探究四点共圆的条件.doc

人教版数学九年级上册
探究四点共圆的条件

活
动
目
标

知识
技能
1、 了解过某个四边形的四个顶点能作一个圆的条件。
2、 掌握对角互补的四边形四个顶点共圆的证明方法。

数学
思考
1、 通过观察、比较、分析不同的四边形四个顶点能否共圆，发展学生合情推理能力和演绎推理能力。
2、 通过观察图形，提高学生的识图能力。
3、 通过引导学生添加合理的辅助线，培养学生的创造力。
解决
问题
在探究四边形四个顶点能否共圆的活动中，学会运用由特殊到一般的数学思想，并能利用转化的数学思想解决问题。
情感
态度
在数学活动中发展学生使其主动参与师生、生生的交流活动，学会和人合作，学会倾听，培养学生大胆实践、勇于创新、团结互助的精神，使学生在活动中获取成功的体验，建立学习的自信心。
重点
通过活动探究四点共圆的条件。
难点
对角互补的四边形四个顶点共圆的证明方法。
活动过程设计
问题与情境
师生行为
设计意图
一、创设情境：
问题
演示课件：
1、向学生展示一组圆在生活中的图片。
2、一些学生正在做投圈游戏，他们呈“一”字型排开，这样的队形对每个人公平吗？你认为他们应当排成什么样的队形？怎样排？

问题与情境
教师演示课件：
教师解释：古代人最早是从太阳，从阴历十五的月亮得到圆的概念的，那么是什么人作出第一个圆的呢？
会作圆并且真正了解圆的性质，却是在2000多年前，是由我国的墨子给出圆的概念的：“一中同长也”。意思是说，圆有一个圆心，圆心到圆周的长都相等。这个定义比希腊数学家欧几里得给圆下定义要早100年。
师生行为
从生活中的实际问题入手，使学生认识到数学总是与现实问题密不可分，人们的需要产生了数学。
将实际问题数学化，让学生从一些简单的实例中，不断体会从现实世界中寻找数学模型、建立数学关系的方法。
引导学生对图形的观察，发现，激发学生的好奇心和求知欲，并在运用数学
设计意图

对于问题2，教师引导学生将实际问题转化成数学问题，既到中间物体的距离相等的点应该满足什么条件？如何去找到这几位同学的位置？
知识解答问题的活动中获取成功的体验，建立学习的自信心。
二、分析交流：
问题
1、过一个点能作圆吗？能作几个圆，圆心和半径能确定吗？
2、过两个点能作圆吗？能作几个圆，圆心和半径能确定吗？
3、过三个点能作圆吗？能作几个圆，圆心和半径能确定吗？过四个点呢？
教师提出问题，引导学生利用作图工具作出图形。
由学生经过观察，分析，总结归纳出简单的点与圆的关系，并了解点共圆所必须满足的基本条件。
教师可利用课件进行演示，让学生能直观的对所作图形进行观察，以验证自己所得到的结论是否正确。

此环节的设计是为探究四点共圆的条件作好铺垫工作。由简单到复杂，让学生在亲自动手操作的过程中进行实验、探究，得到问题的答案。激发学生的求知欲望，调动学生的积极性。
三、合作探究：
【活动1】
1、过三点作圆可以看成是过三角形的顶点作圆，那过四点作圆同样可以看作是过四边形的顶点作圆，那同学们会作吗？
2、这里有一些四边形，同学们尝试着作一下，看能否过它们的四个顶点作一个圆？
3、作圆的方法有几种？怎样去判断这四点共圆？
问题与情境
教师提出问题，让学生先进行思考，然后动手操作，在活动中探寻问题的答案。
在学生动手画四边形的外接圆的过程中，学生会发现有的四边形的四个顶点能共圆，有的却不行，那这些四边形有什么不同呢？引导学生从四边形的边和角的方面去猜测，探究。
在学生猜到对角互补的四边形的四个顶点能共圆后，还需要引导学生进行证明。
在证明这个推测时，要让
师生行为
活动1、2的设计是让学生学会利用载体去对问题进行研究。从单一的点过渡到形，让学生由无法下手到主动探究，一步一步地向探究的目标靠近。
在学生动手活动的过程中，通过交流和沟通，让学生明确一个问题的解决方案，在推测之后要进验证，通过证明，让学生感受数学的严谨性，感受到数学结论的确定性和证明的必要性，
设计意图
4、按要求画出图形后，为什么有的四边形的四个顶点能共圆，有的却不行，那这些四边形有哪些不同呢？它们的边长有关系吗？它们的内角有如何呢？
5、刚才我们是先画的四边形，再作的圆，得到了这样一个猜想。还有没有另外的方法也能做到呢？

【活动2】
1、通过活动，同学们推测出了四边形的四个顶点共圆的条件，可我们只画了几个图形，要想运用这个推断，还需要证明，那如何证明呢？
2、不在同一条直线上的三点是能共圆的，如果四点不能共圆，但其中的三点是可以保证共圆的，余下的点与过三点的圆是什么位置关系呢？
3、圆周角定理有哪些内容？
4、怎样利用圆中的性质定理来解决问题呢？
学生先进行讨论，思考最好的证明方法。然后引导学生利用反证法进行证明。在证明的过程中要让学生考虑到所有的图形情况。
证明过程：
在四边形ABCD中，若∠B+∠ADC=180º，那么A、B、C、D四点共圆吗？为什么？
解：如图1：假设A、B、C、D四点不共圆，过A、B、C三点作圆，D点在圆内。
延长AD与圆交于点E，连接CE则：∠B+∠E=180º
∵∠ADC >∠E
∴∠B+∠ADC >180º
这与已知条件∠B+∠ADC=180º矛盾，故假设不成立，原结论正确，A、B、C、D四点共圆。
图1
如图2，假设A、B、C、D四点不共圆，D点在圆外。
证明方法与证明图1时同理。
图2
培养学生和情推理能力。
附图：

问题与情境
师生行为
设计意图
四、归纳反思：
问题
1、通过这节课的活动，你有哪些收获？
2、你还能借助第三种载体探究四点共圆的条件吗？
教师带领学生从知识、方法、数学思想等方面小结本节课所做活动，并关注不同层次的学生对所学内容的理解和掌握。
教师布置新的问题继续激发学生的探究热情。
通过小节使学生总结本节课所学到的知识、技能、方法。培养学生数学思想、数学方法、数学能力和对数学的积极情感。

五、课外探究：
问题
1、过四个点还可以作出这样的图形，同学们观察一下，它们有什么特征？

2、先观察具有公共斜边的两个直角三角形，这四个点共圆吗？为什么？

3、再观察一般的图形，探究过这两个三角形顶点的四点共圆的条件？

4、仿照活动1、2中的方法和步骤，对推测出来的条件应该如何证明？
教师在学生完成一次探究后，提出新的问题：我们通过四边形这种载体研究了四点共圆的条件。但这并不是探究四点共圆条件唯一的方法，我们还能找到另外的载体进行探究。
让学生明确解决问题方法的多样性，在解决一个问题的时候应该思维活跃，学会借助旧的知识点去寻找新的知识点。
由于有了活动1、2作为基础，学生在进行此探究时，教师只做引导，更多的让学生去操作，去判断，去证明。

此的设计是为了让学生在掌握活动1、2之后能学会这种探究问题的方法，并能立刻应用到新的问题的探究中去，解决新的问题。

数学教学是在教师的引导下，进行的再创造、再发现的教学，通过数学活动，教给学生一种科学研究的方法。学会发现问题，提出问题，解决问题。