圆锥曲线必背法.doc

圆锥曲线必备
圆锥曲线必背口诀(红字为口诀)-椭圆
一、椭圆定义
椭圆三定义，简称和比积.
1、定义1：(和)到两定点的距离之和为定值的点的轨迹叫做椭圆.
定点为焦点，定值为长轴.（定值=）
2、定义2：(比)到定点和到定直线的距离之比为定值的点的轨迹叫做椭圆.定点为焦点，定直线为准线，定值为离心率.（定值=）
3、定义3：(积)到两定点连线的斜率之积为定值的点的轨迹是椭圆.
定点为短轴顶点，定值为负值. （定值）
二、椭圆的性质定理
长轴短轴与焦距，形似勾股弦定理①
准线方程准焦距，方、方除以②
通径等于 2 ，切线方程用代替③
焦三角形计面积，半角正切连乘④
注解：
1、长轴短轴与焦距，形似勾股弦定理
长轴，短轴，焦距，则：
2、准线方程准焦距，方、方除以
准线方程： （方除以）
准焦距：焦点到准线的距离： （方除以）
3、通径等于2 ，切线方程用代替
椭圆的通径：过焦点垂直于长轴的直线与椭圆的两交点之间的距离称为椭圆的通径.（通径）
过椭圆上点的切线方程，用等效代替椭圆方程得到.
等效代替后的是切线方程是：
4、焦三角形计面积，半角正切连乘
焦三角形：以椭圆的两个焦点为顶点，另一个顶点在椭圆上的三角形称为焦三角形.半角是指的一半.

则焦三角形的面积为：
证明：设，，则.
由余弦定理：

即：，即：.
即：
故：
又：
所以：椭圆的焦点三角形的面积为.
三、椭圆的相关公式
切线平分焦周角，称为弦切角定理①
切点连线求方程，极线定理须牢记②
弦与中线斜率积，准线去除准焦距③
细看中点弦方程，恰似弦中点轨迹④
注解：
1、切线平分焦周角，称为弦切角定理
弦切角定理：切线平分椭圆焦周角的外角，平分双曲线的焦周角.
焦周角是焦点三角形中，焦距所对应的角.
弦切角是指椭圆的弦与其切线相交于椭圆上时它们的夹角，当弦为焦点弦时（过焦点的弦），那么切线是两个焦点弦的角平分线.
2、切点连线求方程，极线定理须牢记
若在椭圆外，则过作椭圆的两条切线，切点为，则点和切点弦分别称为椭圆的极点和极线.
切点弦的直线方程即极线方程是（称为极线定理）
3、弦与中线斜率积，准线去除准焦距
弦指椭圆内的一弦.中线指弦的中点与原点的连线，即得中线.这两条直线的斜率的乘积，等于准线距离去除准焦距，其结果是：
4、细看中点弦方程，恰似弦中点轨迹
中点弦的方程：在椭圆中，若弦的中点为，弦称为中点弦，则中点弦的方程就是，是直线方程.
弦中点的轨迹方程：在椭圆中，过椭圆内点的弦，其中点的方程就是，仍为椭圆.
这两个方程有些相似，要擦亮眼睛，千万不要搞混了.
圆锥曲线必背口诀(红字为口诀)-双曲线
一、双曲线定义
双曲线有四定义，差比交线反比例
1、定义1：(差)平面内，到两个定点的距离之差的绝对值为定值（小于这两个定点间的距离）的点的轨迹称为双曲线。定点叫双曲线的焦点。即：
2、定义2：(比)平面内，到给定一点及一直线的距离之比为定值的点的轨迹称为双曲线。定点叫双曲线的焦点，定直线叫双曲线的准线。
3、定义3：(交线)一平面截一圆锥面，当截面与圆锥面的母线不平行，且与圆锥面的两个圆锥都相交时，交线称为双曲线。
4、定义4：(反比例)在平面直角坐标系中，反比例函数的图象称为双曲线。
证明：反比例函数图象是双曲线轨迹经过旋转得到.
证明：因为的对称轴是, ，而的对称轴是轴，轴，所以应该旋转. 设旋转的角度为（，顺时针）（为双曲线渐进线的倾斜角）
则有：，
取，则：

而，所以，
即： ()或 ()
由此证得，反比例函数其实就是双曲线的一种形式，只不过是双曲线在平面直角坐标系内的另一种摆放形式.
二、双曲线的性质定理
基本同椭圆，有所区别：
长轴短轴与焦距，形似勾股弦定理①
准线方程准焦距，方、方除以②
通径等于 2 ，切线方程用代替③
焦三角形计面积，半角余切连乘④
注解：
1、长轴短轴与焦距：形似勾股弦定理
长轴，短轴，焦距，则：
实际上，双曲线是实轴、虚轴、与焦距，但为了方便记忆，也不至于造成混乱，我们还是按椭圆的口诀记忆.
2、准线方程准焦距，方、方除以
准线方程： （方除以）
准焦距：焦点到准线的距离： （方除以）
3、通径等于2 ，切线方程用代替
双曲线的通径：过焦点垂直于长轴的直线与双曲线的两交点之间的距离称为双曲线的通径.（通径）
过双曲线上点的切线方程，用等效代替双曲线方程得到，等效代替后的是切线方程是：
4、焦三角形计面积，半角余切连乘
焦三角形：以双曲线的两个焦点为顶点，另一个顶点在椭圆上的三角形称为焦三角形.半角是指的一半.
双曲线的左右焦点分别为，点为双曲线上异于顶点任意一点，则双曲线的焦点三角形满足：
其面积为；.
证明：设，则
在中，由余弦定理得：
，
即：
即：
即：，即：
即：，即：
那么，焦点三角形的面积为：

故：
同时：，故：
双曲线的焦点三角形的面积为：.
三、双曲线的相关公式
切线平分焦周角，称为弦切角定理①
切点连线求方程，极线定理须牢记②
弦与中线斜率积，准线去除准焦距③
细看中点弦方程，恰似弦中点轨迹④
注解：
1、切线平分焦周角，称为弦切角定理
弦切角定理：切线平分椭圆焦周角的外角，平分双曲线的焦周角.
焦周角是焦点三角形中，焦距所对应的角.

弦切角是指双曲线的弦与其切线相交于双曲线上时它们的夹角，当弦为焦点弦时（过焦点的弦），那么切线是两个焦点弦的角平分线.
如图，是焦点三角形，为焦周角，为双曲线的切线. 则平分.
2、切点连线求方程，极线定理须牢记

若在双曲线外，以包含焦点的区域为内，不包含焦点的区域为外，则过作双曲选的两条切线，切点为、，则点和切点弦分别称为双曲线的极点和极线，切点弦的直线方程即极线方程是（称为极线定理）
3、弦与中线斜率积，准线去除准焦距

弦指双曲线内的一弦.中线指弦的中点与原点的连线，即得中线.这两条直线的斜率的乘积，等于准线距离去除准焦距，其结果是：
4、细看中点弦方程，恰似弦中点轨迹
中点弦的方程：在双曲线中，若弦的中点为，称弦为中点弦，则中点弦的方程就是：，它是直线方程.
弦中点的轨迹方程：在双曲线中，过双曲线外一点的弦，其中点的方程就是，仍为双曲线.
这两个方程有些相似，要擦亮眼睛，千万不要搞混了.

圆锥曲线必背口诀(红字为口诀)-抛物线
一、抛物线定义
抛物线，有定义，定点定线等距离
1、到一个定点和一条定直线距离相等得点的轨迹称为抛物线.
2、二次函数的图象是抛物线.
二、抛物线性质
焦点准线极点线①，两臂点乘积不变②
焦弦切线成直角，切点就是两端点③
端点投影在准线，连结焦点垂直线④
焦弦垂直极焦线⑤，切线是角平分线⑥
直角梯形对角线，交点就是本原点⑦
焦弦三角计面积，半个方除正弦⑧
注解：
1、焦点准线极点线
抛物线的焦点和准线是一对极点和极线.
抛物线方程：，焦点，准线
(抛物线的顶点到定点和定直线距离相等)
焦弦：过焦点的直线与抛物线相交于两点和，则称为焦弦.
弦中点，，
焦弦方程：，为斜率.
2、两臂点乘积不变
焦点三角形两边和的点乘积为定值，且夹角是钝角.
证明：焦弦满足的条件

由韦达定理得：
，
即：， ①
且：.
故：焦点三角形两边之点乘积为定值.
3、焦弦切线成直角，切点就是两端点

即：焦弦两端点的切线互相垂直.
证明：如图，由抛物线方程：
得到导数：，即：
故：，
于是：
将①式代入上式得：
即：，故焦弦端点在准线的投影点与焦点构成直角三角形.
4、端点投影在准线，连结焦点垂直线
即：焦弦端点在准线的投影点与焦点构成直角三角形.

证明：坐标,
则：，
于是：
将①式代入上式得：
故：
即：焦弦端点在准线的投影点，则，即：焦弦端点在准线的投影点与焦点构成直角三角形.
5、焦弦垂直极焦线
若焦弦对应的极点，则为极焦线，于是
用向量方法可证.
由于是的中点，为直角三角形，计算可得是的中点，
故：
由向量法可证
即：焦弦与极焦线互相垂直.
6、切线是角平分线

即：切线平分焦弦的倾角(或倾角的外角)
如图：因为和都是直角三角形，
且由定义知：，
故，则对应角相等.
即：是的角平分线
同理，是的角平分线
7、直角梯形对角线，交点就是本原点
即：直角梯形对角线相交于原点
即：三点共线；三点共线.
用向量法证明：，
证明：坐标，，，
向量：，
各分量之比：，
将①式代入上式得：
故：，即：
同理：.直角梯形对角线相交于原点.
8、焦弦三角计面积，半个方除正弦
即：焦弦三角形的面积为： （为焦弦的倾角）
证明：

F
M
E
G
O

如图：
则：
于是：
故：

附：圆锥曲线必背----极坐标
一、极坐标通式
圆锥曲线的极坐标以准焦距和离心率来表示常量，以极径和极角来表示变量.
，

以焦点为极点(原点)，以椭圆长轴、抛物线对称轴、双曲线的实轴为极轴的建立极坐标系. 故准线是到极点距离为准焦距、且垂直于极轴的直线.
极坐标系与直角坐标系的换算关系是：，
或者：，
特别注意：极坐标系中，以焦点为极点(原点)，而直角坐标系中以对称点为原点得到标准方程.
如图，为极点，为准线，则依据定义，到定点(极点)和到定直线(准线)的距离之比为定值(定值)的点的轨迹为圆锥曲线.
所以，对极坐标系，请记住：
⑴ 极坐标系的极点是椭圆的左焦点、抛物线的焦点、双曲线的右焦点；
⑵ 曲线上的点到焦点的距离是，到准线的距离是，根据定义：
即：，即：，
即： ①
这就是极坐标下，圆锥曲线的通式.
⑶ 对应不同的，呈现不同的曲线. 对双曲线，只是右边的一支；
对抛物线，开口向右.
二、极轴旋转
将极轴旋转，和分别对应变换前后的极角，即转角为，

则极坐标方程变换前方程为：

变换后方程为： ②
此时的极坐标系下，此时有：
⑴ 极坐标系的极点是椭圆的右焦点、抛物线的焦点、双曲线的左焦点；
⑵ 对应不同的，呈现不同的曲线. 对双曲线，只是左边的一支；对抛物线，开口向左.

三、极轴旋转
⑴将极轴顺时针旋转，即：，则情况如图.
圆锥曲线的方程为：
③
此时的极坐标系下：
对应于直角坐标系下，焦点在轴的情况，且极点对应于椭圆下方的焦点，双曲线上方的焦点，抛物线的焦点.
对双曲线，只是轴上边的一支；对抛物线，开口向上.
⑵如果将极轴逆时针旋转，即：，则情况如图.

圆锥曲线的方程为： ③
此时的极坐标系下：
对应于直角坐标系下，焦点在轴的情况，且对应于椭圆上方的焦点，双曲线下方的焦点，抛物线的焦点.
对双曲线，只是轴下边的一支；对抛物线，开口向下.
四、坐标变换
⑴在极坐标系中，圆锥曲线的通式为： ①
即：，即：
即： ②
将，代入②式得：

即： ③
当时
有：
即：
即： ④
⑴当时，令，，
则：
而：
代入④式得： ⑤
这是标准的椭圆方程.
⑵当时，令，，
则：
而：
代入④式得： ⑥
这是标准的双曲线方程.
⑶当时，由③式得：
即：
即： ⑦
这是标准的抛物线方程.
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