张玉俊的论文：数学解题教学教会学生知识模块识别---平面向量与三角形的“四心”的关系.doc

附件一：
（2014年）第五届全国数学教师论文（设计）大赛
（征文封面）
学科类别（不要以编号代替）：中学数学
论文题目
数学解题教学教会学生知识模块识别
------平面向量与三角形的“四心”的关系
作者姓名
张玉俊
学校名称
贵州省贵阳市清华中学
课题组成员姓名

学校地址
贵州省贵阳市花溪清华路39号 邮编：550025
联系电话
固定电话： 移动电话：[phone]
论文内容摘要（200字左右）
数学解题教学是思维的教学,数学解题要求充分暴露思维过程，学生如此，老师也如此。但老师应站得高，看得远。言简意赅、高屋建瓴是一个老师应具有的素质。高考数学充分体现个体能力（运算能力，思维能力等），若教学仅是就题论题，那显然对学生的能力培养是远远不够的。通过数学解题教学加深或拓宽学生对相关知识的学习，从而教会学生知识模块识别。
如以平面向量与三角形“四心”的关系为例.三角形的“四心”在高考中是学生比较棘手的问题，尤其又与平面向量紧密联系那就更加难于掌握，对这两者进行一定的探究，就显得尤为重要，也有助于学生知识模块识别。
个人诚信承诺（在括号内打“√”）：
1、所写论文为本人原创，并非从网上直接下载或抄袭他人（ √ ）
2、所写案例真实，源于本人亲历的课堂（ √ ）
说明：
一、学科类别分别为：1.中学语文 2.中学数学 3.中学英语 4、中学物理5.中学化学 6.中学生物 7、中学政治 8.中学历史 9、中学地理 10.小学语文 11、小学数学 12、小学思品 13、小学英语 14、小学科学 15、中小学音乐 16.中小学体育与健康 17.中小学美术 18.中小学信息技术 19.中小学综合实践活动 20. 学前教育 21.综合（凡不是纯学科性的论文都归在这一类，如：如何做好班主任工作、如何提高学生的心理素质等）。
二、论文题目不要太长。教学设计或教学案例直接点明是什么课的设计或案例，如：《祝福》教学设计、《分数的除法》教学案例（不要把某某版第某册第某课作为题目的组成部分）。
数学解题教学教会学生知识模块识别
------平面向量与三角形的“四心”的关系
贵阳市清华中学：张玉俊
数学是思维科学，数学解题教学是思维的教学；数学解题要求充分暴露思维过程，学生如此，老师也如此。但老师应站得高，看得远。言简意赅、高屋建瓴是一个老师应具有的素质。高考数学充分体现个体能力（运算能力，思维能力等），若教学仅是就题论题，那显然对学生的能力培养是远远不够的。通过数学解题教学加深或拓宽学生对相关知识的学习，从而教会学生知识模块识别。
由于解题能力上衡量一个人数学水平的重要指标。所以学习数学离不开解题。“解题教学”是中学数学的核心内容，它是数学教学的有机组成部分。对于学生掌握双基，培养能力上必不可少的。著名美籍匈牙利数学家波利亚指出：“中学数学首要的任务是加强解题训练”。同时他又指出“掌握数学就是意味着解题”。
教师会做题不等于就会教学生解题。往往就题解题，缺少变式、思想与方法等策略， 不太关注学生在解题过程中所出现的思维障碍，不能帮助学生建构知识网络和知识模块识别以及试题模型；缺少多角度的问题分析，缺少对解题的优化过程。只有通过一题多解或变式才能使学生感知感悟思想方法策略的重要性，从而使学生具备良好的数学解题意识，具有独立批判、修正的数学素养和观念。对问题的思路具有感知和预见性。学会自我拟定解题的路线图。让学生明确到底要做什么？然后才是怎样做，在解题教学过程中，要充分暴露教师在解题过程中的思维活动的全过程。使学生明确教师是怎样做的，为什么这样做。使学生具备知识模块识别以及它们的结构能力，才会举一反三。
教师解题过程中，只有对所举例题的背景以及设计考查的主要知识、思想方法等意图的诠释。教师才能一览众山小，才能使学生找到一朵蘑菇的同时，会收获一片蘑菇。如以平面向量与三角形“四心”的关系为例.
一、三角形“四心”的概念介绍
（1）重心——中线的交点：重心将中线长度分成2：1；
（2）垂心——高线的交点：高线与对应边垂直；
（3）内心——角平分线的交点（内切圆的圆心）;角平分线上的任意点到角两边的距离相等；
（4）外心——中垂线的交点（外接圆的圆心）：外心到三角形各顶点的距离相等.
二、平面向量与三角形“四心”的结合
（1）是的 重心 .
证法1：设
是的重心.
证法2：如图

三点共线，且分为2：1
是的重心
（2）为的 垂心 .
证明：如图所示O是三角形ABC的垂心，BE垂直AC，AD垂直BC， D、E是垂足.

同理，
为的垂心

（3）设,,是三角形的三条边长，
为的 内心 .
证明：分别为方向上的单位向量，
平分,
)，令
（)
化简得

（4）为的 外心 。
典型例题：
【例1】已知是的垂心，是所在平面内的一点，且，则是的（ B ）
A．内心 B．外心 C．重心 D．垂心

小结：将已知利用向量的运算化简到最简.再数形结合解决。
拓展变式一：已知是的外心，是所在平面内的一点，且，则是的（ D ）
A．内心 B．外心 C．重心 D．垂心

拓展变式二：已知、分别是的外心和垂心，且，则实数的值等于 1 .
拓展变式三：（全国高中数学竞赛题）设O在内部且满足，则的面积与的面积之比为（C）
A.2 B. C.3 D.

【例2】是平面上一定点，是平面上不共线的三个点，动点满足， ，则点的轨迹一定通过的（ C ）
A．外心 B．内心 C．重心 D．垂心

拓展变式一：是平面上一定点，是平面上不共线的三个点，动点满足， ，则点的轨迹一定通过的（ B ）
A．外心 B．内心 C．重心 D．垂心

拓展变式二：是平面上一定点，是平面上不共线的三个点，动点满足， ，则点的轨迹一定通过的（ D ）
A．外心 B．内心 C．重心 D．垂心

拓展变式三：是平面上一定点，是平面上不共线的三个点，动点满足， ，则点的轨迹一定通过的（ A ）
A．外心 B．内心 C．重心 D．垂心

数学解题教学，要明确解题的目的，不仅仅满足于求出答案，要从解题中自觉吸取营养，并饶有兴趣地进行新的探索或变式；解题中用到了哪些知识？它们是怎样联系起来的？解题的关键在哪里？思路是怎样打通的？还有别的解法吗？这个问题能够推广吗？改变一下条件如何？改变一下结论如何？......当你的思想已沉浸在无边的探索时，你也就从解题中获得了崇高的享受，并接受到数学文化熏陶。在解题教学中，教师要站在学生思考问题的角度，找到解决问题的切入点。使学生捡到一朵蘑菇的同时，发现和收获一片蘑菇。

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