高考数学大复习小题课时练36 椭圆 解析版.pdf

源时36椭圆（基础题）一、单选题1.（2020上海市嘉定区第二中学高三期中）已知AABC的周长为12,B（0,-2）,C（0,2）,则顶点A的轨迹方程为（）2 2A.土+L=i(xw O)12 16 v 7r2 v2B.土+乙=1(0)12 16 1 72 2C.+匕=l(%w o)D.+=1(y 0)16 12 1)【答案】A【分析】根据三角形的周长和定点，得到点A到两个定点的距离之和等于定值，得到点A的轨迹是椭圆，椭圆的焦点在y轴上，写出椭圆的方程，去掉不合题意的点.【详解】AABC的周长为12,顶点3（0,-2）,C（0,2）,;.BC=4,AB+AC=12-4=8,v84,点A到两个定点的距离之和等于定值，点A的轨迹是椭圆，a=4,c=2:,b2=n,椭圆的方程：三+2=心。0）12 16故选A.【点睛】本题考查椭圆的定义，注意椭圆的定义中要检验两个线段的大小，看能不能构成椭圆，本题是一 个易错题，容易忽略掉不合题意的点.2.（2019上海普陀高三二模）若椭圆的焦点在X轴上，焦距为2灰，且经过点（石,血），则该椭圆的标准方程为A.二+=1 B.旦+亡=1 C.亡+二=1 D.反+片=19 3 36 12 36 12 9 3【答案】D2 2【分析】先由题意得到2c=2后，求出c=&,再由椭圆的焦点在工轴上，设椭圆方程为：+=l（a0）,a a-6将（6,0）代入方程，即可求出结果.【详解】因为焦距为2,所以2c=2而，即。=加;2 2又椭圆的焦点在入轴上，所以设椭圆方程为：3+47=1（。），a a-6a?又椭圆过点（石,血），所以二+一=1，解得/=9,a a-62 2因此所求椭圆的方程为：+-=1.9 3故选D【点睛】本题主要考查由椭圆的焦距与椭圆所过的点求椭圆方程，熟记椭圆的标准方程，用待定系数法求解即可，属于常考题型.3.（2017上海崇明高三一模）如图，已知椭圆C的中心为原点O,方卜2石,0）为C的左焦点，户为C上一点，满足|OP|=|O尸且归耳=4,则椭圆C的方程为（）25 5.2 2B.1730 10c+T?=1D.45 25【答案】C【分析】取椭圆的右焦点用2技。），连接尸耳,由平面几何的知识可得刊FPK，进而可得|助|,由椭圆的定义可得。、h,即可得解.2 2【详解】由题意可得该椭圆的半焦距=2石，设椭圆。的方程为芯+方=l,（ah0）,取椭圆的右焦点耳（2石,0）,连接尸耳，如图,y因为|o p|=|o f|,所以QH=|o制，所以尸尸,尸耳,又|P耳=4,|明|=4石，所以|尸胤=府臼所=8,所以2a=|尸耳+|尸周=12,即=6,所以k=/一，=16,v1 2 v21 3所以a=2,且不+瓦y-l,可得：a2=4,/?2=1,C2=a2-Z 2=4-1=3,所以c=VL所以焦距2c=26,故选：C.所以椭圆方程为土+匕=1.36 16故选：C.【点睛】本题考查了椭圆方程的求解，考查了运算求解能力及转化化归思想，对条件合理转化是解题关键,属于基础题.4.（2020上海松江高三模拟预测）已知椭圆捺+。1（60）分别过点A（2,0）和点41,野 则该椭 圆的焦距为A.百 B.2 C.23 D.2石【答案】C【分析】根据椭圆过点42,0）和点3,号J,得到。=2,方+息=1联立求解.【详解】因为椭圆过点42,0）和点8卜，旁I 2）【点睛】本题主要考查椭圆的几何性质，还考查了运算求解的能力，属于基础题.2 25.（2018上海市七宝中学高三三模）若椭圆。的方程为：+21=i（/o,mO）,则/根是曲线C的焦点在X轴上的（）A.充分非必要条件 B.必要非充分条件C.充要条件 D.既非充分也非必要条件【答案】C【分析】由椭圆的几何意义推导.【详解】在方程表+鼻=1（左）中，若k=n,则它表示圆，若k羊,它表示椭圆，若女，则 焦点在X轴上，若3则焦点在丁轴上.回题中应是充要条件.故选：C.2 2【点睛】本题考查椭圆的标准方程，属于基础题.若焦点在轴，则椭圆标准方程为=十4=1（。人0）,a2 2若焦点在y轴，则椭圆标准方程为三+a=1（。人。）6.（2018上海金山高三二模）椭圆的参数方程为x 5co s6一。（。为参数），则它的两个焦点坐标是（）y-3smeA.(4,0)B.(O,4)C.(5,0)D.(O,3)【答案】A2 2【详解】消去参数可得椭圆的标准方程工+工=1，所以椭圆的半焦距c=4,两个焦点坐标为（4,。），故 25 9填（4,0）.二、填空题2 27.（20rM余汇上海中学高三模拟预测）方程，+上=1表示椭圆，则ae_.2 Q Q+1【答案】卜加【分析】根据椭圆标准方程的特点，列出不等式组，解这个不等式组即可.2 2/【详解】因为方程一+工=1表示椭圆，所以有。+10 g（-1,-）u（-,2）.2-a a+c,2 22-aa+l故答案为:GJ唱2）【点睛】本题考查了方程表示椭圆的条件，考查了数学运算能力.2 28.（2019上海松江高三一模）已知椭圆二+匕=1的左、右焦点分别为耳、B，若椭圆上的点P满足 9 4IP耳|=2|珠|,则|。耳|=【答案】4【分析】根据椭圆定义，得到|+|尸闾=2=6,再由题中条件，即可得出结果.2 2【详解】由题意，在椭圆版+号=1中，|尸盟+|尸闾=2a=6,又归国二2归封，所以巳。耳|=6,因此|P|=4.故答案为：4【点睛】本题主要考查椭圆上的点到焦点的距离，熟记椭圆的定义即可，属于基础题型.9.（2019上海高三二模）已知椭圆的焦点在X轴上,焦距为2,且经过点（0,2）,则该椭圆的标准方程为.r2 v2【答案】+匕=1 5 4【分析】根据焦距和与y轴交点得到c,b,由求得。2,进而得到标准方程.【详解】椭圆焦距为2.c=l又焦点在工轴上，经过点（0,2）:.b=2.=/+2=52 2椭圆的标准方程为王+匕=1 5 4X2 V2故答案为：土+匕=15 4【点睛】本题考查椭圆标准方程的求解，属于基础题.2 210.（2019上海市向明中学高三三模）已知椭圆,+亲=1焦点在工轴上，若椭圆上一点P到左焦点的距离|尸耳|=3,则|。工|=【答案】5【分析】根据椭圆的定义，|PF1|+|PF2|=2a,求出结果即可.2 2【详解】团椭圆。+方=1,团当椭圆上的点P到它的左焦点距离是3时，点P到它的右焦点的距离是2a-3=2x4-3=5.故答案为：5.【点睛】本题考查了椭圆的定义及标准方程的应用问题，是基础题目.2 211.（2021上海高三专题练习）已知Fi,F2是椭圆C:4+=1（。0）的两个焦点，P为椭圆C上的一 a b点，且玛，若尸百死的面积为9,贝=.【答案】3【分析】设|尸耳|=大|尸闾=弓,由椭圆的定义得到斗+弓=2%根据尸_LPE，得到7+2=而，进而求得径=2/，结合三角形的面积公式，即可求解.【详解】设|P周=石,|尸闾=,由椭圆的定义可得|尸耳|+|尸闻=+母=力,又由尸E_1_尸工，可得片+1=4才，可得=&+弓）2-&2+2）=442一公2=4，即4&=2/,所以外的面积为久呷=g楂=g x 2/52,又因为尸鸟的面积为9,即=9,解得b=3.故答案为：312.（2020上海奉贤高三二模）已知P为曲线+=1上位于第一象限内的点，6、尸2分别为的两 4 12焦点，若是直角，则点P坐标为【答案】（血,太）m+n-2a【分析】若设产（%）（%00，%0）,|即|=叫尸耳|=%结合椭圆的定义和直角三角形可得，渥+2=4。2,mn-2cx0从而可求出%,然后将与的值代入椭圆方程中可求出Jo【详解】解：曲线:+$=1是焦点在丁轴上的椭圆，其中/=12,=4,则。2=8,得4 12a=23,b=4,c=2/2,设 P（%o，%）（%o。，%。），PF=m,PF2=n,因为尸鸟是直角，m+n-2a所以疗+7?=4c,mn-2c%（）解得。=&,将0=也代入椭圆方程中得，:+喀=1，解得=庭（负根舍去）所以点的坐标为（0,C），故答案为：（血,）【点睛】此题考查的是椭圆的定义和性质，属于基础题2 213.（2020上海杨浦高三一模）椭圆土+汇=1的焦点为6厚P为椭圆上一点，若|产用=5,则co s/与尸鸟=9 43【答案】I【分析】根据椭圆定义可得：|尸国+|尸鸟|=2。，忻国=2c=26，在三角形片P居中由余弦定理，即可求得答 案.2 2【详解】椭圆土+匕=19 4可得:a=3,。=2,c=a/5.根据椭圆定义可得：|P制+|尸闾=2。=6,忻耳=2c=26，可得5+|P周=2a解得：|尸段=2-5=6-5=1.在三角形耳尸心中由余弦定理:co s/FPF=归娟Tf闻=25+1-20=3 21M.i*2x5x1 53故答案为【点睛】本题主要考查了由余弦定理解三角形,解题关键是掌握椭圆基础知识和余弦定理，考查了分析能力和 计算能力,属于中档题.14.（2021上海长宁高三二模）设用工分别为椭圆：+y2=l的左、右焦点，点A3在椭圆上，且不 是椭圆的顶点.若7i+/i牙=6,且几。，则实数几的值为.【答案】1【分析】由已知向量条件结合椭圆的对称性推出四边形与Ag B一定为平行四边形，可得用=瓯，即2=1.【详解】因为串+4型=6,所以用=4瓯，所以片4/8每，又；10,且A3不是椭圆的顶点.根据椭圆的对称性可知，四边形6一定为平行四边形,如图：所以五质=63,所以用=*,即4=1,故答案为：1.【点睛】关键点点睛：根据椭圆的对称性求解是解题关键.2 215.（2021上海黄浦高三三模）已知椭圆三+汇=1的右顶点为A右焦点为以人为圆心，R为半径的圆 4 3与椭圆相交于民。两点，若直线8C过点F,则R的值为.【答案】叵2【分析】由对称性得弦3c是椭圆的通径，由通径长可得关系式，从而求得2 b2 9x3【详解】由已知42,0）,/（1,0）,因为5C过焦点产，所以由对称性知5C_L%轴，所以忸。|=-=*=3,H=l,所以R=2故答案为:平16.（2017上海高三一模）一个底面半径为2的圆柱被与其底面所成角是60。的平面所截，截面是一个椭圆,则该椭圆的焦距等于【答案】473【分析】利用已知条件，求出椭圆的长半轴，短半轴，然后求出半焦距，即可.【详解】解：因为底面半径为R的圆柱被与底面成60。的平面所截，其截口是一个椭圆,则这个椭圆的短半轴为火=2,长半轴为。=右=4,co s 60=h+c2）c=V42-22=2G，椭圆的焦距为46；故答案为：4G.【点睛】本题考查了椭圆的简单性质，重点考查了运算能力，属基础题.17.（2019上海浦东新华师大二附中高三一模）椭圆 2+2/=1的焦距是.【答案】垃【分析】把椭圆*2+2必=1转化为标准方程，然后求出其焦距.2,2i_i 6【详解】解：把椭圆x2+2y2=i转化为：=1,匕=上团2c=V2.椭圆x2+2y2=i的焦距是：0.故答案为：叵.【点睛】本题考查椭圆的简单性质，解题时要认真审题，注意公式的合理选用.x=2co s 618.（2018上海浦东新高三二模）椭圆百s in6（。为参数）的右焦点坐标为【答案】(L0)X=2cos6 2 2r八，所以工+匕=1,y-j3sin0 4 3因为c=44-3=1,右焦点为(1,。).三、解答题2 219.（2017上海浦东新高三一模）已知椭圆Ca+M l S人。）的左、右焦点分别为6、乙，过尸2的 一条直线交椭圆于尸、。两点，若APKE的周长为4+40,且长轴长与短轴长之比为0:1.求椭圆。的方程；（2）若|用+4=地求直线尸。的方程.2 2【答案】三+汇=1；后土y-2a=08 4【分析】（1）根据椭圆的定义和已知尸月鸟的周长，可以得到等式，根据长轴长与短轴长之比为a:1，再结 合椭圆中风儿。的关系，可以求出。,Ac的值，进而求出椭圆的标准方程；（2）设出直线尸尸2的方程，化简|肝+月百=|可将直线工的方程与椭圆的标准方程联立，利用一元二次 方程根与系数关系最后可以求出尸。的方程.【详解】由条件可知:2“+2c=4+4及，a:b=y/2A，2 2a2=b2+c2,解得：a=20,A=2,c=2,所以椭圆C的方程为土+工=18 4设直线P鸟的方程为：x=ty+2,P（xi,yl）,Q（x2,y2）；因为府+玳=和+而+留+诙=丽+阳 所以讨+诙H园，所以。尸_LOQ,所以玉%2+必必=0，丁2 y20）的两个焦点分别是、F2,M是椭圆上 m+1 m任意一点，回耳g 的周长为2+20.（1）求椭圆的方程；（2）过椭圆在y轴负半轴上的顶点3及椭圆右焦点8作一直线交椭圆于另一点N,求/耳距的大小（结果 用反三角函数值表示）.r2 3【答案】（1）上+9=1；（2）=arct an-.2 4【分析】（1）由周长公式计算加，求椭圆方程；（2）首先写出直线方程，并与椭圆方程联立，并求点N的 坐标，并计算t an/N3的值.【详解】（1）由题意知，椭圆焦点在工轴上，设椭圆的长轴、短轴、焦距的长分别为2a、2b、2c,则 a=J+1，b=m，c=1，由已知，2a+2c=2+2/2，trr+1+1=1+5/2,解得机=1,所以所求椭圆的方程为1+丁=1.（2）由（1）知，B（0,-1）,工（1,0）,所以直线的方程为y=%1,-y-x-1（、由f 解得N筌,于是-+/=1+叫.【分析】由椭圆的定义可以直接求出椭圆的标准方程.(1)根据数量积的坐标运算公式，得到等式，与椭圆的标准方程联立，解方程即可；(2)设出两点坐标，根据平面向量数量积的坐标表示公式，结合点在椭圆上和椭圆的范围，可以求出PMX-PM1的最大值及最小值.【详解】因为42百，所以椭圆的定义可知：点P的轨迹是以耳鸟(6,0)为焦点的椭圆，2a=4,c=6=a=2,b=1,所以点P的轨迹方程为：+y2=1-4(1)设点尸的坐标为：(%0，%)(/0),所以工+%2=14PF=(-%0，-%),尸7=(a/3-x0,-y0),因为斯丽=0,所以(百七)(6-%)+%2=0,与+为2=1联立，解得。，%0=-=4，点尸的坐标为-(2)存在最大值和最小值，理由如下：根据题意，设M、用2的坐标分别为：M,(m,n),M2(-m,-n),PM=(m-x0,n-y(),PN=(-m-x0,-n-yQ),则 PM PN (rnxQ,n yQ)mxQ,n%)=Xq tw2+n2 ifij+_y02=1 _ _ 3所以加取=；玉：+1-m2-2,因为所以(两.丽)皿=4-(+2),(西丽)1111n=1-(加+/).【点睛】本题考查了椭圆的定义，考查了平面向量数量积的坐标公式，考查了椭圆的范围，考查了数学运 算能力.技能专题练J（能力题）一、单选题2 21.（2017上海交大附中高三一模）已知椭圆C:3+=l,直线/：y=x-l，点尸（1,0）,直线/交椭圆C于AB两点，则|E4+|尸国2的值为321 324 327 330A.-B.-C.-D.-49 49 49 49【答案】B【详解】设点AB的坐标分别为（再,y）,（%2，%），由椭圆的定义可知，椭圆的右焦点方（1,。），此时直线y=x-1经过点厂,可得|PA|-a+ex=2+g%,|PB-a+ex2-2+x2,?,i i 1所以=(2+-x1)2+(2+-xi)2=8+2(x1+x2)+-(x1+%2)2-2x1x2y=x-1联立方程组“f y2,得7%2_8%-8=0,所以%+=三,%/2=-三，14 37.1 324代入上式可得1PAi+|即一=8+2(玉+%2)+/百+%2)2-2取2=/，故选B.点睛：本题考查至直线与椭圆的位置关系的应用，其中解答中涉及到椭圆标准方程及其简单的几何性质,椭圆的定义等知识点的综合考查，解答中合理转化为直线与圆锥曲线联立，根据根与系数的关系，利用韦 达定理是解答问题的关键，试题有一定的难度，属于中档试题.2 22.（2020上海高三专题练习）椭圆C：土+匕=1的左右顶点分别为4出，点P在C上且直线斜率的 4 3取值范围是那么直线PA斜率的取值范围是1 31 3 3 1 3A.仁,/B,C,-,1 D,-,1【答案】B【详解】设p点坐标为（,为）,则/+岂=1,%2=三，左3 3团即2,-1团Z pq e故选 B.o 4【考点定位】直线与椭圆的位置关系2 23.(2019上海高三模拟预测)已知4,B是椭圆E：=+二=13b0)的左、右顶点，M是E上不同于 a b4-4 8的任意一点，若直线4W,的斜率之积为-x，则E的离心率为()9A.走 B.立 C.-D.好3 3 3 3【答案】D4【分析】由题意方程可知，4-。，。)，3(。,0),设M(%,%),利用斜率公式以及直线A,3M的斜率之积为9列式并化简得：4r=-x，,再根据M在椭圆上可得十方二-彳，联立可解得.x0-a 9 xQ-a a【详解】由题意方程可知，4-4,0),330),设%),二 kAM=,kBM=,玉)+a xi)-a则忘也=一1，整理得：/方=4,“0+a a y Xg cl 9又工+5=1,得第=。/一心，即=4,联立，得上=-土即4=，解得e=好.a2 9 a2 9 3故选。.【点睛】本题考查了斜率公式椭圆的几何性质，属中档题.4.(2017徐汇上海中学高三模拟预测)设4 8两点的坐标分别为(-1,0),(1,0).条件甲：4 8、C三点构成以配为钝角的三角形；条件乙：点C的坐标是方程x2+2y2=i(尹0)的解，则甲是乙的()A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分又不必要条件【答案】B【分析】条件甲：4 8、C三点构成以此为钝角的三角形，其对应的图形是单位圆内的部分，条件乙：点C的坐标是方程x2+2y2=l(户0)的解，点C所对应的图形是椭圆，得条件乙能推出条件甲，反之不成立.【详解】设C(x,y),条件甲：八、8、C三点构成以团C为钝角的三角形，0AC-5C-4设。（再，y）,D（X2,%），贝U 玉+工2=-+4公，玉%2=+4.2MD=AMC 团X=网.s（1+4）2/16k、2 1+4廿 64k2 64 1团（1+/1）%2=_ 2,（x2y-A=,即 2 1+4Z:2 12 3（1+4左2）3 1 1+4k 1+4/C+4团公24（1+Z）2 16714-4 30-2 33当直线斜率不存在时，则过点加（。,2）的直线方程为=o,此时c（o,i）,n（o,-D,或c（o,-1）,当 C（0,l）,。（0,-1）时，4=3；当 C（0,1）,0（0,1）时，A=1综上，1/2=1,联立-2+&=0与Y+4y2=i,解得=_受，y=Yl,所以直线/与椭圆C 2 4的公共点坐标为，孝,故答案为卜乎，乎.711.（2018上海虹口高二二模）椭圆的长轴长等于m,短轴长等于九，则此椭圆的内接矩形的面积的最大值为【答案】|mn2 2【解析】由题意，椭圆的标准方程为金+8=1,矩形第一象限内的一点为得co s坨s in。）,4 4所以矩形面积S=4 x y co s 0 x s in0=mn x|s in20,所以Smax=m儿点睛：本题考查椭圆的应用.本题中利用三角换元进行解题.三角换元在圆锥曲线中是比较重要的技巧,在解决最值问题中，往往能起到很好的效果.本题利用三角换元就得到S=4xco s 6xs in e=m7ix1 1-Sin 20,显然Smax=九.2 212.（2016上海虹口高三二模（理）如图，A、B为椭圆a+的两个顶点，过椭圆的右焦【答案】若AB回OC（O为坐标原点），则直线AB的斜率为【分析】由椭圆的方程及过椭圆的右焦点F作x轴的垂线，求得A（-a,0）,3（0,b）,C（c,2）,根据AB/OC,a求得b=c,进而得到。=血，利用斜率公式，即可求解.2 2【详解】由题意，椭圆二+2=1（。0）,过椭圆的右焦点F作X轴的垂线与其交于点C,a b可得 A(a,0),5(04),C(G),a又由AB/OC,可得2二工，整理得儿=从，即6=。,a c又由片=/+02 _ 2b2=a=yflh，h所以直线AB的斜率为左=2 a故答案为正.2b _V2缶一 2【点睛】本题主要考查了椭圆的标准方程及其简单的几何性质的应用，其中解答中熟记椭圆的标准方程,熟练应用椭圆的几何性质是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.13.(2021宝山上海交大附中高三开学考试)已知椭圆+y2=l的左、右焦点为耳，尸2,点P为椭圆上4动点，则两朋的取值范围是.【答案】【分析】设尸a，y)为椭圆上任意一点，根据向量数量积运算求西班，利用二次函数求值域即可.【详解】设尸(羽丁)为椭圆上任意一点，则 M xy),隹=(6羽-y)，_ _ _ 无2 3所以 PFX-PF2=(v3 x,y),(y/3 x9 y)=x2+y2 3=x2+1 =x2 2 因为P在椭圆上，所以-2%2,所以20),长轴为2a,焦距为4*(-2,0)为椭圆的焦距，满足|AF|=10点A有且 Cl Q 4只有两个，可得。-2v|A/IVQ+2,即可得出结论.【详解】由题意，产为椭圆的焦点，因为满足l AFhl O的点A有且仅有两个，所以。一2|A/Hva+Z,gp a-210a+2,解得8a28日46+8/一4=0（人为参数）表示中心在直线y=2x上，长轴长和短轴 长分别为4,2的一组椭圆，判断出符合条件的直线需要与直线y=2%平行，设出直线方程，先利用一个特殊 的椭圆与直线方程联立求出直线的方程，再证明对于所有的椭圆都满足条件.【详解】解:椭圆4/+/一8区4仙+8左24=0（人为参数）可化为（_%）2+（22L=i，所以4/+产_8乙一做y+8左24=0表示中心在直线，=2%上，长轴长和短轴长分别为4,2的一组椭圆，而所 求的直线与这组椭圆种的任意椭圆都相交，若所求的直线/与直线y=2x不平行，则必定存在椭圆与直线/不相交,于是，设所求直线的方程为y=2X+b,_ 2因为此直线被这些椭圆截得的线段长都等于石，则直线y=2X+b与椭圆2+2=1所得到弦长为石，设 4弦的两端点为A（%，m）,3（%202），尸+”b 心4由 3），4x2+y2 8Ax +8A:2 4=0 9 9贝I由 4 y y 得8%+（8 16左）x+8左-一8左=0,y=2x+2所以3+4=2 女 T,X3X4=k?-k,因此d=V1+27a/（x3+4）2-44:6,（241）2_4（公_84）;小所以直线y=2x+2与椭圆4%2+9一8区46+8左24=0（4为参数）相交所得的弦长为班.同理可证，对任意左e R,椭圆4/+/86-4由+8r4=0（人为参数）与直线y=2%-2相交所得弦长为斯.【点睛】本题主要考查由椭圆的弦长求弦所在直线方程的问题，熟记椭圆的弦长公式，以及直线与椭圆位 置关系即可，属于常考题型.17.（上海普陀高三三模）设点P是椭圆+y2=l上异于长轴端点的一个动点，、尸2分别为椭圆的左、4右焦点，。是坐标原点，若是N-P用的平分线上一点，且片则|西|的取值范围是.【答案】。，【分析】设点P在第一象限，延长尸6，片M交于点N,由MP是/耳尸后的平分线，且月可得|P|=|PN|,FXM=MN,结合是的中位线，可得叫=；|N卜;（|尸用-归国），结合椭圆的 定义，可得到|0闾=2-归6|,然后求出|P闾的取值范围可得到|*|的范围.【详解】设点P在第一象限，延长尸鸟，RM交于点、N,因为MP是/6尸工的平分线，且耳尸，所以|%|=|PN|,忻M|二|肱V|,则qm是耳居N的中位线，可得=g优n|=；（|pn|Tp用）=g（|P耳|一|尸用），由椭圆的定义知，|尸耳|+|尸鸟|=4,贝！）|尸|=4|尸阊,所以|刎=；（圈-|明）=与4-2|*）=2-|明，因为P在第一象限，且不在长轴端点，所以4-o|尸词，即2-6|0阊2,若点P在短轴端点，可得|尸闾=2,所以2-6俨闾2,即0 2-忙闾 百，即 oI*i G根据对称性可知，点p在异于长轴端点的任意一点，0|的|百都成立.故答案为：o,G）.【点睛】本题考查椭圆的性质，考查三角形的性质，考查学生的计算能力与推理能力，属于中档题.18.（2020上海普陀高三一模）设椭圆：捺+尸=1（。1）,直线/过的左顶点A交丁轴于点F,交于 点。，若AAOP是等腰三角形（。为坐标原点），且而=2画，则的长轴长等于.【答案】26【分析】如图所示，设Q（%0，Jo）.由题意可得：4-。，0）,P（0，a）.根据而=2m,可得玉），儿.代入椭 圆方程解得。，即可得出.【详解】解：如图所示，设0（%,%）,由题意可得：A（-,0）,尸（0,a）.PQ=2QA,（%，%一）=2（一。x0,一%）,2a a.%,r代入椭圆方程可得：+y=b解得。=石.二的长轴长=26.【点睛】本题考查了椭圆的标准方程及其性质、向量坐标运算性质，考查了推理能力与计算能力，属于中 档题.2 219.（2020上海徐汇位育中学高三期中）已知耳、工是椭圆的左、右焦点，过原点。且倾斜角为60。的直线与椭圆C的一个交点为M,若|砥+砥R砥-丽I，则椭圆C的长轴长为【答案】2 yl 3+2有2 2【分析】由题意设直线为y=代入=+匕=1,求得2=a 3a2嵩根据MF+MF=MFi-MF；,得到目臣访卜位*,将仞的坐标代入求解.2 2【详解】设直线为丁=耳，代入=+匕=1 a 3解得三,1+Q 1+6Z因为|砒+说|斗西近|,所以2?而,所以4cr 3a2-7 H-T1+Q 1+矿-r，y 1+6Z=4 c2,又因为=/?2+02万=3,解得/=3+2百.所以椭圆C的长轴长为243+2百.故答案为：23+26【点睛】本题主要考查直线与椭圆的位置关系，椭圆的几何性质，还考查了运算求解的能力，属于中档题.20.（2017上海松江高三一模）设Py）是曲线C:后+椁=1上的点，片（|尸可，所以，归制+|时|0）的中心、左顶点、上顶 a b-点、右焦点，过点尸作OB的平行线，它与椭圆C在第一象限部分交于点P,若丽=4而，则实数2的值 为.【答案】72【分析】先分别求出各点坐标，由通=4而可得而/丽，因此可解得则a=g c,即可求得2【详解】由题，则。（0,0）,A（a,0）,3（0,。），/（c,0）,2 2 12过点方作QB的平行线,交椭圆。在第一象限部分于点已将x=c代入=+2=1中可得=幺,即P为 a o a所以丽=（Q,而=（c。），方2因为44=/10户,所以通/而，则bc=a，即。叫所以a=Jic,a又有a=Ac,所以4=0,故答案为：V2【点睛】本题考查椭圆的几何性质的应用，考查平面向量共线定理的应用2 222.（2018上海市南洋模范中学高三三模）如图，点尸（）（x0,y0）是双曲线鼻-斗=1（。0,b0）a b上的动点，耳、鸟是双曲线的焦点，M是/耳尸工的平分线上一点，且E祈桥=0,某同学用以下方法研究|。叫：延长用M交尸耳于点N,可知APN玛为等腰三角形，且M为gN的中点，得；|N.=a,2 2类似地：点尸（2）U0,y0）是椭圆二+与=1（匕0）上的动点，小心椭圆的焦点，M是a b的平分线上一点，且询柝=0则|OM怕勺取值范围是【答案】【分析】利用M是因F1PF2平分线上的一点，且F2MMP,判断0M是二角形FgN的中位线，把0M用PFi,PF2表示，再利用椭圆的焦半径公式，转化为用椭圆上点的横坐标表示，借助椭圆的范围即可求出0M的范 围.【详解】如图，延长F2M,交PFi与N点、,团PM是团F1PF2平分线，且弧标=0,且 f2mmp,PN=PF2,M 为 F2N 的中点,连接OM,团。为击中点，M为F2/V中点,即。/W|=；|FW|=；|PFi|-|P/V|=|PFi|-PF22 2团在椭圆/+方=1(ab0)中,设P点坐标为（xo,y0）则|PFi|=a+ex0,PFz =a-exo,2c01 IPFiI-IPF211=Ia+exo-a+exo=12e xo|=2e|xo|=一|xo|,a即有|OM|=|xo|,a2 2回P点在椭圆二+二=1(ad0)上，a h0|xo|0(0,a,又回当|xo|=a 时，F2/他/“不成立，I2|xo|0(0,a),即。回(0,c)=(0,J“2匕2)故答案为：（0,，/一/）.【点睛】本题考查了椭圆的定义、标准方程及其性质、三角形中位线定理，考查了推理能力与计算能力，属于中档题.2 223.(2020上海长宁高三三模)已知椭圆C:三+马=1(ab0)的右焦点为b(L0),。为坐标原点,ar b点A是椭圆在第一象限的一点，且AQ4厂为等边三角形，则。=【答案】3里 2【分析】AQ4尸为等边三角形，。b=。大=。4=1得到AA片厂是直角三角形，求出A耳,利用椭圆定义求出以【详解】如图AQ4/为等边三角形，。/=。耳=OA=1得至U AA耳尸是直角三角形,.耳尸=2,AF=1由椭圆定义得：2a=AFi+AF=y/3+lx/3+l a=-2故答案为：叵2【点睛】本题考查利用椭圆定义求参数值.椭圆上的一点与两焦点所构成的三角形称为焦点三角形.解决焦点三角形问题常利用椭圆的定义和正弦定 理、余弦定理.三、解答题 2 224.(2020上海松江高三一模)已知椭圆八 二+二=1(160)的右焦点坐标为(2,0),且长轴长为短轴 a b长的0倍，直线/交椭圆于不同的两点M和N,(1)求椭圆厂的方程；(2)若直线/经过点20,4),且OMN的面积为2a,求直线/的方程；(3)若直线/的方程为y=&+r(Z w(),点M关于x轴的对称点为直线MN,分别与x轴相交于P、Q两点，求证：I。尸l“OQI为定值.【答案】(1)上+.=1;(2)y=土巫X+4;(3)证明见解析.8 4 2【分析】(1)根据题意，结合。力，。的关系即可求得椭圆的方程；(2)设出直线/的方程为丁=丘+4,与 椭圆方程联立，然后根据韦达定理以及面积计算公式，表示出OMN的面积并等于20,求解人的值，即 可得直线/的方程；(3)由已知得的的坐标，联立直线与椭圆方程，写出韦达定理，并求出直线M2V的方 程，令y=0,求出,即可得IQ2I,并根据直线方程求出IOP,然后相乘代入化简即可.【详解】解：(1)由题意得a=a2-b2=4,_ 2 2解得a=2&，b=2,所以椭圆的方程为土+乙=1.8 4(2)设点M,N的坐标为(/)、N(尤2,%)，由题意可知，直线/的斜率存在设直线/的方程为丁=区+4.y=Ax+4由方程组2,得（1+28）%2+16丘+24=0+=118 4在 a 16k 24所以玉+/=一5中2=ESaomn=1 4后 一2卜2加|+）2-4中2=8f 3=2724 1十解得左=且闻直线/的方程为y=土巫+4 2 2(3)由题意知的点的坐标为2 2y=kx+t,代入 L+2-=l8 4得：(2k2+l)x2+4ktx+2r2-8=0,4kt 2t之8团再+”一赤T二药.、c 2ty+%=左(百+9)+2，=2左2+对于直线y=6+f,令,=。得了=团|0尸1=k对于直线M%=言/),令得%=一%571)+%+M2kx工2+1(玉+%2)百%2,_2(仇+/)+(3+D%+必8k._ _.,因 1。1=%+y 8kOP-OQ=-8k=8.【点睛】解决直线与椭圆的综合问题时，要注意:(1)注意观察应用题设中的每一个条件，明确确定直线、椭圆的条件;(2)强化有关直线与椭圆联立得出一元二次方程后的运算能力，重视根与系数之间的关系、弦长、斜率、三角形的面积等问题.2 225.(2017上海普陀高三一模)已知椭圆户:+当=1(ab0)的左、右两个焦点分别为耳、鸟，P是 a b椭圆上位于第一象限内的点，尸轴，垂足为Q,恒国=6,N/7M=arcco s述，WK的面积为3&.9(1)求椭圆F的方程:(2)若M是椭圆上的动点，求IMQI的最大值，并求出IA/QI取得最大值时M的坐标.2 2【答案】净土最大值为2/+D，此时点M的坐标为(-2。).【分析】在尸鸟中，根据S.PFe=g|百图|PK|-s in/P;但=3及，求出|P6|=36,再根据余弦定理求出|Pg|=6,然后由定义求出然后由从=2一,2求出团从而可得椭圆的方程.根据面积求出Q的坐标，再根据二次函数求出IMQ|的最大值.【详解】（1）在耳巴中，由/。4g=arcco s 3，得co s/P耳月；,所以s in/。耳工=因为山闾=6,所以闺闾归用=3及，所以g x6x李尸甲=3后,所以|叫=3技在PKK中，由余弦定理得：|尸玛=归耳+怩国2一2户用.忻用.co s NP大工，s n所以|即产=27+36-2x3百x 6x-,所以|桃=3即归&|=6,2“=归用+|?鸟|=46，a-2/3,c=3：.b=6,x2 v2二椭圆F的方程为土+匕=1.12 3（2）设P（%。,%）,根据题意可知，由图=所以%=&（%0）,代入椭圆方程得%0=250）,.Q的坐标为（2,0）,令M（x,y）代入椭圆方程 y2=3_,|M 2|2=（%2）2+y2=|x24%+7=|1%|）+|,其中2百 b0）,右焦点为产，动直线/与圆O：/+y2=相切于点。，与椭圆交于A（%，x）、3（%2，%）两点，其中点。在丁轴右侧.(1)若直线/：%-丁-2=。过点尸，求椭圆方程；(2)求证：|AF|+|AQ|为定值.2 2【答案】(1)土+匕=1；(2)证明见解析.6 2【分析】(1)设椭圆厂的焦距为2c(c0),由直线/与圆相切可得出。的值，由直线/过点/可得出。的值，进而可得出。的值，由此可得出椭圆的标准方程；(2)设点可知。玉a,利用两点间的距离公式、勾股定理可分别求出|4目、|A2|,进而可证 明出|AF|+|AQ|为定值.【详解】(1)设椭圆厂的焦距为2c(c0),由于直线八X-y 2=。与圆F+y2 相切，贝|人=*=夜，:直线/：x-y 2=0过点/，.c-2=o=c=2,贝!1/=/+c?=6,2 2因此，椭圆的方程为土+匕=1;6 2(2)设易知点A在y轴右侧，可得。玉a,则 1+和，；=a b a。玉 a,ci-X|a%0,a+y：J _ 2cX+e r?+y；=Jx；2cx+c2+b2 匕=。斗。，|AQ|=J|_|0Q=旧+y；4=*+_ 爷*=铮=号,因此，|A目+|AQ|=a(定值).【点睛】本题考查椭圆方程的求解，同时也考查了椭圆中的定值问题的证明，涉及两点间距离公式和勾股 定理的应用，考查计算能力与推理能力，属于中等题.2 227.(2021上海市建平中学高三三模)已知椭圆C:土+乙=1,过动点M(0,(加。)的直线/交x轴于点4 2N,交C于点4、P(P在第一象限)，且M是线段PN的中点，过点P作x轴的垂线交C于另一点Q,延长QM交C于点B.(1)求椭圆C的焦距和短轴长；(2)设直线PM的斜率为k,QM的斜率为证明：皆为定值；K(3)求直线倾斜角最小时的斜率.【答案】(1)2垃,20;(2)证明见解析；(3)日.【分析】根据椭圆方程写出长短半轴长即可得解；(2)结合M点坐标，设出点P的坐标，由对称性得Q点坐标，经计算即可得证；联立直线以与椭圆的方程组，求出点八的坐标，再求出点8的坐标，把直线八8斜率建立为直线斜 率k的函数即可得解.2 2【详解】(1)因为椭圆C的标准方程为土+匕=1,可得a=2,b=C,c=e,4 2所以椭圆C的焦距为2加，短轴长为(2)设P(%)(无 0,%0),由M(0,m)(zn0)可得尸(如2,0(面,一2四),3m,2m-m m,-Im-m 3m k则直线PM斜率=-=一，QM的率麦=-=-,所以丁=3,%毛/k m故(为定值.K(3)设4(%,多),3仁,必)，直线。4的方程为丁=+加，直线。3的方程为丁=-36+加,y=kx+m联立方程2 y2,整理得（2/+1*+加依+2疗4=0,4 22m2-4 2（犷-2）由根与系数关系可得=篝5,即%=击号2k（m2-2）则 V.=kx.+m=-；-+m1 （2+l）x0同理2=2（m2-2）-62（疗-2）（18V+1）a:0%一（18Z：2+1）x0口 一 2（m2-2）2（m2-2）-32k2 m2-2）所以/一%一（18/+1卜0-（27+1）-（18Z:2+1）（2A:2+