资源描述
中学自主招生数学试卷
一．选择题（每小题3分，共30分
1．（3分）﹣的绝对值是（ ）
A．2 B． C．﹣ D．﹣2
2．（3分）俗话说：“水滴石穿”，水滴不断的落在一块石头的同一个位置，经过若干年后，石头上形成了一个深度为0.000000039cm的小洞，则0.000000039用科学记数法可表示为（ ）
A．3.9×10﹣8 B．﹣3.9×10﹣8 C．0.39×10﹣7 D．39×10﹣9
3．（3分）如图，将一个圆柱体放置在长方体上，其中圆柱体的底面直径与长方体的宽相平，则该几何体的左视图是（ ）
A． B． C． D．
4．（3分）下列运算正确的是（ ）
A．a2+a2＝a4 B．a6÷a2＝a3
C．（﹣2a）3＝﹣8a3 D．（a+1）2＝a2+1
5．（3分）如图，把一块含有45°的直角三角形的两个顶点放在直尺的对边上．如果∠1＝20°，那么∠2的度数是（ ）
A．15° B．20° C．25° D．30°
6．（3分）在“经典诵读”比赛活动中，某校10名学生参赛成绩如图所示，对于这10名学生的参赛成绩，下列说法正确的是（ ）
A．众数是90分 B．中位数是95分
C．平均数是95分 D．方差是15
7．（3分）如图，PA、PB分别与⊙O相切于A、B两点，若∠C＝65°，则∠P的度数为（ ）
A．65° B．130° C．50° D．100°
8．（3分）若函数y＝（m﹣1）x2﹣6x+m的图象与x轴有且只有一个交点，则m的值为（ ）
A．﹣2或3 B．﹣2或﹣3 C．1或﹣2或3 D．1或﹣2或﹣3
9．（3分）如图，点A在双曲线y═（x＞0）上，过点A作AB⊥x轴，垂足为点B，分别以点O和点A为圆心，大于OA的长为半径作弧，两弧相交于D，E两点，作直线DE交x轴于点C，交y轴于点F（0，2），连接AC．若AC＝1，则k的值为（ ）
A．2 B． C． D．
10．（3分）如图，点A在x轴上，点B，C在反比例函数y＝（k＞0，x＞0）的图象上．有一个动点P从点A出发，沿A→B→C→O的路线（图中“→”所示路线）匀速运动，过点P作PM⊥x轴，垂足为M，设△POM的面积为S，点P的运动时间为t，则S关于t的函数图象大致为（ ）
A． B．
C． D．
二．填空题（每题3分，共15分）
11．（3分）计算：+（﹣1）0﹣（）﹣2＝ ．
12．（3分）如图，随机闭合开关S1，S2，S3中的两个，能够让灯泡发光的概率为 ．
13．（3分）不等式组的解集是 ．
14．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝2，以点A为圆心，AC的长为半径作交AB于点E，以点B为圆心，BC的长为半径作交AB于点D，则阴影部分的面积为 ．
15．（3分）如图，已知Rt△ABC中，∠B＝90°，∠A＝60°，AC＝2+4，点M、N分别在线段AC、AB上，将△ANM沿直线MN折叠，使点A的对应点D恰好落在线段BC上，当△DCM为直角三角形时，折痕MN的长为 ．
三．解答题
16．（8分）先化简，再求值：（﹣）÷，其中x满足x2﹣2x﹣2＝0．
17．（9分）某校在一次社会实践活动中，组织学生参观了虎园、烈士陵园、博物馆和植物园，为了解本次社会实践活动的效果，学校随机抽取了部分学生，对“最喜欢的景点”进行了问卷调查，并根据统计结果绘制了如下不完整的统计图．其中最喜欢烈士陵园的学生人数与最喜欢博物馆的学生人数之比为2：1，请结合统计图解答下列问题：
（1）本次活动抽查了 名学生；
（2）请补全条形统计图；
（3）在扇形统计图中，最喜欢植物园的学生人数所对应扇形的圆心角是 度；
（4）该校此次参加社会实践活动的学生有720人，请求出最喜欢烈士陵园的人数约有多少人？
18．（9分）如图，AB是半圆O的直径，点P是半圆上不与点A，B重合的动点，PC∥AB，点M是OP中点．
（1）求证：四边形OBCP是平行四边形；
（2）填空：
①当∠BOP＝ 时，四边形AOCP是菱形；
②连接BP，当∠ABP＝ 时，PC是⊙O的切线．
19．（9分）某数学活动小组实地测量湛河两岸互相平行的一段东西走向的河的宽度，在河的北岸边点A处，测得河的南岸边点B处在其南偏东45°方向，然后向北走20米到达点C处，测得点B在点C的南偏东33°方向，求出这段河的宽度．（结果精确到1米，参考数据：sin33°＝0.54，cos33°≈0.84，tan33°＝0.65，≈1.41）
20．（9分）如图，已知反比例函数y＝（m≠0）的图象经过点（1，4），一次函数y＝﹣x+b的图象经过反比例函数图象上的点Q（﹣4，n）．
（1）求反比例函数与一次函数的表达式；
（2）一次函数的图象分别与x轴、y轴交于A、B两点，与反比例函数图象的另一个交点为P点，连结OP、OQ，求△OPQ的面积．
21．（10分）“京东电器”准备购进A、B两种品牌台灯，其中A每盏进价比B每盏进价贵30元，A售价120元，B售价80元已知用1040元购进的A数量与用650元购进B的数量相同．
（1）求A、B的进价；
（2）超市打算购进A、B台灯共100盏，要求A、B的总利润不得少于3400元，不得多于3550元，问有多少种进货方案？
（3）在（2）的条件下，该超市决定对A台灯进行降价促销，A台灯每盏降价m（8＜m＜15），B的售价不变，超市如何进货获利最大？
22．（10分）（1）问题发现
在△ABC中，AC＝BC，∠ACB＝α，点D为直线BC上一动点，过点D作DF∥AC交AB于点F，将AD绕点D顺时针旋转α得到ED，连接BE．
如图（1），当α＝90°时，试猜想：
①AF与BE的数量关系是 ；②∠ABE＝ ；
（2）拓展探究
如图（2），当0°＜α＜90°时，请判断AF与BE的数量关系及∠ABE的度数，并说明理由．
（3）解决问题
如图（3），在△ABC中，AC＝BC，AB＝8，∠ACB＝α，点D在射线BC上，将AD绕点D顺时针旋转α得到ED，连接BE，当BD＝3CD时，请直接写出BE的长度．
23．（11分）如图，已知直线y＝﹣3x+c与x轴相交于点A（1，0），与y轴相交于点B，抛物线y＝﹣x2+bx+c经过点A，B，与x轴的另一个交点是C．
（1）求抛物线的解析式；
（2）点P是对称轴的左侧抛物线上的一点，当S△PAB＝2S△AOB时，求点P的坐标；
（3）连接BC抛物线上是否存在点M，使∠MCB＝∠ABO？若存在，请直接写出点M的坐标；否则说明理由．
参考答案与试题解析
一．选择题（每小题3分，共30分
1．（3分）﹣的绝对值是（ ）
A．2 B． C．﹣ D．﹣2
【分析】根据绝对值的定义进行计算．
【解答】解：||＝，
故选：B．
【点评】本题考查了绝对值．一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0．
2．（3分）俗话说：“水滴石穿”，水滴不断的落在一块石头的同一个位置，经过若干年后，石头上形成了一个深度为0.000000039cm的小洞，则0.000000039用科学记数法可表示为（ ）
A．3.9×10﹣8 B．﹣3.9×10﹣8 C．0.39×10﹣7 D．39×10﹣9
【分析】绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a×10﹣n，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
【解答】解：0.000000039＝3.9×10﹣8．
故选：A．
【点评】本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为a×10﹣n，其中1≤|a|＜10，n为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
3．（3分）如图，将一个圆柱体放置在长方体上，其中圆柱体的底面直径与长方体的宽相平，则该几何体的左视图是（ ）
A． B． C． D．
【分析】找到从左面看所得到的图形即可，注意所有的看到的棱都应表现在左视图中．
【解答】解：从左面看易得左视图为：．
故选：A．
【点评】本题考查了三视图的知识，左视图是从物体的左面看得到的视图．
4．（3分）下列运算正确的是（ ）
A．a2+a2＝a4 B．a6÷a2＝a3
C．（﹣2a）3＝﹣8a3 D．（a+1）2＝a2+1
【分析】直接利用积的乘方运算法则以及同底数幂的乘除运算法则、完全平方公式分别计算得出答案．
【解答】解：A、a2+a2＝2a2，故此选项错误；
B、a6÷a2＝a4，故此选项错误；
C、（﹣2a）3＝﹣8a3，正确；
D、（a+1）2＝a2+2a+1，故此选项错误；
故选：C．
【点评】此题主要考查了积的乘方运算以及同底数幂的乘除运算、完全平方公式，正确掌握相关运算法则是解题关键．
5．（3分）如图，把一块含有45°的直角三角形的两个顶点放在直尺的对边上．如果∠1＝20°，那么∠2的度数是（ ）
A．15° B．20° C．25° D．30°
【分析】根据两直线平行，内错角相等求出∠3，再求解即可．
【解答】解：∵直尺的两边平行，∠1＝20°，
∴∠3＝∠1＝20°，
∴∠2＝45°﹣20°＝25°．
故选：C．
【点评】本题考查了两直线平行，内错角相等的性质，熟记性质是解题的关键．
6．（3分）在“经典诵读”比赛活动中，某校10名学生参赛成绩如图所示，对于这10名学生的参赛成绩，下列说法正确的是（ ）
A．众数是90分 B．中位数是95分
C．平均数是95分 D．方差是15
【分析】根据众数、中位数、平均数、方差的定义和统计图中提供的数据分别列出算式，求出答案．
【解答】解：A、众数是90分，人数最多，正确；
B、中位数是90分，错误；
C、平均数是分，错误；
D、方差是＝19，错误；
故选：A．
【点评】此题考查了折线统计图，用到的知识点是众数、中位数、平均数、方差，关键是能从统计图中获得有关数据，求出众数、中位数、平均数、方差．
7．（3分）如图，PA、PB分别与⊙O相切于A、B两点，若∠C＝65°，则∠P的度数为（ ）
A．65° B．130° C．50° D．100°
【分析】由PA与PB都为圆O的切线，利用切线的性质得到OA垂直于AP，OB垂直于BP，可得出两个角为直角，再由同弧所对的圆心角等于所对圆周角的2倍，由已知∠C的度数求出∠AOB的度数，在四边形PABO中，根据四边形的内角和定理即可求出∠P的度数．
【解答】解：∵PA、PB是⊙O的切线，
∴OA⊥AP，OB⊥BP，
∴∠OAP＝∠OBP＝90°，
又∵∠AOB＝2∠C＝130°，
则∠P＝360°﹣（90°+90°+130°）＝50°．
故选：C．
【点评】本题主要考查了切线的性质，四边形的内角与外角，以及圆周角定理，熟练运用性质及定理是解本题的关键．
8．（3分）若函数y＝（m﹣1）x2﹣6x+m的图象与x轴有且只有一个交点，则m的值为（ ）
A．﹣2或3 B．﹣2或﹣3 C．1或﹣2或3 D．1或﹣2或﹣3
【分析】根据m＝1和m≠1两种情况，根据一次函数的性质、二次函数与方程的关系解答．
【解答】解：当m＝1时，函数解析式为：y＝﹣6x+是一次函数，图象与x轴有且只有一个交点，
当m≠1时，函数为二次函数，
∵函数y＝（m﹣1）x2﹣6x+m的图象与x轴有且只有一个交点，
∴62﹣4×（m﹣1）×m＝0，
解得，m＝﹣2或3，
故选：C．
【点评】本题考查的是抛物线与x轴的交点问题，掌握二次函数与一元二次方程的关系、灵活运用分情况讨论思想是解题的关键．
9．（3分）如图，点A在双曲线y═（x＞0）上，过点A作AB⊥x轴，垂足为点B，分别以点O和点A为圆心，大于OA的长为半径作弧，两弧相交于D，E两点，作直线DE交x轴于点C，交y轴于点F（0，2），连接AC．若AC＝1，则k的值为（ ）
A．2 B． C． D．
【分析】如图，设OA交CF于K．利用面积法求出OA的长，再利用相似三角形的性质求出AB、OB即可解决问题；
【解答】解：如图，设OA交CF于K．
由作图可知，CF垂直平分线段OA，
∴OC＝CA＝1，OK＝AK，
在Rt△OFC中，CF＝＝，
∴AK＝OK＝＝，
∴OA＝，
由△FOC∽△OBA，可得＝＝，
∴＝＝，
∴OB＝，AB＝，
∴A（，），
∴k＝．
故选：B．
【点评】本题考查作图﹣复杂作图，反比例函数图象上的点的坐标特征，线段的垂直平分线的性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
10．（3分）如图，点A在x轴上，点B，C在反比例函数y＝（k＞0，x＞0）的图象上．有一个动点P从点A出发，沿A→B→C→O的路线（图中“→”所示路线）匀速运动，过点P作PM⊥x轴，垂足为M，设△POM的面积为S，点P的运动时间为t，则S关于t的函数图象大致为（ ）
A． B．
C． D．
【分析】结合点P的运动，将点P的运动路线分成A→B、B→C、C→O三段位置来进行分析三角形OMP面积的计算方式，通过图形的特点分析出面积变化的趋势，从而得到答案．
【解答】解：设∠AOM＝α，点P运动的速度为a，
当点P从点O运动到点A的过程中，S＝＝a2•cosα•sinα•t2，
由于α及a均为常量，从而可知图象本段应为抛物线，且S随着t的增大而增大；
当点P从A运动到B时，由反比例函数性质可知△OPM的面积为k，保持不变，
故本段图象应为与横轴平行的线段；
当点P从B运动到C过程中，OM的长在减少，△OPM的高与在B点时相同，
故本段图象应该为一段下降的线段；
故选：D．
【点评】本题考查了动点问题的函数图象，解答此类题目并不需要求出函数解析式，只要判断出函数的增减性，或者函数的性质即可，注意排除法的运用．
二．填空题（每题3分，共15分）
11．（3分）计算：+（﹣1）0﹣（）﹣2＝ 0 ．
【分析】直接利用零指数幂的性质以及负指数幂的性质分别化简得出答案．
【解答】解：原式＝3+1﹣4＝0．
故答案为：0．
【点评】此题主要考查了实数运算，正确化简各数是解题关键．
12．（3分）如图，随机闭合开关S1，S2，S3中的两个，能够让灯泡发光的概率为 ．
【分析】根据题意可得：随机闭合开关S1，S2，S3中的两个，有3种方法，其中有两种能够让灯泡发光，故其概率为．
【解答】解：P（灯泡发光）＝．
故本题答案为：．
【点评】本题考查的是概率的求法．如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A出现m种结果，那么事件A的概率P（A）＝．
13．（3分）不等式组的解集是 ﹣1≤x＜3 ．
【分析】分别解每一个不等式，再求解集的公共部分．
【解答】解：，
解不等式①得：x≥﹣1，
解不等式②得：x＜3，
所以不等式组的解集是：﹣1≤x＜3，
故答案为：﹣1≤x＜3．
【点评】本题考查的是一元一次不等式组的解，解此类题目常常要结合数轴来判断．还可以观察不等式的解，若x＞较小的数、＜较大的数，那么解集为x介于两数之间．
14．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝2，以点A为圆心，AC的长为半径作交AB于点E，以点B为圆心，BC的长为半径作交AB于点D，则阴影部分的面积为 π﹣2 ．
【分析】空白处的面积等于△ABC的面积减去扇形BCD的面积的2倍，阴影部分的面积等于△ABC的面积减去空白处的面积即可得出答案．
【解答】解：∵∠ACB＝90°，AC＝BC＝2，
∴S△ABC＝×2×2＝2，
S扇形BCD＝＝π，
S空白＝2×（2﹣π）＝4﹣π，
S阴影＝S△ABC﹣S空白＝2﹣4+π＝π﹣2，
故答案为π﹣2．
【点评】本题考查了扇形的面积公式，正确理解公式是关键．
15．（3分）如图，已知Rt△ABC中，∠B＝90°，∠A＝60°，AC＝2+4，点M、N分别在线段AC、AB上，将△ANM沿直线MN折叠，使点A的对应点D恰好落在线段BC上，当△DCM为直角三角形时，折痕MN的长为 或 ．
【分析】依据△DCM为直角三角形，需要分两种情况进行讨论：当∠CDM＝90°时，△CDM是直角三角形；当∠CMD＝90°时，△CDM是直角三角形，分别依据含30°角的直角三角形的性质以及等腰直角三角形的性质，即可得到折痕MN的长．
【解答】解：分两种情况：
①如图，当∠CDM＝90°时，△CDM是直角三角形，
∵在Rt△ABC中，∠B＝90°，∠A＝60°，AC＝2+4，
∴∠C＝30°，AB＝AC＝，
由折叠可得，∠MDN＝∠A＝60°，
∴∠BDN＝30°，
∴BN＝DN＝AN，
∴BN＝AB＝，
∴AN＝2BN＝，
∵∠DNB＝60°，
∴∠ANM＝∠DNM＝60°，
∴∠AMN＝60°，
∴AN＝MN＝；
②如图，当∠CMD＝90°时，△CDM是直角三角形，
由题可得，∠CDM＝60°，∠A＝∠MDN＝60°，
∴∠BDN＝60°，∠BND＝30°，
∴BD＝DN＝AN，BN＝BD，
又∵AB＝，
∴AN＝2，BN＝，
过N作NH⊥AM于H，则∠ANH＝30°，
∴AH＝AN＝1，HN＝，
由折叠可得，∠AMN＝∠DMN＝45°，
∴△MNH是等腰直角三角形，
∴HM＝HN＝，
∴MN＝，
故答案为：或．
【点评】本题考查了翻折变换﹣折叠问题，等腰直角三角形的性质，正确的作出图形是解题的关键．折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等．
三．解答题
16．（8分）先化简，再求值：（﹣）÷，其中x满足x2﹣2x﹣2＝0．
【分析】先根据分式的混合运算顺序和运算法则化简原式，再由x2﹣2x﹣2＝0得x2＝2x+2＝2（x+1），整体代入计算可得．
【解答】解：原式＝[﹣]÷
＝•
＝，
∵x2﹣2x﹣2＝0，
∴x2＝2x+2＝2（x+1），
则原式＝＝．
【点评】本题主要考查分式的化简求值，解题的关键是掌握分式的混合运算顺序和运算法则．
17．（9分）某校在一次社会实践活动中，组织学生参观了虎园、烈士陵园、博物馆和植物园，为了解本次社会实践活动的效果，学校随机抽取了部分学生，对“最喜欢的景点”进行了问卷调查，并根据统计结果绘制了如下不完整的统计图．其中最喜欢烈士陵园的学生人数与最喜欢博物馆的学生人数之比为2：1，请结合统计图解答下列问题：
（1）本次活动抽查了 60 名学生；
（2）请补全条形统计图；
（3）在扇形统计图中，最喜欢植物园的学生人数所对应扇形的圆心角是 36 度；
（4）该校此次参加社会实践活动的学生有720人，请求出最喜欢烈士陵园的人数约有多少人？
【分析】（1）由虎园人数及其所占百分比可得总人数；
（2）设最喜欢博物馆的学生人数为x，则最喜欢烈士陵园的学生人数为2x，根据各参观项目人数和等于总人数求得x的值，据此即可补全图形；
（3）用360°乘以最喜欢植物园的学生人数占被调查人数的比例可得；
（4）用总人数乘以样本中最喜欢烈士陵园的人数所占比例．
【解答】解：（1）本次活动调查的学生人数为18÷30%＝60人，
故答案为：60；
（2）设最喜欢博物馆的学生人数为x，则最喜欢烈士陵园的学生人数为2x，
则x+2x＝60﹣18﹣6，
解得：x＝12，
即最喜欢博物馆的学生人数为12，则最喜欢烈士陵园的学生人数为24，
补全条形图如下：
（3）在扇形统计图中，最喜欢植物园的学生人数所对应扇形的圆心角是360°×＝36°，
故答案为：36；
（4）最喜欢烈士陵园的人数约有720×＝288人．
【点评】本题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用，读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据；扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小．
18．（9分）如图，AB是半圆O的直径，点P是半圆上不与点A，B重合的动点，PC∥AB，点M是OP中点．
（1）求证：四边形OBCP是平行四边形；
（2）填空：
①当∠BOP＝ 120° 时，四边形AOCP是菱形；
②连接BP，当∠ABP＝ 45° 时，PC是⊙O的切线．
【分析】（1）由AAS证明△CPM≌△AOM，得出PC＝OA，得出PC＝OB，即可得出结论；
（2）①证出OA＝OP＝PA，得出△AOP是等边三角形，∠A＝∠AOP＝60°，得出∠BOP＝120°即可；
②由切线的性质和平行线的性质得出∠BOP＝90°，由等腰三角形的性质得出∠ABP＝∠OPB＝45°即可．
【解答】（1）证明：∵PC∥AB，
∴∠PCM＝∠OAM，∠CPM＝∠AOM．
∵点M是OP的中点，
∴OM＝PM，在△CPM和△AOM中，，
∴△CPM≌△AOM（AAS），
∴PC＝OA．
∵AB是半圆O的直径，
∴OA＝OB，
∴PC＝OB．
又PC∥AB，
∴四边形OBCP是平行四边形．
（2）解：①∵四边形AOCP是菱形，
∴OA＝PA，
∵OA＝OP，
∴OA＝OP＝PA，
∴△AOP是等边三角形，
∴∠A＝∠AOP＝60°，
∴∠BOP＝120°；
故答案为：120°；
②∵PC是⊙O的切线，
∴OP⊥PC，∠OPC＝90°，
∵PC∥AB，
∴∠BOP＝90°，
∵OP＝OB，
∴△OBP是等腰直角三角形，
∴∠ABP＝∠OPB＝45°，
故答案为：45°．
【点评】本题是圆的综合题目，考查了全等三角形的判定与性质、平行四边形的判定、切线的性质、菱形的判定与性质、等边三角形的判定与性质等知识；本题综合性强，熟练掌握切线的性质和平行四边形的判定是解题的关键．
19．（9分）某数学活动小组实地测量湛河两岸互相平行的一段东西走向的河的宽度，在河的北岸边点A处，测得河的南岸边点B处在其南偏东45°方向，然后向北走20米到达点C处，测得点B在点C的南偏东33°方向，求出这段河的宽度．（结果精确到1米，参考数据：sin33°＝0.54，cos33°≈0.84，tan33°＝0.65，≈1.41）
【分析】延长CA交BE于点D，得CD⊥BE，设AD＝x，得BD＝x米，CD＝（20+x）米，根据＝tan∠DCB列方程求出x的值即可得．
【解答】解：如图，延长CA交BE于点D，
则CD⊥BE，
由题意知，∠DAB＝45°，∠DCB＝33°，
设AD＝x米，
则BD＝x米，CD＝（20+x）米，
在Rt△CDB中，＝tan∠DCB，
∴≈0.65，
解得x≈37，
答：这段河的宽约为37米．
【点评】本题考查了解直角三角形的应用﹣方向角问题，作出辅助线构造直角三角形是解题的关键．
20．（9分）如图，已知反比例函数y＝（m≠0）的图象经过点（1，4），一次函数y＝﹣x+b的图象经过反比例函数图象上的点Q（﹣4，n）．
（1）求反比例函数与一次函数的表达式；
（2）一次函数的图象分别与x轴、y轴交于A、B两点，与反比例函数图象的另一个交点为P点，连结OP、OQ，求△OPQ的面积．
【分析】（1）根据待定系数法，将点的坐标分别代入两个函数的表达式中求出待定系数，可得答案；
（2）利用△AOP的面积减去△AOQ的面积．
【解答】解：（1）反比例函数y＝（ m≠0）的图象经过点（1，4），
∴，解得m＝4，故反比例函数的表达式为，
一次函数y＝﹣x+b的图象与反比例函数的图象相交于点Q（﹣4，n），
∴，解得，
∴一次函数的表达式y＝﹣x﹣5；
（2）由，解得或，
∴点P（﹣1，﹣4），
在一次函数y＝﹣x﹣5中，令y＝0，得﹣x﹣5＝0，解得x＝﹣5，故点A（﹣5，0），
S△OPQ＝S△OPA﹣S△OAQ＝＝7.5．
【点评】本题考查了反比例函数图象与一次函数图象的交点坐标问题，（1）用待定系数法求出函数表达式是解题的关键，（2）转化思想是解题关键，将三角形的面积转化成两个三角形的面积的差．
21．（10分）“京东电器”准备购进A、B两种品牌台灯，其中A每盏进价比B每盏进价贵30元，A售价120元，B售价80元已知用1040元购进的A数量与用650元购进B的数量相同．
（1）求A、B的进价；
（2）超市打算购进A、B台灯共100盏，要求A、B的总利润不得少于3400元，不得多于3550元，问有多少种进货方案？
（3）在（2）的条件下，该超市决定对A台灯进行降价促销，A台灯每盏降价m（8＜m＜15），B的售价不变，超市如何进货获利最大？
【分析】（1）设 A 品牌台灯进价为 x 元/盏，则 B 品牌台灯进价为（x﹣30）元/盏，根据题意，列出方程即可
（2）设超市购进 A 品牌台灯 a盏，则购进 B 品牌台灯有（100﹣a）盏，根据题意得：3400≤（120﹣80）a+（80﹣50）（100﹣a）≤3550，求即可
（3）令超市销售台灯所获总利润记作 w，根据题意，有w＝（120﹣m﹣80）a+（80﹣50）（100﹣a）＝（10﹣m）a+3000，分情况讨论即可．
【解答】解：
（1）设 A 品牌台灯进价为 x 元/盏，则 B 品牌台灯进价为（x﹣30）元/盏，
根据题意得＝，解得 x＝80，
经检验 x＝80 是原分式方程的解．
∴x﹣30＝80﹣30＝50（元/盏），
答：A、B 两种品牌台灯的进价分别是 80 元/盏，50 元/盏
（2）设超市购进 A 品牌台灯 a盏，则购进 B 品牌台灯有（100﹣a）盏，
根据题意得：3400≤（120﹣80）a+（80﹣50）（100﹣a）≤3550
解得，40≤a≤55．
∵a 为整数，
∴该超市有 16 种进货方案
（3）令超市销售台灯所获总利润记作 w，根据题意，有
w＝（120﹣m﹣80）a+（80﹣50）（100﹣a）＝（10﹣m）a+3000
∵8＜m＜15
∴①当 8＜m＜10 时，即 10﹣m＞0，w 随 a 的增大而增大，
故当 a＝55 时，所获总利润 w 最大，
即 A 品牌台灯 55 盏、B 品牌台灯 45 盏；
②当 m＝10 时，w＝3000；
故当 A 品牌台灯数量满足 40≤a≤55时，利润均为 3000元；
③当 10＜m＜15 时，即 10﹣m＜0，w 随 a 的增大而减小，
故当 a＝40 时，所获总利润 w 最大，
即 A 品牌台灯 40 盏、B 品牌台灯 60 盏
【点评】此题为一次函数的应用，渗透了函数与方程的思想，关键是掌握销售利润公式：利润＝（售价﹣成本）×数量．
22．（10分）（1）问题发现
在△ABC中，AC＝BC，∠ACB＝α，点D为直线BC上一动点，过点D作DF∥AC交AB于点F，将AD绕点D顺时针旋转α得到ED，连接BE．
如图（1），当α＝90°时，试猜想：
①AF与BE的数量关系是 AF＝BE ；②∠ABE＝ 90° ；
（2）拓展探究
如图（2），当0°＜α＜90°时，请判断AF与BE的数量关系及∠ABE的度数，并说明理由．
（3）解决问题
如图（3），在△ABC中，AC＝BC，AB＝8，∠ACB＝α，点D在射线BC上，将AD绕点D顺时针旋转α得到ED，连接BE，当BD＝3CD时，请直接写出BE的长度．
【分析】（1）只要证明△ADF≌△EDB，可得AF＝BE，再利用“8字型”字母∠OBE＝∠ADO＝90°即可解决问题；
（2）结论：AF＝BF，∠ABE＝a．只要证明△ADF≌△EDB，即可解决问题；
（3）分两种情形分别求解即可；
【解答】解（1）如图1中，设AB交DE于O．
∵∠ACB＝90°，AC＝BC，
∴∠ABC＝45°，
∵DF∥AC，
∴∠FDB＝∠C＝90°，
∴∠DFB＝∠DBF＝45°，
∴DF＝DB，
∵∠ADE＝∠FDB＝90°，
∴∠ADF＝∠EDB，∵DA＝DE，
∴△ADF≌△EDB，
∴AF＝BE，∴∠DAF＝∠E，
∵∠AOD＝∠EOB，
∴∠ABE＝∠ADO＝90°
故答案为AF＝BF，90°．
（2）结论：AF＝BE，∠ABE＝α．理由如下：
∵DF‖AC
∴∠ACB＝∠FDB＝α，∠CAB＝∠DFB，
∵AC＝BC，
∴∠ABC＝∠CAB，
∴∠ABC＝∠DFB，
∴DB＝DF，
∵∠ADF＝∠ADE﹣∠FDE，∠EDB＝∠FDB﹣∠FDE，
∴∠ADF＝∠EDB，
又∵AD＝DE，
∴△ADF≌△EDB，
∴AF＝BE，∠AFD＝∠EBD
∵∠AFD＝∠ABC+∠FDB，∠DBE＝∠ABD+∠ABE，
∴∠ABE＝∠FDB＝α．
（3）①如图3﹣1中，当点D在BC上时，
由（2）可知：BE＝AF，
∵DF∥AC，
∴＝＝，
∵AB＝8，
∴AF＝2，
∴BE＝AF＝2，
②如图3﹣2中，当点D在BC的延长线上时，
∵AC∥DF，
∴＝＝，∵AB＝8，
∴AF＝4，
故答案为2或4．
【点评】本题考查几何变换综合题、等腰三角形的性质、全等三角形的判定和性质、平行线分线段成比例定理等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，属于中考压轴题．
23．（11分）如图，已知直线y＝﹣3x+c与x轴相交于点A（1，0），与y轴相交于点B，抛物线y＝﹣x2+bx+c经过点A，B，与x轴的另一个交点是C．
（1）求抛物线的解析式；
（2）点P是对称轴的左侧抛物线上的一点，当S△PAB＝2S△AOB时，求点P的坐标；
（3）连接BC抛物线上是否存在点M，使∠MCB＝∠ABO？若存在，请直接写出点M的坐标；否则说明理由．
【分析】（1）先把A点坐标代入y＝﹣3x+c求出得到B（0，3），然后利用待定系数法求抛物线解析式；
（2）连接OP，如图1，抛物线的对称轴为直线x＝﹣1，设P（x，﹣x2﹣2x+3）（x＜﹣1），由于S△PAB＝S△POB+S△ABO﹣S△POA，S△PAB＝2S△AOB，则S△POB﹣S△POA＝S△ABO，讨论：当P点在x轴上方时，•3•（﹣x）﹣•1•（﹣x2﹣2x+3）＝•1•3，当P点在x轴下方时，•3•（﹣x）+•1•（x2+2x﹣3）＝•1•3，然后分别解方程求出x即可得到对应P点坐标；
（3）解方程﹣x2﹣2x+3＝0得C（﹣3，0），则可判断△OBC为等腰直角三角形，讨论：当∠BCM在直线BC下方时，如图2，直线CM交y轴于D，作DE⊥BC于E，设D（0，t），表示出DE＝BE＝（3﹣t），接着利用tan∠MCB＝tan∠ABO得到＝＝，所以3﹣（3﹣t）＝（3﹣t），解方程求出t得到D点坐标，接下来利用待定系数法确定直线CD的解析式为y＝x+，然后解方程组得此时M点坐标；当∠BCM在直线CB上方时，如图3，CM交直线AB于N，易得直线AB的解析式为y＝﹣3x+3，设N（k，﹣3k+3），证明△ABC∽△ACN，利用相似比求出AN＝，再利用两点间的距离公式得到（k﹣1）2+（﹣3k+3）2＝（）2，解方程求出t得N点坐标为（﹣，），易得直线CN的解析式为y＝2x+6，然后解方程组得此时M点坐标．
【解答】解：（1）把A（1，0）代入y＝﹣3x+c得﹣3+c＝0，解得c＝3，则B（0，3），
把A（1，0），B（0，3）代入y＝﹣x2+bx+c得，解得，
∴抛物线解析式为y＝﹣x2﹣2x+3；
（2）连接OP，如图1，抛物线的对称轴为直线x＝﹣＝﹣1，
设P（x，﹣x2﹣2x+3）（x＜﹣1），
S△PAB＝S△POB+S△ABO﹣S△POA，
∵S△PAB＝2S△AOB，
∴S△POB﹣S△POA＝S△ABO，
当P点在x轴上方时，•3•（﹣x）﹣•1•（﹣x2﹣2x+3）＝•1•3，解得x1＝﹣2，x2＝3（舍去），此时P点坐标为（﹣2，3）；
当P点在x轴下方时，•3•（﹣x）+•1•（x2+2x﹣3）＝•1•3，解得x1＝﹣2（舍去），x2＝3（舍去），
综上所述，P点坐标为（﹣2，3）；
（3）存在．
当y＝0时，﹣x2﹣2x+3＝0，解得x1＝﹣1，x2＝﹣3，则C（﹣3，0），
∵OC＝OB＝3，
∴△OBC为等腰直角三角形，
∴∠OBC＝∠OCB＝45°，BC＝3，
当∠BCM在直线BC下方时，如图2，直线CM交y轴于D，作DE⊥BC于E，设D（0，t），
∵∠DBE＝45°，
∴△BDE为等腰直角三角形，
∴DE＝BE＝BD＝（3﹣t），
∵∠MCB＝∠ABO，
∴tan∠MCB＝tan∠ABO，
∴＝＝，即CE＝3DE，
∴3﹣（3﹣t）＝（3﹣t），解得t＝，则D（0，），
设直线CD的解析式为y＝mx+n，
把C（﹣3，0），D（0，）代入得，解得，
∴直线CD的解析式为y＝x+，
解方程组得或，此时M点坐标为（，）；
当∠BCM在直线CB上方时，如图3，CM交直线AB于N，
易得直线AB的解析式为y＝﹣3x+3，AB＝，AC
设N（k，﹣3k+3），
∵∠MCB＝∠ABO，∠CBO＝∠OCB，
∴∠NCA＝∠ABC，
而∠BAC＝∠CAN，
∴△ABC∽△ACN，
∴AB：AC＝AC：AN，即：4＝4：AN，
∴AN＝，
∴（k﹣1）2+（﹣3k+3）2＝（）2，
整理得（k﹣1）2＝，解得k1＝（舍去），k2＝﹣，
∴N点坐标为（﹣，），
易得直线CN的解析式为y＝2x+6，
解方程组，得或，此时M点坐标为（﹣1，4），
综上所述，满足条件的M点的坐标为（，）或（﹣1，4）．
【点评】本题考查了二次函数的综合题：熟练掌握二次函数图象上点的坐标特征、二次函数的性质和等腰直角三角形的性质；会利用待定系数法求函数解析式，能把求函数交点问题转化为解方程组的问题；灵活运用锐角三角函数的定义和相似比进行几何计算；理解坐标与图形性质，记住两点间的距离公式．
中学自主招生数学试卷
一．选择题（每小题3分，共30分
1．（3分）﹣的绝对值是（ ）
A．2 B． C．﹣ D．﹣2
2．（3分）俗话说：“水滴石穿”，水滴不断的落在一块石头的同一个位置，经过若干年后，石头上形成了一个深度为0.000000039cm的小洞，则0.000000039用科学记数法可表示为（ ）
A．3.9×10﹣8 B．﹣3.9×10﹣8 C．0.39×10﹣7 D．39×10﹣9
3．（3分）如图，将一个圆柱体放置在长方体上，其中圆柱体的底面直径与长方体的宽相平，则该几何体的左视图是（ ）
A． B． C． D．
4．（3分）下列运算正确的是（ ）
A．a2+a2＝a4 B．a6÷a2＝a3
C．（﹣2a）3＝﹣8a3 D．（a+1）2＝a2+1
5．（3分）如图，把一块含有45°的直角三角形的两个顶点放在直尺的对边上．如果∠1＝20°，那么∠2的度数是（ ）
A．15° B．20° C．25° D．30°
6．（3分）在“经典诵读”比赛活动中，某校10名学生参赛成绩如图所示，对于这10名学生的参赛成绩，下列说法正确的是（ ）
A．众数是90分 B．中位数是95分
C．平均数是95分 D．方差是15
7．（3分）如图，PA、PB分别与⊙O相切于A、B两点，若∠C＝65°，则∠P的度
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