高考数学大复习小题课时训练 双曲线 解析版.pdf

课时37双曲线（基础题）一、单选题2 21.（2019上海宝山高三二模）已知双曲线会-1=1.0,。0）的右焦点为/（c,0）,直线丁=左（c）与 双曲线的右支有两个交点，则a.阳_ b.阳 _ c.ki _ d.ki 一a a a a【答案】A【分析】求得双曲线的渐近线方程，结合图象可得直线的斜率k的范围.1*2 v2 b【详解】解：双曲线亍-1=1（0力0）的渐近线方程为）=夕，直线经过焦点y=c）,F（c,o）,b当左0时,可得,一,a当左 0时,k ,a故网a故选A.【点睛】本题考查双曲线的方程和性质，主要是渐近线方程的运用，考查数形结合思想方法，属于基础题.2 22.（2021上海普陀高三二模）设7根16,则双曲线一一+工一=1的焦点坐标是（）16-m 7-mA.（4,0）B.（3,0）C.（0,5）D.（0,4）【答案】B【分析】确定双曲线的焦点位置，求出。的值，即可得出双曲线的焦点坐标.V-2 V2【详解】v7/7216,则16 根0,7-m0,所以，双曲线的标准方程为-=1,16-m m-1所以该双曲线的焦点在轴上，一日.a?=16,b2=m 7,则c=，片+后=3,因此该双曲线的焦点坐标为（3,0）.故选：B.2 23.（2021上海高三专题练习）过双曲线C:二-2=1的右顶点作轴的垂线与。的一条渐近线相交于点A,a b若以C的右焦点为圆心，以2为半径的圆经过A、。两点（。为坐标原点），则双曲线C的方程为（）A.-/=13C f2 y2B.%22_=13D f，2-l2 6【答案】B【分析】FO=2,故c=2,不妨设渐近线方程为y=2%,则A（q,。），根据AF=2,计算得到答案.【详解】连接AF,FO=2,故c=2,不妨设渐近线方程为y=则A（a,b）.a2故22=+（2-4）2,解得。=1/=6,故双曲线方程为Vq_=i二、填空题24.（2017上海虹口高三二模）已知双曲线2-4=l（fl0），它的渐近线方程是y=2%,则。的值为 a【答案】22【详解】因为双曲线20=1（。0）,它的渐近线方程是y=2x,a所以可得y=以=2工=2.5.（2018上海高三一模）双曲线2y2=i的焦距为【答案】272【解析】由双曲线的方程可得：/=/=1,贝卜2=/+从=2,双曲线的焦距为2c=20.2 26.（2019上海普陀高三二模）双曲线C:土-乙=1的顶点到其渐近线的距离为16 9-12【答案】y【分析】先由双曲线方程得到其顶点坐标，与渐近线方程，再由点到直线距离，即可求出结果.V2*9 v2 h 32又因为02=储+火所以解得=912=1,所以双曲线方程为：卷-尤2=,y2因此该双曲线的标准方程为V 一匕=1.92故答案为：=19【点睛】本题考查了双曲线方程的求法，考查了双曲线渐近线方程，考查了分类讨论思想，考查了数学运 算能力.【详解】因为双曲线C：土-匕=1的顶点为（4,0）,渐近线方程为：y=Z%=-%,16 9 a 4即 3x4y=0,因此顶点到渐近线的距离为：尔4|考V32+42 512故答案为最【点睛】本题主要考查双曲线顶点到渐近线的距离，熟记双曲线的性质，以及点到直线距离公式即可，属 于基础题型.7.（2020上海奉贤高三一模）若双曲线的渐近线方程为y=3x,它的焦距为29，则该双曲线的标准 方程为.2【答案】2一21=19【分析】根据双曲线的焦点的位置，分类讨论求出双曲线的标准方程.【详解】双曲线的焦距为2厢，所以c=J记.b当双曲线的焦点在横轴时，因为双曲线的渐近线方程为y=3x,所以一=3n0=3a,a又因为。2=+火所以解得/=1,/=9,所以双曲线方程为：尤2_（=1；9当双曲线的焦点在纵轴时，因为双曲线的渐近线方程为y=3x,所以：=3na=3b,b2 2 2 28.（2020上海高三二模）已知双曲线C：-4=1（0,h0）的实轴与虚轴长度相等，则C：三-2=1 a b a b（。0,b0）的渐近线方程是.【答案】y=x【分析】根据实轴与虚轴的定义可得。=人根据双曲线的渐近线方程可得答案.【详解】依题意得2a=勃，即”6,2 2 j所以C：一讶=1（。，0）的渐近线方程是丁=;工=X.故答案为：y-x【点睛】本题考查了双曲线的实轴，虚轴，渐近线，属于基础题.2 2 29.（2020上海市建平中学高三模拟预测）椭圆会+%=1伍0）与双曲线7V=i有公共的焦点，贝回【答案】4【分析】本题利用焦点相同，建立等量关系，即可求解【详解】由题意得两条曲线的值相等，回25-/=8+1,求得从=16,又因为人0,贝m=4.故答案为：h=4.【点晴】本题考查了椭圆和双曲线的基本性质，属于基础题.10.（2019上海高三模拟预测）已知双曲线一二士=1的离心率为无，则团=_.m+2 m+1 2【答案】2或-5 2 2【解析】双曲线-=1,当焦点在X轴时，a2=m+2,b2=m+l,m+2 m+1可得c2=a 2+b2=3+2m,双曲线一士=1的离心率为立，所以2磐=，.根=2 m+2 m+1 2 m+2 4-3-2m 7当焦点在 y 轴时,a2=-m-l,b2=-m-2,c2=a2+b2=-3-2m,所以-=;.m=-5-m-1 4故答案为2或-5.点睛：本题考查双曲线的简单性质的应用，考查计算能力，因为没有指出焦点在哪个轴上，所以讨论两种 情况，要抓住双曲线方程的特征得出。2,，,2即可得解 2 211.（2021上海嘉定高三二模）已知点A,8分别是双曲线C：点-2=1（。0力0）的左、右顶点，点P是双曲线C上异于4 B的另外一点，且是顶角为120。的等腰三角形，则该双曲线 的渐近线方程为.答案】xy=O【详解】如图所示，过点。作。曲轴，因为M8|=|P8|=2a,回P8C=60。，所以18cl=a,%=|PC|=6a,2 2点P（2a,指a）,将P代入=1中得a=b,所以其渐近线方程为x士y=0.12.（2019上海杨浦高三一模）已知双曲线/一2=1,则其两条渐近线的夹角为.【答案】I【分析】先计算渐进线为丁=出，计算其倾斜角，得到答案.【详解】双曲线-2=1的渐近线为：y=x,对应倾斜角为f,若,故渐近线夹角为f4 4 2TT故答案为：【点睛】本题考查了渐近线夹角，属于简单题型.2 213.（2018上海闵行高三一模）已知耳、尸2分别是双曲线二-3=1（。0）的左右焦点，过耳且倾斜 a b角为30。的直线交双曲线的右支于P,若则该双曲线的渐近线方程是.【答案】y=+y2x【分析】设|PFi|=m,PFi=n,F1F22c,由双曲线的定义和直角三角形中的性质，可得m,c的关系，由a,b,c的关系可得b,再由双曲线的渐近线方程即可得到所求.【详解】解：PFi=m,PF2=n,FiF2=2c,在直角国PF1F2 中，PFiF2=30,可得m=2n,贝!m-n=2a=n,即 a=一，22c=a/3n,即 0=走，2b=y/c2 a2=n,2b可得双曲线的渐近线方程为y=2x,a即为 y=&.x，故答案为：y=&x.【点睛】本题考查双曲线的渐近线方程的求法，注意运用双曲线的定义和解直角三角形，考查运算能力,属于中档题.2 214.(2017上海浦东新高三一模)过双曲线C:=-上=1的右焦点F作一条垂直于x轴的垂线交双曲线C 矿 4的两条渐近线于4 B两点，O为坐标原点，则。钻的面积的最小值为.【答案】8【分析】求得双曲线的b,c,求得双曲线的渐近线方程，将x=c代入双曲线的渐近线方程，可得4 B的坐标，求得回。八B的面积，运用基本不等式可得最小值.2 2【详解】解：双曲线C：=-二=1的b=2,c2=a2+4,(a 0),a2 42设F(c,0),双曲线的渐近线方程为y=x,a由x=c代入可得交点八(c,),e(c,-),a a.1 4c即有团048的面积为S c*2 a一+4 4 I4 c2-=2(a H)4./a =8,a a a当且仅当a=2时，回048的面积取得最小值8.故答案为：8.【点睛】本题考查双曲线的方程和性质，主要是渐近线方程的运用，考查三角形的面积的最值求法，注意运用基本不等式，考查运算能力，属于中档题.2 215.(2017上海青浦高三二模)已知双曲线三-1三e=l(0)的一条渐近线方程为丁=2/则。=【答案】3b b【分析】根据双曲线的标准方程可判断焦点在轴上，则渐近线方程为丁=g,即2=2,故可得+3=人=2,a a求解即可【详解】因为渐近线方程为y=2%,且焦点在X轴上，b所以=2,即万=2。，a 因为“0,所以+30,贝!+3=人=21,所以=3故答案为：3【点睛】本题考查双曲线的渐近线方程的应用，考查双曲线的几何性质16.（2017上海高三模拟预测）若、工是双曲线72=1的两个焦点，点尸（8,%）在双曲线上，则M Pg 的面积为_.【答案】56【分析】求出焦点坐标，把尸（8,%）点坐标代入双曲线方程求出加，由面积公式计算三角形面积.【详解】根据题意，双曲线的方程为：-*2=1,【答案】3【分析】由双曲线的性质结合题意可得，=2,即可得解.a【详解】双曲线*-：/=1（。0）的一条渐近线方程为2%丁=0,a：.，=2 即 q=L a 2故答案为：【点睛】本题考查了双曲线性质的应用，考查了运算求解能力，属于基础题.2 218.（2020上海高三模拟预测）已知双曲线土 21=1的一个焦点耳（5,0）,其中一条渐近线为/,过作 m 16片A_U交/于A,则A到原点距离是.【答案】3【分析】利用双曲线的方程及焦点坐标得出根=9,则可写出渐近线/的方程，然后根据题目条件利用几何 法解出.点A到原点的距离.4其焦点在轴上，且c=7T=逐，则其焦点坐标为（土石，则田图=26，2 _又由点。（8,%）在双曲线上，则有,一巾=1,解可得为=而，故八片。鸟的面积5=白尻卜山用=56，故答案为：5G.【点睛】本题考查双曲线中焦点三角形面积，求出焦距和双曲线上点的纵坐标，利用三角形面积公式计算.17.（2020上海金山高三二模）已知双曲线士-y2=i（qo）的一条渐近线方程为2工一丁=0,则实数。=a【详解】由题意得：m+16=25,解得机=9,4 4 3设渐近线/：y=1X,则ta n?AO片所以cos?AOK又因为|。耳|=5,故|Q4|=5cos?AO6 3.故答案为：3.【点睛】本题考查双曲线的标准方程及渐近线的应用，较简单.解答时，注意数形结合，利用几何法求解.2 219.（2018上海浦东新华师大二附中高三三模）如果双曲线工-匕=1的焦点在y轴上，焦距为8,则实 3m m数相:_【答案】-4【分析】先化为标准式，再由焦距为8,列出m方程，即可得到结论.【详解】由题意，双曲线工-匕=1的焦点在y轴上，则？=1,半焦距为4,则-m-3m=16,3m m-m-3m0m=-4.故答案为-4.【点睛】本题考查双曲线的标准方程，考查双曲线的性质，属于基础题.20.（2017长宁上海市延安中学高三三模）如图，在矩形ABCQ中，AB=12,3C=5,以A、3为焦点的 2 2双曲线M：=1恰好过C、0两点，则双曲线M的标准方程为_.矿 hDycBx2 2【答案】f【分析】根据焦点坐标和半通径长可构造方程组求得进而得到所求标准方程.2 2 2+）2=6?=36 r 2=16【详解】设双曲线M标准方程为：0-斗=1 二，解得：:一a2 b2 =5 Z?2=20、a2 2双曲线M标准方程为土-L=116 20Y2 V2故答案为：土-匕=116 20【点睛】本题考查双曲线标准方程的求解问题，属于基础题.21.（2020上海崇明高三一模）若双曲线的一个顶点坐标为（3,0）,焦距为10,则它的标准方程为.r2 v2【答案】二-匕=1 9 16【分析】根据顶点坐标求得根据焦距求得进而根据从=2一4求得乩进而求得双曲线的标准方程.【详解】依题意可知。=3/=5回 h=025-9=4根据顶点坐标可知焦点在1轴，光2 V20双曲线的方程为土-乙=1.9 16v-2 2故答案为：土-匕=19 16【点睛】本题考查了由Q，b，c求双曲线的标准方程，需熟记02=储+，属于基础题.22.（2021上海高三专题练习）设厂为双曲线=ieo）的右焦点，O为坐标原点，P、Q是以。尸 b为直径的圆与双曲线渐近线的两个交点.若归。=|0耳，则人=.【答案】1【分析】由已知得出点坐标，代入渐近线方程即可.【详解】由已知|PQ|=|O外可得P（U又点在渐近线.上，二：二.；A1/2 2 a 2。2又。=1,.b=l 三、解答题223.（2019上海黄浦高三二模）已知双曲线C:Y-2T=190）.b（1）若双曲线c的一条渐近线方程为y=2x,求双曲线c的标准方程；（2）设双曲线C的左、右焦点分别为6,B，点夕在双曲线。上，若尸6J尸工，且AP6/7的面积为9,求。的值.2【答案】f 一匕=1；b=342【分析】（1）由双曲线C:%2二=1（80）的渐近线为y=Zzx,而它的一条渐近线为y=2%,所以人=2,b从而可得双曲线的标准方程；（2）由尸，_LP居,且心耳工的面积为9,可得|尸/讣|尸周二18,由双曲线的定义可知|尸6HpM=2a=2,两边平方，再结合勾股定理和c2=a 2+可求出匕的值.2【详解】因为双曲线C:%21=1伍0）的渐近线为度法，而它的一条渐近线为y=2%,所以匕=2,2所以双曲线的标准方程为X2 一乙=1,4（2）因为尸片_LP&所以=：疗用廿周，因为AP K的面积为9所以|尸耳卜|尸国=18,又因为为耳|一|玛|=2。=2,所以四-2冏卜|尸马+|产乙=4,所以归耳+忸闾2=40,又因为|出+|产研=山段2=公2,所以。2=10,所以1+从=1(),所以。=3.【点睛】此题考查的是双曲线的基本运算，属于基础题.224.(2017上海崇明高三一模)已知点耳、鸟为双曲线C:%2 一%=1SO)的左、右焦点，过尸2作垂直于工 轴的直线，在入轴的上方交双曲线C于点M,且/叫尸2=30。.求双曲线C的方程；(2)过双曲线C上任意一点P作该双曲线两条渐近线的垂线，垂足分别为8、辱求西理的值.【答案】x2-=1;(2)|【分析】在直角三角形肛鸟中，根据=30。，可以求出孙，鸟的长，利用双曲线的定义得到等式，可以求出c,也就能求出匕，最后写出双曲线的方程即可.确定双曲线的渐近线方程，设出点P的坐标，根据点到直线距离可以求出国|，|珂的长，利用平面向量数量积的定义，两条渐近线的夹角，最后求出所配的值.【详解】在直角三角形5鸟中，因为居=30。,所以有tan/MFF?=鲁，cos/MRF2=债=MF?=：6c,MR=：Gc,由双曲线的定义可知：l r 2 LV1.1.D Ja q _ 2鸟一孙=2。=2=7辰一77=2=。=6,。=7开=2=2，所以双曲线。的方程是X2匕=1.3 3 2设尸(%,为)是双曲线C上任意一点，故有2焉-第=2两条渐近线方程为：:岳y=04：岳+y=O,设4：6y=0的倾斜角为。，故ta na=0,设两条渐近线在第一、四象限夹角为仇所以1 f o tn j 1.cos=cos la -=，于是有 cosPq,PA=-cos。=一.1+ta n-a 3 3因为P到双曲线两条渐近线的距离为:ie I后-%距龙。+%1时巫=他黑尼富lcos西西=吗咧一29【点睛】本题考查了双曲线的定义，考查了平面向量数量积的运算，考查了数学运算能力.技能专题练J（能力题）一、单选题2 21.（2019上海宝山高三一模）设点M、N均在双曲线C:?-；=1上运动，K、尸2是双曲线。的左、右焦点，则|丽+近一2丽|的最小值为（）A.2a/3 B.4 C.2币 D.以上都不对【答案】B【分析】根据向量的运算，化简得|颂+砧-2丽卜|2曲-2丽卜2|而结合双曲线的性质，即可求解.【详解】由题意，设。为小耳的中点，根据向量的运算，可得必+MF；-2网=12Mo-2砌=斗叫，又由N为双曲线C:-1=1上的动点，可得|而上。，所以防+*-2砌=2M22。=4,即MF；+-2砌的最小值为4.故选:B.【点睛】本题主要考查了向量的运算，以及双曲线的标准方程及简单的几何性质的应用，其中解答中利用 向量的运算，合理化简，结合双曲线的几何性质求解是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能 力，属于中档试题.2 22.（2019上海杨浦复旦附中高三三模）42是圆锥曲线三-J=l的焦距与实数2无关的（）A.充分非必要条件B.必要非充分条件C.充要条件 D.既非充分也非必要条件【答案】A【分析】将曲线分为椭圆或双曲线两类，利用椭圆或双曲线的性质列不等式，由此求得4的取值范围，进而 判断出充分、必要条件.2 2 2 2【详解】若圆锥曲线/J=l,即上+=1为椭圆，则/=心+5-（4-2）|=7,即焦距与几无 A+5 2-A 2+5 2-2 1 1卜+50关.此时卜一20,解得;l2.兄+5/几一22 2若圆锥曲线三-7=1为双曲线，则。2=,+5+（2-刈=7,与4无关.此时（X+5）（2-为0,解得4+5 2-X5 v X v 2.2 2所以当5,2）口（2,内）时，圆锥曲线/二一4=1的焦距与实数几无关.4+5 2 Z2 2所以“丸2是圆锥曲线二-d=1的焦距与实数丸无关的充分不必要条件.2+5 2-A故选A.【点睛】本小题主要考查椭圆和双曲线的几何性质，考查分类讨论的数学思想方法，考查充分、必要条件 的判断，属于中档题.3.（2019上海松江高三二模）过点（1,。）与双曲线上-2=1仅有一个公共点的直线有（）4A.1条 B.2条 C.3条 D.4条【答案】D【分析】可判断出点（1,。）不在曲线上,依据其几何性质可判断切线与平行于渐近线的直线均满足只有一个公 共点的条件【详解】由题可知点（1,0）不在双曲线上，则过该点可作双曲线的切线有2条，平行于渐近线的直线由2条，这4 条直线与双曲线均只有一个公共点故选D【点睛】本题考查直线与双曲线的位置关系，当过双曲线外一点作直线与双曲线只有一个公共点,由两种情况:（1）直线与双曲线相切；（2）直线平行于双曲线的渐近线24.（2019上海市大同中学高三三模）已知双曲线C：%2_工_=,过点尸（1,1）作直线/,使/与。有且仅有4一个公共点，则满足上述条件的直线/共有（）A.1条【答案】DB.2条C.3条D.4条【分析】当直线/斜率不存在时，可得直线l=1满足题意；当直线/斜率存在时，设为y=1）+1,与双曲线方程联立；当所得方程二次项系数为零时，可求得满足题意的左；当二次项系数不为零时，利用判别式 等于零可求得攵；综合上述情况可得结果.【详解】由双曲线方程可知其顶点坐标为（1,0）当直线/斜率不存在时，直线/方程为：x=l,满足与曲线。只有一个公共点当直线/斜率存在时，设直线/方程为：y 1=4（1）,即：y=左（%1）+1联立,2 y2I 4,整理可得：（4一左2）%2+（2左2一2左）（二一2左+5）=（）当4-%2=o,即左=2时，此时方程有且仅有一个实数根直线/：y=2（%-1）+1与曲线C有且仅有一个公共点当4时，A=（2左22盯+4（4左2）（左2_2攵+5）=0,解得：k=；直线/:y=g（xT）+l与曲线C有且仅有一个公共点综上所述：满足条件的直线/有4条故选：D【点睛】本题考查根据直线与双曲线交点个数求解参数的问题，易错点是忽略直线斜率不存在的情况、直 线与双曲线方程联立后未对二次项系数是否为零进行讨论.1*2 2 45.（2020上海普陀高三三模）设。为双曲线5-y2=i（。）的上一点，/耳尸居=（耳、8为左、a 3右焦点），则耳的面积等于（）A.瓜2 b.a2 C.D.3 3 3【答案】C【分析】先利用双曲线的定义，得IP耳1-1尸耳l=2a,利用余弦定理求出1。耳|。入1的值，结合三角形的面积 公式即可求出的面积.【详解】双曲线三y2=i（Qo）,则匕=1 不妨设尸是双曲线的右支上一点,则由双曲线的定义，得IP6I-|刊冒=227r则 4P8=7，27r所以 4c2=1 PF+PF212-2|P/II Puleos=|P耳 F+ipk+|PE|.|P 每 I=（PFi-PF2）2+3PFi-PF2所以4c2=4/+31 尸耳 1.1 尸8|,即314Gl“尸工=4c2-4a2=4b2=44所以1。耳11。61=3所以个尸尸2=l尸耳I产入smy=5X5X3=万故选：C【点睛】本题考查三角形面积的求法，根据双曲线的定义结合余弦定理将条件进行转化是解决本题的关键，解题时要认真审题，注意双曲线定义、余弦定理的灵活运用，属于中档题.2 26.（2021上海高三专题练习）已知点P为双曲线+啧=1（。，。）右支上一点，点6，尸2分别为双曲线的左右焦点，点/是PKE的内心（三角形内切圆的圆心），若恒有Spf-Spf=&nff,则双曲线 Z_A li I ZX Ir T-）c Z_A/1的渐近线方程是（）+JC=y A.交2避3+-+-y y B.D.X【答案】D【分析】根据三角形的面积关系寻求“，c等量关系，再推导出。涉关系即可.【详解】%PF=与.,且/是尸片工的内心，设内切圆的半径为广，贝尸耳卜r一;|P6|-r=xg x2c,xr,.|尸|一|尸闾=百匕，即2a=c,b2 c2-a2 1 mb V3 F=-3=，及|J=，q q 3 a 3,渐近线方程是y=正故选：D.【点睛】求解与双曲线性质有关的问题时要结合图形进行分析，既使不画出图形，思考时也要联想到图形，当涉及顶点、焦点、实轴、虚轴、渐近线等双曲线的基本量时，要理清它们之间的关系，挖掘出它们之间 的内在联系.2 27.（2022上海高三专题练习）已知、尸2分别是双曲线已 三2=1（。00）的左、右焦点，且|耳居|=2,若产是该双曲线右支上一点，且满足IP用=21根I,则出声2面积的最大值是（）4 5A.1 B.-C.-D.23 3【答案】B【分析】设1。耳1=2,I尸乙1=，/耳尸2=6,由双曲线定义得=2%根据2,2ca=l a得根据余弦定理和三角形面积公式得到面积关于2的函数，根据二次函数知识可求得结果.【详解】设|PI=，1尸工1=，/W 由题意得m=2八，c=l,由双曲线定义得小一=2。，n-2a.4-9-22-3所以 2a 2c-a=l-a,4-9-2由余弦定理得cos0=皿+一牝 2mn5n2-4 4n2n 小 PF、4=mnsin 0=n2.I-(?-2 V 4h2二-V-9h4+40h2-16=l-9(n2-)2+,4 4 V 9 9时4-9 20一 9B.=2 出 当 故4P居面积的最大值是:【点睛】关键点点睛：根据余弦定理和三角形面积公式得到面积关于2的函数是解题关键.二、填空题Y2 y2 力8.（2021上海高三模拟预测）已知双曲线=-4=1（。力。），过双曲线上任意一点P分别作斜率为-a b ab和士的两条直线4和4,设直线4与x轴、y轴所围成的三角形的面积为s,直线4与x轴、y轴所围成的三 a角形的面积为T,则S 的值为.【答案】4【分析】设出P点坐标（%0,%）,根据点斜式方程写出44的方程，并求出44与坐标轴交点的坐标，从而可 求出S,T的值，最后计算并化简S的结果.【详解】设尸（%,）,所以4：丁=一，（%-%（）+%，令尢=0,所以y=%+皿，令y=o,所以%=%+罕，所以s=1x%+如卜卜。+迫=（%+缈。y；a b 2 a|b lab又4：y=2（x-%）+%）,令x=0,所以y=%-，令y=。，所以=%（）-驾，所以 a a b所以S.T=W*/相=磔=4人 4a b 4a b 4故答案为!。2.【点睛】本题考查双曲线中的定值问题的计算，难度一般.定值问题的计算步骤：（1）根据条件列出已知量;（2）表示出待求值，运用双曲线的方程做变形、化简，最后得到结果.9.（2018宝山上海交大附中高三模拟预测）双曲线3/_丁=12的两渐近线的夹角大小为.【答案】y:【分析】根据双曲线的方程，求得其见解析的方程，利用直线的夹角公式，即可求解.2 2【详解】由双曲线3f y2=i2,可化为二匕=1,4 12可得双曲线的两条渐近线的方程为）=y/3x,77设双曲线的两条渐近线夹角为。且。0,5，则 ta n 0-c 一1+/3,(5/3)=省,所以9=W,TT即两条渐近线的倾斜角分别为TT故答案为【点睛】本题主要考查了以双曲线为载体，求解两直线的夹角，其中解答中熟记双曲线的几何性质，合理 可用直线的夹角公式求解是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.10.（2018上海长宁高三二模）已知函数/（的;但卜/+）的定义域为则实数。的取值范围是【答案】-1,11【分析】根据对数函数的真数大于0,得出庐T+a x0恒成立，利用构造函数法结合图象求出不等式恒 成立时a的取值范围.【详解】解：函数/(x)=lg(JW+i+a x)的定义域为R,团，2+a x0恒成立,回收+1 一 a x恒成立,设y=&+,xHR,y2-x2=l,yl；它表示焦点在y轴上的双曲线的一支，且渐近线方程为y=x；令y=-a x,xHR；它表示过原点的直线;由题意知，直线y=-a x的图象应在y=的下方，画出图形如图所示;00-a l 或-IS-a 0,解得-la 2=1关于坐标原点对称,可得旋转后得到的函数的/“）图象关于原点对称，即有了“）为奇函数，故对；由双曲线的顶点为（土6,0卜渐近线方程为y=土号,可得/）的图象的渐近线为=0和y=且,3图象关于直线y=6%对称，可得了（%）的图象过或与，-由对称性可得/（X）的图象按逆时针60。旋转位于一三象限；按顺时针旋转60。位于二四象限；故对；/*）的图象按逆时针旋转60。位于一三象限由图象可得顶点为点快3或惇不是极值点，则/（X）的值域不是（-8,-U-，+）；2 2f（x）的图象按顺时针旋转60。位于二四象限，由对称性可得/（x）的值域也不是（-8,-习U弓,+），故不对；当/（X）的图象位于一三象限时,/（x）的图象与直线y=%有两个交点，函数y=/（x）-x有两个零点；当了的图象位于二四象限时J（x）的图象与直线y=x没有交点，函数y=/（x）-x没有零点故错.故真命题为：故答案为：【点睛】本题考查双曲线的性质和函数图象的对称性、极值、零点，属于中档题.2 214.（2018上海交通大学附属中学嘉定分校高三模拟预测）若双曲线三-与=1的渐近线与圆（-2+丁=3 矿 b相切，则两渐近线夹角为.【答案】J【分析】利用双曲线的渐近线与圆相切，求出两渐近线的斜率及倾斜角，可得出两渐近线的夹角.尤 2 v?b【详解】双曲线我=1的渐近线方程为尸士%,圆（-2）2+丁=3的圆心坐标为（2,0）,半径为G，2b由题意得I工、=百,解得？=如，所以，渐近线夹角为?.故答案为：y.【点睛】本题考查双曲线两渐近线夹角的计算，查运算求解能力，属于中等题.2 15.（2020上海黄浦高三二模）已知双曲线2方=1（a 0 （）的一条渐近线平行于直线/：y=2x+10,双曲线的一个焦点在直线/上，则双曲线的方程为.2 2【答案】-匕=15 20【分析】根据渐近线与直线/的平行关系确定出风。的关系，再根据焦点在/上确定出C的值，结合“+2=02 两渐近线的斜率为6,倾斜角分别为:、胃，因此，两解题时要结合直线与圆相切列等式求出渐近线的斜率，考计算出a2*5,h2即可得到双曲线的方程.2 2所以双曲线的方程为：-匕=1.5 202 2故答案为：-二=1.5 20b【详解】因为一条渐近线与y=2%+10平行，所以一=2,a2 2又因为双曲线3-与=1（“0,。0）的焦点为（土c,o）,且直线/过点（-5,0）,ci b所以c=5,b-2a a2=5所以2 N 2 7所以k”，a+b=c=25 b=20【点睛】本题考查根据直线的平行关系求解参数、根据兄仇c的值求解双曲线的方程，难度一般.当直线过标 准形式椭圆或者双曲线的焦点时，此时焦点一定为直线与坐标轴的交点.16.（2020上海浦东新高三二模）已知双曲线的渐近线方程为丁=，且右焦点与抛物线2=4%的焦点重 合，则这个双曲线的方程是.【答案】2x2-2y2=l【分析】由已知可得双曲线的右焦点为（1，。），即c=l,由双曲线的渐近线方程为丁=出，可设其方程为：V-丁2=儿40,再由+）2=c2可得：2+2=1,求出4,问题得解.【详解】抛物线产=4%的焦点为：（1,0）双曲线的右焦点为：（1，。），即c=l/双曲线的渐近线方程为y=x,双曲线的方程可设为：x2-/=A,2 0,2 2即。=1,42=52=4由4+尸二，可得：2+2=1,:.A=,双曲线的方程是2f 2=1.故答案为：2%2-2/=1【点睛】本题考查了双曲线的标准方程和其渐近线方程，关键是掌握共渐近线的曲双线方程的设法，属于 中档题.2 217.（2020上海高三专题练习）过双曲线土-上=1的左焦点耳作倾斜角为a的直线与丁轴交于点A,与 16 8双曲线的右支位于第四象限的部分交于点若函=；（砺+西），则a=.【答案】a=7i-a rcta n 12【分析】由双曲线方程求得左焦点坐标，由直线的倾斜角可得直线的斜率，写出直线方程，得到直线在丁轴 上的截距，由向量等式可知A为片8的中点，由中点坐标公式求得5点坐标，代入双曲线方程可得ta na,再由反三角函数求得角a值.2 2【详解】如图，由双曲线二-匕=1,得耳（-2跖0）,16 8则 4(0,2后 ta n a),ta na(x+2遍)，取 X=0,得 y=276 ta n a,由砺=；（砺+西），可得A为耳3的中点，设则x 2/6=0二,S(2V6,4,6 ta na).y+0=4。6 ta na.3在双曲线上，二少电丝包=1,即ta ne=一 16 8 12Q a 为钝角，:.a=7i-a rcta n.12故答案为：a=7i-a rcta n 12【点睛】本题考查直线和双曲线的位置关系，考查向量的几何含义，中点坐标公式，考查运算求解能力,是中档题.2 218.（2021上海高三专题练习）设耳、尸2分别是双曲线工二=1（。0,人0）的左、右焦点，点2在双曲 a b线右支上且满足I HE每I,双曲线的渐近线方程为4x3y=0,则cosNP片K=.、4【答案】【分析】设双曲线的半焦距为c,求得双曲线的渐近线方程可得。，b,c的关系，求出。耳外的三条边,运用余弦定理可求COS/P耳入值.【详解】设双曲线的半焦距为C,h 4由双曲线的渐近线方程，可得=a 3在中，|。工|=|耳耳|=2c,PFi=2c+2a,由余弦定理可得cos NP耳E=(2c)2+(2c+2a-(2c)2 2 x 2c(2c+2a)a+c5Cl H Cl 3=110 5a34故答案为：【点睛】关键点睛：解答本题的关键是看到双曲线的焦半径，要马上联想到双曲线的定义解题.这是圆锥曲 线的一个解题技巧，要注意熟练运用.19.（2021上海青浦高三二模）已知双曲线中心在原点且一个焦点为尸（近,0）,直线y=x-l与其相交于2N两点，MN中点横坐标为-：，则此双曲线的方程是.无2 V2【答案】土-匕=1 2 5v-2 V2 h-【分析】设双曲线的标准方程为*-云=1（。0/0）,利用点差法可求得全的值，再结合焦点的坐标可 求得/和/的值，由此可得出双曲线的标准方程.【详解】设点（西方）、N（%2，%），由题意可得 2 2=_，-xi+x2-,yi+y2=(x(+x2-2-,直线MN的斜率为右n=、二H=l,xx-x24.4=1 2 2则片b,两式相减得王子 强a=0,b2斫以、才一 _(X乂心+%)；5 a2 xf-xf(%)-X2)(X+2)2由于双曲线的一个焦点为尸（近,0）,则/+/=7,二/=？，/=5,2 2因此，该双曲线的标准方程为土-二=1.2 5r2 v2故答案为：=1.2 5【点睛】本题考查双曲线标准方程的求解，涉及点差法的应用，考查计算能力，属于中等题.20.（2021上海高三专题练习）设双曲线r：9=1（qo）的左、右焦点分别为耳，工，点乂在 a的右支上，向量2（1,。）是直线耳M的一个方向向量，若/用鸣=2,则r的焦距为.【答案】V6【分析】由题意可得直线6M的斜率为。，且a 0,设16/1=，由双曲线的定义可得I耳M|=1+2a,在三角形Eg 中，分别运用正弦定理、余弦定理，解方程可得。，进而得到焦距2c.【详解】解：向量，=(La)是直线耳闻的一个方向向量,可得直线耳闻的斜率为。，且。0,设由双曲线的定义可得I耳M|=f+2a,t _ 2c t 2,1+在三角形印明中，由正弦定理可得sin/9月=0,即=4 41+。2 2解得f=20a,由余弦定理可得4c2=t2+(t+2a)2-29+2a)史，2即为 4(1+/)=8a2+(2缶+2ay-4&a(2a+2缶)当，1 解得=、，(T-i+a1-,贝I焦品巨2。=2，|=6.故答案为：a/6.【点睛】本题考查双曲线的定义、方程和性质，考查三角形的正弦定理、余弦定理的运用，考查方程思想 和运算能力，属于中档题.2 221.(2018上海长岛中学高三一模)在平面直角坐标系中，。为坐标原点，M.N是双曲线匕-匕=1上2 4的两个动点，动点P满足/=2两-两，直线与直线ON斜率之积为2,已知平面内存在两定点耳、工,使得|附H|为定值，则该定值为【答案】2M【详解】设 P(x,y),M(xi,yi),N(x2,丫2),则由丽=2两一两，得(x,y)=2(xi,yi)-(x2,y2),即 x=2xi-X2,y=2yi-y2,团点M,N在双曲线一片=1上，所以日g=1,生一货=1,2 4 2 4 2 4故 2x2-y2=(8xi2+2x22-8xiX2)-(4yi2+y22-4yiy2)=20-4(2xiX2-yiy2)，设koM,Gn分别为直线OM,ON的斜率，根据题意可知kMkoN=2,0Y1Y2-2 xiX2=0,02x2-y2=2O,所以P在双曲线2x2-y2=20上；设该双曲线的左，右焦点为Fi,F2,由双曲线的定义可推断出忸用-俨修为定值，该定值为2M点睛：本题主要考查了双曲线定义及简单的几何性质.充分考查了用代数的方法来处理平面几何问题的手 段.22.(2019上海师大附中高三一模)对于曲线C所在平面上的定点6，若存在以点外为顶点的角&,使得 a承对于曲线C上的任意两个不同的点八，B恒成立，则称角】为曲线C相对于点兄的界角，并称 a/x2+1(x 0)其中最小的界角”为曲线c相对于点兄的“确界角.曲线c：y=相对于坐标原点。的“确界2-Jl-(x0)角”的大小是.【答案】【分析】画出函数/(%)的图象，过点。作出两条直线与曲线无限接近，当X20时，曲线y=77W与直线y=无限接近，求出匕=1,当0时，曲线可化为无2+(y-2)2=1(%0),圆心到直线的距离为1,求得k2=-3,再由两直线的夹角公式，即可求解.【详解】由题意，画出函数/(%)的图象，过点。作出两条直线与曲线无限接近，设它们的方程方程为y=幻，y=k2x,当1之0时，曲线y=与直线y=无限接近，即为双曲线的渐近线，可得匕=1；2,当X0时，曲线可化为2+(y 2)2=l(%0力0）的左、右焦点分别是耳、6,左、a b右两顶点分别是A、A,弦AB和C。所在直线分别平行于x轴与y轴，线段班的延长线与线段C。相交于 点尸（如图）.团若2=（2,G）是的一条渐近线的一个方向向量，试求的两渐近线的夹角回割PA|=1,必却=5,|PC|=2,|叫=4,试求双曲线的方程；团在回的条件下，且|AA21=4,点C与双曲线的顶点不重合，直线CR和直线C4与直线/：%=1分别相交于点 M和M试问：以线段M/V为直径的圆是否恒经过定点？若是，请求出定点的坐标；若不是，试说明理由.【答案】囱6=a rcta n4G=1团圆过x轴上两个定点和1；,0【分析】团可得2=从而ta ng 二,ta n =即。=a rcta n4Ga 2 2 2 2 2工-2团求得即尸（3,1）,从而得A（2,l）,C（3,3）代入双曲线方程知：r9可 即 5一27-1F 8一27-1 一 2。n-1记93回可得r的方程为