第十章 算法初步、统计、统计案例.doc

第十章　算法初步、统计、统计案例
第一节算法与算法框图

1．算法与算法框图
(1)算法的定义：
算法是解决某类问题的一系列步骤或程序，只要按照这些步骤执行，都能使问题得到解决．
(2)算法框图：
①算法框图又称流程图，是一种用程序框、流程线及文字说明来表示算法的图形．
②算法框图通常由程序框和流程线组成．
③基本的程序框有终端框(起止框)、输入、输出框、处理框(执行框)、判断框．
(3)三种基本逻辑结构：
名称　
内容　
顺序结构
选择结构
循环结构
定义
由若干个依次执行的步骤组成的，这是任何一个算法都离不开的基本结构
算法的流程根据条件是否成立有不同的流向，选择结构就是处理这种过程的结构
从某处开始，按照一定的条件反复执行某些步骤的情况，反复执行的步骤称为循环体
算法框图

2．基本算法语句
(1)条件语句：
①条件语句是表达选择结构最常用的语句．
②条件语句的格式及算法框图：

(2)循环语句：
①算法中的循环结构是由循环语句来实现的．
②循环语句的格式
(ⅰ)For 语句的一般形式是：
For循环变量＝初始值To终值
循环体
Next
(ⅱ)Do Loop语句的一般形式是：
Do
循环体
Loop While 条件为真

1．易混淆处理框与输入框，处理框主要是赋值、计算，而输入框只是表示一个算法输入的信息．
2．易忽视循环结构中必有条件结构，其作用是控制循环进程，避免进入“死循环”，是循环结构必不可少的一部分．
3．易混淆当型循环与直到型循环．
直到型循环是“先循环，后判断，条件满足时终止循环”；而当型循环则是“先判断，后循环，条件满足时执行循环”；两者的判断框内的条件表述在解决同一问题时是不同的，它们恰好相反．
[试一试]
1．执行如图所示的算法框图，若输入x＝2，则输出y的值为(　　)

A．5　　　　　　　　　 B．9
C．14 D．41
解析：选D　第一次循环后：x＝5，y＝14；第二次循环后：x＝14，y＝41，此时|x－y|>9，终止循环，故输出y的值为41.
2．如图是一个算法流程图，则输出的k的值是________

解析：法一：根据算法框图可知，k＝1时，12－1×6＋5≤0；k＝2时，22－2×6＋5≤0；k＝3时，32－3×6＋5≤0；k＝4时，42－4×6＋5≤0；k＝5时，52－5×6＋5≤0；k＝6时，62－6×6＋5>0，故输出的k的值是6.
法二：只需求出不满足k2－6k＋5≤0的最小正整数k就行，显然是6.
答案：6

识别算法框图运行和完善算法框图的步骤
识别运行算法框图和完善算法框图是高考的热点．解答这一类问题，第一，要明确算法框图的顺序结构、条件结构和循环结构；第二，要识别运行算法框图，理解框图所解决的实际问题；第三，按照题目的要求完成解答．对算法框图的考查常与数列和函数等知识相结合，进一步强化框图问题的实际背景．
[练一练]
1．(2014·深圳调研)若执行图中的框图，输入N＝13，则输出的数等于________．

解析：由题意知，输出的S＝＋＋…＋＝(1－)＋(－)＋…＋(－)＝1－＝.
答案：
2．运行如图所示的算法框图，若输出的结果是62，则判断框中整数M的值是________．

解析：因为0＋21＋22＋23＋24＋25＝＝62，结合题所给的框图可知，M＝5.
答案：5

考点一
算法的基本结构

1．(2013·新课标卷Ⅰ改编)执行右面的算法框图，如果输入的t∈[－1,3]，则输出的s属于(　　)
A．[－3,4]
B．[－5,2]
C．[－4,3]
D．[－2,5]
解析：选A　由算法框图得分段函数s＝所以当－1≤t＜1时，s＝3t∈[－3,3)；当1≤t≤3时，s＝4t－t2＝－(t－2)2＋4，所以此时3≤s≤4.综上函数的值域为[－3,4]，即输出的s属于[－3,4]，选择A.
2．(2013·安徽高考改编)如图所示，算法流程图的输出结果为(　　)

A.　　　　　　　　　　 B.
C. D．
解析：选C　第一次循环后：s＝0＋，n＝4；第二次循环后：s＝0＋＋，n＝6；第三次循环后：s＝0＋＋＋，n＝8，跳出循环，输出s＝0＋＋＋＝.
3．(2013·南昌模拟)若如下框图所给的程序运行结果为S＝20，那么判断框中应填入的关于k的条件是(　　)

A．k＝9 B.k≤8
C．k<8 D．k>8
解析：选D　据算法框图可得当k＝9时，S＝11；k＝8时，S＝11＋9＝20.
∴应填入“k>8”．
[类题通法]
1．解决算法框图问题要注意几个常用变量：
(1)计数变量：用来记录某个事件发生的次数，如i＝i＋1.
(2)累加变量：用来计算数据之和，如S＝S＋i.
(3)累乘变量：用来计算数据之积，如p＝p×i.
2．处理循环结构的框图问题，关键是理解并认清终止循环结构的条件及循环次数．

考点二
算法的交汇性问题

算法是高考热点内容之一，算法的交汇性问题是新课标高考的一大亮点，归纳起来常见的命题角度有：
(1)与统计的交汇问题；
(2)与函数的交汇问题；
(3)与概率的交汇问题.

角度一　与统计的交汇问题
1．(2013·荆州模拟)图(1)是某高三学生进入高中三年来的数学考试成绩茎叶图，第1次到第14次的考试成绩依次记为A1，A2，…，A14.图(2)是统计茎叶图中成绩在一定范围内考试次数的一个算法流程图．那么算法流程图输出的结果是(　　)

A．7 B.8
C．9 D．10
解析：选D　从算法流程图可知，该图是统计成绩大于或等于90分的考试次数．从茎叶图可知输出的结果为10.
角度二　与函数的交汇问题
2．(2014·北京海淀模拟)执行如图所示的算法框图，输出的k值是(　　)

A．4 B.5
C．6 D．7
解析：选B　开始将n＝5代进框图，5为奇数，∴n＝3×5＋1＝16，此时k＝1.此后n为偶数，则代入n＝中，因此，当k＝1时，n＝16；当k＝2时，n＝8；当k＝3时，n＝4；当k＝4时，n＝2；当k＝5时，n＝1，输出k＝5.故选B.
角度三　与概率的交汇问题
3．如图是用模拟方法估计圆周率π值的算法框图，P表示估计结果，则图中空白框内应填入________．

解析：通过阅读题目和所给数据可知试验了1 000次．M代表落在圆内的点的个数，根据几何概型，＝，对应的圆周率π为P＝.
答案：P＝
[类题通法]
解决算法的交汇性问题的方法
(1)读懂算法框图、明确交汇知识；
(2)根据给出问题与算法框图处理问题；
(3)注意框图中结构的判断．

考点三
基本算法语句
[典例]　(2014·东北三校模拟)下面程序运行的结果为(　　)

A．4 B.5
C．6 D．7
[解析]　第一次执行后，S＝100－10＝90，n＝10－1＝9；第二次执行后，S＝90－9＝81，n＝9－1＝8；第三次执行后，S＝81－8＝73，n＝8－1＝7；第四次执行后，S＝73－7＝66，n＝7－1＝6.此时S＝66≤70，结束循环，输出n＝6.
[答案]　C
[类题通法]
1．输入语句、输出语句和赋值语句基本对应于算法的顺序结构．
2．在循环语句中也可以嵌套条件语句，甚至是循环语句，此时需要注意嵌套格式，这些语句需要保证算法的完整性，否则就会造成程序无法执行．
[针对训练]
　运行下面的程序时，WHILE循环语句的执行次数是(　　)

A．3 B.4
C．15 D．19
解析：选A　0<20,1<20,2×2<20,5×5>20，程序结束，故While循环语句共执行了3次．

[课堂练通考点]
1．(2013·济南模拟)阅读算法框图，运行相应的程序，输出的结果为(　　)

A.　　　　　　　　 B.
C. D．
解析：选D　逐次运行的结果是x＝1，y＝1，z＝2；x＝1，y＝2，z＝3；x＝2，y＝3，z＝5；x＝3，y＝5，z＝8；x＝5，y＝8，z＝13；x＝8，y＝13，z＝21，此时输出的结果＝.
2．(2014·福州模拟)执行如图所示的算法框图，若输入的x值为2，则输出的x值为(　　)

A．3 B.126
C．127 D．128
解析：选C　若输入的x＝2，则x＝22－1＝3，而3<126，故x＝23－1＝7，而7<126，故x＝27－1＝127.因为127>126，所以输出的x值为127.
3．(2013·广东高考改编)执行如图所示的算法框图，若输入n的值为4，则输出s的值为________．

解析：第1次循环：s＝1＋(1－1)＝1，i＝1＋1＝2；第2次循环：s＝1＋(2－1)＝2，i＝2＋1＝3；第3次循环：s＝2＋(3－1)＝4，i＝3＋1＝4；第4次循环：s＝4＋(4－1)＝7，i＝4＋1＝5.循环终止，输出s的值为7.
答案：7
4．(2013·惠州模拟)如图所示是一个算法的流程图，则输出S的值是________．

解析：由题意a1＝1×cos ＋1＝1，a2＝2×cos ＋1＝－1，a3＝3×cos ＋1＝1，a4＝4×cos ＋1＝5，a5＝5×cos ＋1＝1，a6＝6×cos ＋1＝－5，a7＝7×cos ＋1＝1，a8＝8×cos ＋1＝9，…，a2 009＝1，a2 010＝－2 009，a2 011＝1，a2 012＝2 013.故输出的S＝a1＋a2＋…＋a2 012＝503－(1＋5＋9＋…＋2 009)＋503＋(5＋9＋13＋…＋2 013)＝503－1＋503＋2 013＝3 018.
答案：3 018
[课下提升考能]
1．(2014·大连模拟)在如图所示的算法框图中，输入A＝192，B＝22，则输出的结果是(　　)

A．0 B.2
C．4 D．6
解析：选B　输入后依次得到：C＝16，A＝22，B＝16；C＝6，A＝16，B＝6；C＝4，A＝6，B＝4；C＝2，A＝4，B＝2；C＝0，A＝2，B＝0.故输出的结果为2，选B.
2．当a＝1，b＝3时，执行完如图的一段程序后x的值是(　　)
IF　a<b　THEN
x＝a＋b
ELSE
x＝a－b
END　IF
A．1 B.3
C．4 D．－2
解析：选C　∵a<b.
∴x＝a＋b＝1＋3＝4.
3．(2014·长春模拟)如图的算法框图，如果输入三个实数a，b，c，要求输出这三个数中最大的数，那么在空白的判断框中，应该填入下面四个选项中的(　　)

A．c>x B.x>c
C．c>b D．b>c
解析：选A　由于要取a，b，c中最大项，输出的x应当是a，b，c中的最大者，所以应填比较x与c大小的语句，结合各选项知选A.
4．(2014·哈师大附中)按如图所示的算法框图运行后，输出的结果是63，则判断框中的整数M的值是(　　)

A．5 B.6
C．7 D．8
解析：选B　按框图所示程序运行可得S＝1，A＝1；S＝3，A＝2；S＝7，A＝3；S＝15，A＝4；S＝31，A＝5；S＝63，A＝6.此时输出S，故M为6.
5．(2013·东城模拟)某算法框图如图所示，执行该程序，若输入的x值为5，则输出的y值为(　　)

A．－2 B.－1
C. D．2
解析：选C　依题意得，题中的算法框图是在计算函数f(x)＝的函数值．当输入的x值是5时，f(5)＝f(3)＝f(1)＝f(－1)＝2－1＝，故输出的y值是，选C.
6．(2014·石家庄模拟)阅读算法框图(如图)，如果输出的函数值在区间[1,3]上，则输入的实数x的取值范围是(　　)

A．{x∈R|0≤x≤log23}
B．{x∈R|－2≤x≤2}
C．{x∈R|0≤x≤log23，或x＝2}
D．{x∈R|－2≤x≤log23，或x＝2}
解析：选C　依题意及框图可得，或解得0≤x≤log23或x＝2.
7．(2013·安徽四校联考)如图是寻找“徽数”的算法框图．其中“S MOD 10”表示自然数S被10除所得的余数，“S\10”表示自然数S被10除所得的商．则根据上述算法框图，输出的“徽数”S为(　　)

A．18 B.16
C．14 D．12
解析：选D　当S＝12时，x＝2，y＝1，满足等式3(x＋y＋1)＝3×4＝12＝S，故输出的“徽数”S为12.
8．(2013·西安模拟)如果执行如图所示的算法框图，输入正整数N(N≥2)和实数a1，a2，…，aN，输出A，B，则(　　)

A．A＋B为a1，a2，…，aN的和
B.(A＋B)为a1，a2，…，aN的算术平均数
C．A和B分别是a1，a2，…，aN中的最小数和最大数
D．A和B分别是a1，a2，…，aN中的最大数和最小数
解析：选D　由图易知，该算法框图的功能是选择A的最大数和选择B的最小数，选D.
9．(2014·台州模拟)按如图所示的算法框图运算，若输入x＝20，则输出的k＝________.

解析：由题意，得x＝20，k＝0；k＝1，x＝39；k＝2，x＝77；k＝3，x＝153，循环终止，输出的k＝3.
答案：3
10．(2013·湖南高考)执行如图所示的算法框图，如果输入a＝1，b＝2，则输出的a的值为________．

解析：第一次循环得，a＝1＋2＝3，第二次循环得，a＝3＋2＝5，第三次循环得，a＝5＋2＝7，第四次循环得，a＝7＋2＝9，此时退出循环，输出结果a＝9.
答案：9
11．(2014·湖北八校联考)执行如图所示的算法框图，输出的S的值为________．

解析：S＝sin ＋sin ＋sin ＋sin ＋sin ＋sin ＋…＋sin ＝(sin ＋sin ＋sin ＋sin ＋sin ＋sin )×335＋sin ＋sin ＋sin ＝.
答案：
12．(2014·湘潭模拟)执行如图所示的算法框图，输出的结果是________．

解析：共循环2 013次，由裂项求和得S＝＋＋…＋＝(1－)＋(－)＋…＋(－)＝1－＝.
答案：
第二节随机抽样

1．简单随机抽样
(1)抽取方式：逐个不放回抽取；
(2)每个个体被抽到的概率相等；
(3)常用方法：抽签法和随机数法．
2．分层抽样
(1)定义：
将总体按其属性特征分成若干类型(有时称作层)，然后在每个类型中按所占比例随机抽取一定的样本，这种抽样方法称为分层抽样，有时也称类型抽样．
(2)分层抽样的应用范围：
当总体是由差异明显的几个部分组成时，往往选用分层抽样．
3．系统抽样的步骤
假设要从容量为N的总体中抽取容量为n的样本．
(1)先将总体的N个个体编号；
(2)确定分段间隔k，对编号进行分段．当(n是样本容量)是整数时，取k＝；
(3)在第1段用简单随机抽样确定第一个个体编号l(l≤k)；
(4)按照一定的规则抽取样本．通常是将l加上间隔k得到第2个个体编号l＋k，再加k得到第3个个体编号l＋2k，依次进行下去，直到获取整个样本．

1．简单随机抽样中易忽视样本是从总体中逐个抽取，是不放回抽样，且每个个体被抽到的概率相等．
2．系统抽样中，易忽视抽取的样本数也就是分段的段数，当不是整数时，注意剔除，剔除的个体是随机的，各段入样的个体编号成等差数列．
3．分层抽样中，易忽视每层抽取的个体的比例是相同的，即.
[试一试]
1．下列抽取样本的方式是简单随机抽样的有(　　)
①从无限多个个体中抽取50个个体作为样本；
②箱子里有100支铅笔，今从中选取10支进行检验．在抽样操作时，从中任意拿出一支检测后再放回箱子里；
③从50个个体中一次性抽取5个个体作为样本．
A．0个　　　　　　　 B．1个
C．2个 D．3个
解析：选A　①不满足样本的总体数较少的特点；②不满足不放回抽取的特点；③不满足逐个抽取的特点．
2．用系统抽样法(按等距离的规则)要从160名学生中抽取容量为20的样本，将160名学生从1～160编号．按编号顺序平均分成20组(1～8号，9～16号，…，153～160号)，若第16组应抽出的号码为125，则第一组中按此抽签方法确定的号码是(　　)
A．7 B.5
C．4 D．3
解析：选B　由系统抽样知第一组确定的号码是5.
3．某社区有500个家庭，其中高收入家庭125户，中等收入家庭280户，低收入家庭95户．为了调查社会购买力的某项指标，采用分层抽样的方法从中抽取一个容量为若干户的样本，若从高收入家庭中抽取了25户，则低收入家庭被抽取的户数为________．
解析：设低收入家庭被抽取的户数为x，则有＝，解得x＝19.
答案：19

1．系统抽样的步骤
(1)先将总体的N个个体编号；
(2)确定分段间隔k(k∈N＋)，对编号进行分段．当(n是样本容量)是整数时，取k＝；
(3)在第1段用简单随机抽样确定第1个个体编号l(l≤k)；
(4)按照一定的规则抽取样本．通常是将l加上间隔k得到第2个个体编号(l＋k)，再加上k得到第3个个体编号(l＋2k)，依次进行下去，直到获取整个样本．
2．分层抽样的步骤
(1)分层：按某种特征将总体分成若干部分；
(2)按比例确定每层抽取个体的个数；
(3)各层分别按简单随机抽样或系统抽样的方法抽取个体；
(4)综合每层抽样，组成样本．
[练一练]
1．(2014·中山模拟)为了检查某超市货架上的奶粉是否含有三聚氰胺，要从编号依次为1到50的袋装奶粉中抽取5袋进行检验，用每部分选取的号码间隔一样的系统抽样方法确定所选取的5袋奶粉的编号可能是(　　)
A．5,10,15,20,25 B.2,4,8,16,32
C．1,2,3,4,5 D．7,17,27,37,47
解析：选D　利用系统抽样，把编号分为5段，每段10个，每段抽取一个，号码间隔为10，故选D.
2．(2013·广州调研)某市A，B，C，D四所中学报名参加某高校今年自主招生的学生人数如下表所示：
中学
A
B
C
D
人数
30
40
20
10
为了了解参加考试的学生的学习状况，该高校采用分层抽样的方法从报名参加考试的四所中学的学生当中随机抽取50名参加问卷调查，则A，B，C，D四所中学，抽取学生数分别是多少名(　　)
A．10,20,15,5 B.15,20,10,5
C．10,15,20,5 D．3,4,2,1
解析：选B　由题意知，四所中学报名参加该高校今年自主招生的学生总人数为100，抽取的样本容量与总体个数的比值为＝.
所以应从A，B，C，D四所中学抽取的学生人数分别为15,20,10,5.

考点一
简单随机抽样

1．(2014·河北省冀州中学期末)某公司在甲、乙、丙、丁四个地区分别有150,120,180,150个销售点．公司为了调查产品销售情况，需从这600个销售点中抽取一个容量为100的样本，记这项调查为①；在丙地区有20个大型销售点，要从中抽取7个调查其销售收入和售后服务等情况，记这项调查为②，则完成①，②这两项调查宜采用的抽样方法依次是(　　)
A．分层抽样法，系统抽样法
B．分层抽样法，简单随机抽样法
C．系统抽样法，分层抽样法
D．简单随机抽样法，分层抽样法
解析：选B　一般甲、乙、丙、丁四个地区会存在差异，采用分层抽样法较好．在丙地区中抽取的样本个数较少，易采用简单随机抽样法．
2．(2013·江西高考)总体由编号为01,02，…，19,20的20个个体组成．利用下面的随机数表选取5个个体，选取方法是从随机数表第1行的第5列和第6列数字开始由左到右依次选取两个数字，则选出来的第5个个体的编号为(　　)
7816　6572　0802　6314　0702　4369　9728　0198
3204　9234　4935　8200　3623　4869　6938　7481
A．08　　　　　　　　　　 B．07
C．02 D．01
解析：选D　从随机数表第1行的第5列和第6列数字开始由左到右依次选取两个数字，则选出的数字为08,02,14,07,01，…，故选出的第5个个体的编号为01.
[类题通法]
抽签法适用于总体中个体数较少的情况，随机数法适用于总体中个体数较多的情况．
考点二
系统抽样

[典例]　(2013·陕西高考)某单位有840名职工，现采用系统抽样方法抽取42人做问卷调查，将840人按1,2，…，840随机编号，则抽取的42人中，编号落入区间[481,720]的人数为(　　)
A．11 B.12
C．13 D．14
[解析]　依据系统抽样为等距抽样的特点，分42组，每组20人，区间[481,720]包含25组到36组，每组抽1人，则抽到的人数为12.
[答案]　B
在本例条件下，若第三组抽得的号码为44，则在第八组中抽得号码为多少？
解：在第八组中抽得的号码为(8－3)×20＋44＝144.
[类题通法]
1．当总体容量较大，样本容量也较大时，可用系统抽样法．
2．在利用系统抽样时，经常遇到总体容量不能被样本容量整除的情况，这时可以先从总体中随机地剔除几个个体，使得总体中剩余的个体数能被样本容量整除．
[针对训练]
从2 007名学生中选取50名学生参加全国数学联赛，若采用下面的方法选取：先用简单随机抽样从2 007人中剔除7人，剩下的2 000人再按系统抽样的方法抽取，则每人入选的概率(　　)
A．不全相等 B.均不相等
C．都相等，且为 D．都相等，且为
解析：选C　从N个个体中抽取M个个体则每个个体被抽到的概率都等于.

考点三
分层抽样
[典例]　(1)(2013·湖南高考)某学校有男、女学生各500名．为了解男、女学生在学习兴趣与业余爱好方面是否存在显著差异，拟从全体学生中抽取100名学生进行调查，则宜采用的抽样方法是(　　)
A．抽签法 B.随机数法
C．系统抽样法 D．分层抽样法
(2)(2014·抚顺模拟)某商场有四类食品，其中粮食类、植物油类、动物性食品类及果蔬类分别有40种、10种、30种、20种，现从中抽取一个容量为20的样本进行食品安全检测．若采用分层抽样的方法抽取样本，则抽取的植物油类与果蔬类食品种数之和是(　　)
A．4 B.5
C．6 D．7
[解析]　(1)由于被抽取的个体的属性具有明显差异，因此宜采用分层抽样法．
(2)四类食品的每一种被抽到的概率为＝，
∴植物油类和果蔬类食品被抽到的种数之和为
(10＋20)×＝6.
[答案]　(1)D　(2)C
[类题通法]
进行分层抽样时的注意事项
(1)分层抽样中分多少层，如何分层要视具体情况而定，总的原则是：层内样本的差异要小，两层之间的样本差异要大，且互不重叠．
(2)为了保证每个个体等可能入样，所有层中每个个体被抽到的可能性相同．
(3)在每层抽样时，应采用简单随机抽样或系统抽样的方法进行抽样．
[针对训练]
某报社做了一次关于“什么是新时代的雷锋精神”的调查，在A，B，C，D四个单位回收的问卷数依次成等差数列，且共回收1 000份，因报道需要，再从回收的问卷中按单位分层抽取容量为150的样本，若在B单位抽取30份，则在D单位抽取的问卷是________份．
解析：由题意依次设在A，B，C，D，四个单位回收的问卷数分别为a1，a2，a3，a4，在D单位抽取的问卷数为n，则有＝，解得a2＝200，又a1＋a2＋a3＋a4＝1 000，即3a2＋a4＝1 000，∴a4＝400，∴＝，解得n＝60.
答案：60

[课堂练通考点]
1．(2014·青岛模拟)(1)某学校为了了解2013年高考数学的考试成绩，在高考后对1 200名学生进行抽样调查，其中文科400名考生，理科600名考生，艺术和体育类考生共200名，从中抽取120名考生作为样本．(2)从10名家长中抽取3名参加座谈会．Ⅰ.简单随机抽样法　Ⅱ.系统抽样法　Ⅲ.分层抽样法．
问题与方法配对正确的是(　　)
A．(1)Ⅲ，(1)Ⅰ　　　　　　 B．(1)Ⅰ，(2)Ⅱ
C．(1)Ⅱ，(2)Ⅲ D．(1)Ⅲ，(2)Ⅱ
解析：选A　通过分析可知，对于(1)，应采用分层抽样法，对于(2)，应采用简单随机抽样法．
2．(2013·新课标卷Ⅰ)为了解某地区的中小学生的视力情况，拟从该地区的中小学生中抽取部分学生进行调查，事先已了解到该地区小学、初中、高中三个学段学生的视力情况有较大差异，而男女生视力情况差异不大，在下面的抽样方法中，最合理的抽样方法是(　　)
A．简单随机抽样 B.按性别分层抽样
C.按学段分层抽样 D.系统抽样
解析：选C　由于该地区的中小学生人数比较多，不能采用简单随机抽样，排除选项A；由于小学、初中、高中三个学段的学生视力差异性比较大，可采取按照学段进行分层抽样，而男女生视力情况差异性不大，不能按照性别进行分层抽样，排除B和D.故选C.
3．(2013·浙江联考)某地区高中分三类，A类学校共有学生2 000人，B类学校共有学生3 000人，C类学校共有学生4 000人，若采取分层抽样的方法抽取900人，则A类学校中的学生甲被抽到的概率为(　　)
A. B.
C. D．
解析：选A　利用分层抽样，每个学生被抽到的概率是相同的，故所求的概率为＝，故选A.
4．要从已编号(1～60)的60枚最新研制的某型导弹中随机抽取6枚来进行发射试验，用每部分选取的号码间隔一样的系统抽样方法确定所选的6枚导弹的编号可能是(　　)
A．5,10,15,20,25,30 B.3,13,23,33,43,53
C．1,2,3,4,5,6 D．2,4,8,16,32,48
解析：选B　＝10，间隔应为10.故选B.
5．一次数学模拟考试，共12道选择题，每题5分，共计60分，每道题有四个可供选择的答案，仅有一个是正确的．学生小张只能确定其中10道题的正确答案，其余2道题完全靠猜测回答．
小张所在班级共有40人，此次考试选择题得分情况统计表如下：
得分(分)
40
45
50
55
60
百分率
15%
10%
25%
40%
10%
现采用分层抽样的方法从此班抽取20人的试卷进行选择题质量分析．
(1)应抽取多少张选择题得60分的试卷？
(2)若小张选择题得60分，求他的试卷被抽到的概率．
解：(1)得60分的人数40×10%＝4.设抽取x张选择题得60分的试卷，则＝，
则x＝2，故应抽取2张选择题得60分的试卷．
(2)设小张的试卷为a1，另三名得60分的同学的试卷为a2，a3，a4，所有抽取60分试卷的方法为：(a1，a2)，(a1，a3)，(a1，a4)，(a2，a3)，(a2，a4)，(a3，a4)共6种，其中小张的试卷被抽到的抽法共有3种，故小张的试卷被抽到的概率为P＝＝.
[课下提升考能]
第Ⅰ组：全员必做题
1．一个班级有5个小组，每一个小组有10名学生，随机编号为1～10号，为了了解他们的学习情况，要求抽取每组的2号学生留下来进行问卷调查，这里运用的方法是(　　)
A．分层抽样法 B.抽签法
C．随机数法 D．系统抽样法
解析：选D　由系统抽样方法的特点可知选D.
2．(2013·潮州模拟)某企业共有职工150人，其中高级职称15人，中级职称45人，初级职称90人．现采用分层抽样抽取容量为30的样本，则抽取的各职称的人数分别为(　　)
A．5,10,15 B.3,9,18
C．3,10,17 D．5,9,16
解析：选B　高级、中级、初级职称的人数所占的比例分别为＝10%，＝30%，＝60%，
则所抽取的高级、中级、初级职称的人数分别为10%×30＝3,30%×30＝9,60%×30＝18.
3．某中学采用系统抽样方法，从该校高一年级全体800名学生中抽50名学生做牙齿健康检查．现将800名学生从1到800进行编号．已知从33～48这16个数中取的数是39，则在第1小组1～16中随机抽到的数是(　　)
A．5 B.7
C．11 D．13
解析：选B　间隔数k＝＝16，即每16人抽取一个人．由于39＝2×16＋7，所以第1小组中抽取的数为7.
4．某校共有学生2 000名，各年级男、女生人数如下表所示：

一年级
二年级
三年级
女生
373
380
y
男生
377
370
z
现用分层抽样的方法在全校抽取64名学生，则应在三年级抽取的学生人数为(　　)
A．24 B.18
C．16 D．12
解析：选C　一年级的学生人数为373＋377＝750，二年级的学生人数为380＋370＝750，于是三年级的学生人数为2 000－750－750＝500，所以应在三年级抽取的人数为500×＝16.
5．(2013·安徽高考)某班级有50名学生，其中有30名男生和20名女生．随机询问了该班五名男生和五名女生在某次数学测验中的成绩，五名男生的成绩分别为86,94,88,92,90，五名女生的成绩分别为88,93,93,88,93.下列说法一定正确的是(　　)
A．这种抽样方法是一种分层抽样
B．这种抽样方法是一种系统抽样
C．这五名男生成绩的方差大于这五名女生成绩的方差
D．该班男生成绩的平均数小于该班女生成绩的平均数
解析：选C　若抽样方法是分层抽样，男生、女生应分别抽取6人、4人，所以A错；由题目看不出是系统抽样，所以B错；这五名男生成绩的平均数1＝＝90，这五名女生成绩的平均数2＝＝91，故这五名男生成绩的方差为[(86－90)2＋(94－90)2＋(88－90)2＋(92－90)2＋(90－90)2]＝8，这五名女生成绩的方差为[(88－91)2×2＋(93－91)2×3]＝6，所以这五名男生成绩的方差大于这五名女生成绩的方差，但该班男生成绩的平均数不一定小于女生成绩的平均数，所以D错，故选C.
6．(2013·潍坊模拟)某高中在校学生有2 000人．为了响应“阳光体育运动”的号召，学校开展了跑步和登山比赛活动．每人都参与而且只参与其中一项比赛，各年级参与比赛的人数情况如下表：

高一年级
高二年级
高三年级
跑步
a
b
c
登山
x
y
z
其中a∶b∶c＝2∶3∶5，全校参与登山的人数占总人数的.为了了解学生对本次活动的满意程度，从中抽取一个200人的样本进行调查，则从高二年级参与跑步的学生中应抽取________．
解析：根据题意可知样本中参与跑步的人数为200×＝120，所以从高二年级参与跑步的学生中应抽取的人数为120×＝36.
答案：36
7．某学校共有教师490人，其中不到40岁的有350人，40岁及以上的有140人，为了检查普通话在该校教师中的推广普及情况，用分层抽样的方法，从全体教师中抽取一个容量为70的样本进行普通话水平测试，其中在不到40岁的教师中应抽取的人数是________．
解析：由题意得×350＝50(人)．
答案：50
8．网络上流行一种“QQ农场游戏”，这种游戏通过虚拟软件模拟种植与收获的过程．为了了解本班学生对此游戏的态度，高三(6)班计划在全班60人中展开调查，根据调查结果，班主任计划采用系统抽样的方法抽取若干名学生进行座谈，为此先对60名学生进行编号为：01,02,03，…60，已知抽取的学生中最小的两个编号为03,09，则抽取的学生中最大的编号为________．
解析：由最小的两个编号为03,09可知，抽取人数的比例为，即抽取10名同学，其编号构成首项为3，公差为6的等差数列，故最大编号为3＋9×6＝57.
答案：57
9．一个城市有210家百货商店，其中大型商店有20家，中型商店有40家，小型商店有150家．为了掌握各商店的营业情况，要从中抽取一个容量为21的样本，按分层抽样方法抽取样本时，各类百货商店要分别抽取多少家？写出抽样过程．
解：∵21∶210＝1∶10，
∴＝2，＝4，＝15.
∴应从大型商店中抽取2家，从中型商店中抽取4家，从小型商店中抽取15家．
抽样过程：
(1)计算抽样比＝；
(2)计算各类百货商店抽取的个数：
＝2，＝4，＝15；
(3)用简单随机抽样方法依次从大、中、小型商店中抽取2家、4家、15家；
(4)将抽取的个体合在一起，就构成所要抽取的一个样本．
10．某公司有一批专业技术人员，对他们进行年龄状况和接受教育程度(学历)的调查，其结果(人数分布)如下表：
学历
35岁以下
35～50岁
50岁以上
本科
80
30
20
研究生
x
20
y
(1)用分层抽样的方法在35～50岁年龄段的专业技术人员中抽取一个容量为5的样本，将该样本看成一个总体，从中任取2人，求至少有1人学历为研究生的概率；
(2)在这个公司的专业技术人员中按年龄状况用分层抽样的方法抽取N个人，其中35岁以下48人，50岁以上10人，再从这N个人中随机抽取出1人，此人的年龄为50岁以上的概率为，求x，y的值．
解：(1)用分层抽样的方法在35～50岁中抽取一个容量为5的样本，设抽取学历为本科的人数为m，∴＝，解得m＝3.
抽取的样本中有研究生2人，本科生3人，分别记作S1，S2；B1，B2，B3.
从中任取2人的所有等可能基本事件共有10个：(S1，B1)，(S1，B2)，(S1，B3)，(S2，B1)，(S2，B2)，(S2，B3)，(S1，S2)，(B1，B2)，(B1，B3)，(B2，B3)，
其中至少有1人的学历为研究生的基本事件有7个：(S1，B1)，(S1，B2)，(S1，B3)，(S2，B1)，(S2，B2)，(S2，B3)，(S1，S2)．
∴从中任取2人，至少有1人学历为研究生的概率为.
(2)由题意，得＝，解得N＝78.
∴35～50岁中被抽取的人数为78－48－10＝20，
∴＝＝，解得x＝40，y＝5.
即x，y的值分别为40,5.
第Ⅱ组：重点选做题
1．2013年“神舟”十号载人飞船顺利发射升空，某校开展了“观‘神十’飞天燃爱国激情”系列主题教育活动．该学校高一年级有学生300人，高二年级有学生300人，高三年级有学生400人，通过分层抽样从中抽取40人调查“神舟”十号载人飞船的发射对自己学习态度的影响，则高三年级抽取的人数比高一年级抽取的人数多(　　)
A．5人 B.4人
C．3人 D．2人
解析：选B　由已知可得该校学生一共有1 000人，则高一抽取的人数为300×＝12，高三抽取的人数为400×＝16，所以高三年级抽取的人数比高一年级抽取的人数多4人．
2．将参加夏令营的600名学生编号为：001,002，…，600.采用系统抽样方法抽取一个容量为50的样本，且随机抽得的号码为003，这600名学生分住在三个营区．从001到300在第Ⅰ营区，从301到495在第Ⅱ营区，从496到600在第Ⅲ营区．三个营区被抽中的人数依次为(　　)
A．26,16,8 B.25,17,8
C．25,16,9 D．24,17,9
解析：选B　根据系统抽样的特点可知抽取的号码间隔为＝12，故抽取的号码构成以3为首项，公差为12的等差数列．在第Ⅰ营区001～300号恰好有25组，故抽取25人，在第Ⅱ营区301～495号有195人，共有16组多3人，因为抽取的第一个数是3，所以Ⅱ营区共抽取17人，剩余50－25－17＝8人需从Ⅲ营区抽取．

第三节统