教的平分线的性质二.docx

八年级数学

角的平分线的性质（二）

霸州市第十二中学

赵雪培

角的平分线的性质（二）
教学背景
在学生学习了角平分线性质的基础上，本节课我们将进一步研究角平分线性质定理的逆定理——角的内部到角的两边距离相等的点在角的平分线上．这是全等三角形知识的运用和延续，是今后学习圆的内心的基础．
教学目标
知识技能：掌握角平分线的判定，并能利用这些方法解决简单的数学问题和实际问题．
数学思考：经历探究角平分线的判定的过程，发展学生合情推理能力和演绎推理力．
情感态度：结合实际，创造丰富的情境，提高学生的学习兴趣，让他们在活动中获得成功的体验，培养学生的探索精神，树立学习的信心。
教学重难点
1． 重点：探索并证明角的平分线的性质定理的逆定理.
2． 难点：运用角平分线性质和判定证明及解决实际问题.
教学过程
一、复习引入
如图，要在S区建一个集贸市场，使它到公路、铁路距离相等，离公路与铁路交叉处500米。这个集贸市场应建在何处（在图上标出它的位置，比例尺为1：20000）？

问题：
1．集贸市场建于何处？

2．比例尺为1：20000是什么意思？你能在图上找S点的位置吗？

答案：
1．这个集贸市场应该建在公路与铁路形成的角的平分线上，并且要求离角的顶点500米处．
2.我们经常在厘米为单位，而题中是以米为单位，这就涉及一个单位换算问题了．1m=100cm，所以比例尺为1：20000，其实就是图中1cm表示实际距离200m的意思．

作图如下：

第一步：尺规作图法作出∠AOB的平分线OP．

第二步：在射线OP上截取OC=2.5cm，确定C点，C点就是集贸市场所建地了．

设计说明：通过实际问题的引入，让学生从生活中发现数学问题，激发学生的求知欲．通过对数学问题的讨论使学生知道数学来源于生活,生活离不开数学,激发学生学习的积极性．
二、探索新知
1.问题：角平分线性质逆命题是否正确呢？你能给出证明吗？
答案：
已知：如图,QD⊥OA，QE⊥OB，点D、E为垂足，QD＝QE．求证：点Q在∠AOB的平分线上
证明：∵QD⊥OA，QE⊥OB
∴∠QEO=90°,∠QDO=90°
又∵QD＝QE ，OQ=OQ ∴Rt△QEO≌Rt△QDO
∴∠QOE=∠QOD
∴点Q在∠AOB的平分线上．
设计说明：通过该问题让学生确信逆命题的正确性，并让学生试口述该性质，加深学生的印象．

2．揭示课题，整理概念
角的平分线的判定：
角的内部到角的两边距离相等的点在角的平分线上．
用符号语言表示为：
∵ QD⊥OA，QE⊥OB，QD＝QE．∴点Q在∠AOB的平分线上．

3．出示例题
如图，△ABC的角平分线BM、CN相交于点P．
求证：点P到三边AB、BC、CA的距离相等．

点拨方法：点P到AB、BC、CA的垂线段PD、PE、PF的长就是P点到三边的距离，也就是说要证：PD=PE=PF．而BM、CN分别是∠B、∠C的平分线，根据角平分线性质和等式的传递性可以解决这个问题．

证明：过点P作PD⊥AB，PE⊥BC，PF⊥AC，垂足为D、E、 F．
∵BM是△ABC的角平分线，点P在BM上．
∴PD=PE．
同理PE=PF．
∴PD=PE=PF．
即点P到三边AB、BC、CA的距离相等．
探究 ：连接AP，请问AP平分∠BAC吗？（能否给出简单证明）．
三、课堂训练
1．已知：如下图，在△ABC的外角∠CBD和∠BCE的平分线相交于点F，
求证：点F在∠DAE的平分线上.
证明：过点F作FG⊥BC,FM⊥AE,FN⊥AD
垂足分别为G、M、N.
∵FB、FC分别为∠CBD、∠BCE的角平分线
∴FG = FN, FG =FM
∴FN =FM
∴点F在∠DAE的平分线上.

2．如下图所示，直线 、、表示三条相互交叉的公路，现要建一个货物中转站，要求它到三条公路的距离相等，则可供选择的地址有： ( D )
A.一处 B.两处 C .三处 D.四处

四、小结
角的平分线的判定：角的内部到角的两边距离相等的点在角的平分线上．
五、作业
教科书51页第3题第4题。