第三次月考化学试题.doc

2013年华约自主招生数学试题解析
1.设，且中元素满足：①任意一个元素的各数位的数字互不相同；②任意一个元素的任意两个数位的数字之和不等于9；
（1）求中的两位数和三位数的个数；
（2）是否存在五位数，六位数？
（3）若从小到大排列中元素，求第1081个元素.
解析：（配对法）将0，1，…，9这10个数字按照和为9进行配对:（0，9），（1，8），（2，7），（3，6），（4，5）.中元素的每个数位只能从上面五对数中每对至多取一个数构成.
（1）两位数有个；三位数有个；
（2）存在五位数，只需从上述五个数对中每对取一个数即可构成符合条件的五位数；不存在六位数，由抽屉原理易知，若存在，则至少要从一个数对中取出两个数，则该两个数字之和为9，与中任意一个元素的任意两个数位的数字之和不等于9矛盾，因此不存在六位数.
（3）四位数共有个，因此第1081个元素是四位数，且是第577个四位数，我们考虑千位，千位1，2，3的四位数有个，因此第1081个元素是4012.

2.已知，求.
解析：由①，②，平方相加得，另一方面由①得③，由②得④，④除以③得，因此.
3.点在上，点在上，其中，且在轴同侧.
（1）求中点的轨迹；
（2）曲线与抛物线相切，求证：切点分别在两条定直线上，并求切线方程.
解析：（1）设，则，由得，即，又，于是的轨迹方程为，于是中点的轨迹的焦点为，实轴长为2的双曲线.
（2）将与联立得，曲线与抛物线相切，故，又因为，所以，且，因此两切点分别在定直线上，两切点为，于是在处的切线方程分别为，即，
在处的切线方程分别为，即.
4.7个红球，8个黑球，一次取出4个.
（1）求恰有一个红球的概率；
（2）取出黑球的个数为，求的分布列和期望；
（3）取出4个球同色，求全为黑色的概率.
解析：（1）恰有一个红球的概率为；
（2）的所有可能取值为0，1，2，3，4，，，
即的分别列为

0
1
2
3
4

所以.
（事实上由超几何分布期望公式可以直接得出期望为，无需繁杂计算）
（3）取出4个球色，全为黑色的概率为.

5.数列各项均为正数，且对任意满足.
（1）求证：对任意正数，存在，当时有；
（2）设是前项和，求证：对任意，存在，当时有.
（1）证明：因为对任意满足，所以，又因为，
所以，
所以，
故对任意正数，存在，当时有.
（2）由得
所以，所以，
。由（1）有得 。由得。所以对任意，存在，当时有.

6.已知是互不相等的正整数，，求.
解析：本题等价于求使为整数的正整数，由于是互不相等的正整数，因此，不失一般性不妨设，则于是，结合为正整数，从而.当时，即于是，所以，但另一方面，是正整数且，矛盾，不合题意.
当，此时，所以，即①，所以，。代入①得，又，，经检验仅有符合题意.
因此所求为。

7.已知；
（1）求证：当时；
（2）数列满足，求证：数列递减且.
证明：（1）当时在递减，所以.
（2）由，因为，所以即，所以数列递减，下列证明，用数学归纳法证明，设，则，由（1）知当时，所以，所以在递增，由归纳假设得，要证明只需证明，即，故只需证明，考虑函数，因为当时，所以，所以在递增，因为，所以，即，由归纳法知，对任意正整数成立.