教材运用的思考与实践.doc

贯彻理念 理解教材 挖掘价值 提高质量
——高中数学教学中教材运用的思考与实践
四川省教育科学研究所 吴中林
（电话：[phone]）

0 课改理念·教学策略
0.1 改什么：缺失与问题
三大缺失
缺“活力”：外控有余，内源不足
缺“意义”：功利有余，意义不足
缺“价值”：压制有余，解放不足
六个问题
课程目标：知识本位
课程内容：繁难偏旧
课程结构：学科本位
课程实施：“目中无人”
课程评价：功利至上
课程管理：集中统一
0.2 向哪改：方向与目标
四个方向
学校-社会：推进公民素质教育
学校-学校：谋求特色发展
学校-自身：回归教育本真
学校-人：促进学生全面个性的自由发展
六个目标
课程目标：三维目标（知识与技能；过程与方法；情感态度与价值观）
课程内容：基础性、时代性与选择性；现代化、综合化、生活化与人文化
课程结构：均衡性、综合性与选择性；领域、科目与模块；必修与选修
课程实施：从“告诉”到“发现”；从“被动”到“主动”；从“机械”到“创造”
课程评价：发展性评价；综合性评价
课程管理：三级课程管理（国家+地方+校本）
0.3 如何改：理念与思路
六大理念
以生为本的教育价值观
科学与人文整合的课程文化观
回归生活的课程生态观
综合取向的课程设计观
基于自主的课程实施观
注重差异的课程政策观
六个变化
改变课程目标：三维一核
改变课程结构：突破学科本位；领域、科目与模块；选修与必修；
改变课程内容：基础性、时代性与选择性
改变课程实施：自主、合作、探究、体验等
改变课程评价：全面、综合
改变课程管理：地方课程与校本课程
0.4 怎么做：要求与行为
0.4.1 真正确立五个教学理念
主体：我是人，而不是器物！
活动：让我参与进来！
建构：不要告诉我，让我来发现！
交往：让同伴帮助我！
差异：我就是不同！
0.4.2 准确把握本学科的课程性质
方法：深入学科本质；培养学科能力
案例：高中数学
高中数学课程对于认识数学与自然界、人类社会的关系，认识数学的科学及文化价值，提高发现问题、分析和解决问题的能力，形成理性思维，发展创新意识具有基础性的作用；高中数学课程有助于学生认识数学的应用价值，增强应用意识，形成解决简单实际问题的能力。
0.4.3 深度解读学科教材
存在问题：基于“双基”；只见“外表”；重视“局部”；关注“具体”（粗糙；浅表；零散；空洞；死板）
改进思路：为何而理解；理解什么；如何理解；理解得如何
0.4.4 科学设置教学目标
全面性：三维目标
主导性：核心目标
层次性：分级目标
0.4.5 精心选择教学内容
提取学科思想方法
梳理学科基本结构
渗透学科教材的历史文化
沟通学科教材与生活实际的联系
诊断学生学习的困难与困惑
0.4.6 纵深推进教学过程
聚焦于学生深切的情感体验与深层的理性思维
深入到学科的本质与规律中去
突出教学的关节点与层次性
实现教学的整合性与整体性
0.4.7 合理选择教学策略
整体性与立体性
互补性与综合性
差异性与创新性
适当性与有效性

1 教材理解·教材结构特征
教师教学最重要的课程资源就是教材，教师对教材理解程度、处理方式和加工水平的高低既反映了教师学科专业功底的是否深厚，也直接关系到课堂教学质量的优劣．
教材展现了知识产生、发展的过程，体现了基本概念、法则和定理等构成的中学数学内容的结构体系，反映了中学数学涉及的基本数学思想和方法；教材是课程的载体，是课程标准所规定的课程目标、课程内容的具体化；学生形成数学知识、具有一定的数学思维和能力，其基石就是教材．

1.0 高考试题与教材关系简析
仅仅就高考而言，命题“以课程标准为根本依据”必然落实到“以现行教材为依托”． 离开了课堂和课本，学生几乎不能寻求到解题依据、解题方法，也不会有自己的解题体验，教材是学生解题能力的基本生长点．
1.0.1 基本特点
命题依托教材，与教材联系密切；试题源于教材，又高于教材．
教材是考试内容的具体化；教材是“中、低档”试题的直接来源；体现高校选拔需要的“高档”题也是根据教材的基本内容、基本方法编拟的，只不过是在综合性和灵活性上提出较高要求．
1.0.2 试题实例
函数、数列
……
三角
2011年
17．已知函数, ．
（Ⅰ）求的最小正周期和最小值；
（Ⅱ）已知．求证: ．
来源：改编自第一册（下）第42页习题4.6第11题.
2012年
17. 函数在一个周期内的图象如图所示，A为图象的最高点，B，C为图象与x轴的交点，且△ABC为正三角形.
（Ⅰ） 求的值及函数的值域；
（Ⅱ） 若=，且，求的值.
来源：以教材第一册（下）第101页复习参考题B组13题为背景改编.
2013年
17．(本小题满分12分)
在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且
．
（Ⅰ）求的值；
（Ⅱ）若，，求向量在方向上的投影．
来源：以教材必修4第132页练习第7题为背景改编．

立体几何
2011年
19．如图，在直三棱柱中，．D是棱上的一点，是的延长线与的延长线的交点，且平面．
（Ⅰ）求证：；
（Ⅱ）求二面角的平面角的余弦值；
（Ⅲ）求点到面的距离．
来源：改编自教材第二册（下B）第63页9.9节练习第4题．

2012年
19．(本小题满分12分)
如图，在三棱锥中，∠APB=90，∠PAB=60，，平面PAB⊥平面ABC.
(Ⅰ) 求直线PC与平面ABC所成的角的大小；
(Ⅱ) 求二面角的大小.
来源：以教材第二册（下B）第27页练习2为背景改编.

2013年
19．(本小题满分12分)
如图，在三棱柱ABC-A1B1C1中，棱AA1⊥底面ABC，AB=AC=2AA1，∠BAC=120°，D，D1分别是线段BC，B1C1的中点，P是线段AB的中点．
（Ⅰ）在平面ABC内，试作出过点P与平面A1BC平行的直线l，说明理由，并证明直线l⊥平面ADD1A1；
（Ⅱ）设（Ⅰ）中的直线l交AB于点M，交AC于点N，求二面角A—A1M—N的余弦值．
来源：第（Ⅰ）题以教材必修2第59页例3为背景改编．

解析几何
2012年
21．(本小题满分12分)
如图，动点M与两定点A(-1,0)、B(2,0)构成△MAB，且.设动点M的轨迹为C.
(Ⅰ) 求轨迹C的方程；
(Ⅱ) 设直线y=-2x+m与y轴相交于点P，与轨迹C相交于点Q、R，且|PQ|<|PR|，求的取值范围.
来源：以教材第二册上第133页复习参考题八B组第5题为背景改编.

2013年
20．(本小题满分13分)
已知椭圆C： （a>b>0）的两个焦点分别是F1(－1,0)，F2(1,0)，椭圆C经过点P()．
（Ⅰ） 求椭圆C的离心率；
（Ⅱ） 设过点A（0, 2）的直线l与椭圆C相交于M，N两点，点Q是线段MN上的点，且，求点Q的轨迹方程．
来源：第（Ⅰ）题以教材选修2-1第40页例1为背景改编．

其他：
2013年
15．设P1，P2，…，Pn为平面α内的点． 在平面α内的所有点中，若点P到点P1，P2，…，Pn的距离之和最小，则称点P为点P1，P2，…，Pn的一个“中位点”．例如，线段AB上的任意点都是端点A，B的中位点． 现有下列命题：
① 若三个点A，B，C共线，C在线段AB上，则C是A，B，C的中位点；
② 直角三角形斜边的中点是该直角三角形三个顶点的中位点；
③ 若四个点A，B，C，D共线，则它们的中位点存在且唯一；
④ 梯形对角线的交点是该梯形四个顶点的唯一中位点．
其中的真命题是__________． （写出所有真命题的序号）
来源：初中教材中的“海伦问题” ．

1.0.3 基本方式
直接选用
改变数据
变式引申——组合联系、条件拆分、构逆命题、拓展变换

1.1 当前教材理解中存在怎样的问题？
“基于双基的表层-局部”模式：基于“双基”、只见“外表”、重视“局部”、关注“具体”
形成的后果：粗浅、零散、繁杂、空洞、死板
1.2 我们应该怎么理解教材？
“基于多维的内核-整体”模式：
1.2.1 目标维度：为了什么而理解
什么知识最有价值?(学科思想方法与学科基本结构)
知识的完整价值是什么？(实用价值;科学价值;育人价值)
1.2.2 内容维度：理解什么
知识的类型与水平：知识与元知识；五种类型的知识(事实性知识+概念性知识+方法性知识+思想性知识+价值性知识)与五个水平的知识（经验水平-概念水平-方法水平-思想水平-价值水平）
知识的性质与价值：发展价值；生活价值；学术价值
学科的要素与结构：知识+技能+思想方法；实质结构+句法结构+组织结构
1.2.3 行为维度：如何理解
双基-多维：经验；知识；技能；思想方法
表层-内核：思想方法+学科结构
局部-整体：学科结构
1.2.4 水平维度：理解得如何
深透度：外表与内核；局部与整体；双基与多维
简洁度：精髓（“点”）；结构（“面”）
准确度：前后知识的联结点；新旧知识的联结点；学科与实际的联结点
1.3 在教学中怎么做？
深刻认识教材的结构特征：
教材的显性结构特征——体系、概念与定理
教材的隐性结构特征——过程、方法与思维
教材的潜性结构特征——思想、规律与价值
同时教给学生五个维度的知识：事实；概念；方法；思想；价值
同时在五个水平上教给学生同一个知识：事实；概念；方法；思想；价值
为学生能力的发展创造若干中介性条件：经验；概括性的知识；思想性知识；方法性知识；价值性知识；问题解决学习

2 教材的显性结构特征——体系、概念与定理
2.1 整体认识教材体系，挖掘联系，形成网络
（1） 宏观上，把握教材体系
以知识体系为线索，以函数与不等式、立体几何、解析几何、概率与统计、算法这5条主线统揽整体内容，结合课程设置的原则、教材编写意图等方面，从课程标准、高考要求与试题两个方面与教材进行对应分析研究．
（2） 中观上，明确单元结构
以内容主题为基础，提炼知识结构、方法结构，形成网络节点．

例1 圆锥曲线中的轨迹问题．

列举：
2.2椭圆椭圆的定义．
2.2椭圆例3：斜率之积．
2.2椭圆练习4：斜率之商——
点A、B的坐标分别是(-1,0)，(1,0)，直线AM、BM相交于点M，且直线AM与直线BM的斜率的商是2，点M的轨迹是什么？为什么？
2.2椭圆例6：到定点的距离与到定线的距离之比．
2.2椭圆习题2.2-B3：点Ｍ与定点Ｆ(2,0)的距离和它到定直线x=8的距离的比是1:2，求点M的轨迹方程，并说明轨迹是什么图形．

2.3双曲线双曲线的定义．
2.3双曲线例题之后的探究：斜率之积．
2.3双曲线例5：到定点的距离与到定线的距离之比．
2.3双曲线习题2.3-B3：求到定点F(c,0)(c>0)和它到定直线l：x=距离之比是的点M的轨迹方程．

2.4抛物线习题2.4-B3：斜率之差——
已知点A、B的坐标分别是(-1,0)，(1,0)，直线AM、BM相交于点M，且直线AM的斜率与直线BM的斜率的差是2，求点M的轨迹方程．

圆锥曲线复习参考题A10：斜率之积——
已知△ABC的两个顶点A、B的坐标分别是(-5,0)，(5,0)，且AC、BC所在直线的斜率之积等于m(m≠0)，试探求顶点C的轨迹．
圆锥曲线复习参考题B5：斜率之和——
已知点A、B的坐标分别是(-1,0)，(1,0)，直线AM、BM相交于点M，且它们的斜率之和是2，求点M的轨迹方程．
归类：
到两点的距离之和、之差：——第一定义．
能否扩展到之积、之比，甚至平方和、差等？——从运算的角度进行探究
点点距与点线距的比：——第二定义．
动点与两定点连线的斜率之和、差、积、商：——？
实证：
2012年四川卷文科21题——
如图，动点M与两定点A(-1，0)、B(1，0)构成△MAB，且直线MA、MB的斜率之积为4. 设动点M的轨迹为C.
(Ⅰ) 求轨迹C的方程；
(Ⅱ) 设直线y=x+m ()与y轴相交于点P，与轨迹C相交于点Q、R，且<，求的取值范围.
（3） 微观上，理解知识联系
各个知识点在整个知识网络、体系中的地位、价值和联系．如：斜率、三角函数（具有广泛的综合联系）的定义等．
2.2 高度重视概念的形成与辨析，注重法则、定理的理解与运用——特例、反例
准确掌握课程标准、考试大纲、教材涉及的概念，尤其是核心概念；深刻领会概念与数学知识的本质，能从正、反两个方面(或特殊情况)理解概念的实质；深入理解概念所反映的思想方法．
概念学习，重形成与辨析；公式、法则和定理的学习，重理解与运用．
例2 方程的根与函数的零点．
在引导学生由特殊到一般（二次函数-一般函数-零点存在性定理）得出定理的思维过程中，由于“二次函数图象”比较简单，推广得到定理后，所形成的思维定势，对定理条件的“充分而不必要性”的认识会产生负迁移．化解这一负迁移，可以借助“反例”，如下各图：

例3 2002年全国卷21题．
设a为实数，函数f(x)=x2+|x-a|+1，xR．
(1) 讨论f(x)的奇偶性；
(2) 求f(x)的最小值．
第一个问题的解决，反例有奇效；第二个问题的解决，性质和图象的运用是根本．
函数性质是核心，单调性、奇偶性都是重要性质(最根本的当然是单调性)．解决的基本方法是运用定义、利用图象直观，反映的基本思想方法是数形结合．

3 教材的隐性结构特征——过程、方法与思维
3.1 高度重视知识产生和发展的过程，通过过程与方法的体验、掌握，形成良好的数学思维能力
例4 椭圆与双曲线标准方程建立的过程．

得出双曲线的标准方程固然重要，但这个过程和结论的运用具有同样的价值．如解决这样问题的过程：
已知一动圆P与圆：和圆：均外切(其中，、分别为圆和的圆心)．
(Ⅰ) 求动圆圆心P的轨迹E的方程；
(Ⅱ)……
(Ⅰ) 动圆P的半径为r，则，，，故点P的轨迹E是以、为焦点的双曲线的右支．
设方程为，知，，所以，，，故轨迹E的方程为
．
在实测时，不少学生无法得到直接几何数量(长度)关系，因此无法如上流畅求解．
学生的解答往往是这样的：
设动点P的坐标为(x，y)，动圆P的半径为r，则由题意有
，，
消去r，得
．
这仅仅是教材P53①的一个特例，可许多学生的解答到此只好结束．
是哪里出了问题？怎么解决？——化简过手，结构认知．
(Ⅱ)……
类似的问题：
(湖南2012，理21)在直角坐标系xOy中，曲线C1的点均在C2：(x-5)2＋y2=9外，且对C1上任意一点M，M到直线x=﹣2的距离等于该点与圆C2上点的距离的最小值.
(Ⅰ)求曲线C1的方程；
(Ⅱ)设P(x0,y0)(y0≠±3)为圆C2外一点，过P作圆C2的两条切线，分别与曲线C1相交于点A，B和C，D.证明：当P在直线x=﹣4上运动时，四点A，B，C，D的纵坐标之积为定值.
(Ⅰ)解法1 ：设M的坐标为，由已知得
，
易知圆上的点位于直线的右侧.于是，所以
.
化简得曲线的方程为.
解法2 ：由题设知，曲线上任意一点M到圆心的距离等于它到直线的距离，因此，曲线是以为焦点，直线为准线的抛物线，故其方程为.
(Ⅱ)……
3.2 挖掘典型例题和习题的价值，提炼本质，适度变换拓展，扩大视野、强化能力培养，提高学生解决问题的水平
例5 抛物线中的两个例题分析．

这两个问题都与下列问题有密切联系：
已知A(x1,y1)、B(x2,y2)是过抛物线y2=2px(p>0)的焦点的直线与此抛物线的交点，求证：y1y2=-p2.
这一问题解决的反思具有意义——
自然思考：设出直线方程，与抛物线方程联立研究坐标关系．将直线方程是y=k(x-)，代入方程y2=2px，得[k(x-)]2=2px．思维障碍，如何调整？
这里有两个问题需要注意：一是引进斜率，必须考虑到斜率不存在的情形；二是代入时消去了y，得到的结论首先是x的关系，与解题目标的联系不紧密，致使解题过程复杂化．
优化方法：消去x，将x=y+或代入；
总结规律：直线方程可以采用x=my+的形式．
相关结论：
焦半径 ；
弦长 ；
．
引申拓展：
(2006年上海试题)在平面直角坐标系xOy中，直线与抛物线＝2相交于A、B两点．(i)求证：“如果直线过点T(3，0)，那么＝3”是真命题；(ii)写出(i)中命题的逆命题，判断它是真命题还是假命题，并说明理由．
3.3 适度重视教材中“思考”、“探究”、“探究与发现”、“阅读与思考”等的材料、背景和研究方法
例5 解三角形中的探究与发现．

例6 2013年16题不同途径的解法比较．
题目：在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且
．
（Ⅰ）求的值；
（Ⅱ）若，，求向量在方向上的投影．

解答：（Ⅰ）由，得
，
即，
则，即．
（Ⅱ）由，，得，
由正弦定理，有，所以，．
由题知，则，故，
根据余弦定理，有，
解得或（舍去）．
故向量在方向上的投影为．
（若条件改为，先运用余弦定理求c，如何？）

4 教材的潜性结构特征——思想、本质与规律．
4.1 根据不同的教学内容和教学素材，提炼本质特征，总结思想方法，提升思维层次
例7 立体几何中一段教材蕴含的特征和方法总结

概括起来，可以研究以下命题的正误：
平行（垂直）于同一直线（平面）的两直线（平面）互相平行（垂直）
……
例8 一个不等式证明问题的探究思考
已知a>b>c，求证：>0 .
1. 从常规解法中生发问题
问题1：学习首先必须针对问题的特征进行相应的归纳总结. 证明一个分式不等式，通常应采用什么方法？
(经通分可变形为
，易得结论.)
问题2：基本的方法未必是简捷的方法.上面的通分合并过程就较为繁琐.怎样才能避繁就简呢？
(能否减少通分？能否避免通分？能否更广泛地联系数学知识和数学方法，比如借助于其他数学分支的支持解决问题.)
(要减少通分，可将左端的负项移到右端，即证明：.对左边进行通分，变换更为简单.)
2. 在自主思考与合作学习中探究问题
问题3：小移项改变了大结构，此法的妙处在于通分时减少了一组一次因式的乘积运算.能否彻底避免通分呢？
① 由已知，，两式相加即可，在证明不等式的同时，还强化了不等式.分析题目特征是模式识别的基础.此法抓住问题表现出来的结构特点，借鉴证明的方法使解答得以简化.还有进一步的思考吗？
② 由 ，而，故得结论.这是更简单的思考.以舍为取，采用基本的放缩技巧解决了问题，好！对待证不等式还可以有哪些方面的思考呢？
③ 考虑将不等式中的式子进行改写，使其表现形式更为简单：令a1=a-b，a2=b-c，则原不等式即.
对于这样的结构，可以联想到直线的斜率、向量的坐标等等.设A1(a1,1)，A2(a2,1)，P(a1+a2,2)是坐标平面上三点，于是可以由斜率关系或向量加法得到结论.
形式类比联想是联想的基本的重要的方式.上述思考的价值在于：一、通过代换将不等式的外在形式简化；二、将数的问题与形联系起来.
④ 从不等式涉及的结构我们还可以有怎样的联想？
在上述变换之后，倒数的形式与反比例函数有联系.设x>0，在直角坐标系中，任取曲线上的两点A(a1,)，B(a2,)，则线段AB的中点M()必不在弧的下方，故有
，即，其中等号在A、B重合即a1=a2时取得.
这样不仅证明了不等式，同时还明确了原不等式可以强化到什么程度.
3. 在反思引申中感悟问题
① 总结是为了有效地梳理，反思是为了更好地提升.通过对这一不等式证明问题的探究，我们体会最深的有哪些？
● 通性通法是解决问题的基本方法，但不一定是最简捷的方法.因此，在运用通法的同时，应该思考和探寻避繁就简的方法.
● 一题多解是重要的，但优化解法更为重要.
● 解题过程中应重视归纳总结，这是思维的聚敛；也应重视联想扩充，这是思维的发散.
② 让我们再次审视最后一种解法，虽然并不简捷，但是达到了另一番境界，出现了崭新的风景：.本题的结论还可以推广到哪些情形？
● 若a>b>c>d，则；
● 若ai为正数，则>；
● 若a1>a2>…>an，则.
在每一个探究思考的环节，我们对需要对问题的特征进行提炼，并与自身的知识、方法体系进行联系，对产生的思维结果进行价值判断．价值判断是人类的一种高智商思维策略，对一个简单的问题进行数学探究，并对解决问题的过程进行积极的反思，是一种极有意义的行为.如果从我们成长和发展的角度来思索，我们不仅要用数学的眼光审视我们解决的一个个数学问题，更需要用数学的眼光审视社会现实，不断地感悟数学、感悟社会、感悟人生……

4.2 引导反思总结，促进学生将方法内化为能力
例9 等差数列的前n项和的解答反思．
已知等差数列{an}的前n项和为Sn，且S16>0，S17<0，则当Sn最大时，n的值为________ .
这个问题不难，容易得到答案. 但有必要反思、总结一下解题历程：
1. 看完题目，可以想到什么？
(等差数列的定义、前n项和公式，等差数列前n项和有最大值的条件等)
2. 上面所想到的性质、公式或者关系之类，哪些是对解题有用的信息？
3. 怎么入手？怎么解决问题？
由以上的思考，设d为公差，显然d<0，a1>0 .
① 由此数列的特点，将Sn转化到an有两种途径(就是前n项和的两种表示方式)：
● 根据公式，有
S16=>0，即a1+a16>0，
S17=<0，即a1+a17<0．
● 根据公式，有
S16=16a1+, a1+7.5d>0，
S17=17a1+, a1+8d<0．
这里的选择，是“自然的思维”——根据等差数列前n项和的关系，用两种形式表示S16，S17．
到此，怎么和结论联系？解决问题可能出现思维障碍．
② ● ∴ a8+a9>0，且 a9<0，故 a8>0，
∴ 当Sn最大时，n的值为8.
(运用等差中项的关系完成转化)
● ∴ a8= a1+7d> a1+7.5d >0， a9<0，
∴ 当Sn最大时，n的值为8.
(运用通项公式完成转化)
这里的思维抉择，是“有效的思维”——表达出S16，S17之后，根据需要确定“数列的项由非负变为负时对应的项数”这一解题目标，将表达式化为a8与a9的关系，这是跨越思维障碍解决问题的关键．显然，解题目标对整个思维过程有着导向的作用，有效的思维必须有解题目标的参与.
③ 运用求最值的一般思路，考察Sn关于n的函数.
由可知，Sn是关于n的二次型函数，尽管无法具体表示Sn，但其图象特征非常明显：点(n, Sn)在一条经过原点的抛物线上，利用抛物线的性质可以求解.
对于解答填空题来说，这是更为简捷的思考，是解题思维过程中更高的思维层次——“简练的思维”.
在解题教学中，要善于根据问题的特点、根据学生的实际，通过合理设置思维情景，引导学生寻求条件中的思维依据和问题的认知特征(对于本题，此即等差数列前n项和的表达并向an进行转换与Sn关于n的函数特征)，进行有效、简练的思考.
4. 解题之后的反思总结
一般地，上述的解题思维可以概括为“三重思维”：一是根据问题反映出来的认知特征，联系相关的知识进行自然的思考；二是以解决问题的基本目标作为导向，进行有效的思考；三是进行更广泛、深入的联系，进行简练的思考.在此基础上，还可以从已经解决的问题出发，进行必要的、合理的拓展、联系.
① 一个等差数列的前n项和有最大(小)值的条件是什么？
② 可以用以上方法解决这样的问题：
● 已知等差数列{an}的前n项和为Sn，且S16<0，S17>0，则当Sn最小时，n的值为_______ .
● 已知等差数列{an}的前n项和为Sn，且S5=S11，则当Sn最大(小)时，n的值为_______ .
● 已知等差数列{an}的前n项和为Sn，且S5=S12，则当Sn最大(小)时，n的值为_______ .
③ 这样的思考迁移到其他问题的解决：
已知f(x)是定义域为R的偶函数，当x≥0时，f(x)=x2－4x． 那么，不等式f(x+2)<5的解集是__________．
（2013年第14题，以教材必修1第39页习题A组第6题为背景改编．）
④ 规律总结：
解决一个数学问题，经过的思考与解决过程，是否存在具有普遍意义的“程序”，这个问题的解决(方法、体验、结论)怎样运用于其他问题的解决？
玻利亚的怎样解题表：
弄清
问题
第一，你必须弄清问题．
未知数是什么？已知数据是什么？条件是什么？满足条件是否可能？要确定未知数，条件是否充分？或者它是否充分？或者是多余的？或者是矛盾的？
画张图，引入适当的符号．
把条件的各个部分分开．你能否把它们写下来？
拟定
计划
第二，找出已知数与未知数之间的联系．
如果找不出直接的联系，你可能不得不考虑辅助问题．
你应该最终得出一个求解的计划．
你以前见过它吗？你是否见过相同的问题而形式稍有不同？
你是否知道与此有关的问题？你是否知道一个可能用得上的定理？
看着未知数！试想出一个具有相同未知数或相似未知数的熟悉问题．
这里有一个与你现在的问题有关，且早已解决的问题．你能不能利用它？你能利用它的结果吗？你能利用它的方法吗？为了能利用它，你是否应该引入某些辅助元素？
你能不能重新叙述这个问题？你能不能用不同的方法重新叙述它？
回到定义去．
如果你不能解决所提出的问题，可先解决一个与此有关的问题．你能不能想出一个更容易着手的有关问题．一个更普遍的问题？一个更特殊的问题？一个类比的问题？你能否解决这个问题的一部分？仅仅保持条件的一部分而舍去其余部分，这样对于未知数能确定到什么程度？它会怎样变化？你能不能从已知数据导出某些有用的东西？你能不能想出适于确定未知数的其他数据？如果需要的话，你能不能改变未知数或数据，或者二者都改变，以使新未知数和新数据彼此更接近？
你是否利用了所有的已知数据？你是否利用了整个条件？你是否考虑了包含在问题中的所有必要的概念？
实现
计划
第三，实行你的计划．
实现你的求解计划，检验每一步骤．
你能否清楚地看出这一步骤是正确的？你能否证明这一步骤是正确的？
总结
回顾
第四，验算所得到的结果．
你能否检验这个论证？你能否用别的方法导出这个结果？你能不能一下子看出它来？
你能不能把这结果或方法用于其他问题？
问题能否变换或者扩展？

上述环节并不具备相同的重要性．对问题的分析理解、弄清问题是成功解决问题的必要前提，设计解法、拟定计划是直接关系能否成功解决问题的关键，实现计划所需要的更多是耐心、细心和信心，检验解答、总结回顾是最容易被忽略的环节．

5 教材结构特征、问题层次与学生学习层次的关系

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