列式，则它满足条件

（运用最多）性质3　互换行列式任意两行（列），行列式值变化符号。即对于如下两个行列式

有
　　依照这个性质可以得到下面重要推论：
　　推论　如果行列式中有两行（列）相似，则此行列式值等于零。
　　由于互换行列式D中两个相似行（列），其成果仍是D，但由性质3可知其成果为-D，因而D=-D，因此D=0。

性质4　如果行列式中某两行（列）相应元素成比例，则此行列式值等于零。
　　证　设行列式D第i行与第j行相应元素成比例，不妨设第j行元素是第i行元素乘以k得到，则

　　由于将行列式D中第j行比例系数k提到行列式外面来后来，余下行列式有两行相应元素相似，因而该行列式值为零，从而原行列式值等于零。行列式中某两列元素相应成比例情形可以类似地证明。
　　例4　验算x=3与否是方程根。
　　[答疑编号10010209：针对该题提问]
　　解：由于 （第二行与第四行成倍数）
　　∴x=3是方程f(x)=0根。

性质5　行列式可以按行（列）拆开，即

　　证　将左边行列式按其第i行展开即得

　　这就是右边两个行列式之和。
　　（运用最多）性质6　把行列式D某一行（列）所有元素都乘以同一数k后来加到另一行（列）相应元素上去，所得行列式仍为D。
　　即：

　　例5　证明：

　　充要条件是k=1或k=±2 　　
　　[答疑编号10010301：针对该题提问]
　　证　由于
　　（第一行数乘与（-1）加到第二行上去）

　　因此，D=0充要条件是k=1或k=±2。
　　此题中，为了论述以便，咱们引入了新记号，将每一步行变换写在等号上面（若有列变换则写在等号下面，本题没有列变换），即第一步中②+（-1）×①表达将第一行-1倍加到第二行上，第二步是第一列展开。　　
　　依照行列式展开定理与行列式性质，咱们有下面定理：　　
　　定理1.3.1　n阶行列式任意一行（列）各元素与另一行（列）相应元素代数余子式乘积之和等于零，即

， （1.10）
， （1.11）

　　1.3.2　行列式计算
　　 行列式计算重要采用如下两种基本办法。
　　（1）运用行列式性质，把原行列式化为容易求值行列式，惯用办法是把原行列式化为上三角（或下三角）行列式再求值。此时要注意是，在互换两行或两列时，必要在新行列式前面乘上（-1），在按行或按列提取公因子k时，必要在新行列式前面乘上k。
　　（2）把原行列式按选定某一行或某一列展开，把行列式阶数减少，再求出它值，普通是运用性质6在某一行或某一列中产生诸各种“0”元素，再按包括0最多行或列展开。
　　例6　计算行列式 　　
　　[答疑编号10010302：针对该题提问]
　　解　由于上三角行列式值等于其主对角线上元素乘积，因此咱们只要设法运用行列式性质将行列式化为上三角行列式，即可求出行列式值。

　　咱们在计算例6中行列式时，是运用行列式性质先将它化成上三角行列式后，再求出它值，事实上在计算行列式值时，未必都要化成上三角或下三角行列式，若将行列式性质与展开定理结合起来使用，往往可以更快地求出成果。　　
　　例7　计算行列式：

　　[答疑编号10010303：针对该题提问]
　　解　观测到行列式第一行第一列位置元素a11=1，运用这个（1，1）位置元素1把行列式中第一列其她元素全都化为0，然后按第一列展开，可将这个四阶行列式降为三阶行列式来计算，详细环节如下：

　　按第一列展开，得
　　 =（-1）×2×

　　 例8　计算行列式　　　（把最简朴调到第一列或是第一旬）
　　 [答疑编号10010304：针对该题提问]

　　在本例中，记号①②写在等号下面，表达互换行列式第一列和第二列，②+5×①写在等号下面，表达将行列式第一列乘以5后加到第二列。　　
　　例9　计算行列式： （例子很特殊）

　　[答疑编号10010305：针对该题提问]
　　解　这个行列式有特殊形状，其特点是它每一行元素之和为6，咱们可以采用简易办法求其值，先把后三列都加到第一列上去，提出第一列公因数6，再将后三行都减去第一行：
　　（32）？　
　　例10　计算行列式： 　　a2-b2=(a+b)(a-b)
　　[答疑编号10010306：针对该题提问]

　　例11　计算n阶行列式（n>1）：

　　[答疑编号10010307：针对该题提问]
　　解　将行列式按第一列展开，得
　　 （简化过程就是消阶，次方也应减少，为（N-1）等

　　 例12　计算范德蒙德（VanderMonde）行列式： 　　
　　[答疑编号10010308：针对该题提问]（第一行乘（-X1）加到第二行上；第二行乘（-X1）加到第三行上）

　　例13 计算　 　　
　　[答疑编号10010309：针对该题提问]
　　（这是个定律）
　　 例14　计算 　　（解题规律：每行或是每列中和是同样，故每行或是每列都乘“1”加到第一行或是第一列上去，再把这个数当公因数提取，形成有一行或是列全为“1”行列式，然后再化简）
　　[答疑编号10010310：针对该题提问]

　　=（x+4a）（x-a）4

1.4　克拉默法则

　　由定理1.2.1和定理1.3.1合并有

　　或 　　
　　（一）二元一次方程组（方程1、2左右同乘以一种数，上下对减）

　　由a22*①-a12*②得

　　由a11②-a21①得

　　令 =D　 =D1　=D2
　　则有 　　A是常数项

∴当D≠0时，二元一次方程组有唯一解

　　（二）三元一次方程组

　　令叫系数行列式
　　， ，
　　由D中A11①+A21②+A31③得

　　即
　　由D中A12①+A22②+A32③得

　　即
　　由D中A13①+A23②+A33③得

　　即

∴当D≠0时，三元一次方程组有唯一解

　　普通地，有下面成果

定理（克拉默法则）
在n个方程n元一次方程组
（1）
中，若它系数行列式
≠0
则n元一次方程组有唯一解。

推论：在n个方程n元一次齐次方程组
（2）　　
中
（1）若系数行列式D≠0，方程组只有零解

（2）若系数行列式D=0
则方程组（2）除有零解外，尚有非零解（不证）
例　在三元一次齐次方程组

　　中，a为什么值时只有零解，a为什么值时有非0解。　　
　　[答疑编号10010401：针对该题提问]
　　解： =2a-6+3-4-（-9）-a=a+2
　　∴（1）a≠-2时，D≠0,只有零解
　　（2）a=-2时 ，D=0 ，有非零解。

　　 本章考核内容小结
　　（一）懂得一阶，二阶，三阶，n阶行列式定义
　　懂得余子式，代数余子式定义
　　（二）懂得行列式按一行（列）展开公式

　　（三）熟记行列式性质，会用展开公式或将行列式化为三角形办法计算行列式
　　重点是三阶行列式计算和各行（列）元素之和相似行列式计算
　　（四）懂得克拉默法则条件和结论

第二章 矩　阵

　　矩阵是线性代数学一种重要基本概念和数学工具，是研究和求解线性方程组一种十分有效工具；矩阵在数学与其她自然科学、工程技术中，以及经济研究和经济工作中解决线性经济模型时，也都是一种十分重要工具。本章讨论矩阵加、减法，数乘，乘法，矩阵转置运算，矩阵求逆，矩阵初等变换，矩阵秩和矩阵分块运算等问题。最后初步讨论矩阵与线性方程组问题。

　　2.1　矩阵概念

　　定义2.1.1　由m×n个数aij（i=1，2，…，m；j=1，2，…，n）排成一种m行n列数表
　　 用大小括号表达
　　称为一种m行n列矩阵。矩阵含义是，这m×n个数排成一种矩形阵列。其中aij称为矩阵第i行第j列元素（i=1，2，…，m；j=1，2，…，n），而i称为行标，j称为列标。第i行与第j列变叉位置记为（i，j）。
　　通惯用大写字母A，B，C等表达矩阵。有时为了标明矩阵行数m和列数n，也可记为
　　A=（aij）m×n或（aij）m×n或Am×n
　　当m=n时，称A=（aij）n×n为n阶矩阵，或者称为n阶方阵。n阶方阵是由n2个数排成一种正方形表，它不是一种数（行列式是一种数），它与n阶行列式是两个完全不同概念。只有一阶方阵才是一种数。一种n阶方阵A中从左上角到右下角这条对角线称为A主对角线。n阶方阵主对角线上元素a11，a22，…，ann，称为此方阵对角元。在本课程中，对于不是方阵矩阵，咱们不定义对角元。
　　元素全为零矩阵称为零矩阵。用Om×n或者O（大写字）表达。
　　特别，当m=1时，称α=（a1，a2，…，an）为n维行向量。它是1×n矩阵。
　　当n=1时，称为m维列向量。它是m×1矩阵。
　　向量是特殊矩阵，并且它们是非常重要特殊矩阵。
　　例如，（a，b，c）是3维行向量，是3维列向量。
　　几种惯用特殊矩阵：
　　1.n阶对角矩阵
　　形如或简写为（那不是A，念“尖”）

矩阵，称为对角矩阵，
对角矩阵必要是方阵。
　　例如，是一种三阶对角矩阵，也可简写为。
　　2.数量矩阵

当对角矩阵主对角线上元素都相似时，称它为数量矩阵。
n阶数量矩阵有如下形式：
　　或。（标了角标就是N阶矩阵，没标就不知是多少）

特别，
当a=1时，称它为n阶单位矩阵。
n阶单位矩阵记为En或In，即
　　或
　　在不会引起混淆时，也可以用E或I表达单位矩阵。
　　n阶数量矩阵惯用aEn或aIn表达。其含义见2.2节中数乘矩阵运算。
　　3.n阶上三角矩阵与n阶下三角矩阵
　　形如

　　矩阵分别称为上三角矩阵和下三角矩阵。

对角矩阵必要是方阵。
一种方阵是对角矩阵当且仅当它既是上三角矩阵，又是下三角矩阵。
　　4.零矩阵
　　 （可以是方阵也可以不是方阵）

　　2.2　矩阵运算

　　本节简介矩阵加法、减法、数乘、乘法和转置等基本运算。只有在对矩阵定义了某些有理论意义和实际意义运算后，才干使它成为进行理论研究和解决实际问题有力工具。

　　2.2.1　矩阵相等（同）
　　定义2.2.1
设A=（aij）m×n，B=（bij）k×l，若m=k，n=l且aij=bij，i=1，2，…，m；j=1，
2，…，n，则称矩阵A与矩阵B相等，记为A=B。
　　由矩阵相等定义可知，两个矩阵相等指是，它们行数相似，列数也相似，并且两个矩阵中处在相似位置（i，j）上一对数都必要相应相等。特别，
　　A=（aij）m×n=Oaij=0，i=1，2，…，m；j=1，2，…，n。
　　注意　行列式相等与矩阵相等有本质区别，例如

　　由于两个矩阵中（1，2）位置上元素分别为0和2。但是却有行列式等式
　　 （由于行列式是数，矩阵是表，表规定表里每一种都同样）

　　2.2.2　矩阵加、减法
　　定义2.2.2　设A=（aij）m×n和B=（bij）m×n，是两个m×n矩阵。由A与B相应元素相加所得到一种m×n矩阵，称为A与B和，记为A+B，即
　　A+B=（aij+ bij）m×n。
　　即若

　　则

　　当两个矩阵A与B行数与列数分别相等时，称它们是同型矩阵。只有当两个矩阵是同型矩阵时，它们才可相加。
　　例如

　　注意：
　　（1）矩阵加法与行列式加法有重大区别
　　例如

　　 （阶数相似，所有行（列）中除某一行（列）不相似外，别的行都同样才可以相加，办法是除了这两个不同行（列）相加外，其他不变。）
　　（2）阶数不不大于1方阵与数不能相加。（阶数不不大于1它就是一种表，不是一种数了）
　　若A=（aij）为n阶方阵，n>1，a为一种数，则A+a无意义！但是n阶方阵A=（aij）m×n与数量矩阵aEn可以相加：
　　 （把数转化为数量矩阵aEn就可以想加了）

由定义2.2.2知
矩阵加法满足下列运算律：

设A，B，C都是m×n矩阵，O是m×n零矩阵，则
（1）互换律A+B=B+A.（乘法没有互换律）
（2）结合律（A+B）+C=A+（B+C）.
（3）A+O=O+A=A.
（4）消去律A+C=B+CA=B.

　　2.2.3　数乘运算（矩阵与数不能相加，但是也许想乘）
　　定义2.2.3　对于任意一种矩阵A=（aij）m×n和任意一种数k，规定k与A乘积为kA=（kaij）m×n.（矩阵里第个原数都乘以数K）
　　即若
　　则
　　由定义2.2.3可知，数k与矩阵A乘积只是A中所有元素都要乘以k，而数k与行列式Dn乘积只是用k乘Dn中某一行所有元素，或者用k乘Dn中某一列所有元素，这两种数乘运算是截然不同。
　　依照数乘矩阵运算定义可以懂得，数量矩阵aEn就是数a与单位矩阵En乘积。

数乘运算律
（1）结合律（kl）A=k（lA）=klA，k和l为任意实数。
（2）分派律k（A+B）=kA+kB，（k+l）A=kA+lA，k和l为任意实数。
　　例1　已知

　　求2A-3B。
　　[答疑编号：1001针对该题提问]
　　解

　　例2　已知

　　且A+2X=B，求X。
　　[答疑编号：1002针对该题提问]
　　解：（注意是乘以矩阵里每个元素）

　　2.2.4　乘法运算
　　定义2.2.4
设矩阵A=（aij）m×k，B=（bij）k×n，令C=（cij）m×n是由下面m×n个元素
cij=ai1b1j+ai2b2j+…+aikbkj（i=1，2，…，m；j=1，2，…，n）

构成m行n列矩阵，称矩阵C为矩阵A与矩阵B乘积，记为C=AB。
　　由此定义可以懂得，两个矩阵A=（aij）和B=（bij）可以相乘当且仅当A列数与B行数相等。当C=AB时，C行数=A行数，C列数=B列数。C第i行第j列元素等于矩阵A第i行元素与矩阵B第j列相应元素乘积之和。
　　例3　若且AB=C
　　求矩阵C中第二行第一列中元素C21
　　[答疑编号：1003针对该题提问]
　　解：C21等于左矩阵A中第二行元素与右矩阵B中第一列元素相应乘积之和
　　∴C21=2×1+ 1×3+ 0×0=5
　　 例4　设矩阵
　　（列 行）
　　求AB。
　　[答疑编号：1004针对该题提问]
　　解：=
　　这里矩阵A是3×3矩阵，而B是3×2矩阵，由于B列数与A行数不相等，因此BA没故意义。
　　例5　求（1）A3E3　（2）E3A3
　　解：（1）

　　[答疑编号：1005针对该题提问]
　　（2）

　　[答疑编号：1006针对该题提问]
　　由本例可见A3E3=E3A3=A3，并且可以推广有

　　它与代数中1·a=a·1=a比较可见单位矩阵En在乘法中起单位作用。
　　例6　设矩阵

　　求AB和BA
　　[答疑编号：1007针对该题提问]
　　解：
　　当前，咱们对矩阵乘法与数乘法作一比较。
　　数乘法有互换律，矩阵乘法没有普遍互换律。（差别）
　　例7　设　 　求
　　（1）AB　　（2）AC
　　解　（1）
　　[答疑编号：1008针对该题提问]
　　（2）
　　[答疑编号：1009针对该题提问]
　　可见AB=AC
　　众所周知，两个数乘积是可互换：ab=ba，因而才有熟知公式：
　　（a+b）2=a2+2ab+b2，a2-b2=（a+b）（a-b），（ab）k=akbk.
　　两个非零数乘积不也许为零。因而，当ab=0时，必有a=0或b=0。当ab=ac成立时，只要a≠0，就可把a消去得到b=c。（这条只满足数，不满足矩阵）

由矩阵乘法及上述例6、例7可知：
（1）单位矩阵与任意一种同阶方阵乘积必可互换：EnA=AEn=A
（2）数量矩阵与任意一种同阶方阵乘积必可互换：（aEn）A=A（aEn）.
（3）在普通情形下，矩阵乘法不满足互换律，即普通AB≠BA。
（4）当AB=O时，普通不能推出A=O或B=O。这阐明矩阵乘法不满足消去律。
（5）当AB=AC时，普通不能推出B=C。（消去律）
　　若矩阵A与B满足AB=BA，则称A与B可互换。此时，A与B必为同阶方阵。
　　矩阵乘法不满足消去律，并不是说任意两个方阵相乘时，每一种方阵都不能从矩阵等式同侧消去。在下一节中咱们将会看到，被称为可逆矩阵方阵一定可以从矩阵等式同侧消去。
　　例8　设矩阵，求出所有与A可互换矩阵。（即AB=BA）
　　[答疑编号：1001针对该题提问]
　　解　由于与A可互换矩阵必为二阶矩阵，因此可设为与A可互换矩阵，则

　　由AX=XA，可推出x12=0，x11=x22，且x11，x21可取任意值，即得
　　。（对角线必要同样）
　　例9　解矩阵方程，X为二阶矩阵。
　　[答疑编号：1002针对该题提问]
　　解 设。由题设条件可得矩阵等式：

　　由矩阵相等定义得
　　　 （列出两组方程式）
　　解这两个方程组可得x11=1，x21= -1，x12=1，x22=0。因此。

乘法运算律
（1）矩阵乘法结合律（AB）C=A（BC）。（不变化顺序）
（2）矩阵乘法分派律（A+B）C=AC+BC，A（B+C）=AB+AC。
（3）两种乘法结合律k（AB）=（kA）B=A（kB），k为任意实数。
（4）EmAm×n=Am×n，Am×nEn=Am×n（其中Em，En分别为m阶和n阶单位矩阵）。
　　矩阵乘法结合律要用定义直接验证（证略），其她三条运算律对的性是显然。
　　方阵方幂
　　设A为n阶方阵，由于矩阵乘法满足结合律，因此可以不加括号而有完全拟定意义。

咱们定义
A幂（或称方幂）为
　　由定义可知，n阶方阵方幂满足下述规则：
　　AkAl=Ak+l，（Ak）l=Akl，k，l为任意正整数。
　　例10　用数学归纳法证明如下矩阵等式：
　　（1）（2）。
　　证　（1）当n=1时，矩阵等式显然成立。假设当n=k时，矩阵等式成立，即
　　则
　　懂得，当n=k+1时，矩阵等式也成立。因此对任意正整数n，此矩阵等式成立。
　　[答疑编号：1003针对该题提问]
　　（2）当n=1时，矩阵等式显然成立。假设当n=k时，矩阵等式成立，即
　　则
　　懂得，当n=k+1时，矩阵等式也成立。因此对任意正整数n，此矩阵等式都成立。
　　[答疑编号：1004针对该题提问]
　　例11　设n阶方阵A和B满足，证明：（解B平方为多少）
　　。
　　[答疑编号：1005针对该题提问]
　　证　由可推出B=2A-En。再由
　　B2=（2A-En）（2A-En）=4A2-4A+En （E等于1呀）
　　证得
　　例12　

　前者是数，后者是n阶方阵，两者不相等，即AB≠BA.（行乘列为数，列乘行为N阶方阵）
　　[答疑编号：1006针对该题提问]

由于矩阵乘法不满足互换律，因此对于n阶方阵A和B，有如下重要结论：
（1）（A+B）2=（A+B）（A+B）=A2+AB+BA+B2=A2+2AB+B2 AB=BA。
（2）（A+B）（A-B）=A2-AB+BA-B2=A2-B2AB=BA。
（3）当AB=BA时必有（AB）k=AkBk.（只有两者两等时成立）
　　例如AB=BA时，（AB）2=（AB）（AB）=ABAB=A（BA）B=AABB=（AA）（BB）=A2B2
　　但AB≠BA时，则上面成果不成立。
　　例13　设，，则有

　　[答疑编号：1007针对该题提问]
　　由于矩阵乘法不满足消去律，因此对于n阶方阵A和B，有如下重要结论：

（1）AB=O，A≠O不能推出B=O。
例如时
　　（两个不等于零方阵相乘或是一种数平方也也许等于零）

（2）由A2=O不能推出A=O。
例如
　　则

（3）由AB=AC，A≠O不能推出B=C。
例如时
　　（同系数两个数或是两个数平方相等）
　　即AB=AC，但B≠C

（4）由A2=B2不能推出A=±B。
例如，取

　　则

　　2.2.5　矩阵转置

定义2.2.5
设矩阵

把矩阵行与列互换得到n×m矩阵，称为矩阵A转置矩阵，记作AT或A’，即

易见A与AT互为转置矩阵。特别，n维行（列）向量转置矩阵为n维列（行）向量。
　　例如，则
　　若A=（a1，a2，…，an）则
　　若则BT=（b1，b2，…，bn）
　　例14　如果已知A为l×n矩阵，BAT为r×l矩阵，证明：B为r×n矩阵。
　　[答疑编号：1008针对该题提问]
　　证　设B为x行y列矩阵
　　则有BxxyATn×l=（BAT）x×l
　　依照可乘条件有y=n
　　依照积形状有x=r
　　因此B为Br×n
　　例15　求
　　（1）AB　（2）（AB）T　（3）ATBT　（4）BTAT
　　解：（1）
　　[答疑编号：1009针对该题提问]
　　（2）
　　[答疑编号：10020210针对该题提问]
　　（3）
　　[答疑编号：10020211针对该题提问]
　　（4）
　　[答疑编号：10020212针对该题提问]
　　由本例可见（AB）T=BTAT，这一成果有普遍性（不证）

转置运算律
（1）（AT）T=A
（2）（A+B）T=AT+BT
（3）（kA）T=kAT，k为实数。
（4）（AB）T=BTAT，（A1A2…An）T=AnTA n-1T…A1T.

定义2.2.6
设A=（aij）为n阶实方阵。若A满足AT=A，也就是说A中元素满足：

aij=aji，i，j=1，2，…，n，则称A为实对称矩阵。
若A满足AT=-A，也就是说A中元素满足：
aij=-aji，i，j=1，2，…，n，此时必有aii=0，i=1，2，…，n，则称A为实反对称矩阵。
　　实矩阵指是元素全为实数矩阵，在本课程中，咱们只讨论实对称矩阵和实反对称矩阵，因而，往往省略一种“实”字。例如，

　　都是对称矩阵；

　　都是反对称矩阵。
　　例16　证明：任意一种实方阵A都可以惟一地表达为一种对称矩阵与一种反对称矩阵之和。
　　[答疑编号：10020213针对该题提问]
　　证：取　
　　则A=X+Y
　　其中=X
　　∴X是对称阵。

　　∴Y是反对称阵。

（注）举例证明了下面结论，
对任意方阵A均有

（A+AT）是对称阵
（A-AT）是反对称阵
　　例17　（1）设A为n阶对称矩阵，证明：对于任意n阶方阵P，PTAP必为对称矩阵。
　　（2）如果已知PTAP为n阶对称矩阵，问A与否必为对称矩阵？
　　证（1）由于A是对称矩阵，必有AT=A（满足这个条件），于是必有
　　（PTAP）T=PTATP=PTAP
　　这阐明PTAP必为对称矩阵。
　　[答疑编号：10020214针对该题提问]
　　（2）反之，如果PTAP为n阶对称矩阵：（PTAP）T=PTAP，则有
　　PTATP=PTAP，
　　但是矩阵乘法不满足消去律，在矩阵等式两边，未必能把PT和P消去，因此不能推出AT=A，A未必是对称矩阵。
　　[答疑编号：10020215针对该题提问]
　　2.2.6方阵行列式
　　定义2.2.7
由n阶方阵A元素按本来顺序构成行列式称为方阵A行列式，记作
或det（A）。
　　即，如果
　　，
　　则
　　。
　　例如，行列式为。
　　注意
（1）矩阵是一种数表，行列式是一种数，两者不能混淆，并且行列式记号“”与矩
阵记号“（*）”也不同，不能用错。
　　（2）矩阵行数与列数未必相等，但行列式行数与列数必要相等。
　　（3）当且仅当为n阶方阵时，才可取行列式。对于不是方阵矩阵是不可以取行列式。
　　易见，上、下三角矩阵行列式等于它所有对角线元素乘积
　　。
　　特别，，。
　　，
　　例18 设且有。求
　　[答疑编号：10020301针对该题提问]
　　解：
　　因此
　　由本例可见
　　普通地应有

方阵行列式有如下性质：设A，B为n阶方阵，k为数，则
（1）；
（2）；
（3）。（行列式乘法规则）
　　（1），（2）证明可由方阵行列式定义及行列式性质直接得到。（3）证明从略。
　　例19 设，，则
　　[答疑编号：10020302针对该题提问]
　　①
　　②
　　③，
　　。
　　④

　　于是